Ricerca distribuzione stazionaria
Buonasera,
mi sono appena avvicinato allo studio della catena di Markov ma a livello pratico non so veramente come lavorare su questi concetti.
A lezione abbiamo visto la seguente definizione:
sia $P$ un matrici di dimensioni $k*k$ che rappresenta le probabilità di transizione, allora $pi$ è detta una distribuzione stazionaria per $P$ se accade che $pi*P = pi$.
Subito dopo ci è stato lasciato questo esercizio(lascio l'immagine perchè è necessaria):
Ci si immagini di muoversi sulla griglia come un re vagante su una scacchiera, determinare allora la distribuzione stazionaria di un re libero di muoversi sulla scacchiera.
Ora mi trovo in difficoltà perchè onestamente non ho veramente idea su come partire e come fare a trovare sia la matrice $P$ sia $pi$ per poter, immagino ,applicare l'unica definizione che abbiamo visto.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come procedere e quali passaggi eseguire?
Grazie
mi sono appena avvicinato allo studio della catena di Markov ma a livello pratico non so veramente come lavorare su questi concetti.
A lezione abbiamo visto la seguente definizione:
sia $P$ un matrici di dimensioni $k*k$ che rappresenta le probabilità di transizione, allora $pi$ è detta una distribuzione stazionaria per $P$ se accade che $pi*P = pi$.
Subito dopo ci è stato lasciato questo esercizio(lascio l'immagine perchè è necessaria):
Ci si immagini di muoversi sulla griglia come un re vagante su una scacchiera, determinare allora la distribuzione stazionaria di un re libero di muoversi sulla scacchiera.
Ora mi trovo in difficoltà perchè onestamente non ho veramente idea su come partire e come fare a trovare sia la matrice $P$ sia $pi$ per poter, immagino ,applicare l'unica definizione che abbiamo visto.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come procedere e quali passaggi eseguire?
Grazie
Risposte
Non so più cosa fare veramente...sto perdendo ogni speranza
Parto da questa maledetta $P$ e devo trovare $π$ tale che $πP=π$
$P$ la costruisco come ho detto sopra nel senso so che ha degli elementi diversi da zero...ma non ho chiarissimo in quali posizioni siano... cioè devo considerare la scacchiera e pensare a tutti i possibili movimenti del Re.
Ora trovo $π$:
Devo provare a risolvere questo $πP=π$ conoscendo $P$, cioè trovare l'autovettore di $P$ relativo all'autovalore $1$ e posso farlo fare ad un programma (a mano è tosta!)
Parto da questa maledetta $P$ e devo trovare $π$ tale che $πP=π$
$P$ la costruisco come ho detto sopra nel senso so che ha degli elementi diversi da zero...ma non ho chiarissimo in quali posizioni siano... cioè devo considerare la scacchiera e pensare a tutti i possibili movimenti del Re.
Ora trovo $π$:
Devo provare a risolvere questo $πP=π$ conoscendo $P$, cioè trovare l'autovettore di $P$ relativo all'autovalore $1$ e posso farlo fare ad un programma (a mano è tosta!)
Ora c'è una via più semplice di questa?
Non ho ancora capito perché nei post precedenti tu hai potuto dire immediatamente che
$π=(1/140, 1/84,2/205)$
Ho capito come hai trovato quei valori, ma perché sono sicuramente quelli di $π$.
Sono 2 giorni che sto su questo problema, ammetto che inizio ad avere un po' di sconforto a non capire ancora questo aspetto
Non ho ancora capito perché nei post precedenti tu hai potuto dire immediatamente che
$π=(1/140, 1/84,2/205)$
Ho capito come hai trovato quei valori, ma perché sono sicuramente quelli di $π$.
Sono 2 giorni che sto su questo problema, ammetto che inizio ad avere un po' di sconforto a non capire ancora questo aspetto
"GuidoFretti":
Ora c'è una via più semplice di questa?
Non ho ancora capito perché nei post precedenti tu hai potuto dire immediatamente che
$π=(1/140, 1/84,2/205)$
$\pi$ è un elenco di 64 valori. Varie copie di quei tre, però.
"GuidoFretti":
Non ho ancora capito perché nei post precedenti tu hai potuto dire immediatamente che
(ecc.)
Su ogni casella metti un gettone per ogni casella adiacente. Moltiplica il vettore con i numeri di gettoni per $P$. Cosa succede?
Allora devo partire con calma:$P$ è la matrice di transizione e per ogni casella che considero metto su quella stessa casella un gettone per ogni casella adiacente (quindi posso mettere $3$,$5$ o $8$ gettoni) e poi considero il vettore dei gettoni che avrà $64$ componenti. Tutto corretto fino a qui?
