Martingale e rovina (?) del giocatore
Vorrei proporre l'analisi di una "martingala".
Una martingala è un metodo di gioco che prevede un rialzo costante della posta nell'inseguimento "ad libitum" di un evento, come ad esempio, il rosso e nero della roulette o l'uscita del 47 sulla ruota di Napoli (un numero singolo viene pagato dal Lotto 11 volte, tolte le tasse). In questo caso si ha insomma Q=11 (fattore di vincita lorda) , ma è p=1/18 (probabilità che ad ogni estrazione esca il dato numero sulla data ruota). Quindi il gioco è fortemente iniquo dato che $V = pQ-1<0$, mentre il gioco equo richiede $pQ=1$.
Nel Lotto, insomma, il "vantaggio" del giocatore sul banco in questo caso (47 sulla ruota di Napoli) è quindi
$V=11xx(1/18) -1 = -7/18 = -0,39$ circa.
Insomma nel lungo termine il giocatore deve attendersi di perdere il 39% di tutto ciò che punta al botteghino.
Ecco perchè il Lotto fa tanti soldi alle spalle degli ingenui! Si noti che per terne, quaterne e cinquine le cose peggiorano, e di molto!
Bene, torniamo ora alla nostra giocata alla martingala (una serie di poste consecutive fatte con un rialzo progressivo fino a che non esce l'evento atteso). Definisco come martingala la seguente successione di poste:
$1, r-1, (r-1)r, (r-1)r^2, (r-1)r^3, ...., (r-1)r^k, ......$ etc. con $r>1$ (r = rialzo della posta).
Esclusa la prima posta $P_1=1$, le successive formano una progressione geometrica di ragione $r$ e sono date dalla semplice formula
$ P_k=(r-1)r^(k-1) (k=2,3,4,...)$.
Pongo ora 3 quesiti sulla giocata a martingala.
a) qual é la spesa $S_k$ da sostenere per "reggere" fino alla k.ma puntata?
b) qual é la vincita netta $W_k$ se si vince alla k.ma puntata? Supponiamo sia Q il fattore di vincita lorda.
c) Quanto dura in media una giocata se l'evento su cui si punta ha prob. $p$ ?
S'intende che la giocata viene protratta fino a che l'evento atteso non esce.
Se si risponde a questi quesiti (il terzo è un po' più difficile perchè occorre calcolare la distribuzione di probabilità delle "durate" di una giocata) allora si potrà passare ad altri quesiti (vi prometto della roba forte!).
Una martingala è un metodo di gioco che prevede un rialzo costante della posta nell'inseguimento "ad libitum" di un evento, come ad esempio, il rosso e nero della roulette o l'uscita del 47 sulla ruota di Napoli (un numero singolo viene pagato dal Lotto 11 volte, tolte le tasse). In questo caso si ha insomma Q=11 (fattore di vincita lorda) , ma è p=1/18 (probabilità che ad ogni estrazione esca il dato numero sulla data ruota). Quindi il gioco è fortemente iniquo dato che $V = pQ-1<0$, mentre il gioco equo richiede $pQ=1$.
Nel Lotto, insomma, il "vantaggio" del giocatore sul banco in questo caso (47 sulla ruota di Napoli) è quindi
$V=11xx(1/18) -1 = -7/18 = -0,39$ circa.
Insomma nel lungo termine il giocatore deve attendersi di perdere il 39% di tutto ciò che punta al botteghino.
Ecco perchè il Lotto fa tanti soldi alle spalle degli ingenui! Si noti che per terne, quaterne e cinquine le cose peggiorano, e di molto!
Bene, torniamo ora alla nostra giocata alla martingala (una serie di poste consecutive fatte con un rialzo progressivo fino a che non esce l'evento atteso). Definisco come martingala la seguente successione di poste:
$1, r-1, (r-1)r, (r-1)r^2, (r-1)r^3, ...., (r-1)r^k, ......$ etc. con $r>1$ (r = rialzo della posta).
Esclusa la prima posta $P_1=1$, le successive formano una progressione geometrica di ragione $r$ e sono date dalla semplice formula
$ P_k=(r-1)r^(k-1) (k=2,3,4,...)$.
Pongo ora 3 quesiti sulla giocata a martingala.
a) qual é la spesa $S_k$ da sostenere per "reggere" fino alla k.ma puntata?
b) qual é la vincita netta $W_k$ se si vince alla k.ma puntata? Supponiamo sia Q il fattore di vincita lorda.
c) Quanto dura in media una giocata se l'evento su cui si punta ha prob. $p$ ?
S'intende che la giocata viene protratta fino a che l'evento atteso non esce.
Se si risponde a questi quesiti (il terzo è un po' più difficile perchè occorre calcolare la distribuzione di probabilità delle "durate" di una giocata) allora si potrà passare ad altri quesiti (vi prometto della roba forte!).
Risposte
" don abbondio":
Possibile che non ti rendi conto che, se in un'urna ho una sola pallina bianca e anche un milione di palline nere, la probabilità che prima o poi esca la pallina bianca, non "tende" a 1, ma è 1.
Parola alle equazioni allora.
La probabilità che dopo $n$ lanci non esca la bianca è $(frac{10^6}{10^6+1})^n$.
La probabilità che esce è quella complementare, $1-(frac{10^6}{10^6+1})^n$
Ponendo quest'ultima uguale ad 1
$1-(frac{10^6}{10^6+1})^n=1$
Vuoi risolverla?
