Permutazioni
Ecco un'altra che non so fare (tanto per cambiare): In quanti modi si possono sedere in fila 5 ragazzi e 4 ragazze, se Angela e Beatrice vogliono stare sedute accanto?
Okay, senza le preferenze di Angela e Beatrice, sarebbero 9! . Ma, senza A e B, ne rimangono 7, quindi 7! e poi.. no, non lo so, non lo so..
Okay, senza le preferenze di Angela e Beatrice, sarebbero 9! . Ma, senza A e B, ne rimangono 7, quindi 7! e poi.. no, non lo so, non lo so..
Risposte
come? mi sembrava avesse un senso, io ho pensato così:
dimentichiamoci di angela e beatrice e tutti i vincoli, facciamo finta di avere 5 persone che devono stare in fila, quante permutazioni? 5!
però se ora ste persone stanno sedute intorno a un tavolo, non importa dove il primo si sieda, importa solo l'ordine di che gli sta accanto, quindi 4! che è uguale a dire 5!/5
dimentichiamoci di angela e beatrice e tutti i vincoli, facciamo finta di avere 5 persone che devono stare in fila, quante permutazioni? 5!
però se ora ste persone stanno sedute intorno a un tavolo, non importa dove il primo si sieda, importa solo l'ordine di che gli sta accanto, quindi 4! che è uguale a dire 5!/5
"Enzo":
Sono quindi grato ad Umby per la sua ulteriore elegante estensione al caso più generale possibile.
DOMANDA FINALE: Umby ha seguito esattamente la mia linea dimostrativa, basata sui D(s,n), o no?
Grazie per "l'elegante".
Ti posso assicurare che non conosco il signor Diofanto, e che trovo poco leggibili i tuoi ragionamenti.
Ho seguito solo la mia testa.
P.s. (M+F-4) deriva dal fatto che devo disporre tutti gli elementi (M+F), per ogni trio ci sono 2 elementi in meno, e siccome ci son 2 trio (2x2).
perdonatemi,ma, con molta poco eleganza e molto senso pratico, perchè sbagliato dividere per 5? 
"Nicos87":
come? mi sembrava avesse un senso, io ho pensato così:
dimentichiamoci di angela e beatrice e tutti i vincoli, facciamo finta di avere 5 persone che devono stare in fila, quante permutazioni? 5!
però se ora ste persone stanno sedute intorno a un tavolo, non importa dove il primo si sieda, importa solo l'ordine di che gli sta accanto, quindi 4! che è uguale a dire 5!/5
Non ti seguo Nicos.
Ricordati che prima avevamo un vincolo (ovvero quello che sia Angela che Beatrice non potessero essere in prima (o ultima) posizione. In quanto dovevano avere obbligatoriamente qualcuno ai lati (lascia perdere chi).
Ora questo vincolo non esiste piu, in quanto esiste una "continuità" tra il primo ed l'ultimo elemento. (ciclico)
Ada non ha spoilerato la soluzione (per me corretta..) quindi, ora sai anche quale dovrebbe essere il risultato.... quindi, riprova.
non ho ben capito il ragionamento di Nicos87, però il risultato è esatto se non si distingue tra i vari posti.
in effetti, come ha detto Umby, i casi aumentano, ma questo considerando i posti occupati da ognuno.
la risposta di Nicos87 considera solo le posizioni reciproche dei ragazzi: 123456789 è considerato uguale a 234567891, 345678912, ...
infatti il rapporto tra il mio risultato ed il suo non è mica il tanto contestato 5 (che invece compariva dentro il fattore 20), ma 9, cioè le posizioni possibili che la prima persona che prendiamo in considerazione può occupare (io infatti suggerivo di partire da Angela per ripetere il ragionamento precedente):
Angela 9
2 ragazze 2
Beatrice 4 (perché questa volta non distinguiamo tra le varie posizioni del trio con Angela)
ragazzi 5!
risposta: 9*2*4*5! = 8640
ciao.
in effetti, come ha detto Umby, i casi aumentano, ma questo considerando i posti occupati da ognuno.
la risposta di Nicos87 considera solo le posizioni reciproche dei ragazzi: 123456789 è considerato uguale a 234567891, 345678912, ...
infatti il rapporto tra il mio risultato ed il suo non è mica il tanto contestato 5 (che invece compariva dentro il fattore 20), ma 9, cioè le posizioni possibili che la prima persona che prendiamo in considerazione può occupare (io infatti suggerivo di partire da Angela per ripetere il ragionamento precedente):
Angela 9
2 ragazze 2
Beatrice 4 (perché questa volta non distinguiamo tra le varie posizioni del trio con Angela)
ragazzi 5!
risposta: 9*2*4*5! = 8640
ciao.