Quando moltiplico questo vettore per $P$ ottengo ancora chiaramente un vettore ma non è mi chiaro cosa accade... sicuramente incontrerò i diversi $0$ di $P$ ma altro non riesco a capire.
Quando moltiplico questo vettore per $P$ ottengo ancora chiaramente un vettore ma non è mi chiaro cosa accade... sicuramente incontrerò i diversi $0$ di $P$ ma altro non riesco a capire.
"GuidoFretti":
Allora devo partire con calma:$P$ è la matrice di transizione e per ogni casella che considero metto su quella stessa casella un gettone per ogni casella adiacente (quindi posso mettere $3$,$5$ o $8$ gettoni) e poi considero il vettore dei gettoni che avrà $64$ componenti. Tutto corretto fino a qui?
Quando moltiplico questo vettore per $P$ ottengo ancora chiaramente un vettore ma non è mi chiaro cosa accade... sicuramente incontrerò i diversi $0$ di $P$ ma altro non riesco a capire.
Ogni casella manda un gettone ad ogni casella adiacente. Ma allo stesso tempo _riceve_ un gettone da ogni casella adiacente. Quindi non cambia nulla. Quindi abbiamo una configurazione stabile. Ma non è $\pi$ perché la somma dei valori di $\pi$ è 1. Quindi dividiamo ogni elemento per il numero totale di gettoni. Fatto.
Se abbiamo lo stesso problema con una torre o un cavallo che calcoli facciamo?
In _generale_ forse devi risolvere un sacco di equazioni simultanee o moltiplicare per $P$ moltissime volte per vedere cosa viene fuori. Ma qui no.
Il metodo che ho usato qui NON funziona per il generale d'oro o il generale d'argento dello shogi. Perché no?
Grazie per tutte le risposte. Finalmente forse ho finito con questo esercizio...mi mancano $2$ punti su cui non ho capito la risoluzione del docente:
$1)$ Quale è la probabilità di trovare un re nell'angolo in alto a destra?
$1)$ lui ha scritto solamente $1/140$
Ma perché questo valore? Sarebbe proprio una delle componenti di $π$ ma non ho proprio capito perché basta quel valore. Non potrei andare nell'angolo con altre mosse? Non solo quelle dell'angolo?
$2)$ quale è la probabilità di trovare il Re nel centro della scacchiera?
$2)$
$4*2/105$ Anche qui perché basta considerare la componente di $π$ $2/105$? Il $4$ l'ho capito,ma il resto no!
Il gioco che hai citato non lo conoscevo, ma cercando penso che non posso fare lo stesso ragionamento perché Il Generale Oro può muoversi di una singola casella in ogni direzione tranne che ortogonalmente all’indietro e si rimettono all'avversario le proprie pedine eliminate
$1)$ Quale è la probabilità di trovare un re nell'angolo in alto a destra?
$1)$ lui ha scritto solamente $1/140$
Ma perché questo valore? Sarebbe proprio una delle componenti di $π$ ma non ho proprio capito perché basta quel valore. Non potrei andare nell'angolo con altre mosse? Non solo quelle dell'angolo?
$2)$ quale è la probabilità di trovare il Re nel centro della scacchiera?
$2)$
$4*2/105$ Anche qui perché basta considerare la componente di $π$ $2/105$? Il $4$ l'ho capito,ma il resto no!
Il gioco che hai citato non lo conoscevo, ma cercando penso che non posso fare lo stesso ragionamento perché Il Generale Oro può muoversi di una singola casella in ogni direzione tranne che ortogonalmente all’indietro e si rimettono all'avversario le proprie pedine eliminate
"GuidoFretti":
$1)$ Quale è la probabilità di trovare un re nell'angolo in alto a destra?
$1)$ lui ha scritto solamente $1/140$
Ma perché questo valore? Sarebbe proprio una delle componenti di $π$ ma non ho proprio capito perché basta quel valore. Non potrei andare nell'angolo con altre mosse? Non solo quelle dell'angolo?
Non capisco. Cosa sono, secondo te, le componenti di $\pi$? Cosa vuoi che sia la risposta se non $\frac{1}{140}$ e perché?
"GuidoFretti":
$2)$ quale è la probabilità di trovare il Re nel centro della scacchiera?
$2)$
$4*2/105$ Anche qui perché basta considerare la componente di $π$ $2/105$? Il $4$ l'ho capito,ma il resto no!
Di nuovo, non capisco.
Cos'è $\pi$ in generale? Cos'è il nostro $\pi$ speciale che abbiamo trovato?
"GuidoFretti":
Il gioco che hai citato non lo conoscevo, ma cercando penso che non posso fare lo stesso ragionamento perché Il Generale Oro può muoversi di una singola casella in ogni direzione tranne che ortogonalmente all’indietro e si rimettono all'avversario le proprie pedine eliminate
Sto parlando di uno di questi generali, da solo, sulla scacchiera. Il problema è un altro.
