Martingale e rovina (?) del giocatore
Vorrei proporre l'analisi di una "martingala".
Una martingala è un metodo di gioco che prevede un rialzo costante della posta nell'inseguimento "ad libitum" di un evento, come ad esempio, il rosso e nero della roulette o l'uscita del 47 sulla ruota di Napoli (un numero singolo viene pagato dal Lotto 11 volte, tolte le tasse). In questo caso si ha insomma Q=11 (fattore di vincita lorda) , ma è p=1/18 (probabilità che ad ogni estrazione esca il dato numero sulla data ruota). Quindi il gioco è fortemente iniquo dato che $V = pQ-1<0$, mentre il gioco equo richiede $pQ=1$.
Nel Lotto, insomma, il "vantaggio" del giocatore sul banco in questo caso (47 sulla ruota di Napoli) è quindi
$V=11xx(1/18) -1 = -7/18 = -0,39$ circa.
Insomma nel lungo termine il giocatore deve attendersi di perdere il 39% di tutto ciò che punta al botteghino.
Ecco perchè il Lotto fa tanti soldi alle spalle degli ingenui! Si noti che per terne, quaterne e cinquine le cose peggiorano, e di molto!
Bene, torniamo ora alla nostra giocata alla martingala (una serie di poste consecutive fatte con un rialzo progressivo fino a che non esce l'evento atteso). Definisco come martingala la seguente successione di poste:
$1, r-1, (r-1)r, (r-1)r^2, (r-1)r^3, ...., (r-1)r^k, ......$ etc. con $r>1$ (r = rialzo della posta).
Esclusa la prima posta $P_1=1$, le successive formano una progressione geometrica di ragione $r$ e sono date dalla semplice formula
$ P_k=(r-1)r^(k-1) (k=2,3,4,...)$.
Pongo ora 3 quesiti sulla giocata a martingala.
a) qual é la spesa $S_k$ da sostenere per "reggere" fino alla k.ma puntata?
b) qual é la vincita netta $W_k$ se si vince alla k.ma puntata? Supponiamo sia Q il fattore di vincita lorda.
c) Quanto dura in media una giocata se l'evento su cui si punta ha prob. $p$ ?
S'intende che la giocata viene protratta fino a che l'evento atteso non esce.
Se si risponde a questi quesiti (il terzo è un po' più difficile perchè occorre calcolare la distribuzione di probabilità delle "durate" di una giocata) allora si potrà passare ad altri quesiti (vi prometto della roba forte!).
Una martingala è un metodo di gioco che prevede un rialzo costante della posta nell'inseguimento "ad libitum" di un evento, come ad esempio, il rosso e nero della roulette o l'uscita del 47 sulla ruota di Napoli (un numero singolo viene pagato dal Lotto 11 volte, tolte le tasse). In questo caso si ha insomma Q=11 (fattore di vincita lorda) , ma è p=1/18 (probabilità che ad ogni estrazione esca il dato numero sulla data ruota). Quindi il gioco è fortemente iniquo dato che $V = pQ-1<0$, mentre il gioco equo richiede $pQ=1$.
Nel Lotto, insomma, il "vantaggio" del giocatore sul banco in questo caso (47 sulla ruota di Napoli) è quindi
$V=11xx(1/18) -1 = -7/18 = -0,39$ circa.
Insomma nel lungo termine il giocatore deve attendersi di perdere il 39% di tutto ciò che punta al botteghino.
Ecco perchè il Lotto fa tanti soldi alle spalle degli ingenui! Si noti che per terne, quaterne e cinquine le cose peggiorano, e di molto!
Bene, torniamo ora alla nostra giocata alla martingala (una serie di poste consecutive fatte con un rialzo progressivo fino a che non esce l'evento atteso). Definisco come martingala la seguente successione di poste:
$1, r-1, (r-1)r, (r-1)r^2, (r-1)r^3, ...., (r-1)r^k, ......$ etc. con $r>1$ (r = rialzo della posta).
Esclusa la prima posta $P_1=1$, le successive formano una progressione geometrica di ragione $r$ e sono date dalla semplice formula
$ P_k=(r-1)r^(k-1) (k=2,3,4,...)$.
Pongo ora 3 quesiti sulla giocata a martingala.
a) qual é la spesa $S_k$ da sostenere per "reggere" fino alla k.ma puntata?
b) qual é la vincita netta $W_k$ se si vince alla k.ma puntata? Supponiamo sia Q il fattore di vincita lorda.
c) Quanto dura in media una giocata se l'evento su cui si punta ha prob. $p$ ?
S'intende che la giocata viene protratta fino a che l'evento atteso non esce.
Se si risponde a questi quesiti (il terzo è un po' più difficile perchè occorre calcolare la distribuzione di probabilità delle "durate" di una giocata) allora si potrà passare ad altri quesiti (vi prometto della roba forte!).
Risposte
"seascoli":
@Umby
Ti sfugge una sottile differenza. OMISSIS.....
Puoi fare tutte le simulazioni che vuoi, ma non potrai mai sfuggire al fatto che (come già detto prima) il gioco è sfavorevole al giocatore, ovvero che la vincita non è proporzionata alla possibilità di vincere.
Anzi.... piu' giochi, e più la perdita si fa sicura.
"seascoli":Non penso che qui si debba parlare solo di ciò di cui tu ritieni si debba parlare.
Se non parliamo di valori aspettati, di che parliamo? Di riserve di caccia? Va bene parliamone ...
"seascoli":Provare un teorema mediante simulazione?
Ma se uno prova a simulare il gioco sul computer (per esempio si simulano 1000 giocate, ognuna protratta fino alla vincita), allora vedrà che tutto quel che dico è vero.
