Martingale e rovina (?) del giocatore
Vorrei proporre l'analisi di una "martingala".
Una martingala è un metodo di gioco che prevede un rialzo costante della posta nell'inseguimento "ad libitum" di un evento, come ad esempio, il rosso e nero della roulette o l'uscita del 47 sulla ruota di Napoli (un numero singolo viene pagato dal Lotto 11 volte, tolte le tasse). In questo caso si ha insomma Q=11 (fattore di vincita lorda) , ma è p=1/18 (probabilità che ad ogni estrazione esca il dato numero sulla data ruota). Quindi il gioco è fortemente iniquo dato che $V = pQ-1<0$, mentre il gioco equo richiede $pQ=1$.
Nel Lotto, insomma, il "vantaggio" del giocatore sul banco in questo caso (47 sulla ruota di Napoli) è quindi
$V=11xx(1/18) -1 = -7/18 = -0,39$ circa.
Insomma nel lungo termine il giocatore deve attendersi di perdere il 39% di tutto ciò che punta al botteghino.
Ecco perchè il Lotto fa tanti soldi alle spalle degli ingenui! Si noti che per terne, quaterne e cinquine le cose peggiorano, e di molto!
Bene, torniamo ora alla nostra giocata alla martingala (una serie di poste consecutive fatte con un rialzo progressivo fino a che non esce l'evento atteso). Definisco come martingala la seguente successione di poste:
$1, r-1, (r-1)r, (r-1)r^2, (r-1)r^3, ...., (r-1)r^k, ......$ etc. con $r>1$ (r = rialzo della posta).
Esclusa la prima posta $P_1=1$, le successive formano una progressione geometrica di ragione $r$ e sono date dalla semplice formula
$ P_k=(r-1)r^(k-1) (k=2,3,4,...)$.
Pongo ora 3 quesiti sulla giocata a martingala.
a) qual é la spesa $S_k$ da sostenere per "reggere" fino alla k.ma puntata?
b) qual é la vincita netta $W_k$ se si vince alla k.ma puntata? Supponiamo sia Q il fattore di vincita lorda.
c) Quanto dura in media una giocata se l'evento su cui si punta ha prob. $p$ ?
S'intende che la giocata viene protratta fino a che l'evento atteso non esce.
Se si risponde a questi quesiti (il terzo è un po' più difficile perchè occorre calcolare la distribuzione di probabilità delle "durate" di una giocata) allora si potrà passare ad altri quesiti (vi prometto della roba forte!).
Una martingala è un metodo di gioco che prevede un rialzo costante della posta nell'inseguimento "ad libitum" di un evento, come ad esempio, il rosso e nero della roulette o l'uscita del 47 sulla ruota di Napoli (un numero singolo viene pagato dal Lotto 11 volte, tolte le tasse). In questo caso si ha insomma Q=11 (fattore di vincita lorda) , ma è p=1/18 (probabilità che ad ogni estrazione esca il dato numero sulla data ruota). Quindi il gioco è fortemente iniquo dato che $V = pQ-1<0$, mentre il gioco equo richiede $pQ=1$.
Nel Lotto, insomma, il "vantaggio" del giocatore sul banco in questo caso (47 sulla ruota di Napoli) è quindi
$V=11xx(1/18) -1 = -7/18 = -0,39$ circa.
Insomma nel lungo termine il giocatore deve attendersi di perdere il 39% di tutto ciò che punta al botteghino.
Ecco perchè il Lotto fa tanti soldi alle spalle degli ingenui! Si noti che per terne, quaterne e cinquine le cose peggiorano, e di molto!
Bene, torniamo ora alla nostra giocata alla martingala (una serie di poste consecutive fatte con un rialzo progressivo fino a che non esce l'evento atteso). Definisco come martingala la seguente successione di poste:
$1, r-1, (r-1)r, (r-1)r^2, (r-1)r^3, ...., (r-1)r^k, ......$ etc. con $r>1$ (r = rialzo della posta).
Esclusa la prima posta $P_1=1$, le successive formano una progressione geometrica di ragione $r$ e sono date dalla semplice formula
$ P_k=(r-1)r^(k-1) (k=2,3,4,...)$.
Pongo ora 3 quesiti sulla giocata a martingala.
a) qual é la spesa $S_k$ da sostenere per "reggere" fino alla k.ma puntata?
b) qual é la vincita netta $W_k$ se si vince alla k.ma puntata? Supponiamo sia Q il fattore di vincita lorda.
c) Quanto dura in media una giocata se l'evento su cui si punta ha prob. $p$ ?
S'intende che la giocata viene protratta fino a che l'evento atteso non esce.
Se si risponde a questi quesiti (il terzo è un po' più difficile perchè occorre calcolare la distribuzione di probabilità delle "durate" di una giocata) allora si potrà passare ad altri quesiti (vi prometto della roba forte!).
Risposte
Luca.Barletta scripsit:
ESATTO! E' proprio quello che ho preannunciato fin dall'inizio:
a) il valore aspettato della spesa (cumulata) S è: +infinito
b) il valore aspettato dell'utile U= (ricavo - spesa) è: +infinito
c) il rapporto G=U/S è costante (tu non ottieni il 22% ma solo il 17% perchè tu, per amor di precisione, hai assunto Q=10,56
invece che Q=11, come avevo supposto io approssimando. Sta di fatto che il guadagno (fisso) da me previsto è, come già da me scritto e ripetuto, dato dalla seguente formula:
$G=Q(1-1/r)-1$
Nella fattispecie: $G=(11,232*0.94)(1-8/9)-1= {10,56}/9 -1 = 17,33% $ Perfetto! tu dici di aver ottenuto "circa il 17%" !
L'unica cosa che non condivido è il commento finale ("Strategia suicida!").
Questa è l'unica frase in cui si affaccia un'opinione personale (soggettiva) di chi ha fatto questa simulazione (splendido lavoro, veramente!).