" don abbondio":
più certezza di così!
Infatti, quando in matematica ipotesi e tesi coincidono, cosa puoi pretendere di più!
" don abbondio":Bravissimo.
Sono convinto che riconoscere i propri errori sia una delle virtù più apprezzabili dell'uomo.
Allora comincia ad ammettere di aver sbagliato qualcosa in precedenza ed evita di condurre un discorso senza senso.
La pallina bianca "è costretta ad uscire" per lo stesso motivo per cui "é costretta ad uscire" qualsiasi altra pallina nera.Ovvero? Insomma, qual è questo motivo?
Del resto, che la probabilità di uscita della pallina bianca sia 1, è implicito nella stessa ipotesi di partenza, perchè si continua ad estrarre ( rimettendo ogni volta nell'urna la pallina estratta) proprio finchè non esce la pallina bianca: più certezza di così!Ottimo.
Questa ipotesi contiene in sè l'ipotesi che la pallina bianca esca.
Quindi non è un'ipotesi valida, poichè non abbiamo nessuna certezza che la pallina bianca esca.
Probabilmente non è solo il concetto di limite che devi rivedere...
scusate se intervengo su una cosa che proprio non m'interessa, vale a dire il gioco d'azzardo.
a dire il vero, ho seguito la discussione senza preoccuparmi troppo dei "cavilli" della questione, anche perché, non conoscendo le regole del gioco, poteva
apparirmi quel benedetto "1.125" come termine additivo, moltiplicativo o esponenziale, ed analogamente
poteva indicare il valore dell'n-esima puntata o l'intero capitale impiegato nelle prime n puntate,
sia rispetto alla prima puntata, sia rispetto alla (n-1)-esima, sia rispetto al totale delle prime (n-1) puntate.
la risposta ovviamente può variare nei dettagli da caso a caso, ma non vi sto chiedendo un chiarimento in tal senso, vorrei piuttosto portare il discorso su un altro piano.
non capisco perché ci sia tanto disaccordo, dal momento che entrambe le posizioni sono corrette:
è vero che la probabilità di cui tanto si discute è uguale a 1 (io dico può essere, perché non l'ho calcolata, però mi fido dei calcoli di seascoli), come è vero che quando si ha a che fare con uno spazio campione infinito non necessariamente la probabilità 1 corrisponde ad un evento certo.
sul caso specifico, come ho precisato, non posso entrare nei dettagli, però, vi propongo di risolvere un problema concreto strettamente collegato ad esso.
prima però urge aprire una brevissima parentesi per spiegare quello che ho appena affermato circa le probabilità degli eventi in uno spazio campione infinito.
dico semplicemente: se una macchina o una persona al di sopra di ogni sospetto fosse invitata a scegliere un numero naturale qualsiasi, senza alcuna limitazione, la probabilità che venga scelto il numero 10 è uguale a zero, e quindi la probabilità che il numero 10 non venga scelto è uguale ad 1, ma questo non significa che il 10 non possa essere scelto. non solo, ma anche la probabilità che venga scelto un numero compreso tra zero e unmilione è 0, e quindi la probabilità che venga scelto un numero maggiore di un milione è uguale a 1, semplicemente perché unmilione (o 1000001) è finito, ma questo non significa che debba essere scelto un numero maggiore di 1000000.
proporrei di rispondere alla seguente domanda:
in funzione del capitale (C) di cui dispone, calcolare il numero massimo (N) di puntate perdenti che potrebbe permettersi di fare un giocatore, e conseguentemente la probabilità di vittoria entro l'N-esima puntata.
aggiungo in OT un piccolo aneddoto. il mio prof. di Probabilità, analogamente alla fiducia nel calcolo delle probabilità, usava approssimare a zero anche una probabilità non infinitesima come quella di cui si parla qui (operazione non corretta, ma fatta a fin di bene): per scoraggiare gli amici a giocare, giocava (non so se l'ha fatto più volte...) una schedina del totocalcio in pubblico e subito dopo, sempre in pubblico, strappava la ricevuta.
ciao e grazie per l'attenzione.
PS: naturalmente io mi riferivo alle posizioni di seascoli e di Cheguevilla. vedo che nel frattempo sono intervenuti molti altri, ed in un certo senso Steven ha anticipato la questione del riportare un problema "concreto" al caso finito.
a dire il vero, ho seguito la discussione senza preoccuparmi troppo dei "cavilli" della questione, anche perché, non conoscendo le regole del gioco, poteva
apparirmi quel benedetto "1.125" come termine additivo, moltiplicativo o esponenziale, ed analogamente
poteva indicare il valore dell'n-esima puntata o l'intero capitale impiegato nelle prime n puntate,
sia rispetto alla prima puntata, sia rispetto alla (n-1)-esima, sia rispetto al totale delle prime (n-1) puntate.
la risposta ovviamente può variare nei dettagli da caso a caso, ma non vi sto chiedendo un chiarimento in tal senso, vorrei piuttosto portare il discorso su un altro piano.
non capisco perché ci sia tanto disaccordo, dal momento che entrambe le posizioni sono corrette:
è vero che la probabilità di cui tanto si discute è uguale a 1 (io dico può essere, perché non l'ho calcolata, però mi fido dei calcoli di seascoli), come è vero che quando si ha a che fare con uno spazio campione infinito non necessariamente la probabilità 1 corrisponde ad un evento certo.