Temo che le cose siano un po' più complicate di come le stai dicendo qui
"seascoli":Vuoi dire che chi ti ha risposto non sa programmare?
Prima o poi, quando ho tempo, posterò i risultati da me ottenuti col metodo Montecarlo, risultati che chiunque può riottenere, se solo sa programmare.
"seascoli":Trovo poco "pratica" l'idea di avere un capitale iniziale infinito. A parte che se avessi un capitale infinito, magari prima di tutto ne userei metà per beneficenza. E il resto me lo godo in vacanza, leggendomi dei bei libri.
Ricordo, tuttavia, per non ricevere critiche gratuite, che per primo ho detto:
Per praticare certe martingale bisogna disporre in media di un capitale iniziale infinito.
Inoltre fra queste non tutte hanno un valore aspettato dell'utile positivo (vale a dire, infinitamente positivo), perchè quelle con rialzi r compresi fra 1/(1-p) e Q/(Q-1) offrono un utile medio negativo e infinitamente negativo (PDG suicidi).
Più chiaro di così!
E trovo un po' astrusa l'idea di avere un capitale "in media".
Primo punto: non voglio imporre a nessuno che cosa dire, ma il topic richiede che l'intervento sia almeno pertinente. Tutto qui.
Secondo punto: Certo, un teorema non si dimostra con una simulazione. Non c'è mica bisogno di dirlo. Ma, se Tizio dimostra un asserto e Caio ha dei dubbi, la prima cosa che Caio può fare per metterlo alla prova è cercare di trovare un controesempio. Se non riesce a trovarlo, si può dire che, almeno agli occhi di Caio, l'asserto di Tizio può considerarsi "corroborato" (nel senso di Popper). Non sei d'accordo? Era questo che volevo dire! Nota che "provare" e " mettere alla prova" hanno significati diversi in italiano, ma se uno vuole giocare con le parole, per me è libero di farlo.
Terzo punto: non intendevo certo che chi mi ha risposto non sa programmare. Se lo sa fare, io non lo so. Tra l'altro, chi mi ha risposto, anche se sa programmare, può avere però ben altro da fare che mettersi lì a verificare o confutare puntualmente le mie affermazioni. Perciò ritengo che tocchi a me piuttosto fornire un'ulteriore evidenza, diciamo di tipo "sperimentale", a sostegno delle mie tesi. La conclusione che tu prospetti, invece, insinuando una mia eventuale sottovalutazione dell'interlocutore, mi sembra indichi la presenza di un'estrema suscettibilità o la propensione a scatenare un conflitto invece che promuovere un pacato confronto. Se é così, non ho alcuna intenzione di raccogliere provocazioni di sorta.
Quarto punto: mi sembra che si giochi ancora sulle parole. Il piano di gioco di cui segnalo l'esistenza (la martingala ad libitum sul 47 a Napoli, per intenderci) non richiede un "capitale iniziale infinito". L'unico capitale iniziale che richiede è 8 euro, poi se non esce il 47 richiede un altro euro, poi ancora 1,125 euro e così via. Il valore aspettato della spesa per sostenere la suddetta giocata è $+infty$, è vero (l'ho detto io per primo e chiaramente), ma ciò non significa che il giocatore deve "possedere all'inizio un capitale infinito". Non deve possederlo nemmeno alla fine, perchè quando una giocata finisce (e deve finire, perchè la sua durata media è 18 estrazioni con deviazione standard 17,5) , in qualsiasi momento finisca, il capitale che essa ha richiesto è finito, piccolo o grande che sia. Faccio un esempio che dovrebbe aiutare a capire.
Estrai un numero a caso u, fra 0 e 1, con la "rand" del tuo computer. Fai il reciproco di questo numero e sia v. Fallo 100 volte e costruisci un campione di v.
Di questi 100 valori v(1), v(2), ...., v(100) fai la media aritmetica. Sarà un numero finito no? Lo sarà ogni volta che riprovi a estrarre 100 volte di seguito un numero (pseudo)casuale. Non si vede nulla di anormale in questo. Eppure, se non lo sai, lasciati dire una cosa: la variabile aleatoria V così costruita ha valore aspettato infinito! Sì. Ma tu non te ne accorgi quando estrai un campione! Quello che voglio dire è che, se non lo sai dalla teoria che la tua var. aleatoria è "bacata" (ha valore aspettato e varianza infiniti), non te ne accorgerai mai guardando un campione estratto dalla sua popolazione. Allo stesso modo, se hai una martingala come quella suddetta (rialzo = 1.125) , quando la metti in pratica, non vedi assolutamente la differenza tra essa e un'altra martingala che ha invece un valore atteso finito per la spesa (es.: rialzo = 1,050). Quindi l'unica cosa che può esserci d'aiuto in questi casi per capire meglio il significato degli infiniti è il ricorso alla simulazione. Se poi hai un'altra ricetta, aspetto di averla.
Secondo punto: Certo, un teorema non si dimostra con una simulazione. Non c'è mica bisogno di dirlo. Ma, se Tizio dimostra un asserto e Caio ha dei dubbi, la prima cosa che Caio può fare per metterlo alla prova è cercare di trovare un controesempio. Se non riesce a trovarlo, si può dire che, almeno agli occhi di Caio, l'asserto di Tizio può considerarsi "corroborato" (nel senso di Popper). Non sei d'accordo? Era questo che volevo dire! Nota che "provare" e " mettere alla prova" hanno significati diversi in italiano, ma se uno vuole giocare con le parole, per me è libero di farlo.