Non avendo pregiudizi in merito, come preannunciato, aspetto di vedere meglio il rischio prospettato per il giocatore da quelle selvagge impennate che tu riporti e fai vedere nel grafico a ordinate in scala logaritmica (quindi molto più ampie di quanto possano apparire a prima vista). Diciamo che, avendo fatto delle simulazioni anch'io, 1600 estrazioni (10 anni di Lotto) mi sembrano poche, a lume di naso, perchè si producano tutti quei picchi che sforano oltre $10^3$. Accolgo quindi i tuoi risultati con una punta di scetticismo, che mi servirà di stimolo a presentare a mia volta il risultato di 1600 0 16000 simulazioni. Quello che, a mio avviso, manca nel modo in cui hai scelto di presentare i risultati è la parte statistica, che è stata sacrificata alquanto a favore della descrizione stocastica (come processo di Markov o passeggiata casuale). Invece di dare tutta questa enfasi all'aspetto temporale, io presenterò 4 istogrammi che sintetizzano gli aspetti meramente statistici delle var. aleatorie associate alle giocate (di tali var. aleatorie ho calcolato già anni fa tutto quello che si poteva calcolare):
1)Distribuzione di frequenza dei tempi di attesa (come numero di estrazioni prima dell'arrivo di una vincita)
2)Distribuzione di frequenza della spesa richiesta per portare a termine la giocata fino al "successo"
3)Distribuzione di frequenza delle vincite nette (o utile) realizzate a fine giocata
4)Distribuzione di frequenza del guadagno (o profitto percentuale = Utile/Spesa)
Se hai letto i miei interventi precedenti io ho detto per ognuno dei 4 istogrammi che:
1) Durata media = 18, Dev Standard=17,5
2) Trattandosi di un campione estratto da una var. aleat. a valore aspettato infinito, può venir fuori "quodlibet"
3) Idem come in (2)
4) Nonostante sia il rapporto fra 2 quantità aleatori, ognuna delle quali ha valore atteso infinito, G, come tu stesso hai osservato, è rigorosamente costante (e vale 22,22% se Q=11, 17,33% se prendi Q=10.56). Quindi l'istogramma per G deve presentare tutti i 1600 (o 16000) valori osservati in un unico bin, tranne in quei casi in cui il 47 esce subito (in tal caso il guadagno, con le tue posizioni, assumerà sporadicamente il valore 9.56=Q-1 e in tutti gli altri casi il valore 0,173.
Conclusione: Per var. aleatorie a valore aspettato infinito, nessun campione, per quanto grande è rappresentativo, quindi i tuoi valori di spesa e scoperto massimo vanno presi con le molle. Voglio dire con questo che, se ripeti nuovamente l'esperimento aleatorio al computer (fallo se non ci credi!), i risultati per spesa massima, scoperto massimo e anche di utile massimo, possono cambiare drasticamente. Questo vale qualunque sia la taglia del campione! Insomma è quasi inutile riportare quei valori, perchè non c'è alcuna convergenza verso dei valori aspettati, dato che questi sono infiniti. Chi NON ci assiste qui è la legge dei Grandi Numeri: se la media teorica (o valore aspettato) esiste finita, allora la media campionaria deve tendervi con una dev. standard che va come $1/sqrt(N)$, ma se il valore aspettato è infinito, puoi aspettarti qualsiasi risultato, e, soprattutto, i valori numerici che ottieni, nonostante il sostegno (apparente) della grande numerosità del campione, non ci insegnano un bel nulla su ciò che dovrebbe accadere nel lungo termine. Spero che tu sia d'accordo su questo!
Grazie comunque del serio lavoro che hai fatto.
Questi sono i primi 2 esempi venuti fuori simulando un solo scenario. Con simulazioni Monte Carlo tutti i risultati citati scappano verso l'infinito, tranne il guadagno netto medio che ovviamente rimane fisso.
Commento: Strategia suicida.
ESATTO! E' proprio quello che ho preannunciato fin dall'inizio:
a) il valore aspettato della spesa (cumulata) S è: +infinito
b) il valore aspettato dell'utile U= (ricavo - spesa) è: +infinito
c) il rapporto G=U/S è costante (tu non ottieni il 22% ma solo il 17% perchè tu, per amor di precisione, hai assunto Q=10,56
invece che Q=11, come avevo supposto io approssimando. Sta di fatto che il guadagno (fisso) da me previsto è, come già da me scritto e ripetuto, dato dalla seguente formula:
$G=Q(1-1/r)-1$
Nella fattispecie: $G=(11,232*0.94)(1-8/9)-1= {10,56}/9 -1 = 17,33% $ Perfetto! tu dici di aver ottenuto "circa il 17%" !
L'unica cosa che non condivido è il commento finale ("Strategia suicida!").
Questa è l'unica frase in cui si affaccia un'opinione personale (soggettiva) di chi ha fatto questa simulazione (splendido lavoro, veramente!).
Non avendo pregiudizi in merito, come preannunciato, aspetto di vedere meglio il rischio prospettato per il giocatore da quelle selvagge impennate che tu riporti e fai vedere nel grafico a ordinate in scala logaritmica (quindi molto più ampie di quanto possano apparire a prima vista). Diciamo che, avendo fatto delle simulazioni anch'io, 1600 estrazioni (10 anni di Lotto) mi sembrano poche, a lume di naso, perchè si producano tutti quei picchi che sforano oltre $10^3$. Accolgo quindi i tuoi risultati con una punta di scetticismo, che mi servirà di stimolo a presentare a mia volta il risultato di 1600 0 16000 simulazioni. Quello che, a mio avviso, manca nel modo in cui hai scelto di presentare i risultati è la parte statistica, che è stata sacrificata alquanto a favore della descrizione stocastica (come processo di Markov o passeggiata casuale). Invece di dare tutta questa enfasi all'aspetto temporale, io presenterò 4 istogrammi che sintetizzano gli aspetti meramente statistici delle var. aleatorie associate alle giocate (di tali var. aleatorie ho calcolato già anni fa tutto quello che si poteva calcolare):
1)Distribuzione di frequenza dei tempi di attesa (come numero di estrazioni prima dell'arrivo di una vincita)
2)Distribuzione di frequenza della spesa richiesta per portare a termine la giocata fino al "successo"
3)Distribuzione di frequenza delle vincite nette (o utile) realizzate a fine giocata
4)Distribuzione di frequenza del guadagno (o profitto percentuale = Utile/Spesa)
Se hai letto i miei interventi precedenti io ho detto per ognuno dei 4 istogrammi che:
1) Durata media = 18, Dev Standard=17,5
2) Trattandosi di un campione estratto da una var. aleat. a valore aspettato infinito, può venir fuori "quodlibet"
3) Idem come in (2)
4) Nonostante sia il rapporto fra 2 quantità aleatori, ognuna delle quali ha valore atteso infinito, G, come tu stesso hai osservato, è rigorosamente costante (e vale 22,22% se Q=11, 17,33% se prendi Q=10.56). Quindi l'istogramma per G deve presentare tutti i 1600 (o 16000) valori osservati in un unico bin, tranne in quei casi in cui il 47 esce subito (in tal caso il guadagno, con le tue posizioni, assumerà sporadicamente il valore 9.56=Q-1 e in tutti gli altri casi il valore 0,173.