"ghira":
[quote="GuidoFretti"]
$1)$ Quale è la probabilità di trovare un re nell'angolo in alto a destra?
$1)$ lui ha scritto solamente $1/140$
Ma perché questo valore? Sarebbe proprio una delle componenti di $π$ ma non ho proprio capito perché basta quel valore. Non potrei andare nell'angolo con altre mosse? Non solo quelle dell'angolo?
Non capisco. Cosa sono, secondo te, le componenti di $\pi$? Cosa vuoi che sia la risposta se non $\frac{1}{140}$ e perché?
"GuidoFretti":
$2)$ quale è la probabilità di trovare il Re nel centro della scacchiera?
$2)$
$4*2/105$ Anche qui perché basta considerare la componente di $π$ $2/105$? Il $4$ l'ho capito,ma il resto no!
Di nuovo, non capisco.
Cos'è $\pi$ in generale? Cos'è il nostro $\pi$ speciale che abbiamo trovato?
"GuidoFretti":
Il gioco che hai citato non lo conoscevo, ma cercando penso che non posso fare lo stesso ragionamento perché Il Generale Oro può muoversi di una singola casella in ogni direzione tranne che ortogonalmente all’indietro e si rimettono all'avversario le proprie pedine eliminate
Sto parlando di uno di questi generali, da solo, sulla scacchiera. Il problema è un altro.[/quote]
Forse ci sono arrivato:
$π$ è la distribuzione stazionaria in generale.
Nel nostro caso $π$ è sostanzialmente la probabilità
di andare da una posizione all'altra della scacchiera a seconda di dove si è:
Nel primo caso interessa andare nell'angolo a dx...quindi considero $3/(4*3+36*8+24*5)$.
Nel secondo caso mi interessa il centro, quindi considero $8/(4*3+36*8+24*5)$ e moltiplico per $4$ perché con centro intendo uno della 4 caselle centrali.
"GuidoFretti":
Nel nostro caso $π$ è sostanzialmente la probabilità
di andare da una posizione all'altra della scacchiera a seconda di dove si è:
Cosa stai cercando di dire?
"GuidoFretti":
Nel primo caso interessa andare nell'angolo a dx...quindi considero $3/(4*3+36*8+24*5)$.
Non ti seguo affatto.
"ghira":
[quote="GuidoFretti"]
Nel nostro caso $π$ è sostanzialmente la probabilità
di andare da una posizione all'altra della scacchiera a seconda di dove si è:
Cosa stai cercando di dire?
"GuidoFretti":
Nel primo caso interessa andare nell'angolo a dx...quindi considero $3/(4*3+36*8+24*5)$.
Non ti seguo affatto.[/quote]
Tu mi hai risposto prima "cosa vuoi che sia se non $1/140$ "
E $π$ è un vettore di $64$ componenti contenente solo come valori $(1/140,2/105,1/84)$.
Poi mi hai chiesto cosa rappresenta qui $π$ : per costruzione esso è la distribuzione stazionaria, ma non ho capito allora cosa intendi quando mi ha chiesto cosa è $π$ qui di particolare. Ma questo non l'ho capito...e di conseguenza le risposte date dal docente
Dopo 3 giorni ormai che sto impazzendo su questo esercizio, tu che (fortunatamente) lo sai cosa sia di preciso $π$ potresti gentilmente spiegarmelo in moda tale da capire anche i passaggi fatti dal mio docente?
Ho capito dai tuoi passaggi con l'esempio perché è stazionario, ma alla luce dei messaggi allora non mi è ancora del tutto chiaro cosa contenga $π$ di preciso...non come valori ma come significato di quei valori.
Ho capito dai tuoi passaggi con l'esempio perché è stazionario, ma alla luce dei messaggi allora non mi è ancora del tutto chiaro cosa contenga $π$ di preciso...non come valori ma come significato di quei valori.
"la probabilità di andare da una posizione all'altra della scacchiera a seconda di dove si è" cosa vuol dire?
Se parto da un punto $A$, la probabilità di trovarmi in $B$ sapendo però che $A$ ha la particolarità di essere sull'angolo (è un esempio) oppure al centro ecc
"GuidoFretti":
Se parto da un punto $A$, la probabilità di trovarmi in $B$ sapendo però che $A$ ha la particolarità di essere sull'angolo (è un esempio) oppure al centro ecc
Non capisco nulla. Spiegami tutto da zero. Mi sa che non ci stiamo capendo per nulla. Scopro adesso di essere stato incomprensibile per giorni.
Ma nemmeno io sto capendo più nulla! Sono 3 giorni che sto su questo maledetto esercizio!
Non puoi spiegarmi tu cosa sono i valori che formano $π$ dato che lo hai capito?
