Permutazioni
Ecco un'altra che non so fare (tanto per cambiare): In quanti modi si possono sedere in fila 5 ragazzi e 4 ragazze, se Angela e Beatrice vogliono stare sedute accanto?
Okay, senza le preferenze di Angela e Beatrice, sarebbero 9! . Ma, senza A e B, ne rimangono 7, quindi 7! e poi.. no, non lo so, non lo so..
Okay, senza le preferenze di Angela e Beatrice, sarebbero 9! . Ma, senza A e B, ne rimangono 7, quindi 7! e poi.. no, non lo so, non lo so..
Risposte
per quanto riguarda i libri, la soluzione esatta è quella di Davimal,
quella del lucchetto, è corretta (quella data da seascoli). provo a proportene una alternativa, anche se più "pedestre":
se la prima cifra è 0, la somma delle altre due deve essere 10, ed i casi possibili sono 9
se la prima cifra è 1, la somma delle altre due deve essere 9, ed i casi possibili sono 10
se la prima cifra è 2, la somma delle altre due deve essere 8, ed i casi possibili sono 9
...
se la prima cifra è 9, la somma delle altre due deve essere 1, ed i casi possibili sono 2
dunque si ha una progressione aritmetica (2+3+4+5+6+7+8+9+10) + un altro caso (9)
in totale $(2+10)/2*9+9=54+9=63$
rifletti sui due metodi di risoluzione. intanto aspetto anche la risposta al secondo quesito, che, tra parentesi, io considero una banalità, mentre in base a come viene scritto il risultato sul libro sembrerebbe molto più complicato. non so se vi ho dato un indizio ...
ciao.
quella del lucchetto, è corretta (quella data da seascoli). provo a proportene una alternativa, anche se più "pedestre":
se la prima cifra è 0, la somma delle altre due deve essere 10, ed i casi possibili sono 9
se la prima cifra è 1, la somma delle altre due deve essere 9, ed i casi possibili sono 10
se la prima cifra è 2, la somma delle altre due deve essere 8, ed i casi possibili sono 9
...
se la prima cifra è 9, la somma delle altre due deve essere 1, ed i casi possibili sono 2
dunque si ha una progressione aritmetica (2+3+4+5+6+7+8+9+10) + un altro caso (9)
in totale $(2+10)/2*9+9=54+9=63$
rifletti sui due metodi di risoluzione. intanto aspetto anche la risposta al secondo quesito, che, tra parentesi, io considero una banalità, mentre in base a come viene scritto il risultato sul libro sembrerebbe molto più complicato. non so se vi ho dato un indizio ...
ciao.
ho visto solo ora la soluzione del secondo: è corretta ed il metodo sembrerebbe conforme a quello del libro.
ti chiedo di commentare la soluzione alternativa: $2^7-1=128-1=127$.
ciao.
ti chiedo di commentare la soluzione alternativa: $2^7-1=128-1=127$.
ciao.
Okay,il lucchetto visto da te l'ho capito, quello di seascoli con la formula no. e nemmeno 2^7-1. sto andando a pranzo ma ci penso e poi scrivo cosa ho pensato. grazie!!
prego!
Nicos87 ha scritto:
Okay questo delle materie l'ho capito. Quello del lucchetto invece no. L'approccio l'ho capito, ma non capisco perchè la formula è quella che è( assumendo che sia così)cioè: 12 presi a 2 a 2
===========================================================================
Ammettiamo che devi spezzare il numero 10 in tre addendi interi (che possono anche essere nulli, ma non tutti e tre!)
Per esempio: 10=3+2+5 oppure 10=4+4+2 oppure 10= 3+0+7 etc....
Allora per contare i modi, dato che sono 3 i pezzi, prendi 3 simboli diversi, per es. A, B e C (che però valgono tutti 1)
Se ne metti in fila 10, prima però tutti gli A, poi tutti i B, poi tutti i C, per esempio: AAABBCCCCC, allora otterrai un modo per fare la somma 10 con 3 addendi (la somma dei 3 A é 3, la somma dei 2 B è 2, etc.).