Conclusione: Per var. aleatorie a valore aspettato infinito, nessun campione, per quanto grande è rappresentativo, quindi i tuoi valori di spesa e scoperto massimo vanno presi con le molle. Voglio dire con questo che, se ripeti nuovamente l'esperimento aleatorio al computer (fallo se non ci credi!), i risultati per spesa massima, scoperto massimo e anche di utile massimo, possono cambiare drasticamente. Questo vale qualunque sia la taglia del campione! Insomma è quasi inutile riportare quei valori, perchè non c'è alcuna convergenza verso dei valori aspettati, dato che questi sono infiniti. Chi NON ci assiste qui è la legge dei Grandi Numeri: se la media teorica (o valore aspettato) esiste finita, allora la media campionaria deve tendervi con una dev. standard che va come $1/sqrt(N)$, ma se il valore aspettato è infinito, puoi aspettarti qualsiasi risultato, e, soprattutto, i valori numerici che ottieni, nonostante il sostegno (apparente) della grande numerosità del campione, non ci insegnano un bel nulla su ciò che dovrebbe accadere nel lungo termine. Spero che tu sia d'accordo su questo!
Grazie comunque del serio lavoro che hai fatto.
SnakePlinsky scripsit:
Infatti continuavo a ripetermi: ma è possibile che questa cosa sia sfuggita a tutti? Invece no! La martingala al rialzo (non al raddoppio!) la conoscono e la usano in molti, altrochè. Soprattutto in campo finanziario. Poi si vengono a sapere solo i casi eclatanti in cui il "giocatore" deve dichiarare bancarotta non avendo più soldi per puntare oltre. Ma chissà quanti ci hanno lucrato e continuano a farlo!
Grazie per la bibliografia che hai postato. E' da 10 giorni che chiedevo inutilmente qualche buon rifermento bibliografico.
(continuo al prossimo intervento)
Vorrei contribuire ricordandovi come i giocatori d'azzardo non sono gli unici ad aver utilizzare la tecnica della martingala .... etc. :
Infatti continuavo a ripetermi: ma è possibile che questa cosa sia sfuggita a tutti? Invece no! La martingala al rialzo (non al raddoppio!) la conoscono e la usano in molti, altrochè. Soprattutto in campo finanziario. Poi si vengono a sapere solo i casi eclatanti in cui il "giocatore" deve dichiarare bancarotta non avendo più soldi per puntare oltre. Ma chissà quanti ci hanno lucrato e continuano a farlo!
Grazie per la bibliografia che hai postato. E' da 10 giorni che chiedevo inutilmente qualche buon rifermento bibliografico.
(continuo al prossimo intervento)
SnakePlinsky scripsit:
Grazie dell'invito. Puoi capire però come sia per me stato difficile metterla sul piano dell'umorismo (e me ne rincresce) per almeno due motivi:
a) ero praticamente solo a sostenere le mie tesi, bersaglio del "buon senso" e del "pensiero orizzontale"
b) per lo più ricevevo "warning" e "moniti" a non giocare (!), come se fossi uno sprovveduto privo di cognizioni tecniche, venuto a proporre l'ennesima strategia vincente alla Roulette o al LOTTO! Questi ammonimenti li ho ricevuti da persone che, ostinatamente, continuavano a pensare istintivamente in base alla Legge dei Grandi Numeri (che qui non vale e perciò rende, come tu dici, "il tema molto interessante").
Il fatto è che nei corsi di Statistica universitari, i prof si limitano di solito a far lavorare gli studenti solo con var. aleatorie "well behaved", dove tutto è prevedibile nel lungo termine. Io nelle mie lezioni ai miei "quattro studenti" di Fisica a Roma-2, dopo aver dato i rudimenti, già alla quarta lezione dò esempi facili di v.aleat. a valore aspettato infinito e li metto così subito in guardia a non estrapolare la Legge dei Grandi Numeri a quelle var.aleatorie che non obbediscono alle ipotesi su cui tale teorema si fonda. Poi dedico un'intera lezione al Paradosso di Pietroburgo, dove emerge una classica var. aleatoria (nota già a Jakob Bernoulli) a valore aspettato infinito e faccio simulare in laboratorio numerico dei campioni di 1000 o 10mila estrazioni, perchè i miei ragazzi si rendano conto, toccando con mano, che in tali casi i campioni sono del tutto inaffidabili, e non perchè siano poco numerosi.
In futuro, comunque, cercherò di raccogliere alla lettera il tuo consiglio (che però lo stesso Patrone pare accetti solo con riserva!
)
A presto
Tutto questo per dire che il tema è molto interessante, più di quanto si possa immaginare: inviterei tutti a mostrare un pò di umorismo
Grazie dell'invito. Puoi capire però come sia per me stato difficile metterla sul piano dell'umorismo (e me ne rincresce) per almeno due motivi:
a) ero praticamente solo a sostenere le mie tesi, bersaglio del "buon senso" e del "pensiero orizzontale"
b) per lo più ricevevo "warning" e "moniti" a non giocare (!), come se fossi uno sprovveduto privo di cognizioni tecniche, venuto a proporre l'ennesima strategia vincente alla Roulette o al LOTTO! Questi ammonimenti li ho ricevuti da persone che, ostinatamente, continuavano a pensare istintivamente in base alla Legge dei Grandi Numeri (che qui non vale e perciò rende, come tu dici, "il tema molto interessante").