Questo è quello che ho capito io e provo a scriverlo:
1) per trovare $π$ dobbiamo guardare la scacchiera e vedere le mosse che può fare il Re
2) trovo per $π$ i valori $(1/140,1/84,2/105)$ che sono ottenuti dividendo le mosse possibile del re a seconda della posizione (quindi $3,5,8$) per $4*3+24*5+36*8$ dove $36+4+24=64$ è la scacchiera.
3) intuitivamente mi ha fatto vedere perché $π$ è stazionario.
Altrimenti si calcola $P$ e si cerca l'autovettore di $P$ con autovalore $1$ cioè $π$.
4) non ho ben capito cosa rappresentano i valori di $π$ e di conseguenze le risposte alle 2 domande date dal mi docente
Non puoi spiegarmi tu cosa sono i valori che formano $π$ dato che lo hai capito?
Questo è quello che ho capito io e provo a scriverlo:
1) per trovare $π$ dobbiamo guardare la scacchiera e vedere le mosse che può fare il Re
2) trovo per $π$ i valori $(1/140,1/84,2/105)$ che sono ottenuti dividendo le mosse possibile del re a seconda della posizione (quindi $3,5,8$) per $4*3+24*5+36*8$ dove $36+4+24=64$ è la scacchiera.
3) intuitivamente mi ha fatto vedere perché $π$ è stazionario.
Altrimenti si calcola $P$ e si cerca l'autovettore di $P$ con autovalore $1$ cioè $π$.
4) non ho ben capito cosa rappresentano i valori di $π$ e di conseguenze le risposte alle 2 domande date dal mi docente
1)Ho riletto da zero tutti i messaggi e sono riuscito a comprendere come costruire $P$ e ricavare $π$ usando un calcolatore.
2) $π$ coincide con quello da te trovato, ma non mi è ancora chiaro cosa sia $π$ in questo esempio oltre ad essere il vettore della distribuzione stazionaria
3) $π$ perché interviene direttamente (sostanzialmente sono componenti di $π$) nel calcolo delle probabilità per calcolare
I) quale è la probabilità di trovare il re nell'angolo in alto a dx?
II)quale è la probabilità di trovare il re nel centro?
Grazie
2) $π$ coincide con quello da te trovato, ma non mi è ancora chiaro cosa sia $π$ in questo esempio oltre ad essere il vettore della distribuzione stazionaria
3) $π$ perché interviene direttamente (sostanzialmente sono componenti di $π$) nel calcolo delle probabilità per calcolare
I) quale è la probabilità di trovare il re nell'angolo in alto a dx?
II)quale è la probabilità di trovare il re nel centro?
Grazie
Ciao Guido
Ho letto il thread e se vuoi una spiegazione completa con un esempio concreto, trova la matrice P (9x9) per una scacchiera 3x3....così vedi cosa accade "in azione" e comprenderai meglio il ragionamento di ghira.
Inizia dando un nome alle caselle, per esempio, partendo dalla casa in alto a sinistra e procedendo per riga, chiamiamo le case 1, 2 e 3. Poi la riga sotto 4, 5 e 6 etc.
Così definiamo l'ordine delle componenti del vettore di stato e anche gli incroci della matrice P (da creare sotto l'assunzione che gli spostamenti sono equiprobabili).
Saluti, Bokonon
Ho letto il thread e se vuoi una spiegazione completa con un esempio concreto, trova la matrice P (9x9) per una scacchiera 3x3....così vedi cosa accade "in azione" e comprenderai meglio il ragionamento di ghira.
Inizia dando un nome alle caselle, per esempio, partendo dalla casa in alto a sinistra e procedendo per riga, chiamiamo le case 1, 2 e 3. Poi la riga sotto 4, 5 e 6 etc.
Così definiamo l'ordine delle componenti del vettore di stato e anche gli incroci della matrice P (da creare sotto l'assunzione che gli spostamenti sono equiprobabili).
Saluti, Bokonon
Appena posso, provo a farlo su una $3x3$ ma forse sono arrivato a capire cosa contiene il vettore $π$:
Esso contiene le probabilità che a lungo andare il Re occupi una casella $a$ (una delle $4$ caselle d'angolo), una casella $b$(le $24$ di bordo)o una casella $c$(centrali e sono $36$)
Esso contiene le probabilità che a lungo andare il Re occupi una casella $a$ (una delle $4$ caselle d'angolo), una casella $b$(le $24$ di bordo)o una casella $c$(centrali e sono $36$)
"GuidoFretti":
Esso contiene le probabilità che a lungo andare il Re occupi una casella $a$ (una delle $4$ caselle d'angolo), una casella $b$(le $24$ di bordo)o una casella $c$(centrali e sono $36$)
E' così
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