Ricerca distribuzione stazionaria
Buonasera,
mi sono appena avvicinato allo studio della catena di Markov ma a livello pratico non so veramente come lavorare su questi concetti.
A lezione abbiamo visto la seguente definizione:
sia $P$ un matrici di dimensioni $k*k$ che rappresenta le probabilità di transizione, allora $pi$ è detta una distribuzione stazionaria per $P$ se accade che $pi*P = pi$.
Subito dopo ci è stato lasciato questo esercizio(lascio l'immagine perchè è necessaria):
Ci si immagini di muoversi sulla griglia come un re vagante su una scacchiera, determinare allora la distribuzione stazionaria di un re libero di muoversi sulla scacchiera.
Ora mi trovo in difficoltà perchè onestamente non ho veramente idea su come partire e come fare a trovare sia la matrice $P$ sia $pi$ per poter, immagino ,applicare l'unica definizione che abbiamo visto.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come procedere e quali passaggi eseguire?
Grazie
mi sono appena avvicinato allo studio della catena di Markov ma a livello pratico non so veramente come lavorare su questi concetti.
A lezione abbiamo visto la seguente definizione:
sia $P$ un matrici di dimensioni $k*k$ che rappresenta le probabilità di transizione, allora $pi$ è detta una distribuzione stazionaria per $P$ se accade che $pi*P = pi$.
Subito dopo ci è stato lasciato questo esercizio(lascio l'immagine perchè è necessaria):
Ci si immagini di muoversi sulla griglia come un re vagante su una scacchiera, determinare allora la distribuzione stazionaria di un re libero di muoversi sulla scacchiera.
Ora mi trovo in difficoltà perchè onestamente non ho veramente idea su come partire e come fare a trovare sia la matrice $P$ sia $pi$ per poter, immagino ,applicare l'unica definizione che abbiamo visto.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come procedere e quali passaggi eseguire?
Grazie
Risposte
"axpgn":
Io direi che possiamo fermarci a tre. Si fa prima.
In generale, ti sbagli. In realtà per calcolare $\pi$ in questo caso, bastano questi tre tipi, ma per altri possibili problemi sul re potrebbe essere necessario usare tutti e 10 i tipi. Alcuni delle tue caselle gialle sono adiacenti solo ad altre gialle, per esempio.
I 10 tipi: Hmm. Non vedo la tabella.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 5 | 6 | 7 | 7 | 6 | 5 | 2 | 3 |
| 8 | 9 | 9 | 8 | 6 | 3 | 4 | 7 |
| 10 | 10 | 9 | 7 | 4 | 4 | 7 | 9 |
| 10 | 9 | 7 | 4 | 6 | 8 | 9 | 9 |
| 6 | 3 | 2 | 5 | 6 | 7 | 7 | 6 |
| 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 3 | 2 |
"ghira":
[quote="GuidoFretti"]
Anche perché finito qui dovrei costruire $P$ e calcolare $πP=π$ perché il mio scopo è trovare il vettore $π$.
Mi viene allorché il dubbio se io possa farlo solo con un calcolatore
Non è necessario costruite $P$. "determinare allora la distribuzione stazionaria". Vogliamo solo $\pi$.
Si può fare solo con una calcolatrice tascabile, te lo giuro.[/quote]
Come è possibile trovare solo la distribuzione stazionaria $π$?
Potresti gentilmente allora spiegarmi come devo ragionare e come fare?
Purtroppo non so più veramente come fare a trovarle!
I miei tentativi li ho fatti ma senza successo a quanto pare!
"ghira":
In generale, ti sbagli.
È matematico, ne so pochissimo
Comunque il mio intervento era riferito al post iniziale in cui l'OP chiedeva "un orientamento" e mi sembra che per farsi un'idea sia sufficiente una ripartizione di questo tipo.
Poi, chiaramente, dipende da quale obiettivo si deve raggiungere...