Il fatto è che nei corsi di Statistica universitari, i prof si limitano di solito a far lavorare gli studenti solo con var. aleatorie "well behaved", dove tutto è prevedibile nel lungo termine. Io nelle mie lezioni ai miei "quattro studenti" di Fisica a Roma-2, dopo aver dato i rudimenti, già alla quarta lezione dò esempi facili di v.aleat. a valore aspettato infinito e li metto così subito in guardia a non estrapolare la Legge dei Grandi Numeri a quelle var.aleatorie che non obbediscono alle ipotesi su cui tale teorema si fonda. Poi dedico un'intera lezione al Paradosso di Pietroburgo, dove emerge una classica var. aleatoria (nota già a Jakob Bernoulli) a valore aspettato infinito e faccio simulare in laboratorio numerico dei campioni di 1000 o 10mila estrazioni, perchè i miei ragazzi si rendano conto, toccando con mano, che in tali casi i campioni sono del tutto inaffidabili, e non perchè siano poco numerosi.
In futuro, comunque, cercherò di raccogliere alla lettera il tuo consiglio (che però lo stesso Patrone pare accetti solo con riserva!
)A presto
"seascoli":
Diciamo che, avendo fatto delle simulazioni anch'io, 1600 estrazioni (10 anni di Lotto) mi sembrano poche, a lume di naso, perchè si producano tutti quei picchi che sforano oltre $10^3$. Accolgo quindi i tuoi risultati con una punta di scetticismo, che mi servirà di stimolo a presentare a mia volta il risultato di 1600 0 16000 simulazioni.
I picchi oltre i $10^3$ € rappresentano ritardi dalle 59-60 estrazioni in poi. Questi ritardi non sono così infrequenti: lanciamo un punto di ispezione casuale sull'asse dei tempi, la probabilità che in questo istante di tempo il ritardo superi le 60 estrazioni è
$P["ritardo">=60]=psum_(k=60)^(+infty) (1-p)^(k-1)\approx 3.2%$
su 10 anni corrisponde ad una quota tempo pari a circa 50 estrazioni.
Il picco che supera i $10^5$ € può essere un evento che sballa questo risultato, ma gli altri picchi che superano i $10^3$ € direi di no, ci stanno tutti.
Quello che, a mio avviso, manca nel modo in cui hai scelto di presentare i risultati è la parte statistica, che è stata sacrificata alquanto a favore della descrizione stocastica (come processo di Markov o passeggiata casuale). Invece di dare tutta questa enfasi all'aspetto temporale, io presenterò 4 istogrammi che sintetizzano gli aspetti meramente statistici delle var. aleatorie associate alle giocate (di tali var. aleatorie ho calcolato già anni fa tutto quello che si poteva calcolare):
1)Distribuzione di frequenza dei tempi di attesa (come numero di estrazioni prima dell'arrivo di una vincita)
2)Distribuzione di frequenza della spesa richiesta per portare a termine la giocata fino al "successo"
3)Distribuzione di frequenza delle vincite nette (o utile) realizzate a fine giocata
4)Distribuzione di frequenza del guadagno (o profitto percentuale = Utile/Spesa)
Ci si può divertire a tracciare gli istogrammi (1) e (4), ma a questo punto non capisco dove vuoi andare a parare.
Secondo me il dato che più scoraggia, e che deve far pendere per la non giocata reale di questa strategia, è che è necessario disporre di un capitale iniziale al limite infinito (per fronteggiare i picchi di passività, che tendono a diventare molto grandi).
I picchi di passività possono variare anche di un paio di decadi da una simulazione all'altra, ma ciò non toglie l'altissimo rischio ad intraprendere questa strategia di gioco.
Simulazione su 500 anni:
Istogramma estrazioni di ritardo prima di ogni vittoria:
Risultati:
Massima puntata: $6.63*10^9$ €
Puntata media: $7.98*10^5$ €
Utile netto: 17.31 %
Massimo scoperto: $5.3*10^10$ €
Numero di vincite: 4308
Somma del numero di vittorie ottenute dopo 60 estrazioni di ritardo: 3.5 % (in linea con il dato teorico)
@Luca.Barletta
Hai scritto: "Numero di vincite: 4308 "
Dovevi aggiungere per completezza: "Numero di giocate fatte: 4308".
Per cortesia, puoi riportare anche la durata media, calcolata sul tuo istogramma chiamato "Estrazioni di ritardo"?
E anche la relativa dev. standard?
Grazie.
Grazie anche per l'ulteriore lavoro di simulazione da te fatto: 500 anni è veramente un sacco di tempo!
Questo tuo lavoro sta cominciando veramente ad illustrare la natura della martingala da me proposta.
Ora, se le fluttuazioni nella spesa sono così "frequenti", c'è da riflettere sulla reale praticabilità (dico, con speranza di successo) della mia martingala (come di qualsiasi altra).
Quello che resta tuttavia ancora da spiegare è questo, e si tratta di un fatto inquietante.
Come mai i tuoi risultati non sembrano dipendere dal prodotto di equità pQ (nella fattispecie p=1/18, Q=10,56, ergo: pQ-1=-41,33%). Nota che questa non vuole essere una critica, ma solo un'osservazione: infatti anche i miei risultati teorici non vi dipendono.
Per esemplificare, lasciamo allora pure p=1/18, ma ammettiamo che il Banco è impazzito e paga non Q=10,56, ma Q=20.
Ciò, come sai, configura un discreto vantaggio per il giocatore rispetto al Banco. Risulta infatti pQ-1 = 20/18-1= 1/9 , cioè il gioco dà un vantaggio al giocatore pari all'11,11% (un vantaggio da signori, se permetti!), invece che il terribile -41,3% di chi gioca numeri singoli e ambi al Lotto.
Da quello che ci hai mostrato, le tue conclusioni, decisamente negative, circa la praticabilità della mia martingala resterebbero immutate, perchè le tue fluttuazioni selvagge resterebbero ancora lì, con impennate che superano di tanto in tanto ritardi con più di 60 estrazioni e puntate ben superiori ai 1000 euro. Difatti, converrai che la statistica di questa nuova giocata è la stessa di prima, perchè la distribuzione di probabilità è la stessa (per esempio, il tuo istogramma da me citato poco fa resterebbe praticamente identico, con media campionaria 18 e dev. std. 17,5 circa). Sei d'accordo su questo? Spero di sì.
Allora c'è qualcosa che cambia? Sì, c'è in effetti qualcosa che cambia. La soglia minima del rialzo, infatti, è ora Q/(Q-1)=20/19= 1,053, per cui se pratichiamo lo stesso rialzo di prima r=9/8, siamo ancora dentro la gamma di giochi proficui, pur se caratterizzati, come prima, da un valore aspettato infinito sia della spesa che dell'utile.