SEDUTE CIRCOLARI DI M maschi e F femmine
GENERALIZZAZIONE (sempre con Angela fra F e Beatrice fra M) e con Umby che sbuffa!
NOTA: Due sedute si considerano distinte solo se è diverso l'ordine relativo della sequenza,
cioè l'ordine con cui si succedono i soggetti seduti partendo, diciamo, da Angela e procedendo
in senso antiorario.
Quindi nel caso specifico M = F+1 = 5, il fattore 9 di Ada va soppresso e il suo numero 8640 diventa 960.
Inoltre, come si vedrà fra breve, anche Nycos aveva visto giusto,
perchè il numero delle sedute si riduce di un fattore 5, almeno nel caso M = F + 1 = 5.
Ricordo che la soluzione generale fornita da Umby per una seduta lineare con M maschi e F femmine
con i ben noti vincoli richiesti da Angela e Beatrice era
$NN(M,F)=M(M-1)(F-2)(F-3)(M+F-4)!$
Ovviamente, anche nel caso circolare valgono gli stessi limiti inferiori per numero di maschi (M>1) e numero di femmine (F>3).
SOLUZIONE
Angela si siede in uno qualsiasi degli M+F posti, ma, per quanto detto, questo conta per 1, non per M+F modi.
2 delle F-2 femmine (Beatrice esclusa) vanno a sedersi ai suoi lati: (F-2)(F-3) modi possibili
Beatrice va a sedersi in uno degli M+F-3 posti rimasti liberi, tranne i 2 posti accanto alle ancelle di Angela: (M+F-5) scelte
2 degli M maschi vanno a sedersi ai lati di Beatrice: M(M-1) modi possibili
Restano ora in piedi M-2 maschi e F-4 femmine, e, a questo punto, comunque si siedano, ci sta bene: (M+F-6)! modi
Mettendo insieme tutte le suddette molteplicità si ha la formula generale
$NN(M,F)=M(M-1)(F-2)(F-3)(M+F-5)!$
che differisce dalla formula lineare per un fattore M+F-4 in meno (5 nel caso specifico).
Controlliamo la formula nel caso specifico M=5, F=4.
$NN(5,4) = 5xx4xx2xx1xx4! = 8xx5! = 960$ ______ QED
Si noti che 960 è un quinto di 4800, che era il corrispondente numero di sedute lineari.
Nycos87 si prende così la sua rivincita!
GENERALIZZAZIONE (sempre con Angela fra F e Beatrice fra M) e con Umby che sbuffa!
NOTA: Due sedute si considerano distinte solo se è diverso l'ordine relativo della sequenza,
cioè l'ordine con cui si succedono i soggetti seduti partendo, diciamo, da Angela e procedendo
in senso antiorario.
Quindi nel caso specifico M = F+1 = 5, il fattore 9 di Ada va soppresso e il suo numero 8640 diventa 960.
Inoltre, come si vedrà fra breve, anche Nycos aveva visto giusto,
perchè il numero delle sedute si riduce di un fattore 5, almeno nel caso M = F + 1 = 5.
Ricordo che la soluzione generale fornita da Umby per una seduta lineare con M maschi e F femmine
con i ben noti vincoli richiesti da Angela e Beatrice era
$NN(M,F)=M(M-1)(F-2)(F-3)(M+F-4)!$
Ovviamente, anche nel caso circolare valgono gli stessi limiti inferiori per numero di maschi (M>1) e numero di femmine (F>3).
SOLUZIONE
Angela si siede in uno qualsiasi degli M+F posti, ma, per quanto detto, questo conta per 1, non per M+F modi.
2 delle F-2 femmine (Beatrice esclusa) vanno a sedersi ai suoi lati: (F-2)(F-3) modi possibili
Beatrice va a sedersi in uno degli M+F-3 posti rimasti liberi, tranne i 2 posti accanto alle ancelle di Angela: (M+F-5) scelte
2 degli M maschi vanno a sedersi ai lati di Beatrice: M(M-1) modi possibili
Restano ora in piedi M-2 maschi e F-4 femmine, e, a questo punto, comunque si siedano, ci sta bene: (M+F-6)! modi
Mettendo insieme tutte le suddette molteplicità si ha la formula generale
$NN(M,F)=M(M-1)(F-2)(F-3)(M+F-5)!$
che differisce dalla formula lineare per un fattore M+F-4 in meno (5 nel caso specifico).