Terzo punto: non intendevo certo che chi mi ha risposto non sa programmare. Se lo sa fare, io non lo so. Tra l'altro, chi mi ha risposto, anche se sa programmare, può avere però ben altro da fare che mettersi lì a verificare o confutare puntualmente le mie affermazioni. Perciò ritengo che tocchi a me piuttosto fornire un'ulteriore evidenza, diciamo di tipo "sperimentale", a sostegno delle mie tesi. La conclusione che tu prospetti, invece, insinuando una mia eventuale sottovalutazione dell'interlocutore, mi sembra indichi la presenza di un'estrema suscettibilità o la propensione a scatenare un conflitto invece che promuovere un pacato confronto. Se é così, non ho alcuna intenzione di raccogliere provocazioni di sorta.
Quarto punto: mi sembra che si giochi ancora sulle parole. Il piano di gioco di cui segnalo l'esistenza (la martingala ad libitum sul 47 a Napoli, per intenderci) non richiede un "capitale iniziale infinito". L'unico capitale iniziale che richiede è 8 euro, poi se non esce il 47 richiede un altro euro, poi ancora 1,125 euro e così via. Il valore aspettato della spesa per sostenere la suddetta giocata è $+infty$, è vero (l'ho detto io per primo e chiaramente), ma ciò non significa che il giocatore deve "possedere all'inizio un capitale infinito". Non deve possederlo nemmeno alla fine, perchè quando una giocata finisce (e deve finire, perchè la sua durata media è 18 estrazioni con deviazione standard 17,5) , in qualsiasi momento finisca, il capitale che essa ha richiesto è finito, piccolo o grande che sia. Faccio un esempio che dovrebbe aiutare a capire.
Estrai un numero a caso u, fra 0 e 1, con la "rand" del tuo computer. Fai il reciproco di questo numero e sia v. Fallo 100 volte e costruisci un campione di v.
Di questi 100 valori v(1), v(2), ...., v(100) fai la media aritmetica. Sarà un numero finito no? Lo sarà ogni volta che riprovi a estrarre 100 volte di seguito un numero (pseudo)casuale. Non si vede nulla di anormale in questo. Eppure, se non lo sai, lasciati dire una cosa: la variabile aleatoria V così costruita ha valore aspettato infinito! Sì. Ma tu non te ne accorgi quando estrai un campione! Quello che voglio dire è che, se non lo sai dalla teoria che la tua var. aleatoria è "bacata" (ha valore aspettato e varianza infiniti), non te ne accorgerai mai guardando un campione estratto dalla sua popolazione. Allo stesso modo, se hai una martingala come quella suddetta (rialzo = 1.125) , quando la metti in pratica, non vedi assolutamente la differenza tra essa e un'altra martingala che ha invece un valore atteso finito per la spesa (es.: rialzo = 1,050). Quindi l'unica cosa che può esserci d'aiuto in questi casi per capire meglio il significato degli infiniti è il ricorso alla simulazione. Se poi hai un'altra ricetta, aspetto di averla.
Umby ha scritto:
Puoi fare tutte le simulazioni che vuoi, ma non potrai mai sfuggire al fatto che (come già detto prima) il gioco è sfavorevole al giocatore, ovvero che la vincita non è proporzionata alla possibilità di vincere.
Anzi.... piu' giochi, e più la perdita si fa sicura.
======================================
Stai trascurando la differenza fra una situazione in cui vale il "teorema della tara" e una in cui il teorema non vale.
Quando il teorema non vale (perchè il rialzo della martingala supera una certa soglia) allora sì che si può sfuggire al verdetto di condanna contenuto nella tesi del "teorema della tara". E' questo che sto cercando (sembra inutilmente) di comunicare. E' blasfemo, è sacrilego quello che dico, me ne rendo conto, ma non è sbagliato. Anzi è vero. E si tratta di una cosa inquietante circa la quale vorrei essere smentito, ma non a parole, bensì con un contro-teorema.
Se tu non hai la pazienza di rifarti la dimostrazione del teorema della tara (in particolare per arrivare alla tesi c'è uno scambio di sommatorie fra due serie infinite, scambio che si può fare solo se le serie sono convergenti), allora ti prego di risparmiarmi i tuoi moniti generici. Vorrei delle contestazioni specifiche su quel che dico. Nessuno, ad esempio, mi ha chiesto perchè la soglia che il rialzo della posta deve superare, per dar luogo ad una martingala a spesa infinita, è 1/(1-p) e perchè, superata tale soglia, se ne deve superare ancora un'altra prima di "potersi dire al sicuro".
Io sono ben conscio della "stranezza" di ciò che ho trovato e riferisco in questo forum, ma quel che ricevo sono solo ammonimenti generici, del tutto privi di rilevanza nel contesto specifico da me scelto. Grazie comunque per l'attenzione!
Puoi fare tutte le simulazioni che vuoi, ma non potrai mai sfuggire al fatto che (come già detto prima) il gioco è sfavorevole al giocatore, ovvero che la vincita non è proporzionata alla possibilità di vincere.
Anzi.... piu' giochi, e più la perdita si fa sicura.
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Stai trascurando la differenza fra una situazione in cui vale il "teorema della tara" e una in cui il teorema non vale.
Quando il teorema non vale (perchè il rialzo della martingala supera una certa soglia) allora sì che si può sfuggire al verdetto di condanna contenuto nella tesi del "teorema della tara". E' questo che sto cercando (sembra inutilmente) di comunicare. E' blasfemo, è sacrilego quello che dico, me ne rendo conto, ma non è sbagliato. Anzi è vero. E si tratta di una cosa inquietante circa la quale vorrei essere smentito, ma non a parole, bensì con un contro-teorema.