Ora però è il guadagno (o utile percentuale) G ad essere ben diverso:
G=Q(1-1/r)-1=20(1-8/9)-1=20/9-1= 11/9 = 1,22 cioè un opulento 122% (quindi, se in tutto hai giocato 1000 nell'attesa del successo, sarai premiato ora con una vincita lorda di 2122 euro, invece che 1222 euro!).
Ma si tratta di una differenza solo quantitativa, giusto? La giocata a martingala sarebbe ancora irta di rischi legati al protrarsi abnorme dell'attesa. Nota che le puntate da fare sarebbero esattamente le stesse di prima! L'unica differenza è che quando vinci vieni pagato 20 volte l'ultima puntata, invece che solo 10,56 volte.
Non trovi dunque molto strano che la tua stessa argomentazione di poco fa (se sei coerente sei tenuto a ribadirla) ti porti nella sostanza a sconsigliare vivamente un comportamento del giocatore che è sicuramente vantaggioso per lui?
E che tale modo di giocare vada sconsigliato solo per il sistema di poste che viene usato?
Infatti se il giocatore usasse una posta fissa, lo sconsiglieresti ancora?
Non credo proprio: è un gioco talmente vantaggioso! Roba, insomma, da tuffarcisi dentro a capofitto, no?
Aspetto tuoi lumi (non oso chiederti un'altra simulazione, dove peraltro dovresti solo cambiare il valore di Q: Q=20, invece che 10.56 ).
Hai scritto: "Numero di vincite: 4308 "
Dovevi aggiungere per completezza: "Numero di giocate fatte: 4308".
Per cortesia, puoi riportare anche la durata media, calcolata sul tuo istogramma chiamato "Estrazioni di ritardo"?
E anche la relativa dev. standard?
Grazie.
Grazie anche per l'ulteriore lavoro di simulazione da te fatto: 500 anni è veramente un sacco di tempo!
Questo tuo lavoro sta cominciando veramente ad illustrare la natura della martingala da me proposta.
Ora, se le fluttuazioni nella spesa sono così "frequenti", c'è da riflettere sulla reale praticabilità (dico, con speranza di successo) della mia martingala (come di qualsiasi altra).
Quello che resta tuttavia ancora da spiegare è questo, e si tratta di un fatto inquietante.
Come mai i tuoi risultati non sembrano dipendere dal prodotto di equità pQ (nella fattispecie p=1/18, Q=10,56, ergo: pQ-1=-41,33%). Nota che questa non vuole essere una critica, ma solo un'osservazione: infatti anche i miei risultati teorici non vi dipendono.
Per esemplificare, lasciamo allora pure p=1/18, ma ammettiamo che il Banco è impazzito e paga non Q=10,56, ma Q=20.
Ciò, come sai, configura un discreto vantaggio per il giocatore rispetto al Banco. Risulta infatti pQ-1 = 20/18-1= 1/9 , cioè il gioco dà un vantaggio al giocatore pari all'11,11% (un vantaggio da signori, se permetti!), invece che il terribile -41,3% di chi gioca numeri singoli e ambi al Lotto.
Da quello che ci hai mostrato, le tue conclusioni, decisamente negative, circa la praticabilità della mia martingala resterebbero immutate, perchè le tue fluttuazioni selvagge resterebbero ancora lì, con impennate che superano di tanto in tanto ritardi con più di 60 estrazioni e puntate ben superiori ai 1000 euro. Difatti, converrai che la statistica di questa nuova giocata è la stessa di prima, perchè la distribuzione di probabilità è la stessa (per esempio, il tuo istogramma da me citato poco fa resterebbe praticamente identico, con media campionaria 18 e dev. std. 17,5 circa). Sei d'accordo su questo? Spero di sì.
Allora c'è qualcosa che cambia? Sì, c'è in effetti qualcosa che cambia. La soglia minima del rialzo, infatti, è ora Q/(Q-1)=20/19= 1,053, per cui se pratichiamo lo stesso rialzo di prima r=9/8, siamo ancora dentro la gamma di giochi proficui, pur se caratterizzati, come prima, da un valore aspettato infinito sia della spesa che dell'utile.
Ora però è il guadagno (o utile percentuale) G ad essere ben diverso:
G=Q(1-1/r)-1=20(1-8/9)-1=20/9-1= 11/9 = 1,22 cioè un opulento 122% (quindi, se in tutto hai giocato 1000 nell'attesa del successo, sarai premiato ora con una vincita lorda di 2122 euro, invece che 1222 euro!).
Ma si tratta di una differenza solo quantitativa, giusto? La giocata a martingala sarebbe ancora irta di rischi legati al protrarsi abnorme dell'attesa. Nota che le puntate da fare sarebbero esattamente le stesse di prima! L'unica differenza è che quando vinci vieni pagato 20 volte l'ultima puntata, invece che solo 10,56 volte.
Non trovi dunque molto strano che la tua stessa argomentazione di poco fa (se sei coerente sei tenuto a ribadirla) ti porti nella sostanza a sconsigliare vivamente un comportamento del giocatore che è sicuramente vantaggioso per lui?
E che tale modo di giocare vada sconsigliato solo per il sistema di poste che viene usato?
Infatti se il giocatore usasse una posta fissa, lo sconsiglieresti ancora?
Non credo proprio: è un gioco talmente vantaggioso! Roba, insomma, da tuffarcisi dentro a capofitto, no?
Aspetto tuoi lumi (non oso chiederti un'altra simulazione, dove peraltro dovresti solo cambiare il valore di Q: Q=20, invece che 10.56 ).
"seascoli":
SnakePlinsky scripsit:
Vorrei contribuire ricordandovi come i giocatori d'azzardo non sono gli unici ad aver utilizzare la tecnica della martingala .... etc. :
Infatti continuavo a ripetermi: ma è possibile che questa cosa sia sfuggita a tutti? Invece no! La martingala al rialzo (non al raddoppio!) la conoscono e la usano in molti, altrochè. Soprattutto in campo finanziario. Poi si vengono a sapere solo i casi eclatanti in cui il "giocatore" deve dichiarare bancarotta non avendo più soldi per puntare oltre. Ma chissà quanti ci hanno lucrato e continuano a farlo!
Grazie per la bibliografia che hai postato. E' da 10 giorni che chiedevo inutilmente qualche buon rifermento bibliografico.