sul caso specifico, come ho precisato, non posso entrare nei dettagli, però, vi propongo di risolvere un problema concreto strettamente collegato ad esso.
prima però urge aprire una brevissima parentesi per spiegare quello che ho appena affermato circa le probabilità degli eventi in uno spazio campione infinito.
dico semplicemente: se una macchina o una persona al di sopra di ogni sospetto fosse invitata a scegliere un numero naturale qualsiasi, senza alcuna limitazione, la probabilità che venga scelto il numero 10 è uguale a zero, e quindi la probabilità che il numero 10 non venga scelto è uguale ad 1, ma questo non significa che il 10 non possa essere scelto. non solo, ma anche la probabilità che venga scelto un numero compreso tra zero e unmilione è 0, e quindi la probabilità che venga scelto un numero maggiore di un milione è uguale a 1, semplicemente perché unmilione (o 1000001) è finito, ma questo non significa che debba essere scelto un numero maggiore di 1000000.
proporrei di rispondere alla seguente domanda:
in funzione del capitale (C) di cui dispone, calcolare il numero massimo (N) di puntate perdenti che potrebbe permettersi di fare un giocatore, e conseguentemente la probabilità di vittoria entro l'N-esima puntata.
aggiungo in OT un piccolo aneddoto. il mio prof. di Probabilità, analogamente alla fiducia nel calcolo delle probabilità, usava approssimare a zero anche una probabilità non infinitesima come quella di cui si parla qui (operazione non corretta, ma fatta a fin di bene): per scoraggiare gli amici a giocare, giocava (non so se l'ha fatto più volte...) una schedina del totocalcio in pubblico e subito dopo, sempre in pubblico, strappava la ricevuta.
ciao e grazie per l'attenzione.
PS: naturalmente io mi riferivo alle posizioni di seascoli e di Cheguevilla. vedo che nel frattempo sono intervenuti molti altri, ed in un certo senso Steven ha anticipato la questione del riportare un problema "concreto" al caso finito.
@steven
Un'urna contiene una pallina bianca e una nera: qual è la probabilità che prima o poi esca la pallina bianca?
Parola alle equazioni:
La probabilità che dopo n lanci non esca la bianca è $(1/2)^n$
La probabilità che esca è quella complementare $1-(1/2)^n$
Ponendo quest'ultima uguale a 1:
$1-(1/2)^n =1$
Vuoi risolverla?
Spero che tu conosca il significato della parola "ironia"
Un'urna contiene una pallina bianca e una nera: qual è la probabilità che prima o poi esca la pallina bianca?
Parola alle equazioni:
La probabilità che dopo n lanci non esca la bianca è $(1/2)^n$
La probabilità che esca è quella complementare $1-(1/2)^n$
Ponendo quest'ultima uguale a 1:
$1-(1/2)^n =1$
Vuoi risolverla?
Spero che tu conosca il significato della parola "ironia"
Con questi giochini potrai prendere in giro mia nonna e quelli che si affannano a cercare i numeri ritardatari del lotto.
Non certo me, anche la più banale equazione esponenziale ti dà torto.
Non certo me, anche la più banale equazione esponenziale ti dà torto.
Non è vero che entrambe le posizioni siano corrette. Seplicemente, non possono essere entrambe corrette.
Essendo posizioni opposte, solo una delle due può essere corretta (vedi il principio di non contraddizione di Aristotele: o A o non-A).
Se, come mi pare, Ada è convinta che la probabilità in questione sia 1, non può pensare che sia nel giusto chi non solo dice il contrario, ma lo dice anche con sarcasmo. Non vi pare? E la questione si riduce proprio a questo.
Interessante è poi il doppio quesito posto da Ada:
"Proporrei di rispondere alla seguente domanda:
In funzione del capitale (C) di cui il giocatore dispone, calcolare il numero massimo (N) di puntate perdenti che potrebbe permettersi di fare un giocatore, e conseguentemente la probabilità di vittoria entro l'N-esima puntata."
Rispondo subito alla seconda domanda, perchè la risposta non dipende affatto dal capitale C posseduto dal giocatore:
la risposta è (l'ho già data prima) : Prob(fiasco) = $(1-p)^N$, Prob(vittoria)=1-Prob(fiasco)= $1- (1-p)^N$
Datemi un attimo per rispondere anche alla prima domanda di Ada, che mi sembra molto più interessante.
In ogni caso, la risposta al primo quesito, a differenza di quel che sembra pensare Ada con quel "conseguentemente", non mi pare abbia molto a che fare col secondo ...
Spesso la genialità si rivela più nel saper porre le giuste domande, che nel saper dare le giuste risposte...
Invito anche gli altri a misurarsi col primo quesito posto di Ada ...
Essendo posizioni opposte, solo una delle due può essere corretta (vedi il principio di non contraddizione di Aristotele: o A o non-A).
Se, come mi pare, Ada è convinta che la probabilità in questione sia 1, non può pensare che sia nel giusto chi non solo dice il contrario, ma lo dice anche con sarcasmo. Non vi pare? E la questione si riduce proprio a questo.
Interessante è poi il doppio quesito posto da Ada:
"Proporrei di rispondere alla seguente domanda:
In funzione del capitale (C) di cui il giocatore dispone, calcolare il numero massimo (N) di puntate perdenti che potrebbe permettersi di fare un giocatore, e conseguentemente la probabilità di vittoria entro l'N-esima puntata."