Se tu non hai la pazienza di rifarti la dimostrazione del teorema della tara (in particolare per arrivare alla tesi c'è uno scambio di sommatorie fra due serie infinite, scambio che si può fare solo se le serie sono convergenti), allora ti prego di risparmiarmi i tuoi moniti generici. Vorrei delle contestazioni specifiche su quel che dico. Nessuno, ad esempio, mi ha chiesto perchè la soglia che il rialzo della posta deve superare, per dar luogo ad una martingala a spesa infinita, è 1/(1-p) e perchè, superata tale soglia, se ne deve superare ancora un'altra prima di "potersi dire al sicuro".
Io sono ben conscio della "stranezza" di ciò che ho trovato e riferisco in questo forum, ma quel che ricevo sono solo ammonimenti generici, del tutto privi di rilevanza nel contesto specifico da me scelto. Grazie comunque per l'attenzione!
"seascoli":
Io sono ben conscio della "stranezza" di ciò che ho trovato e riferisco in questo forum, ma quel che ricevo sono solo ammonimenti generici, del tutto privi di rilevanza nel contesto specifico da me scelto. Grazie comunque per l'attenzione!
Non si tratta di ammonimenti, ma (almeno da parte mia) la rabbia nel vederti aggrovigliare su te stesso ! (vedi problema fermate di qualche giorno fa)
a) Se ci sono 18.000 persone che puntano 1 Euro sul 47 ( o qualsiasi altro numero ), 1000 di queste vinceranno 11 Euro per complessivi 11.000, il banco avra' incassato 18.000 Euro, con una vincita di 7.000 Euro.
Il meccanismo che proponi ti porta a questa conclusione:
su 18.000 persone i vincitori ne saranno molti di più ( invento 17.995 - cioe' un numero altissimo rispetto a tutti quelli che hanno giocato ), ed ognuno di loro avrà vinto piu o meno una somma cospicua.
Ma devi tener presente anche ai 5 perdenti, che ci avranno lasciato la pelle!
Se sommerai le perdite dei 5 sconfitti da un lato, e le vincite dei 17.995 vincitori, vedrai ancora una volta che il banco avra' vinto e statisticamente avra' vinto con la stessa % del punto iniziale a).
Io sono ben conscio della "stranezza" di ciò che ho trovato e riferisco in questo forum, ma quel che ricevo sono solo ammonimenti generici, del tutto privi di rilevanza nel contesto specifico da me scelto.
Io trovo che questi due interventi non siano del tutto privi di rilevanza.
sappiamo che la V.A. geometrica gode della seguente proprietà:
$P(X>^a+b|X>=a)=P(X>=b)$
Il processo markoviano casuale che fa tornare nello stato iniziale quando c'è la vincita è ricorrente positivo; ciò significa che, a regime, la media di estrazioni tra 2 vincite è finita, e in questo caso vale 1/p=18.
Sia, allo stesso tempo, chiaro che il nostro intento non è quello di dare moniti.
Se sei fermamente convinto della validità del tuo risultato, hai trovato il modo per diventare ricco in breve tempo; una rendita del capitale intorno al 22% in tre mesi è al di là di ogni più rosea aspettativa sui mercati finanziari (e non solo quelli di oggi).
Certo, un teorema non si dimostra con una simulazione. Non c'è mica bisogno di dirlo. Ma, se Tizio dimostra un asserto e Caio ha dei dubbi, la prima cosa che Caio può fare per metterlo alla prova è cercare di trovare un controesempio. Se non riesce a trovarlo, si può dire che, almeno agli occhi di Caio, l'asserto di Tizio può considerarsi "corroborato" (nel senso di Popper). Non sei d'accordo? Era questo che volevo dire! Nota che "provare" e " mettere alla prova" hanno significati diversi in italiano, ma se uno vuole giocare con le parole, per me è libero di farlo.Senza che ti offenda, credo che il tuo asserto sia già stato enunciato diverse volte da diverse persone un po' in tutto il mondo.
Credo che possa funzionare, all'infinito.
Purtroppo (o per fortuna), né la mia vita (a quanto ne so per ora) né il mio capitale (di questo sono un po' più sicuro) sono infiniti.
Ora, non capisco dove tu voglia arrivare.
Se intendi dire che, ad un tempo $n$ indefinito, il giocatore della martingala riesce ad andare in attivo, ti do ragione.
Se ti chiedi perchè questa strategia non sia strettamente applicabile, credo che la risposta sia già stata fornita in maniera più che esauriente.
Sulla tua interpretazione di Popper avrei qualche dubbio, dal momento che quello mi sembra di più il pensiero del tacchino di Russel.
Probabilmente, non ho afferrato bene il concetto, ma sono una testa dura, per credere devo vedere che nella realtà una cosa funziona, soprattutto quando è basata su ipotesi probabilistiche.
Non credo all'esistenza di divinità e spiriti santi, figuriamoci agli eventi con probabilità minore di 1...
@Umby
Sei proprio fuori strada! Non hai nemmeno afferrato la sostanza del problema da me posto. Il tuo esempio è infantile e del tutto irrilevante per la questione da me posta. Ti faccio il mio controesempio.
Se 18000 persone giocano la mia martingala (47 su Napoli) con rialzo della posta (r=1.125) allora tutte e 18000 le persone vincono, e tutte realizzeranno un utile pari al 22,22% di tutto ciò che avranno puntato per tutta la durata dell'attesa.
Ci saranno persone che vinceranno al 1.o colpo, altre al 2.o, etc... , in media, lo ripeto ancora, l'attesa dura 18 estrazioni più o meno 17,5 (al 90% di probabilità). Ma, ripeto, tutte vincono senza eccezioni, perchè ognuna delle 18000 giocate deve concludersi prima o poi.
Riesci a capire questo! Mi pare che "quello che si aggroviglia" non sia io ...