(continuo al prossimo intervento)
Ciao, ho iniziato a leggere la discussione (le formule), molto interessante, ci metterò un pò perchè sono un principiante in calcolo delle probabilità, ma la cosa capita a fagiolo perchè stavo spolverando proprio in questo periodo il mio rozanov ...
In ambito di speculazione di borsa vanno però fatte delle distinzioni, rispetto ai giochi d'azzardo:
- la distribuzione attesa di vincite e perdite (dei rendimenti finanziari) non è mai nota con precisione, e tende a modificarsi nel tempo
- esistono "certezze empiriche" (scusate l'ossimoro
) che non si hanno nei giochi d'azzardo: per esempio a livello di mercati (non su singoli titoli, però) ci sono livelli oltre i quali non si può scendere, sebbene essi non si possano conoscere a priori (anche questa sembra una contraddizione ... ma non lo è ): ciò equivale a dire che una successione di perdite consecutive oltre n (dove fraziono x%, il ribasso massimo, in n parti) non è possibile.Dell'uso effettivo della martingala non ci sono evidenze, ma in finanza di evidenze ce ne sono poche. Tuttavia, lo stesso kerviel, prima di portare quasi al collasso SG, aveva negli anni precedenti, prodotto utili mostruosi (un anno da solo aveva prodotto un utile di 1 miliardo di €, 1/4 degli interi profitti di Societe generale quell'anno, la metà degli utili della fiat negli scorsi anni, tanto per intenderci dell'ordine di grandezza della cosa). Tuttavia ciò non è una prova a favore dell'effettivo utilizzo della martingala da parte di kerviel, infatti il discorso sarebbe più complicato: probabilmente, come lo stesso leeson, seguiva una strategia sua di trading (terimne inglese per dire speculazione), e in certi casi, applicava anche la martingala... ai posteri la sentenza, vedremo
- una strategia simile alla martingala, tranne che per l'aumento della posta a quote costanti, è il "piano d'accumulo", ovvero l'acquisto a prezzi discendenti a quote costanti di capitale a frazioni costanti di ribassi: strategia seguita da molti fondi e investitori accorti.
A parte questa piccola digressione, nel paper su leeson che ho postato prima, nei riferimenti bibliografici dovrebbe esserci qualcosa sugli studi sulle martingale.
Comunque l'argomento mi interessa (ha molte implicazioni, soprattutto per il risk management), se mi mandi via PM del materiale lo leggo sicuramente
Un saluto
Fra i preziosi riferimenti bibliografici dati da "SnakePlinsky" c'è il seguente cui sono interessato in particolare
* The Expected Utility of the Doubling Strategy
* Edward Omberg
* The Journal of Finance, Vol. 44, No. 2 (Jun., 1989), pp. 515-524 (article consists of 10 pages)
* Published by: Blackwell Publishing for the American Finance Association
C'è per caso qualcuno che l'ha già scaricato e può inviarmelo via e-mail? Grazie.
Di norma, di questi paper é disponibile on-line solo la prima pagina e, volendo tutto l'articolo, uno dovrebbe registrarsi e pagare una certa tariffa ...
* The Expected Utility of the Doubling Strategy
* Edward Omberg
* The Journal of Finance, Vol. 44, No. 2 (Jun., 1989), pp. 515-524 (article consists of 10 pages)
* Published by: Blackwell Publishing for the American Finance Association
C'è per caso qualcuno che l'ha già scaricato e può inviarmelo via e-mail? Grazie.
Di norma, di questi paper é disponibile on-line solo la prima pagina e, volendo tutto l'articolo, uno dovrebbe registrarsi e pagare una certa tariffa ...
se ti riferisci a quello che è liberamente scaricaricabile basta inserire qui il link (però penso che questi indirizzi saresti stato in grado di scaricarli anche da solo).
http://econpapers.repec.org/article/bla ... 515-24.htm
http://www.jstor.org/pss/2328604
intanto puoi vedere qui. spero ti sia utile. se qualcun altro ha l'intero articolo, naturalmente non deve essere "frenato" a risponderti via e-mail.
ciao.
EDIT: ho visto ora che il secondo indirizzo è lo stesso citato da SnakePlinsky, mentre il primo ne è la "fonte".
http://econpapers.repec.org/article/bla ... 515-24.htm
http://www.jstor.org/pss/2328604
intanto puoi vedere qui. spero ti sia utile. se qualcun altro ha l'intero articolo, naturalmente non deve essere "frenato" a risponderti via e-mail.
ciao.
EDIT: ho visto ora che il secondo indirizzo è lo stesso citato da SnakePlinsky, mentre il primo ne è la "fonte".
"seascoli":
Quello che resta tuttavia ancora da spiegare è questo, e si tratta di un fatto inquietante.
Come mai i tuoi risultati non sembrano dipendere dal prodotto di equità pQ (nella fattispecie p=1/18, Q=10,56, ergo: pQ-1=-41,33%). Nota che questa non vuole essere una critica, ma solo un'osservazione: infatti anche i miei risultati teorici non vi dipendono.
Perché si pone $r>1/(1-p)$.
Se il banco pagasse $Q=20$ il giocatore passerebbe in vantaggio, e seguendo la tua martingala è molto più cautelativo mettersi nella condizione $Q/(Q-1)
$ e le rispettive varianze restano finite.
Il valore di $r$ che proponi tu (9/8) supera la soglia 1/(1-p) e quindi valgono le stesse considerazioni di quando il giocatore era in svantaggio rispetto al banco.
Anche con $r<1/(1-p)$ c'è sempre il rischio di un evento rarissimo (ritardo oltre le 150 estrazioni) ma il massimo scoperto in questo caso tende ad infinito molto più lentamente rispetto a prima (ad esempio su 500 anni c'è una differenza di circa 6-7 decadi rispetto al caso Q=11).
Il fatto è che questo gioco al rialzo esponenziale non è mai consigliabile, il rischio di rovina è sempre dietro l'angolo.
Certo è che se il giocatore passasse in vantaggio rispetto al banco (Q=20) sarebbe sufficiente giocare tutti i 90 numeri:
spesa per ogni estrazione: 90*1€ = 90 €
vincita per ogni estrazione: 5*20*1€ = 100 €
netto ad ogni estrazione: 10 €
e quindi non si dovrebbe neanche porre il problema della martingala.