Rispondo subito alla seconda domanda, perchè la risposta non dipende affatto dal capitale C posseduto dal giocatore:
la risposta è (l'ho già data prima) : Prob(fiasco) = $(1-p)^N$, Prob(vittoria)=1-Prob(fiasco)= $1- (1-p)^N$
Datemi un attimo per rispondere anche alla prima domanda di Ada, che mi sembra molto più interessante.
In ogni caso, la risposta al primo quesito, a differenza di quel che sembra pensare Ada con quel "conseguentemente", non mi pare abbia molto a che fare col secondo ...
Spesso la genialità si rivela più nel saper porre le giuste domande, che nel saper dare le giuste risposte...
Invito anche gli altri a misurarsi col primo quesito posto di Ada ...
@Cheguevilla
Credo che non ci sia peggior sordo di chi non vuol sentire, ed è inutile quindi che io cerchi di convincerti. Ma, prima di chiudere questa polemica, voglio dirti ancora qualcosa: date le premesse (si continua ad estrarre finchè non esce la pallina bianca), mentre la probabilità di uscita della pallina bianca è 1, la probabilità di uscita di una pallina nera (una qualsiasi) è inferiore a 1, proprio perchè la prima pallina estratta potrebbe essere proprio la bianca. Dubito però che tu lo capisca e immagino già a quali argomentazioni, generiche e fumose, ricorrerai.
Con questo considero la polemica definitivamente chiusa, con chiunque, perchè sono molto anziano e vorrei spendere meglio il tempo che ancora mi rimane....
Credo che non ci sia peggior sordo di chi non vuol sentire, ed è inutile quindi che io cerchi di convincerti. Ma, prima di chiudere questa polemica, voglio dirti ancora qualcosa: date le premesse (si continua ad estrarre finchè non esce la pallina bianca), mentre la probabilità di uscita della pallina bianca è 1, la probabilità di uscita di una pallina nera (una qualsiasi) è inferiore a 1, proprio perchè la prima pallina estratta potrebbe essere proprio la bianca. Dubito però che tu lo capisca e immagino già a quali argomentazioni, generiche e fumose, ricorrerai.
Con questo considero la polemica definitivamente chiusa, con chiunque, perchè sono molto anziano e vorrei spendere meglio il tempo che ancora mi rimane....
Quindi suppongo che tu sappia dimostrare anche l'esistenza di Dio allo stesso modo.
Supponiamo che Dio esista...
Supponiamo che Dio esista...
grazie del complimento...
però forse non si è capito in che senso dico che anche la posizione di Cheguevilla è corretta:
nel finito viene attribuito 1 alla probabilità "esclusivamente" dell'evento certo;
in caso di spazio campione infinito, non è detto che si verifichi un evento che ha probabilità 1 di verificarsi.
non ho insistito molto sull'evento in questione, perché appunto non conosco i dettagli, però ritengo che, mentre è corretto dire che all'infinito la probabilità è 1, di certo non è corretto dire che un giocatore non può fallire (perché mi pare che precedentemente sia stato contestato qualcosa del genere anche ad Umby).
la mia domanda (la prima) serviva a riportare la questione sul piano concreto. la seconda continuo a dire che è collegata con la prima non perché non sia possibile trovare una formula generale, anzi è bene che tale formula sia stata scritta prima, per una questione di trasparenza, ma è collegata con la prima nel senso che, dopo aver ricavato N, si può trovare il valore numerico di tale probabilità, in funzione non di un generico N, ma proprio la probabilità della "non rovina" di un giocatore che dispone di un certo capitale. e questa, certamente sarà molto alta, ma non credo che sarà 1.
ciao.
però forse non si è capito in che senso dico che anche la posizione di Cheguevilla è corretta:
nel finito viene attribuito 1 alla probabilità "esclusivamente" dell'evento certo;
in caso di spazio campione infinito, non è detto che si verifichi un evento che ha probabilità 1 di verificarsi.
non ho insistito molto sull'evento in questione, perché appunto non conosco i dettagli, però ritengo che, mentre è corretto dire che all'infinito la probabilità è 1, di certo non è corretto dire che un giocatore non può fallire (perché mi pare che precedentemente sia stato contestato qualcosa del genere anche ad Umby).
la mia domanda (la prima) serviva a riportare la questione sul piano concreto. la seconda continuo a dire che è collegata con la prima non perché non sia possibile trovare una formula generale, anzi è bene che tale formula sia stata scritta prima, per una questione di trasparenza, ma è collegata con la prima nel senso che, dopo aver ricavato N, si può trovare il valore numerico di tale probabilità, in funzione non di un generico N, ma proprio la probabilità della "non rovina" di un giocatore che dispone di un certo capitale. e questa, certamente sarà molto alta, ma non credo che sarà 1.
ciao.
@Cheguevilla
Dimenticavo di dirti, pensando al caso Englaro, che sono d'accordo con il tuo slogan. Ho anche molta simpatia per i danesi.
Dimenticavo di dirti, pensando al caso Englaro, che sono d'accordo con il tuo slogan. Ho anche molta simpatia per i danesi.
@ada
PREMESSA
E' ovvio che la probabilità di vittoria non verrà 1, se N è finito.
E se il capitale C é finito, il valore di N cui si riferisce Ada è finito.