Lo so bene che le tipologie di celle sono più di tre: infatti le probabilità che ho calcolato tengono conto di questo fatto (per esempio ci sono gialle che terminano solo su gialle, altre che terminano sia sulle gialle che sulle verdi ed infine alcune che terminano su tutte e tre).
Come detto, era solo uno spunto ...
Cordialmente, Alex
Lo spunto mi è servito a capire il ragionamento e a capire che quello che stavo cercando di fare a mano diventava da pazzi.
Il problema è che attualmente non so che pesci pigliare... perché mi è stato detto che è veloce calcolare $π$...ma non avendo capito come fare (penso lo sia sia visto), rimango solo con un pugno di mosche in mano!
È praticamente un giorno che sono in ballo, ma il procedimento da seguire non l'ho ancora capito né compreso
Il problema è che attualmente non so che pesci pigliare... perché mi è stato detto che è veloce calcolare $π$...ma non avendo capito come fare (penso lo sia sia visto), rimango solo con un pugno di mosche in mano!
È praticamente un giorno che sono in ballo, ma il procedimento da seguire non l'ho ancora capito né compreso
"GuidoFretti":
È praticamente un giorno che sono in ballo, ma il procedimento da seguire non l'ho ancora capito né compreso
Puoi dirmi per esempio $p_{a1,a1}$, $p_{a1,a2}$ e $p_{c4,c5}$?
"axpgn":
Lo so bene che le tipologie di celle sono più di tre: infatti le probabilità che ho calcolato tengono conto di questo fatto (per esempio ci sono gialle che terminano solo su gialle, altre che terminano sia sulle gialle che sulle verdi ed infine alcune che terminano su tutte e tre).
Ma b2 e d4 non sono "uguali". Insomma.
"GuidoFretti":
Come è possibile trovare solo la distribuzione stazionaria $π$?
Potresti gentilmente allora spiegarmi come devo ragionare e come fare?
Se volessi conoscere i valori farei questo:
Angoli $\frac{3}{4\times3 + 24\times 5 + 36 \times 8}$, Lati $\frac{5}{4\times3 + 24\times 5 + 36 \times 8}$, altri $\frac{8}{4\times3 + 24\times 5 + 36 \times 8}$.
Questa è la prima delle due righe di cui parlavo. Nella seconda metterei le frazioni pulite.
Puoi dirmi perché o almeno verificare la soluzione?
"ghira":
Ma b2 e d4 non sono "uguali". Insomma.
E io che ho scritto?
Dipende da cosa si vuole ottenere, passare da una verde ad una gialla ha una probabilità di $8/15$ ma passare ad una gialla da b2 o d4 è diverso: $2/5$ nel primo caso, $3/5$ nel secondo
"axpgn":
E io che ho scritto?
Non saprei.
"axpgn":
Dipende da cosa si vuole ottenere, passare da una verde ad una gialla ha una probabilità di $8/15$ ma passare ad una gialla da b2 o d4 è diverso: $2/5$ nel primo caso, $3/5$ nel secondo
Cosa? $3/8$ ed $1$, no?
Scusa, ho interpretato male le coordinate della scacchiera, intendevo A2 e A4.
Peraltro non cambia il senso di quello che volevo dire.
Peraltro non cambia il senso di quello che volevo dire.
"ghira":
[quote="GuidoFretti"]
Come è possibile trovare solo la distribuzione stazionaria $π$?
Potresti gentilmente allora spiegarmi come devo ragionare e come fare?
Se volessi conoscere i valori farei questo:
Angoli $\frac{3}{4\times3 + 24\times 5 + 36 \times 8}$, Lati $\frac{5}{4\times3 + 24\times 5 + 36 \times 8}$, altri $\frac{8}{4\times3 + 24\times 5 + 36 \times 8}$.
Questa è la prima delle due righe di cui parlavo. Nella seconda metterei le frazioni pulite.
Puoi dirmi perché o almeno verificare la soluzione?[/quote]
Perdonami ma ancora una volta non ho capito: da dove diavolo (per me) escono questi conti? E cosa indicano angoli, lati ecc?