Penso di poter riassumere le conclusioni che si possono trarre dalle simulazioni fatte (anche da me) dicendo:
1) Per un gioco di scommesse ripetute ad libitum non conta solo la condizione pQ-1 > 0 perchè il gioco sia favorevole al giocatore
2) Se uno si trova in un gioco favorevole e gioca a martingala con r>1/(1-p) (il che implica r >Q/(Q-1) ) allora il sistema di poste usato può annullare tutto il vantaggio che il giocatore ha. Figuriamoci se il giocatore si è messo in un gioco sfavorevole, com'è il caso prospettato come materia di studio da "seascoli"!
3) Allora, al fine di contemplare anche i sistemi di gioco a martingala, una valutazione completa di una strategia di gioco (o piano di gioco, che dir si voglia) deve farsi guardando alla seguente condizione:
"Un gioco a scommesse ripetute, con valore aspettato della spesa non finito, può dirsi favorevole al giocatore, indipendentemente da quanto valga il prodotto pQ, solo se, comunque fissato un f >1, la probabilità che il giocatore perda tutto, prima che il suo capitale iniziale C aumenti a fC, può essere resa piccola a piacere pur di aumentare a sufficienza C."
4) Una martingala o corrisponde a un valore aspettato finito della vincita o no.
4a) Nel primo caso, vige ciò che "seascoli" ha battezzato "teorema della tara". E non c'è altro da dire.
4b) Nel secondo caso, dalle simulazioni si vede che, comunque alto si prenda il capitale iniziale C, e comunque basso (ma maggiore di 1) si prenda il "fattore di obiettivo" f (il fattore, cioè, che misura l'incremento del capitale iniziale di cui ci si accontenta per poter smettere), si resta sempre esposti al rischio concreto di disastro dovuto ad attese abnormi del successo, cioè si è in una situazione in cui, pur se nella singola scommessa si abbia un vantaggio contro il banco, per il solo fatto di aver scelto la progressione delle poste a martingala, risulta finita la probabilità di rovina, non importa quanto alto sia il capitale iniziale C di cui ci si è dotati in partenza.
C'è forse ancora qualche caso particolare da contemplare, ma mi sembra sia una sintesi soddisfacente.
1) Per un gioco di scommesse ripetute ad libitum non conta solo la condizione pQ-1 > 0 perchè il gioco sia favorevole al giocatore
2) Se uno si trova in un gioco favorevole e gioca a martingala con r>1/(1-p) (il che implica r >Q/(Q-1) ) allora il sistema di poste usato può annullare tutto il vantaggio che il giocatore ha. Figuriamoci se il giocatore si è messo in un gioco sfavorevole, com'è il caso prospettato come materia di studio da "seascoli"!
3) Allora, al fine di contemplare anche i sistemi di gioco a martingala, una valutazione completa di una strategia di gioco (o piano di gioco, che dir si voglia) deve farsi guardando alla seguente condizione:
"Un gioco a scommesse ripetute, con valore aspettato della spesa non finito, può dirsi favorevole al giocatore, indipendentemente da quanto valga il prodotto pQ, solo se, comunque fissato un f >1, la probabilità che il giocatore perda tutto, prima che il suo capitale iniziale C aumenti a fC, può essere resa piccola a piacere pur di aumentare a sufficienza C."
4) Una martingala o corrisponde a un valore aspettato finito della vincita o no.
4a) Nel primo caso, vige ciò che "seascoli" ha battezzato "teorema della tara". E non c'è altro da dire.
4b) Nel secondo caso, dalle simulazioni si vede che, comunque alto si prenda il capitale iniziale C, e comunque basso (ma maggiore di 1) si prenda il "fattore di obiettivo" f (il fattore, cioè, che misura l'incremento del capitale iniziale di cui ci si accontenta per poter smettere), si resta sempre esposti al rischio concreto di disastro dovuto ad attese abnormi del successo, cioè si è in una situazione in cui, pur se nella singola scommessa si abbia un vantaggio contro il banco, per il solo fatto di aver scelto la progressione delle poste a martingala, risulta finita la probabilità di rovina, non importa quanto alto sia il capitale iniziale C di cui ci si è dotati in partenza.
C'è forse ancora qualche caso particolare da contemplare, ma mi sembra sia una sintesi soddisfacente.
"seascoli":
Fra i preziosi riferimenti bibliografici dati da "SnakePlinsky" c'è il seguente cui sono interessato in particolare
* The Expected Utility of the Doubling Strategy
* Edward Omberg
* The Journal of Finance, Vol. 44, No. 2 (Jun., 1989), pp. 515-524 (article consists of 10 pages)
* Published by: Blackwell Publishing for the American Finance Association
C'è per caso qualcuno che l'ha già scaricato e può inviarmelo via e-mail? Grazie.
Di norma, di questi paper é disponibile on-line solo la prima pagina e, volendo tutto l'articolo, uno dovrebbe registrarsi e pagare una certa tariffa ...
Ho letto la discussione e ho visto che ti hanno rasato il nick, i poteri forti non hanno gradito l'umorismo
.... comunque per il paper mandami un Pm con un indirizzo di posta elettronica, me lo procuro e te lo spedisco io 
dimenticavo: grazie per il suggerimento della distribuzione geometrica: http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution ... ora dovrò rimettere in questione quello che pensavo di aver capito
"Davimal":
C'è forse ancora qualche caso particolare da contemplare, ma mi sembra sia una sintesi soddisfacente.
Direi anche io, una buona sintesi, piu' che soddisfacente. "Leggermente" diversa da quella sostenuta dall'ex seacoli.
Si vede che non hai letto attentamente quello che diceva "seascoli".
Lui chiedeva continuamente di essere smentito, ma a suon di simulazioni concrete, non a forza di osservazioni banali.
Quando sono arrivate le simulazioni (e le osservazioni critiche di Luca.Barletta) finalmente é stata presentata dell'evidenza importante, insieme a un generico commento sbrigativamente liquidatorio: "gioco suicida".
Io ho proposto una definizione nuova di gioco favorevole che si applica al caso di giocate protratte ad libitum che presentano valori aspettati infiniti, come accade per le martingale segnalate da seascoli.