Tutto ciò é banale e mi è perfettamente noto, ovviamente.
FINE della PREMESSA
RISPOSTA AL PRIMO QUESITO POSTO DA ADA
Nella fattispecie trattandosi della seguente martingala (da me definita nel mio intervento d'esordio):
$1, r-1 , (r-1)r, r(-1)r^2, (r-1)r^3, .............$ etc.
dove r > 1 è il rialzo della posta (nella fattispecie ho supposto r > Q/(Q-1) > 1), la risposta al primo quesito di Ada è:
$N_r(C, s_1)=log(C/{s_1})/logr$, dove $s_1$ è la prima posta.
Per esempio, se C=3000 euro, e la posta iniziale è $s_1=8$ euro, allora per r=1.125, il giocatore può reggere fino alla 50.ma puntata inclusa. E questo dà una prob. di farcela pari a Prob(successo) = $1-(1-p)^{N_{max}}=1-(17/18)^50$=94,26%.
Se invece C=30 mila euro si ha: N=70 , Prob(successo) = 98.17%
E con ciò?
Sono stato il primo a dire che "il valore aspettato dell'esborso necessario a finanziare un'intera giocata è infinito".
Sapete leggere? Non mi si può attribuire quello che NON ho detto, o travisare quello che HO detto!
Sta di fatto che il problema è un altro, e cioè:
"In queste condizioni conviene o no avventurarsi in questa impresa rischiosa?"
La risposta, secondo me, può darla solo un esperimento su computer. Io, ripeto, ne ho fatto centinaia, non avendo idee preconcette in merito come sembra abbiano quasi tutti i partecipanti al dibattito (escludo "don abbondio" e Ada).
Quando infatti si tratta con variabili aleatorie aventi valore aspettato infinito, tutto ciò che sappiamo, anche per esperienza, sui campioni estratti dalle relative popolazioni (inclusa la legge dei Grandi NUmeri) NON vale più, e penso che solo l'esperienza diretta può dirci come regolarsi e soprattutto come decidere se una strategia di gioco è conveniente o no.
PREMESSA
E' ovvio che la probabilità di vittoria non verrà 1, se N è finito.
E se il capitale C é finito, il valore di N cui si riferisce Ada è finito.
Tutto ciò é banale e mi è perfettamente noto, ovviamente.
FINE della PREMESSA
RISPOSTA AL PRIMO QUESITO POSTO DA ADA
Nella fattispecie trattandosi della seguente martingala (da me definita nel mio intervento d'esordio):
$1, r-1 , (r-1)r, r(-1)r^2, (r-1)r^3, .............$ etc.
dove r > 1 è il rialzo della posta (nella fattispecie ho supposto r > Q/(Q-1) > 1), la risposta al primo quesito di Ada è:
$N_r(C, s_1)=log(C/{s_1})/logr$, dove $s_1$ è la prima posta.
Per esempio, se C=3000 euro, e la posta iniziale è $s_1=8$ euro, allora per r=1.125, il giocatore può reggere fino alla 50.ma puntata inclusa. E questo dà una prob. di farcela pari a Prob(successo) = $1-(1-p)^{N_{max}}=1-(17/18)^50$=94,26%.
Se invece C=30 mila euro si ha: N=70 , Prob(successo) = 98.17%
E con ciò?
Sono stato il primo a dire che "il valore aspettato dell'esborso necessario a finanziare un'intera giocata è infinito".
Sapete leggere? Non mi si può attribuire quello che NON ho detto, o travisare quello che HO detto!
Sta di fatto che il problema è un altro, e cioè:
"In queste condizioni conviene o no avventurarsi in questa impresa rischiosa?"
La risposta, secondo me, può darla solo un esperimento su computer. Io, ripeto, ne ho fatto centinaia, non avendo idee preconcette in merito come sembra abbiano quasi tutti i partecipanti al dibattito (escludo "don abbondio" e Ada).
Quando infatti si tratta con variabili aleatorie aventi valore aspettato infinito, tutto ciò che sappiamo, anche per esperienza, sui campioni estratti dalle relative popolazioni (inclusa la legge dei Grandi NUmeri) NON vale più, e penso che solo l'esperienza diretta può dirci come regolarsi e soprattutto come decidere se una strategia di gioco è conveniente o no.
E' ovvio che la probabilità di vittoria non verrà 1, se N è finito.
mi pareva ovvio che non potessi affermare una cosa diversa.
ma il punto della questione è proprio questo: se C è finito, anche N sarà finito. solo se C è infinito, P=1.
sarebbe interessante confrontare la vincita con il capitale "investito": sicuramente è stato già detto, ma con "dati concreti alla mano", potrebbe valere la pena abbassare la puntata iniziale per aumentare le probabilità di vittoria a parità di capitale, però solo se non fosse troppo basso il "guadagno" (inteso in senso elementare come differenza tra la vincita ed il capitale speso).
un altro problema potrebbe essere questo: per quale valore di $r$ è massimo il prodotto tra il "guadagno" e la "probabilità di vincita" ?
E' ovvio che la probabilità di vittoria non verrà 1, se N è finito.Quindi, sempre ovviamente, riconoscerai che nella realtà questo piano non è strettamente vincente.
E se il capitale C é finito, il valore di N cui si riferisce Ada è finito.
Tutto ciò é banale e mi è perfettamente noto, ovviamente.
Rispondo allo stesso tempo a Cheguevilla e ad Ada.