Controlliamo la formula nel caso specifico M=5, F=4.
$NN(5,4) = 5xx4xx2xx1xx4! = 8xx5! = 960$ ______ QED
Si noti che 960 è un quinto di 4800, che era il corrispondente numero di sedute lineari.
Nycos87 si prende così la sua rivincita!
scusate se rispondo così tardi, non ho potuto connettermi.
ho letto i vari post e vi ringrazio per il vostro aiuto, ma sono un po' confusa. qual è il risultato esatto allora? 960 o 4800?
ho letto i vari post e vi ringrazio per il vostro aiuto, ma sono un po' confusa. qual è il risultato esatto allora? 960 o 4800?
8640 se consideri distinti i posti occupati, 960 se non fai distinzioni dei posti e ti poni solo il problema delle posizioni reciproche dei ragazzi (immagina i bambini che fanno giro-tondo...). tieni conto che io sono arrivata al risultato di 8640 facendo 9*2*4*5!, partendo da Angela che può scegliere indifferentemente uno dei 9 posti, le due ragazze che si sistemano una da un lato ed una dall'altro in 2 modi possibili, Beatrice che può scegliere tra 4 posti, ed i cinque ragazzi che possono occupare indifferentemente le 5 restanti postazioni.
il tuo risultato di 960, come procedimento, a quale delle tre alternative somiglia di più?
intanto, se ti va, prova a fare anche gli altri quesiti che sono più "scolastici".
ciao.
EDIT: ho corretto 4800 con 8640 come mi è stato fatto notare, perché avevo copiato brutalmente dal messaggio precedente di Nicos87 senza rivedere i numeri e senza rifare i conti.
il tuo risultato di 960, come procedimento, a quale delle tre alternative somiglia di più?
intanto, se ti va, prova a fare anche gli altri quesiti che sono più "scolastici".
ciao.
EDIT: ho corretto 4800 con 8640 come mi è stato fatto notare, perché avevo copiato brutalmente dal messaggio precedente di Nicos87 senza rivedere i numeri e senza rifare i conti.
il mio risultato veniva dall' idea di simil-girotondo.
ma io non ho capito ancora perchè Beatrice 4. quali sono i 4 posti? più tardi provo gli altri quesiti.
grazie a tutti e 3
ma io non ho capito ancora perchè Beatrice 4. quali sono i 4 posti? più tardi provo gli altri quesiti.
grazie a tutti e 3
se il trio FAF occupa i posti 123, B può occupare i posti 5,6,7,8.
è come nel problema originario, quando il trio FAF era in uno dei due estremi. ora sono in circolo, e sono tutte "indifferenti" le posizioni del trio.
anche se il trio occupa i posti 345, B può occupare 1,7,8,9. spero sia chiaro. ciao.
è come nel problema originario, quando il trio FAF era in uno dei due estremi. ora sono in circolo, e sono tutte "indifferenti" le posizioni del trio.
anche se il trio occupa i posti 345, B può occupare 1,7,8,9. spero sia chiaro. ciao.
"adaBTTLS":
4800 se consideri distinti i posti occupati, 960 se non fai distinzioni dei posti .........
Ritengo che sia un banale errore di trascrizione. ADA intendeva dire 8640 e non 4800. Vero ?
E' senz'altro così.
4800 erano i modi per una "seduta" delle 9 persone su un lungo sedile, e non attorno a un tavolo.
4800 erano i modi per una "seduta" delle 9 persone su un lungo sedile, e non attorno a un tavolo.
n quanti modi diversi 5 libri di economia, 4 di statistica e 3 di matematica finanziaria possono essere disposti sullo scaffale di una libreria in modo che i libri che riguardano la medesima materia siano fra loro raggruppati ?
Ma vuol dire che devo considerare i 5 libri di econ come se fossero appiccicati e quindi uno solo? (e così per gli altri "3"?)
quanti colori si possono ottenere combinando in tutti i modi possibili i 7 colori dello spettro ?