Il bello è che, se ci rifletti, così si ottengono tutti e soli i modi per avere la data somma s.
Per esempio, quando uno dei tre segni manca del tutto (es.: AAAACCCCCC) hai la soluzione 10=4+0+6.
Quindi i modi per spezzare l'intero s in N pezzi sono nient'altro che le combinazioni con ripetizione
di N oggetti distinti (ma tutti del valore 1) presi a s a s.
Per fortuna, per le combinazioni con ripetizione c'è una formula standard bell'e pronta:
$C^{(r)}(N,s)=((N+s-1),(s))$
Nel nostro caso N=3, s=10, ergo si ha: $((3+10-1),(10))=((12),(10))=((12),(2))=66$
Chiaro?
Se poi vuoi la spiegazione anche della formula delle combinazioni con ripetizione,
beh! allora posso darti anche quella (é carina). Ma te la dò solo se me la chiedi.
Okay questo delle materie l'ho capito. Quello del lucchetto invece no. L'approccio l'ho capito, ma non capisco perchè la formula è quella che è( assumendo che sia così)cioè: 12 presi a 2 a 2
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Ammettiamo che devi spezzare il numero 10 in tre addendi interi (che possono anche essere nulli, ma non tutti e tre!)
Per esempio: 10=3+2+5 oppure 10=4+4+2 oppure 10= 3+0+7 etc....
Allora per contare i modi, dato che sono 3 i pezzi, prendi 3 simboli diversi, per es. A, B e C (che però valgono tutti 1)
Se ne metti in fila 10, prima però tutti gli A, poi tutti i B, poi tutti i C, per esempio: AAABBCCCCC, allora otterrai un modo per fare la somma 10 con 3 addendi (la somma dei 3 A é 3, la somma dei 2 B è 2, etc.).
Il bello è che, se ci rifletti, così si ottengono tutti e soli i modi per avere la data somma s.
Per esempio, quando uno dei tre segni manca del tutto (es.: AAAACCCCCC) hai la soluzione 10=4+0+6.
Quindi i modi per spezzare l'intero s in N pezzi sono nient'altro che le combinazioni con ripetizione
di N oggetti distinti (ma tutti del valore 1) presi a s a s.
Per fortuna, per le combinazioni con ripetizione c'è una formula standard bell'e pronta:
$C^{(r)}(N,s)=((N+s-1),(s))$
Nel nostro caso N=3, s=10, ergo si ha: $((3+10-1),(10))=((12),(10))=((12),(2))=66$
Chiaro?
Se poi vuoi la spiegazione anche della formula delle combinazioni con ripetizione,
beh! allora posso darti anche quella (é carina). Ma te la dò solo se me la chiedi.
Hint per Nycos87 sul problema dei colori.
$((7),(7))+((7),(6))+((7),(5))+ ... ((7),(2))+((7),(1))=2^7-((7),(0))$.
$((7),(7))+((7),(6))+((7),(5))+ ... ((7),(2))+((7),(1))=2^7-((7),(0))$.
no, vabbè, è fantastico sto fatto dei pezzettoni da uno ripresi! ... ma ero disastrosamente fuori strada... grazie della spiegazione 
per la dimostrazione della formula per le ripetizioni la prendo così com'è, ho bisogno di un sapere molto pratico (benchè limitato) di questa materia
per i colori: ah! ma allora usa lo stesso trucco dei 7 presi a 7 a7, poi a 6 a 6 e così via.. solo che non sapevo che sommandoli spuntasse un 2
mi veniva 1 + 7 + 7*6 + 7*5*2 + 7 ...
per la dimostrazione della formula per le ripetizioni la prendo così com'è, ho bisogno di un sapere molto pratico (benchè limitato) di questa materia per i colori: ah! ma allora usa lo stesso trucco dei 7 presi a 7 a7, poi a 6 a 6 e così via.. solo che non sapevo che sommandoli spuntasse un 2
mi veniva 1 + 7 + 7*6 + 7*5*2 + 7 ...