Questo piano di gioco è "strettamente vincente" nel senso che, ogni volta che si conclude una giocata (cioè che esce il 47 sulla ruota di Napoli, per intenderci), il giocatore finisce in attivo, con un utile (riservo la parola "guadagno" al rapporto fra utile e spesa) pari a una percentuale fissa della stessa. Cioè se S è la spesa (somma di tutte le puntate), l'incasso a vincita avvenuta sarà R=(1+g)S e l'utile U=gS, con g fissato, indipendentemente da quanto dura la giocata. Nel caso da me prospettato a puro titolo di esempio, cioè r=1.125, l'utile è il 22,22% dell'intera spesa sostenuta con un guadagno (cioè profitto percentuale) pari appunto a g=22,22%.
Questo guadagno è sempre lo stesso, sia che la giocata duri 4, 5, 6, ... 10, 20, ... 100, 1000 volte. L'unica eccezione è quando il 47 esce alla prima estrazione. Allora si ha g=1000%, perchè dato che Q=11 (cioè il Lotto paga 11 volte un numero estratto su una data ruota) se punto 1 e subito incasso 11, la spesa è 1, il ricavo è 11, l'utile è 11-1=10, e il guadagno è utile/spesa = 10/1 = 10 = 1000%. Prego chi interviene, per evitare ambiguità, di usare gli stessi termini da me usati (spesa, ricavo, utile e guadagno) per indicare le stesse cose. Grazie.
Tornando al carattere "strettamente vincente" del gioco, occorre fare certo qualche precisazione su quel "ogni volta che si conclude una giocata" da me usato poc'anzi.
Uno può obiettare: "E' proprio qui che sta il punto! Se la giocata finisce, certo, sei sicuro di aver realizzato un utile, ma la giocata potrebbe durare per un tempo indefinito, e, per quanto l'evento "uscita del 47 prima o poi" sia un evento con probabilità 1, non si tratta (come osserva giustamente Ada) di un evento certo nel senso ordinario, ma solo per chi ha un tempo infinito per aspettare!".
Accolgo quest'obiezione, ma non la condivido per due motivi.
Primo. E' vero che la spesa necessaria a "reggere" una giocata potrebbe diventare grande a piacere, essendo il suo valore aspettato infinito, ma, in compenso, anche il valore aspettato dell'utile del giocatore è infinito (l'ho calcolato sempre usando la distribuzione geometrica) . Insomma, fra me e il banco, entrambi corriamo dei rischi, ma i rischi maggiori li corre il banco, perchè, quando arriva il momento, dovrà pagarmi 1,222 volte tutto ciò che gli ho versato nelle precedenti puntate. Per questo il gioco a martingala potrebbe essere comunque conveniente al giocatore, nonostante il suo carattere rischioso. E' questo che sto cercando di dire fin dall'inizio!
Secondo. Voglio vedere quanto è alto questo rischio per il giocatore , rischio cui tutti voi (tranne il saggio "don abbondio") date tanta importanza. Io sono San Tommaso e devo toccare con mano per credere. Ecco perchè ho fatto centinaia di simulazioni della suddetta martingala su computer (usando il metodo Montecarlo) e i risultati appaiono incoraggianti, a dir poco. E' questo lo spirito del metodo scientifico: quando non hai più riferimenti certi in base alle teorie esistenti, rimboccati le maniche e vai ad osservare la natura (Bacone e Galileo docent). Chi disdegna la sperimentazione in casi come questi (dove non tutto è limpido e scontato), mostra di avere lo stesso atteggiamento dei dotti medievali che condannavano un asserto solo perchè era in contrasto con la Bibbia o con la dottrina aristotelica.
Rispondo nel mio prossimo intervento all'ultimo quesito posto da Ada ...
Questo piano di gioco è "strettamente vincente" nel senso che, ogni volta che si conclude una giocata (cioè che esce il 47 sulla ruota di Napoli, per intenderci), il giocatore finisce in attivo, con un utile (riservo la parola "guadagno" al rapporto fra utile e spesa) pari a una percentuale fissa della stessa. Cioè se S è la spesa (somma di tutte le puntate), l'incasso a vincita avvenuta sarà R=(1+g)S e l'utile U=gS, con g fissato, indipendentemente da quanto dura la giocata. Nel caso da me prospettato a puro titolo di esempio, cioè r=1.125, l'utile è il 22,22% dell'intera spesa sostenuta con un guadagno (cioè profitto percentuale) pari appunto a g=22,22%.
Questo guadagno è sempre lo stesso, sia che la giocata duri 4, 5, 6, ... 10, 20, ... 100, 1000 volte. L'unica eccezione è quando il 47 esce alla prima estrazione. Allora si ha g=1000%, perchè dato che Q=11 (cioè il Lotto paga 11 volte un numero estratto su una data ruota) se punto 1 e subito incasso 11, la spesa è 1, il ricavo è 11, l'utile è 11-1=10, e il guadagno è utile/spesa = 10/1 = 10 = 1000%. Prego chi interviene, per evitare ambiguità, di usare gli stessi termini da me usati (spesa, ricavo, utile e guadagno) per indicare le stesse cose. Grazie.
Tornando al carattere "strettamente vincente" del gioco, occorre fare certo qualche precisazione su quel "ogni volta che si conclude una giocata" da me usato poc'anzi.