Sei proprio fuori strada! Non hai nemmeno afferrato la sostanza del problema da me posto. Il tuo esempio è infantile e del tutto irrilevante per la questione da me posta. Ti faccio il mio controesempio.
Se 18000 persone giocano la mia martingala (47 su Napoli) con rialzo della posta (r=1.125) allora tutte e 18000 le persone vincono, e tutte realizzeranno un utile pari al 22,22% di tutto ciò che avranno puntato per tutta la durata dell'attesa.
Ci saranno persone che vinceranno al 1.o colpo, altre al 2.o, etc... , in media, lo ripeto ancora, l'attesa dura 18 estrazioni più o meno 17,5 (al 90% di probabilità). Ma, ripeto, tutte vincono senza eccezioni, perchè ognuna delle 18000 giocate deve concludersi prima o poi.
Riesci a capire questo! Mi pare che "quello che si aggroviglia" non sia io ...
Cheguevilla scripsit:
"Senza che ti offenda, credo che il tuo asserto sia già stato enunciato diverse volte da diverse persone un po' in tutto il mondo."
------------------
Non mi offendo punto. Sapevo bene che per forza anche altri devono aver trovato gli stessi miei risultati (forse già 100 anni fa la cosa era nota). Sì, ma nessuno ne parla. Eppure non è una cosa da niente.
Ecco, quello che mi serve è uno straccio di bibliografia. Su Wikipedia alla voce "martingala" si liquida l'argomento dicendo (cito a braccio) "uno dei primi risultati della moderna teoria delle martingale è che ogni sistema di ripetizione di una scommessa iniqua è perdente", ma non si danno riferimenti bibliografici.
Tu ne conosci qualcuno? Sembra di sì, perchè aggiungi più avanti:
"Se ti chiedi perchè questa strategia non sia strettamente applicabile, credo che la risposta sia già stata fornita in maniera più che esauriente". Ti sarei molto grato se potessi indicarmi qualche testo o qualche paper sull'argomento. Grazie
Quanto al tacchino di Russell (io conoscevo il "corvo" di Russell, non il "tacchino"), in nuce c'è già lì l'idea cruciale di Popper (il falsificazionismo) e le sue conseguenze sulla "teoria della conferma". Ma non è questa la sede per discettarne, credo ...
Concludo dicendo che, sì, metterò infine alla prova l'applicabilità pratica di quello che ho trovato (10 anni fa), ma evitando accuratamente il gioco del Lotto, che paga le vincite vergognosamente poco. La mia idea è quella di praticare una martingala con un rialzo di circa il 10% puntando ogni settimana sull'esito 2 di una partita di calcio, che sia offerto dall'allibratore ad una quota Q circa uguale a 10, ma con probabilità superiore a 1/Q= 0.10 (scommesse del genere, favorevoli al giocatore, esistono!: cfr.per es. www.betbrain.com e un mio lavoro che sta per uscire sul "Periodico di Matematiche" di MATHESIS dal titolo "Scommesse sportive: si può battere il banco?"). Nota che io e il coautore di questo articolo, il banco lo abbiamo già battuto abbondantemente giocando sistematicamente dal 1996 al 2005 su partite di calcio (per lo più dei 2) con un volume di gioco di 100 mila euro circa e un utile di 20 mila (ma il capitale iniziale era di soli 1000 euro e fu totalmente restituito ai soci dopo meno di 4 mesi). Per inciso, a suo tempo calcolai l'ammontare delle poste col "criterio di Kelly", ora voglio provare con la martingala ... Ma tutto ciò non ci interessa qui (era solo per avvertire che non sono uno sprovveduto, come sembra pensare Umby)
"Senza che ti offenda, credo che il tuo asserto sia già stato enunciato diverse volte da diverse persone un po' in tutto il mondo."
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Non mi offendo punto. Sapevo bene che per forza anche altri devono aver trovato gli stessi miei risultati (forse già 100 anni fa la cosa era nota). Sì, ma nessuno ne parla. Eppure non è una cosa da niente.
Ecco, quello che mi serve è uno straccio di bibliografia. Su Wikipedia alla voce "martingala" si liquida l'argomento dicendo (cito a braccio) "uno dei primi risultati della moderna teoria delle martingale è che ogni sistema di ripetizione di una scommessa iniqua è perdente", ma non si danno riferimenti bibliografici.
Tu ne conosci qualcuno? Sembra di sì, perchè aggiungi più avanti:
"Se ti chiedi perchè questa strategia non sia strettamente applicabile, credo che la risposta sia già stata fornita in maniera più che esauriente". Ti sarei molto grato se potessi indicarmi qualche testo o qualche paper sull'argomento. Grazie
Quanto al tacchino di Russell (io conoscevo il "corvo" di Russell, non il "tacchino"), in nuce c'è già lì l'idea cruciale di Popper (il falsificazionismo) e le sue conseguenze sulla "teoria della conferma". Ma non è questa la sede per discettarne, credo ...