$2^7$ è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di 7 elementi. ricordi al primo liceo la cardinalità dell'insieme delle parti?
$2^7$ sono tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme dei sette colori, compreso l'insieme vuoto. $2^7-1$ sono dunque i sottoinsiemi non vuoti. OK?
$2^7$ sono tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme dei sette colori, compreso l'insieme vuoto. $2^7-1$ sono dunque i sottoinsiemi non vuoti. OK?
la cardina.. che? soppravvaluti il liceo, o per lo meno la matematica di un linguistico.. ehehe.. no, non ho idea di cosa sia questa cardinalità, ma cercherò su wikipedia... ma quindi, in parole povere, se io ho n cose, per sapere in quanti modi le posso raggruppare faccio 2^n -1 (-1 così tolgo la possibilità "non raggruppo niente") ?
Per vedere come spunta il 2, Newton ti aiuta con la sua formula della potenza N.ma di un binomio (spero ti sia nota):
$(p+q)^N=\sum_k^{0,N} ((N),(k))p^k q^(N-k)$
Questa formula è valida per ogni p e q (oltre che per ogni N).
Poni ora p=q=1 .... cosa ottieni?
$(p+q)^N=\sum_k^{0,N} ((N),(k))p^k q^(N-k)$
Questa formula è valida per ogni p e q (oltre che per ogni N).
Poni ora p=q=1 .... cosa ottieni?
(1+1)^N = 2^ N .. ma del pezzo a destra... N è k cambia e p e q perchè sono 1? 
hai tot elementi. diciamo 7.
quanti sottoinsiemi puoi formare?
usiamo il modello biglie nelle scatole. hai sette biglie e due scatole. le sette biglie rappresentano i 7 elementi. le due scatole rappresentano le due possibilità che hai di "prendere o meno" i vari elementi per formare il "tuo" sottoinsieme. tutti i possibili modi distinti ti dànno tutti i possibili sottoinsiemi.
per ogni elemento puoi decidere se prenderlo opèpure no, se la risposta è sì metti la biglia corrispondente nella prima scatola, se al contrario la risposta è no la metti nella seconda.
dopo aver ripetuto l'operazione per 7 volte (le biglie sono 7), vai a vedere quali hai messo nella prima scatola, ed hai il tuo sottoinsieme.
in quanti modi potevi decidere? cioè quanti sono i possibili sottoinsiemi? per ogni elemento hai due scelte, le scelte sono indipendenti, quindi?
2*2*2*2*2*2*2 (2* se stesso 7 volte, cioè 2^7).
ma hai anche l'insieme vuoto ottenuto rispondendo 7 volte "no", ed hai anche tutto l'insieme, rispondendo 7 volte "sì".
questa volta i 7 colori potevi prenderli anche tutti, ma non nessuno. quindi dei due sotttoinsiemi impropri togliamo solo l'insieme vuoto.
è chiaro?
ti è piaciuta questa descrizione?
ciao!
quanti sottoinsiemi puoi formare?
usiamo il modello biglie nelle scatole. hai sette biglie e due scatole. le sette biglie rappresentano i 7 elementi. le due scatole rappresentano le due possibilità che hai di "prendere o meno" i vari elementi per formare il "tuo" sottoinsieme. tutti i possibili modi distinti ti dànno tutti i possibili sottoinsiemi.
per ogni elemento puoi decidere se prenderlo opèpure no, se la risposta è sì metti la biglia corrispondente nella prima scatola, se al contrario la risposta è no la metti nella seconda.
dopo aver ripetuto l'operazione per 7 volte (le biglie sono 7), vai a vedere quali hai messo nella prima scatola, ed hai il tuo sottoinsieme.
in quanti modi potevi decidere? cioè quanti sono i possibili sottoinsiemi? per ogni elemento hai due scelte, le scelte sono indipendenti, quindi?