Uno può obiettare: "E' proprio qui che sta il punto! Se la giocata finisce, certo, sei sicuro di aver realizzato un utile, ma la giocata potrebbe durare per un tempo indefinito, e, per quanto l'evento "uscita del 47 prima o poi" sia un evento con probabilità 1, non si tratta (come osserva giustamente Ada) di un evento certo nel senso ordinario, ma solo per chi ha un tempo infinito per aspettare!".
Accolgo quest'obiezione, ma non la condivido per due motivi.
Primo. E' vero che la spesa necessaria a "reggere" una giocata potrebbe diventare grande a piacere, essendo il suo valore aspettato infinito, ma, in compenso, anche il valore aspettato dell'utile del giocatore è infinito (l'ho calcolato sempre usando la distribuzione geometrica) . Insomma, fra me e il banco, entrambi corriamo dei rischi, ma i rischi maggiori li corre il banco, perchè, quando arriva il momento, dovrà pagarmi 1,222 volte tutto ciò che gli ho versato nelle precedenti puntate. Per questo il gioco a martingala potrebbe essere comunque conveniente al giocatore, nonostante il suo carattere rischioso. E' questo che sto cercando di dire fin dall'inizio!
Secondo. Voglio vedere quanto è alto questo rischio per il giocatore , rischio cui tutti voi (tranne il saggio "don abbondio") date tanta importanza. Io sono San Tommaso e devo toccare con mano per credere. Ecco perchè ho fatto centinaia di simulazioni della suddetta martingala su computer (usando il metodo Montecarlo) e i risultati appaiono incoraggianti, a dir poco. E' questo lo spirito del metodo scientifico: quando non hai più riferimenti certi in base alle teorie esistenti, rimboccati le maniche e vai ad osservare la natura (Bacone e Galileo docent). Chi disdegna la sperimentazione in casi come questi (dove non tutto è limpido e scontato), mostra di avere lo stesso atteggiamento dei dotti medievali che condannavano un asserto solo perchè era in contrasto con la Bibbia o con la dottrina aristotelica.
Rispondo nel mio prossimo intervento all'ultimo quesito posto da Ada ...
Ada scripsit
un altro problema potrebbe essere questo: per quale valore di $r$ è massimo il prodotto tra il "guadagno" e la "probabilità di vincita" ?
Per rispondere con una formula a questa domanda ho bisogno di due chiarimenti.
1) Per "guadagno" Ada intende ciò che intendo io (rapporto fra l'utile e la spesa) o l'utile tout court (cioè la vincita netta)?
2) Per "probabiltà di vincita" Ada intende "probabilità che prima o poi esca il 47" (che è banalmente 1), oppure "probabilità che esca il 47 prima che il giocatore abbia finito il suo capitale iniziale C" ?
Dò comunque la risposta nel caso s'intenda per "guadagno" il rapporto (utile/spesa) e che s'intenda la probabilità di vincita nella seconda accezione (quella più realistica).
Nella mia martingala ogni volta che si vince, il guadagno realizzato non dipende da quanto duri l'attesa, ma dipende solo dal rialzo della posta $r$ e dal rapporto di vincita lorda Q. La formula è $g=Q(1-1/r)-1$.
Nel caso da me prospettato si ha Q=11 e r = 1.125=9/8 per cui g=11(1-8/9)-1 = 11/9-1 = 2/9 =22,22%
D'altra parte la probabilità di "cavarsela" con un capitale finito C è
$P(C)=1-(1-p)^{N(C)}$ e la formula per N(C) l'ho trovata nel mio penultimo intervento su richiesta di Ada.
$N(C)=log(C//s_1)/log(r)$.
Ammettiamo per semplicità di misurare il capitale C non in euro ma in multipli della posta iniziale $s_1$.
Allora si può porre $s_1=1$ e si ottiene che la funzione che Ada chiede di massimizzare in termini di r è:
$f(r;C,p,Q)= [Q(1-1/r)-1][1-(1-p)^{log_rC}]$
Nella fattispecie occorre trovare il massimo di $f(r,C)=(10-11/r)[1-(17/18)^{log_rC}]$
Beh, datemi un attimo...
un altro problema potrebbe essere questo: per quale valore di $r$ è massimo il prodotto tra il "guadagno" e la "probabilità di vincita" ?
Per rispondere con una formula a questa domanda ho bisogno di due chiarimenti.
1) Per "guadagno" Ada intende ciò che intendo io (rapporto fra l'utile e la spesa) o l'utile tout court (cioè la vincita netta)?
2) Per "probabiltà di vincita" Ada intende "probabilità che prima o poi esca il 47" (che è banalmente 1), oppure "probabilità che esca il 47 prima che il giocatore abbia finito il suo capitale iniziale C" ?
Dò comunque la risposta nel caso s'intenda per "guadagno" il rapporto (utile/spesa) e che s'intenda la probabilità di vincita nella seconda accezione (quella più realistica).
Nella mia martingala ogni volta che si vince, il guadagno realizzato non dipende da quanto duri l'attesa, ma dipende solo dal rialzo della posta $r$ e dal rapporto di vincita lorda Q. La formula è $g=Q(1-1/r)-1$.
Nel caso da me prospettato si ha Q=11 e r = 1.125=9/8 per cui g=11(1-8/9)-1 = 11/9-1 = 2/9 =22,22%
D'altra parte la probabilità di "cavarsela" con un capitale finito C è
$P(C)=1-(1-p)^{N(C)}$ e la formula per N(C) l'ho trovata nel mio penultimo intervento su richiesta di Ada.