Dato che è stato bandito subito dopo l'intervento di luca.barletta (vedi bacheca utenti "bannati"), seascoli non ha potuto più replicare sul topic che lui stesso aveva creato. Un topic che, forse vale la pena di notarlo, ha raccolto quasi 100 interventi e quasi 1900 consultazioni! Qualunque siano le risposte che lui avrebbe dato, se avesse potuto parlare, mi è sembrato giusto trarre delle conclusioni dopo tutta la discussione che c'è stata e il lavoro che è stato fatto. Ora io non so se seascoli sarebbe d'accordo con le mie conclusioni (purtroppo è stato imbavagliato), ma mi guarderei bene dall'approfittare di questa sua condizione di "bandito" per muovergli, ora che non gli è più data facoltà di rispondere, una critica ingenerosa e immeritata. Come diceva qualcuno: Bonum est non invehire in mortuos!
Lui chiedeva continuamente di essere smentito, ma a suon di simulazioni concrete, non a forza di osservazioni banali.
Quando sono arrivate le simulazioni (e le osservazioni critiche di Luca.Barletta) finalmente é stata presentata dell'evidenza importante, insieme a un generico commento sbrigativamente liquidatorio: "gioco suicida".
Io ho proposto una definizione nuova di gioco favorevole che si applica al caso di giocate protratte ad libitum che presentano valori aspettati infiniti, come accade per le martingale segnalate da seascoli.
Dato che è stato bandito subito dopo l'intervento di luca.barletta (vedi bacheca utenti "bannati"), seascoli non ha potuto più replicare sul topic che lui stesso aveva creato. Un topic che, forse vale la pena di notarlo, ha raccolto quasi 100 interventi e quasi 1900 consultazioni! Qualunque siano le risposte che lui avrebbe dato, se avesse potuto parlare, mi è sembrato giusto trarre delle conclusioni dopo tutta la discussione che c'è stata e il lavoro che è stato fatto. Ora io non so se seascoli sarebbe d'accordo con le mie conclusioni (purtroppo è stato imbavagliato), ma mi guarderei bene dall'approfittare di questa sua condizione di "bandito" per muovergli, ora che non gli è più data facoltà di rispondere, una critica ingenerosa e immeritata. Come diceva qualcuno: Bonum est non invehire in mortuos!
Invito Davimal a rileggersi la discussione per intero.
Aggiungo solo che il mio commento 'sbrigativamente liquidatorio' (
) descrive la realtà, che a furia di 'osservazioni banali' era già stata descritta ben prima di presentare i risultati delle simulazioni. Oltretutto anche la nuova definizione di Davimal era già contenuta nelle 'osservazioni banali' fatte in precedenza.
Aggiungo solo che il mio commento 'sbrigativamente liquidatorio' (
) descrive la realtà, che a furia di 'osservazioni banali' era già stata descritta ben prima di presentare i risultati delle simulazioni. Oltretutto anche la nuova definizione di Davimal era già contenuta nelle 'osservazioni banali' fatte in precedenza.
La mia nuova definizione non solo NON "era già contenuta nelle 'osservazioni banali' fatte in precedenza", ma non è nemmeno contenuta in nessun libro sulla probabilità a mia conoscenza. Fra l'altro credo che essa permette di dare finalmente una risposta sensata al paradosso di Pietroburgo dove, anche lì, spunta una var. aleatoria con valore aspettato infinito. Per confronto, si veda la soluzione penosa (a mero sfondo psico-economico) che ne dà il divino Feller nel primo volume del suo pur superbo trattato del 1957 (seconda edizione).
---------------------------------
Frivolous vs. frivolous:
Almost all natural Gospel singers are very, very, very large.
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Frivolous vs. frivolous:
Almost all natural Gospel singers are very, very, very large.
Per il compianto seascoli (*), e chiunque fosse interessato, l'articolo di Omberg, sulle strategie a martingala e funzioni di utilità:
http://s1.xzshare.com/576399733-TheExpe ... 328604.pdf
(*) quando sei stato bannato mi sono spariti i tuoi messaggi privati, per cui ho perso il tuo indirizzo email
Saluti
snakepliskeen@libero.it
http://s1.xzshare.com/576399733-TheExpe ... 328604.pdf
(*) quando sei stato bannato mi sono spariti i tuoi messaggi privati, per cui ho perso il tuo indirizzo email
Saluti
snakepliskeen@libero.it
Interessante. Compresa l'annotazione su S. Pietroburgo, Arrow e Samuelson, che mostra come sia importante la "chiusura" delle teorie, se non si vuol fare gli apprendisti stregoni.
Nel merito, mi pare che, al di là di "technicalities" dica quello che nel discreto è già stato detto e ridetto qui: anche se mediamente ( ) buone , queste strategie espongono a perdite illimitate.
Che è un po' lo stesso tipo di ragione per cui nel nostro universo al momento nessuna persona savia scommetterebbe 1 milione di dollari per partecipare al gioco che sta dietro al paradosso di S. Pietroburgo, nonostante questo abbia un valore atteso infinito.
Nel merito, mi pare che, al di là di "technicalities" dica quello che nel discreto è già stato detto e ridetto qui: anche se mediamente (
) buone , queste strategie espongono a perdite illimitate.Che è un po' lo stesso tipo di ragione per cui nel nostro universo al momento nessuna persona savia scommetterebbe 1 milione di dollari per partecipare al gioco che sta dietro al paradosso di S. Pietroburgo, nonostante questo abbia un valore atteso infinito.
Un saluto a tutti.
riapro questo vecchio topic (spero la cosa non sia sgradita) poichè, per un povero pivello come me che non sa impostare una simulazione montecarlo, manca un dato utilissimo ed essenziale: come si comporta la martingala di seascoli se ci diamo un numero di loss limitati?
Ad esempio, qualcuno è in grado di elaborare un sistema che calcoli dopo quanto è probabile che il sistema salti se si può sostenere con il proprio capitale al massimo 7 loss consecutivi?
riapro questo vecchio topic (spero la cosa non sia sgradita) poichè, per un povero pivello come me che non sa impostare una simulazione montecarlo, manca un dato utilissimo ed essenziale: come si comporta la martingala di seascoli se ci diamo un numero di loss limitati?
Ad esempio, qualcuno è in grado di elaborare un sistema che calcoli dopo quanto è probabile che il sistema salti se si può sostenere con il proprio capitale al massimo 7 loss consecutivi?
vorrei mettermi in contatto con seascoli, qualcuno di voi ha la sua email ??
grazie
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