2*2*2*2*2*2*2 (2* se stesso 7 volte, cioè 2^7).
ma hai anche l'insieme vuoto ottenuto rispondendo 7 volte "no", ed hai anche tutto l'insieme, rispondendo 7 volte "sì".
questa volta i 7 colori potevi prenderli anche tutti, ma non nessuno. quindi dei due sotttoinsiemi impropri togliamo solo l'insieme vuoto.
è chiaro?
ti è piaciuta questa descrizione?
ciao!
bellissimo! ma allora se io ho, non so, diciamo 10 pezzi di stoffa e mi chiedo in quanti modi di versi posso cucirli, senza l'obbligo di cucirli tutti, posso usare lo stesso ragionamento? perchè ogni pezzo se lo voglio lo prendo, se no non lo uso, e posso però cucirli tutti insieme se mi va, ed avrei 2^ 10 -1, dove -1 è "mi rifiuto di cucire" ? grazie
se non ti interessa in quale ordine li vuoi cucire, sì.
questo ti dice solo in quanti modi puoi scegliere quali prendere.
questo ti dice solo in quanti modi puoi scegliere quali prendere.
una variante della formula si usa nei "sistemi automatici" per contare i bit, ... come saprai quando si parla di memoria di computer lo si fa sempre in termini di potenze del due (come numero di bit), perché appunto i vari codici dipendo da in-out, due scelte per ogni passaggio. infatti $2^n$ è il numero di parole distinte di $n$ lettere prese da un alfabeto di $2$ lettere, ed è quindi anche il numero di "numeri binari" di n cifre (compresi anche quelli che iniziano per 0, ovviamente). in tal caso due parole con le stesse lettere in ordine diverso sono distinte.
se vuoi confrontare i due procedimenti, quello che qui indica 1-0, in-out, nell'altro caso era sì-no, sempre due scelte. l'ordine era importante anche nell'altro caso, ma ci diceva se ad esempio l'elemento n. 5 faceva parte oppure no del sottoinsieme.
nel messaggio precedente ti ho detto che non distingui dall'ordine in cui vuoi cucire (disporre) le stoffe, come qui se disponi i numeri in ordine crescente avrai $2^n$ stringhe, se vuoi costruire un numero più grande utilizzando le stringhe base, i modi con cui puoi sceglierlo aumentano a dismisura...
spero di aver reso l'idea senza creare troppa confusione. ciao.
se vuoi confrontare i due procedimenti, quello che qui indica 1-0, in-out, nell'altro caso era sì-no, sempre due scelte. l'ordine era importante anche nell'altro caso, ma ci diceva se ad esempio l'elemento n. 5 faceva parte oppure no del sottoinsieme.
nel messaggio precedente ti ho detto che non distingui dall'ordine in cui vuoi cucire (disporre) le stoffe, come qui se disponi i numeri in ordine crescente avrai $2^n$ stringhe, se vuoi costruire un numero più grande utilizzando le stringhe base, i modi con cui puoi sceglierlo aumentano a dismisura...
spero di aver reso l'idea senza creare troppa confusione. ciao.
Nycos87 ha scritto:
Ovviamente, se in un'identità compare qualche simbolo, come $p$ o $q$, e ti si dice di porre $p=q=1$, s'intende che ciò vada fatto dappertutto , dovunque cioè figurino i simboli $p$ e a $q$, nella fattispecie sia a sinistra dell'uguale sia a destra dell'uguale. Se fai così, a sinistra, come tu stesso riconosci, ottieni $2^N$. Allo stesso tempo, però, a destra ti viene la sommatoria, nuda e cruda, di tutti i coeffic. binomiali $((N),(k))$ con $N$ fissato, cioè:
$\sum_{k=0}^{N}((N),(k))$
che pertanto deve essere uguale a $2^N$ qualunque sia $N$. Infatti:
$1+2+1=4=2^2$
$1+3+3+1=8=2^3$
$1+4+6+4+1=2^4$
etc...