Uhm.. forse ne hai 7 di base, a cui aggiungi 7 presi a 2 a 2 e vedi quanti ne vengono, poi 7 mischiati a 3 a 3 e così fino ad aggiungere 7 presi a 7 a 7 ?
Fabio ritrova un vecchio lucchetto a combinazione; per aprire il lucchetto bisogna allineare nell'ordine giusto tre cifre, ciascuna delle quali può variare da 0 a 9. Fabio non ricorda la combinazione corretta, ma è sicuro che la somma delle tre cifre sia 10. Quanti tentativi dovrà fare, al massimo, per trovare la combinazione corretta?
"Compra una tronchesina." scherzo. ci penso un secondo.
Ma vuol dire che devo considerare i 5 libri di econ come se fossero appiccicati e quindi uno solo? (e così per gli altri "3"?)
quanti colori si possono ottenere combinando in tutti i modi possibili i 7 colori dello spettro ?
Uhm.. forse ne hai 7 di base, a cui aggiungi 7 presi a 2 a 2 e vedi quanti ne vengono, poi 7 mischiati a 3 a 3 e così fino ad aggiungere 7 presi a 7 a 7 ?
Fabio ritrova un vecchio lucchetto a combinazione; per aprire il lucchetto bisogna allineare nell'ordine giusto tre cifre, ciascuna delle quali può variare da 0 a 9. Fabio non ricorda la combinazione corretta, ma è sicuro che la somma delle tre cifre sia 10. Quanti tentativi dovrà fare, al massimo, per trovare la combinazione corretta?
"Compra una tronchesina." scherzo. ci penso un secondo.
Libri su uno scaffale
Si tratta di permutazioni con ripetizione. La risposta è quindi: (5+4+3)! / (5! 4! 3!)
E' come trovare tutti i possibili anagrammi di una parola come "coccinelle" dove ben 3 lettere sono ripetute:
la "c" 3 volte, la "elle" e la vocale "e" due volte.
Si tratta di permutazioni con ripetizione. La risposta è quindi: (5+4+3)! / (5! 4! 3!)
E' come trovare tutti i possibili anagrammi di una parola come "coccinelle" dove ben 3 lettere sono ripetute:
la "c" 3 volte, la "elle" e la vocale "e" due volte.
Mescolanze di 7 colori in tutti i modi possibili.
Il testo non è abbastanza chiaro.
Ammettiamo che G=giallo, V=verde, R=rosso.
DOMANDE
1) G, GG, GGG, ...., GGGGGGG sono modi distinti o no? Io direi no.
2) GV, GGVV, GGGVVV, etc. sono modi distinti o no? Io direi no.
3) GVR, GVVRR, GVVVRRR etc. sono modi distinti o no? Io direi sì
4) GVR, GGVVRR, GGGVVVRRR etc. sono modi distinti o no? Secondo me no, come in 2.
Credo esistano diversi altri casi dubbi, senza chiarire i quali è impossibile contare i modi richiesti.
Non so chi ha posto il quesito, ma penso che avrebbe il dovere di specificare meglio.
Il testo non è abbastanza chiaro.
Ammettiamo che G=giallo, V=verde, R=rosso.
DOMANDE
1) G, GG, GGG, ...., GGGGGGG sono modi distinti o no? Io direi no.
2) GV, GGVV, GGGVVV, etc. sono modi distinti o no? Io direi no.
3) GVR, GVVRR, GVVVRRR etc. sono modi distinti o no? Io direi sì
4) GVR, GGVVRR, GGGVVVRRR etc. sono modi distinti o no? Secondo me no, come in 2.
Credo esistano diversi altri casi dubbi, senza chiarire i quali è impossibile contare i modi richiesti.
Non so chi ha posto il quesito, ma penso che avrebbe il dovere di specificare meglio.
IL LUCCHETTO
I tentativi che deve fare Fabio sono tanti quanti sono i modi per "spezzare" 10 in 3 interi, ciascuno preso fra 0 e 9.
Vanno riguardati come distinti modi come (3, 4, 3) e (3, 3, 4) che differiscono solo per l'ordine.
Se ben ricordo, il numero dei modi suddetti di spezzare 10 in 3 interi é: $((10+3-1),(3-1))=((12),(2))=66$ . Giusto?
Ma fra questi 66 ce ne sono 3 da escludere perchè contengono il 10: (0 0 10) , (0 10 0) e (10 0 0).
La risposta per me è quindi $63$.