Sostanzialmente dal tuo calcolo ho visto che si divide il numero di mosse che può fare il Re in base alla posizione fratto la somma delle nuove possibili posizioni jn base alla posizione attuale...ma perché ció?
E Questa quindi sarebbe la prima riga di $π$ ?
N.B: cosa si intende per frazioni pulite?
Grazie
Intende caselle rosse, verdi e gialle della mia figura e le varie quantità.
Io ho fatto conti simili ma non gli stessi (perché le finalità erano diverse)
Per frazioni pulite penso intenda "semplificate".
Io ho fatto conti simili ma non gli stessi (perché le finalità erano diverse)
Per frazioni pulite penso intenda "semplificate".
"GuidoFretti":
cosa indicano angoli, lati ecc?
Angoli: A1, H1, A8, H8.
Lati: Caselle sul bordo che non sono angoli.
Altri: Altri
Per i nostri scopi attuali non importa che in realtà ci sono 10 tipi di caselle. L'unica cosa importante è il numero di vicini.
"GuidoFretti":
E Questa quindi sarebbe la prima riga di $π$ ?
No. È $\pi$.
"GuidoFretti":
N.B: cosa si intende per frazioni pulite?
Semplificate.
La mia risposta, come ho detto, è due righe.
Prima riga: 3/(roba), 5/(roba), 8/(roba)
Seconda riga: come sopra ma valori del tipo a/b non a/(casino).
Se per te vanno bene le risposte nella forma 3/(casino) ecc. allora benone. Una riga. Ma io, almeno, preferisco le risposte un po' più pulite.
Il tuo compito adesso è spiegare cosa ho fatto e perché funziona, o renderti conto che hai già visto la spiegazione negli appunti o nel libro.
Compito extra: stesso discorso ma per (a) torre (b) cavallo (c) (un po' palloso, onestamente) donna.
"ghira":
[quote="GuidoFretti"]
cosa indicano angoli, lati ecc?
Angoli: A1, H1, A8, H8.
Lati: Caselle sul bordo che non sono angoli.
Altri: Altri
Per i nostri scopi attuali non importa che in realtà ci sono 10 tipi di caselle. L'unica cosa importante è il numero di vicini.
"GuidoFretti":
E Questa quindi sarebbe la prima riga di $π$ ?
No. È $\pi$.
"GuidoFretti":
N.B: cosa si intende per frazioni pulite?
Semplificate.
La mia risposta, come ho detto, è due righe.
Prima riga: 3/(roba), 5/(roba), 8/(roba)
Seconda riga: come sopra ma valori del tipo a/b non a/(casino).
Se per te vanno bene le risposte nella forma 3/(casino) ecc. allora benone. Una riga. Ma io, almeno, preferisco le risposte un po' più pulite.
Il tuo compito adesso è spiegare cosa ho fatto e perché funziona, o renderti conto che hai già visto la spiegazione negli appunti o nel libro.
Compito extra: stesso discorso ma per (a) torre (b) cavallo (c) (un po' palloso, onestamente) donna.[/quote]
Adesso provo a capire cosa è stato fatto a livello di conti (un'idea l'avevo data ieri sopra)
Tuttavia non mi torna una cosa: come suggerito, guardando gli appunti io trovo che per definizione $π$ è la distribuzione stazionaria e compare "sempre" in $πP=π$.
Non mi è per nulla chiaro(anche vedendo gli appunti) perché i conti sopra riportati siano $π$: cosa ce lo assicura e perché posso calcolare una distribuzione usando solamente questo procedimento?
Grazie
"GuidoFretti":
Tuttavia non mi torna una cosa: come suggerito, guardando gli appunti io trovo che per definizione $π$ è la distribuzione stazionaria e compare "sempre" in $πP=π$.
Non mi è per nulla chiaro perché i conti sopra riportati siano $π$: cosa ce lo assicura e perché posso calcolare una distribuzione usando solamente questo procedimento?