Non la sapevi questa?
(1+1)^N = 2^ N .. ma del pezzo a destra... N è k cambia e p e q perchè sono 1?
Ovviamente, se in un'identità compare qualche simbolo, come $p$ o $q$, e ti si dice di porre $p=q=1$, s'intende che ciò vada fatto dappertutto , dovunque cioè figurino i simboli $p$ e a $q$, nella fattispecie sia a sinistra dell'uguale sia a destra dell'uguale. Se fai così, a sinistra, come tu stesso riconosci, ottieni $2^N$. Allo stesso tempo, però, a destra ti viene la sommatoria, nuda e cruda, di tutti i coeffic. binomiali $((N),(k))$ con $N$ fissato, cioè:
$\sum_{k=0}^{N}((N),(k))$
che pertanto deve essere uguale a $2^N$ qualunque sia $N$. Infatti:
$1+2+1=4=2^2$
$1+3+3+1=8=2^3$
$1+4+6+4+1=2^4$
etc...
Non la sapevi questa?
Scusate se vi rispondo con un po' di ritardo,
Per seascoli : no, non sapevo come maneggiare quella formula...
Per Ada: il concetto dei bit l'ho capito, forse un po' "concettualmente" e non proprio precisamente, ma va bene così
Grazie mille a entrambi !
Per seascoli : no, non sapevo come maneggiare quella formula...
Per Ada: il concetto dei bit l'ho capito, forse un po' "concettualmente" e non proprio precisamente, ma va bene così
Grazie mille a entrambi !
prego.
se ti va, puoi provare a fare qualche altro esercizio. i seguenti sono tratti dalle dispense del mio prof.
- quanti anagrammi [si intende anche senza significato] si possono scrivere con la parola MATEMATICA ?
- quante sono le parole lunghe n su m lettere senza doppie [si intendono lettere successive uguali] ?
- in quanti modi si possono distribuire 10 caramelle a 3 bambini così che ogni bambino riceva almeno due caramelle ?
non ci sono le risposte, ma se ti va di svolgerli, posta il procedimento, e sicuramente riceverai commenti.
ciao.
se ti va, puoi provare a fare qualche altro esercizio. i seguenti sono tratti dalle dispense del mio prof.
- quanti anagrammi [si intende anche senza significato] si possono scrivere con la parola MATEMATICA ?
- quante sono le parole lunghe n su m lettere senza doppie [si intendono lettere successive uguali] ?
- in quanti modi si possono distribuire 10 caramelle a 3 bambini così che ogni bambino riceva almeno due caramelle ?
non ci sono le risposte, ma se ti va di svolgerli, posta il procedimento, e sicuramente riceverai commenti.
ciao.
Ada scripsit:
- quante sono le parole lunghe n su m lettere senza doppie [si intendono lettere successive uguali] ?
Che significa "parole lunghe n su m lettere" ?
- quante sono le parole lunghe n su m lettere senza doppie [si intendono lettere successive uguali] ?
Che significa "parole lunghe n su m lettere" ?
"seascoli":
Ada scripsit:
- quante sono le parole lunghe n su m lettere senza doppie [si intendono lettere successive uguali] ?
Che significa "parole lunghe n su m lettere" ?
Immagino che significa: (Esempio)
avendo un alfabeto di 21 lettere (m)
quante parole si possono formare da 5 lettere (n)
scartando parole del tipo $cassa$ perchè ha due lettere uguali successive
includendo parole del tipo $casta$ perchè pur avendo 2 a non sono successive.
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