Concludo dicendo che, sì, metterò infine alla prova l'applicabilità pratica di quello che ho trovato (10 anni fa), ma evitando accuratamente il gioco del Lotto, che paga le vincite vergognosamente poco. La mia idea è quella di praticare una martingala con un rialzo di circa il 10% puntando ogni settimana sull'esito 2 di una partita di calcio, che sia offerto dall'allibratore ad una quota Q circa uguale a 10, ma con probabilità superiore a 1/Q= 0.10 (scommesse del genere, favorevoli al giocatore, esistono!: cfr.per es. www.betbrain.com e un mio lavoro che sta per uscire sul "Periodico di Matematiche" di MATHESIS dal titolo "Scommesse sportive: si può battere il banco?"). Nota che io e il coautore di questo articolo, il banco lo abbiamo già battuto abbondantemente giocando sistematicamente dal 1996 al 2005 su partite di calcio (per lo più dei 2) con un volume di gioco di 100 mila euro circa e un utile di 20 mila (ma il capitale iniziale era di soli 1000 euro e fu totalmente restituito ai soci dopo meno di 4 mesi). Per inciso, a suo tempo calcolai l'ammontare delle poste col "criterio di Kelly", ora voglio provare con la martingala ... Ma tutto ciò non ci interessa qui (era solo per avvertire che non sono uno sprovveduto, come sembra pensare Umby)
"seascoli":
omissis ........ allora tutte e 18000 le persone vincono ...
Seconda stella a destra
questo è il cammino,
e poi dritto fino al mattino
poi la strada la trovi da te,
porta all'isola che non c'è.
"seascoli":
(era solo per avvertire che non sono uno sprovveduto, come sembra pensare Umby)
Tutto penso di te, tranne che sei uno sprovveduto. Proprio da questo fatto nasceva la mia "rabbia". Sono convinto che qualsiasi mia altra osservazione sia inutile non dico a farti cambiare idea, ma almeno a riflettere su quanto sostieni.
Considerato che non ho nulla altro da aggiungere a quanto già detto, i miei piu' sinceri auguri di provare a vincere ancora (sperando che tu non sia mai uno di quei 5 da me indicati precedentemente).
P.s. Fammi avere una copia dell'articolo, ehhh ?
E ti prendono in giro
se continui a cercarla,
ma non darti per vinto perché
chi ci ha già rinunciato
e ti ride alle spalle
forse è ancora più pazzo di te!
"Se ti chiedi perchè questa strategia non sia strettamente applicabile, credo che la risposta sia già stata fornita in maniera più che esauriente". Ti sarei molto grato se potessi indicarmi qualche testo o qualche paper sull'argomento. Grazie
Il processo markoviano casuale che fa tornare nello stato iniziale quando c'è la vincita è ricorrente positivoQualunque evento costruito tramite la reiterazione di questo esperimento ha probabilità diversa da 1.
Spero non serva un paper per questo.
Il piano di gioco di cui segnalo l'esistenza (la martingala ad libitum sul 47 a Napoli, per intenderci) non richiede un "capitale iniziale infinito". L'unico capitale iniziale che richiede è 8 euro, poi se non esce il 47 richiede un altro euro, poi ancora 1,125 euro e così via. Il valore aspettato della spesa per sostenere la suddetta giocata è +∞, è vero (l'ho detto io per primo e chiaramente), ma ciò non significa che il giocatore deve "possedere all'inizio un capitale infinito". Non deve possederlo nemmeno alla fine, perchè quando una giocata finisce (e deve finire, perchè la sua durata media è 18 estrazioni con deviazione standard 17,5) , in qualsiasi momento finisca, il capitale che essa ha richiesto è finito, piccolo o grande che sia.La frase in grassetto è falsa, per quanto detto sopra.
@Umby: ti faro avere, sì, una copia dell'articolo.
Ci vediamo su altri topic ...
Ci vediamo su altri topic ...
Cheguevilla ha citato il seguente passo tratto da luca.barletta:
"Il processo markoviano casuale che fa tornare nello stato iniziale quando c'è la vincita è ricorrente positivo ..."
Beh, io lo voglio citare in toto:
"Il processo markoviano casuale che fa tornare nello stato iniziale quando c'è la vincita è ricorrente positivo; ciò significa che, a regime, la media di estrazioni tra 2 vincite è finita, e in questo caso vale 1/p=18. "
E ci voleva la teoria dei "processi markoviani ricorrenti positivi" per capire che "a regime" (io direi "in the long run") fra due vincite intercorrono 18 estrazioni (cioè 1/p)?. Questo lo avevo annunciato fin dall'inizio, usando il semplice valore aspettato della distribuzione geometrica.
Poi luca.barlettta continua:
"Se guardassimo solo le medie allora tutto funzionerebbe bene."
No, io non ho guardato solo le medie. Ho citato subito anche la varianza, e fin dapprincipio, dicendo che la deviazione standard della durata di una giocata è circa uguale alla media, cioè circa 18.
Continua luca.barletta:
"Il problema sono i transitori: se la vincita cominciasse a ritardare (e questo non è un evento remoto, anzi) è possibile andare in forte passivo (per forte passivo intendo 10^k euro con 4<=k<=8); naturalmente il passivo verrebbe compensato a regime, ma è evidente che bisogna avere un capitale iniziale 'alto' per poter iniziare a giocare."
D'accordo i transitori non sono da trascurare! Perciò io, per evitare di dire sciocchezze, ho fatto, prima di azzardarmi a porre il topic su questo forum, centinaia di simulazioni proprio per esaminare in dettaglio i rischi connessi con l'attuazione del suddetto piano-di-gioco. E non ho trovato controindicazioni. Questa cosa mi indispettisce, perchè sono quasi certo che mi sta sfuggendo qualche sottigliezza, ma finora nessuno mi ha saputo dire dove sbaglio, esattamente.
Devo forse studiarmi la teoria dei "processi markoviani ricorrenti positivi"?
Quella dei processi markoviani "tout court" la conosco abbastanza. Dove la trovo una buona esposizione di detta teoria?
(non ditemi che anche questo sta su Wikipedia!).
Infine ho una domanda per Cheguevilla, che ringrazio assai per la sua attenzione e disponibilità. Egli ha scritto:
"Qualunque evento costruito tramite la reiterazione di questo esperimento ha probabilità diversa da 1. Spero non serva un paper per questo."