Adesso tocca a te verificare la mia "soluzione", no? Soddisfa $\piP=\pi$?
Perché $\pi$ non può essere "$\frac{1}{64}$ per ogni casella"? (Per la torre, $\pi$ è così.)
Tu mi ha detto che quel vettore è $π$ e ci sta, ma non ho ancora capito come hai ragionato per ottenerlo. Dalla teoria non capisco cosa fai per poter dire che è proprio la distribuzione stazionaria.
È come se dovessi risolvere $x^2+2x-7=0$ e tu mi dai già $x$ per verificare se va bene.
Ma vorrei capire come si lavora per ottenere il valore di $x$.
Infine ho un dubbio sulla $P$: $p_(i,j)$ qui non corrispondono anche ai valori di $π$ o sono fuori strada e mi sto solo confondendo?
Grazie
È come se dovessi risolvere $x^2+2x-7=0$ e tu mi dai già $x$ per verificare se va bene.
Ma vorrei capire come si lavora per ottenere il valore di $x$.
Infine ho un dubbio sulla $P$: $p_(i,j)$ qui non corrispondono anche ai valori di $π$ o sono fuori strada e mi sto solo confondendo?
Grazie
"GuidoFretti":
Tu mi ha detto che quel vettore è $π$ e ci sta, ma non ho ancora capito come hai ragionato per ottenerlo.
Infatti non te l'ho detto. Ancora.
"GuidoFretti":
È come se dovessi risolvere $x^2+2x-7=0$ e tu mi dai già $x$ per verificare se va bene.
È esattamente quello che ho fatto, sì. La mia "soluzione" è una soluzione? Un elenco di 64 copie di $\frac{1}{64}$ è una soluzione?
"GuidoFretti":
Infine ho un dubbio sulla $P$: $p_(i,j)$ qui non corrispondono anche ai valori di $π$ o sono fuori strada e mi sto solo confondendo?
Grazie
Sei fuori strada e ti stai confondendo.
"GuidoFretti":
Infine ho un dubbio sulla $P$: $p_(i,j)$ qui non corrispondono anche ai valori di $π$ o sono fuori strada e mi sto solo confondendo?
Quali sono i 64 valori di $p_{a1,x}$?
Quali sono i 64 valori di $p_{x,a1}$?
Se cominci in a1 com`è $\pi$ inizialmente? Dopo 2 mosse com'è $\pi$?
Forse ho capito...ma non ne sono sicurissimo.
Quei valori che mi ha suggerito mi dicono che della matrice $P$ che ha dimensione $64*64$ la maggior parte sono nulli...
Soli $4*3$ hanno valore $1/3$, $24*5$ hanno valore $1/5$ e quindi adesso non serve fare tutto il prodotto $πP$ perché basta sfruttare il fatto che molti elementi della matrice sono nulli e quindi ottengo $π$ in funzione delle $x$ facendo $πP$ supponendo e$π=(x_1,......,x_(64))$
Poi confrontandolo con $1π$ ottengo la struttura di $π$.
Tuttavia mi pare un procedimento lungo... almeno è corretto?
Grazie
Quei valori che mi ha suggerito mi dicono che della matrice $P$ che ha dimensione $64*64$ la maggior parte sono nulli...
Soli $4*3$ hanno valore $1/3$, $24*5$ hanno valore $1/5$ e quindi adesso non serve fare tutto il prodotto $πP$ perché basta sfruttare il fatto che molti elementi della matrice sono nulli e quindi ottengo $π$ in funzione delle $x$ facendo $πP$ supponendo e$π=(x_1,......,x_(64))$
Poi confrontandolo con $1π$ ottengo la struttura di $π$.
Tuttavia mi pare un procedimento lungo... almeno è corretto?
Grazie
"GuidoFretti":
Poi confrontandolo con $1π$ ottengo la struttura di $π$.
Non credo di capire.
Stai cercando un $\pi$ che rimanga costante. Ovviamente $1,0,...,0$ non è quel valore di $\pi$.
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