A Fabio gli ci vorrà una mezz'ora per provarle tutte ...
a meno che non si incarti di brutto facendo le prove!
I tentativi che deve fare Fabio sono tanti quanti sono i modi per "spezzare" 10 in 3 interi, ciascuno preso fra 0 e 9.
Vanno riguardati come distinti modi come (3, 4, 3) e (3, 3, 4) che differiscono solo per l'ordine.
Se ben ricordo, il numero dei modi suddetti di spezzare 10 in 3 interi é: $((10+3-1),(3-1))=((12),(2))=66$ . Giusto?
Ma fra questi 66 ce ne sono 3 da escludere perchè contengono il 10: (0 0 10) , (0 10 0) e (10 0 0).
La risposta per me è quindi $63$.
A Fabio gli ci vorrà una mezz'ora per provarle tutte ...
a meno che non si incarti di brutto facendo le prove!
@ Umby
grazie, ho corretto. certo che era un errore di trascrizione!
@ Nicos87
i libri devono essere disposti in modo che siano vicini qulli della stessa materia: 5+4+3, 5+3+4, 4+5+3, ... da sinistra verso destra ...
pensa al quesito originario (Angela e Beatrice sedute vicine).
@ seascoli
come detto in precedenza, i primi due quesiti sono copiati dal Trovato-Manfredi, il terzo dai Giochi di Archimede.
sono rivolti a Nicos87, e non mi va di copiare ora le soluzioni del testo.
per ora mi limito a dire che per il primo il testo fornisce un risultato diverso, mentre il secondo io l'ho interpretato nel senso dei colori base che possono rientrare o meno a formare i vari colori, senza distinguere tra le proporzioni da miscelare. con quest'interpretazione la soluzione corretta è conforme a quella del testo.
ciao.
grazie, ho corretto. certo che era un errore di trascrizione!
@ Nicos87
i libri devono essere disposti in modo che siano vicini qulli della stessa materia: 5+4+3, 5+3+4, 4+5+3, ... da sinistra verso destra ...
pensa al quesito originario (Angela e Beatrice sedute vicine).
@ seascoli
come detto in precedenza, i primi due quesiti sono copiati dal Trovato-Manfredi, il terzo dai Giochi di Archimede.
sono rivolti a Nicos87, e non mi va di copiare ora le soluzioni del testo.
per ora mi limito a dire che per il primo il testo fornisce un risultato diverso, mentre il secondo io l'ho interpretato nel senso dei colori base che possono rientrare o meno a formare i vari colori, senza distinguere tra le proporzioni da miscelare. con quest'interpretazione la soluzione corretta è conforme a quella del testo.
ciao.
(5+4+3)! / (5! 4! 3!) si devono adoperare le permutazioni con ripetizioni
per ora mi limito a dire che per il primo il testo fornisce un risultato diverso, mentre il secondo io l'ho interpretato nel senso dei colori base che possono rientrare o meno a formare i vari colori, senza distinguere tra le proporzioni da miscelare. con quest'interpretazione la soluzione corretta è conforme a quella del testo.
Sia T il numero di materie diverse, E i libri di economia, S i libri di statistica ed M i libri di matematica.
La risposta corretta é $T! E! S! M!$ ovvero nel nostro caso $(3!)^2 4! 5!$
Questa formula si ottiene permutando prima le 3 materie in tutti i modi possibili, e poi all'interno di una materia, i libri di ciascuna materia.
La risposta fornita da Seascoli é sbagliata, ma risolve un altro problema interessante, cioé quello in cui si abbia che
1) i libri della stessa materia siano fra loro indistinguibili (per esempio sono tutti copie di uno stesso libro)
2) non si prescriva che i libri della stessa materia stiano vicini
In tal caso é corretto usare le permutazioni con ripetizione.
Tuttavia questi casi sono chiaramente molto di più di quelli del problema posto.
Okay questo delle materie l'ho capito. Quello del lucchetto invece no. L'approccio l'ho capito, ma non capisco perchè la formula è quella che è( assumendo che sia così)cioè: 12 presi a 2 a 2
quello dei colori (usando quella specie di ragionamento: forse ne hai 7 di base, a cui aggiungi 7 presi a 2 a 2 e vedi quanti ne vengono, poi 7 mischiati a 3 a 3 e così fino ad aggiungere 7 presi a 7 a 7) che mi viene 127 è corretto?
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