La prima delle due frasi mi è oscura.
Che significa "evento costruito tramite la reiterazione di questo esperimento"?
Per "esperimento" intendi la singola giocata protratta fino al successo?
Se no (ma anche se sì), puoi farmi un esempio?
Ammettiano che "esperimento"="giocata portata a termine".
Nota che nel singolo "esperimento", dato che la giocata è protratta ad libitum, la probabilità di vincere è 1.
Spero che almeno su questo siamo tutti d'accordo.
Allora quali eventi hai in mente (che siano rilevanti per il nostro dibattito), che avrebbero prob. <1 ?
Grazie
"Il processo markoviano casuale che fa tornare nello stato iniziale quando c'è la vincita è ricorrente positivo ..."
Beh, io lo voglio citare in toto:
"Il processo markoviano casuale che fa tornare nello stato iniziale quando c'è la vincita è ricorrente positivo; ciò significa che, a regime, la media di estrazioni tra 2 vincite è finita, e in questo caso vale 1/p=18. "
E ci voleva la teoria dei "processi markoviani ricorrenti positivi" per capire che "a regime" (io direi "in the long run") fra due vincite intercorrono 18 estrazioni (cioè 1/p)?. Questo lo avevo annunciato fin dall'inizio, usando il semplice valore aspettato della distribuzione geometrica.
Poi luca.barlettta continua:
"Se guardassimo solo le medie allora tutto funzionerebbe bene."
No, io non ho guardato solo le medie. Ho citato subito anche la varianza, e fin dapprincipio, dicendo che la deviazione standard della durata di una giocata è circa uguale alla media, cioè circa 18.
Continua luca.barletta:
"Il problema sono i transitori: se la vincita cominciasse a ritardare (e questo non è un evento remoto, anzi) è possibile andare in forte passivo (per forte passivo intendo 10^k euro con 4<=k<=8); naturalmente il passivo verrebbe compensato a regime, ma è evidente che bisogna avere un capitale iniziale 'alto' per poter iniziare a giocare."
D'accordo i transitori non sono da trascurare! Perciò io, per evitare di dire sciocchezze, ho fatto, prima di azzardarmi a porre il topic su questo forum, centinaia di simulazioni proprio per esaminare in dettaglio i rischi connessi con l'attuazione del suddetto piano-di-gioco. E non ho trovato controindicazioni. Questa cosa mi indispettisce, perchè sono quasi certo che mi sta sfuggendo qualche sottigliezza, ma finora nessuno mi ha saputo dire dove sbaglio, esattamente.
Devo forse studiarmi la teoria dei "processi markoviani ricorrenti positivi"?
Quella dei processi markoviani "tout court" la conosco abbastanza. Dove la trovo una buona esposizione di detta teoria?
(non ditemi che anche questo sta su Wikipedia!).
Infine ho una domanda per Cheguevilla, che ringrazio assai per la sua attenzione e disponibilità. Egli ha scritto:
"Qualunque evento costruito tramite la reiterazione di questo esperimento ha probabilità diversa da 1. Spero non serva un paper per questo."
La prima delle due frasi mi è oscura.
Che significa "evento costruito tramite la reiterazione di questo esperimento"?
Per "esperimento" intendi la singola giocata protratta fino al successo?
Se no (ma anche se sì), puoi farmi un esempio?
Ammettiano che "esperimento"="giocata portata a termine".
Nota che nel singolo "esperimento", dato che la giocata è protratta ad libitum, la probabilità di vincere è 1.
Spero che almeno su questo siamo tutti d'accordo.
Allora quali eventi hai in mente (che siano rilevanti per il nostro dibattito), che avrebbero prob. <1 ?
Grazie
Ammettiano che "esperimento"="giocata portata a termine".No.
È proprio qui il punto. Nessuno ha la certezza che la giocata possa essere portata a termine.
Anche ripetendo infinite volte questo processo, la probabilità di ottenere almeno un successo non sarà mai 1.
Più di così...
Allora ti dimostro il contrario, formule alla mano.
Supponiamo di avere un piano-di-gioco finito, cioè: continuo a puntare su un dato evento sperando che esca, ma se non esce entro l'N.ma estrazione, faccio fagotto, accuso la perdita e mi ritiro con la coda fra le gambe. Bene, qual è la probabilità di fare un buco nell'acqua? La stessa che in tutte le N estrazioni l'evento atteso NON esca, cioè $(1-p)^N$. E qual è la probailità di "successo" della giocata? $1-(1-p)^N$. Giusto? Spero che almeno su questo si sia tutti d'accordo, se no, parliamo lingue diverse!
Ora fai tendere quell'esponente N a $+infty$, cioè considera un piano di gioco in cui si continua a puntare "all'ultimo sangue" smettendo solo quando si verifica l'evento atteso. Qual è allora la prob. di "successo" del dato piano di gioco? Tremo nell'attesa della tua risposta ...
Supponiamo di avere un piano-di-gioco finito, cioè: continuo a puntare su un dato evento sperando che esca, ma se non esce entro l'N.ma estrazione, faccio fagotto, accuso la perdita e mi ritiro con la coda fra le gambe. Bene, qual è la probabilità di fare un buco nell'acqua? La stessa che in tutte le N estrazioni l'evento atteso NON esca, cioè $(1-p)^N$. E qual è la probailità di "successo" della giocata? $1-(1-p)^N$. Giusto? Spero che almeno su questo si sia tutti d'accordo, se no, parliamo lingue diverse!
Ora fai tendere quell'esponente N a $+infty$, cioè considera un piano di gioco in cui si continua a puntare "all'ultimo sangue" smettendo solo quando si verifica l'evento atteso. Qual è allora la prob. di "successo" del dato piano di gioco? Tremo nell'attesa della tua risposta ...
E la tua "dimostrazione" trema più di te.
Per prima cosa, spero sia chiaro che $+oo$ non è un numero reale.
Inoltre, anche per $x->+oo$, la funzione tende a 1, ma non vuol dire che assuma quel valore.
Pertanto, la probabilità di successo non è mai 1 nella realtà.
Considerando che oggi è il 4 febbraio, se ti accontenti di avere una probabilità di successo che tende a 1 il giorno $+oo$, siamo tutti contenti.
Tremo nell'attesa della tua risposta...
Per prima cosa, spero sia chiaro che $+oo$ non è un numero reale.
Inoltre, anche per $x->+oo$, la funzione tende a 1, ma non vuol dire che assuma quel valore.
Pertanto, la probabilità di successo non è mai 1 nella realtà.
Considerando che oggi è il 4 febbraio, se ti accontenti di avere una probabilità di successo che tende a 1 il giorno $+oo$, siamo tutti contenti.
Tremo nell'attesa della tua risposta...
Stai scherzando, vero?
La probabilità non si riferisce alla giocata, ma al piano di gioco. Allo stesso modo, se estrai palle da un'urna con palle nere e bianche fino a che non ne esce una bianca, la probabilità si riferisce all'urna e si calcola prima di procedere con la sequenza di estrazioni, non "dopo", né "durante".
Perciò nella mia martingala (intesa come piano-di-gioco, non come giocata in fieri) la probabilità di vincere prima o poi è 1 , e lo é non appena formulo (nota bene "formulo", non "esplico") la mia intenzione (e l'impegno) di continuare a puntare ad libitum fino al successo.
La probabilità non "diventa", la probabilità ogni volta "é"! E nel mio caso resta sempre 1, anche dopo aver perso la scommessa 10, 100, 1000 volte, perchè la scommessa viene ripetuta "ad libitum" e se togli 100 da $+infty$, sempre infinito avrai!
Mi sa che siamo giunti al "capolinea" di questo topic.
La probabilità non si riferisce alla giocata, ma al piano di gioco. Allo stesso modo, se estrai palle da un'urna con palle nere e bianche fino a che non ne esce una bianca, la probabilità si riferisce all'urna e si calcola prima di procedere con la sequenza di estrazioni, non "dopo", né "durante".
Perciò nella mia martingala (intesa come piano-di-gioco, non come giocata in fieri) la probabilità di vincere prima o poi è 1 , e lo é non appena formulo (nota bene "formulo", non "esplico") la mia intenzione (e l'impegno) di continuare a puntare ad libitum fino al successo.
La probabilità non "diventa", la probabilità ogni volta "é"! E nel mio caso resta sempre 1, anche dopo aver perso la scommessa 10, 100, 1000 volte, perchè la scommessa viene ripetuta "ad libitum" e se togli 100 da $+infty$, sempre infinito avrai!
Mi sa che siamo giunti al "capolinea" di questo topic.
Mi sa che devi rivederti il concetto di limite.
Se intendi dire "il piano di gioco è costruito in modo da finire quando si verifica un certo evento", sappi che allora quel piano di gioco non è finito, quindi non è attuabile, come sostengo da qualche giorno.
Ma se sei certo che "prima o poi" necessariamente uscirà una pallina bianca...
Se intendi dire "il piano di gioco è costruito in modo da finire quando si verifica un certo evento", sappi che allora quel piano di gioco non è finito, quindi non è attuabile, come sostengo da qualche giorno.
Ma se sei certo che "prima o poi" necessariamente uscirà una pallina bianca...
@Cheguevilla
Ma sei proprio sicuro che debba essere seascoli a rivedere il concetto di limite?
La nozione di limite, comunque, é del tutto estranea a questo caso. Possibile che non ti rendi conto che, se in un'urna ho una sola pallina bianca e anche un milione di palline nere, la probabilità che prima o poi esca la pallina bianca, non "tende" a 1, ma è 1.
Riflettici sopra con calma....
Ma sei proprio sicuro che debba essere seascoli a rivedere il concetto di limite?
La nozione di limite, comunque, é del tutto estranea a questo caso. Possibile che non ti rendi conto che, se in un'urna ho una sola pallina bianca e anche un milione di palline nere, la probabilità che prima o poi esca la pallina bianca, non "tende" a 1, ma è 1.
Riflettici sopra con calma....
Per quale interessante motivo la pallina bianca è costretta ad uscire?
@
La pallina bianca "è costretta ad uscire" per lo stesso motivo per cui "é costretta ad uscire" qualsiasi altra pallina nera.
Il fatto che la pallina bianca sia una sola e le palline nere un milione é concettualmente irrilevante. Del resto, che la probabilità di uscita della pallina bianca sia 1, è implicito nella stessa ipotesi di partenza, perchè si continua ad estrarre ( rimettendo ogni volta nell'urna la pallina estratta) proprio finchè non esce la pallina bianca: più certezza di così!
Sono convinto che riconoscere i propri errori sia una delle virtù più apprezzabili dell'uomo.
La pallina bianca "è costretta ad uscire" per lo stesso motivo per cui "é costretta ad uscire" qualsiasi altra pallina nera.
Il fatto che la pallina bianca sia una sola e le palline nere un milione é concettualmente irrilevante. Del resto, che la probabilità di uscita della pallina bianca sia 1, è implicito nella stessa ipotesi di partenza, perchè si continua ad estrarre ( rimettendo ogni volta nell'urna la pallina estratta) proprio finchè non esce la pallina bianca: più certezza di così!
Sono convinto che riconoscere i propri errori sia una delle virtù più apprezzabili dell'uomo.
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