$N(C)=log(C//s_1)/log(r)$.
Ammettiamo per semplicità di misurare il capitale C non in euro ma in multipli della posta iniziale $s_1$.
Allora si può porre $s_1=1$ e si ottiene che la funzione che Ada chiede di massimizzare in termini di r è:
$f(r;C,p,Q)= [Q(1-1/r)-1][1-(1-p)^{log_rC}]$
Nella fattispecie occorre trovare il massimo di $f(r,C)=(10-11/r)[1-(17/18)^{log_rC}]$
Beh, datemi un attimo...
Ho fatto i conti per vari valori di capitale iniziale: C=300, 500, 1000, 3000, 8000 volte la posta iniziale.
Il rialzo per cui si massimizza la funzione considerata da Ada cioè F(r)= (guadagno x prob. di successo con Capitale C) è:
$r = 2,2 - 2,4$circa, crescente debolmente col capitale C.
Insomma, il valore ottimale di $r$ non dipende granchè dal capitale iniziale. Il valore di picco ivi assunto dalla funzione F(r) varia fra 1.5 e 2.5, qualsiasi cosa possano significare tali valori.
L'unico commento che faccio è che mi guarderei bene dal praticare un rialzo anche solo vicino a 2.
Così verrebbe spazzato via anche un Bill Gates (non so se mi spiego: $2^40 > 1000$miliardi, mentre $1.125^40 = 111.20$).
Il rialzo per cui si massimizza la funzione considerata da Ada cioè F(r)= (guadagno x prob. di successo con Capitale C) è:
$r = 2,2 - 2,4$circa, crescente debolmente col capitale C.
Insomma, il valore ottimale di $r$ non dipende granchè dal capitale iniziale. Il valore di picco ivi assunto dalla funzione F(r) varia fra 1.5 e 2.5, qualsiasi cosa possano significare tali valori.
L'unico commento che faccio è che mi guarderei bene dal praticare un rialzo anche solo vicino a 2.
Così verrebbe spazzato via anche un Bill Gates (non so se mi spiego: $2^40 > 1000$miliardi, mentre $1.125^40 = 111.20$).
"seascoli":
Secondo. Voglio vedere quanto è alto questo rischio per il giocatore , rischio cui tutti voi (tranne il saggio "don abbondio") date tanta importanza. Io sono San Tommaso e devo toccare con mano per credere. Ecco perchè ho fatto centinaia di simulazioni della suddetta martingala su computer (usando il metodo Montecarlo) e i risultati appaiono incoraggianti, a dir poco. E' questo lo spirito del metodo scientifico: quando non hai più riferimenti certi in base alle teorie esistenti, rimboccati le maniche e vai ad osservare la natura (Bacone e Galileo docent). Chi disdegna la sperimentazione in casi come questi (dove non tutto è limpido e scontato), mostra di avere lo stesso atteggiamento dei dotti medievali che condannavano un asserto solo perchè era in contrasto con la Bibbia o con la dottrina aristotelica.
Non credo che i tuoi interlocutori siano delle persone che mettono i principi medievali di difesa a spada tratta di principi dogmatici di fronte alle evidenze scientifiche che, seppur basate su osservazione della realtà, devono essere supportate da teorie condivise e dimostrabili. Ti ricordo che spesso le osservazioni o le simulazioni non sono sufficienti a dimostrare alcunchè.
Non sono abile quanto voi nella statistica, ma la domanda che mi sorge è la seguente, se avessi ragione (ed il mio non è un tono polemico o critico) allora se tutti i giocatori seguissero il tuo metodo il banco avrebbe probabilità "1" di finire in bancarotta... come mai fino ad ora non è mai successo? Ed ancora come mai un gioco simile esite visto che il banco non ha vantaggio ad essere tale???
Questo piano di gioco è "strettamente vincente" nel senso che, ogni volta che si conclude una giocataQuesto piano non è strettamente vincente perchè NON si ha la CERTEZZA che la giocata si concluda.
Questa certezza si può avere solo in un contesto NON REALE, ovvero ipotizzando di poter giocare all'infinito.
Voglio vedere quanto è alto questo rischio per il giocatore , rischio cui tutti voi (tranne il saggio "don abbondio") date tanta importanza.Accontentato.
Da questa tabella si nota chiaramente che non è affatto un evento remoto il "ritardo" di un numero. Poichè l'evento è identico alla puntata di un numero qualsiasi, possiamo considerare ogni numero come una ripetizione dell'esperimento.
40 puntate significa spendere un capitale di 882 euri.
50 puntate significa spendere un capitale di 2880 euri.
60 puntate significa spendere un capitale di 9373 euri.
70 puntate significa spendere un capitale di 30454 euri.
80 puntate significa spendere un capitale di 98914 euri.
90 puntate significa spendere un capitale di 321223 euri.
100 puntate significa spendere un capitale di 1043131 euri.
C'è bisogno di andare avanti?
Cosa raccontiamo al giocatore che ha giocato il 68 su Torino, che ha speso 6104210 euri finora e non ha ancora vinto niente?
Continua all'infinito che vincerai?
Oppure, coraggio, la prossima giocata ti costa solo 763027 euri ed hai ben il una probabilità su diciotto di vincere!
Ovvero, la stessa delle 115 precedenti.
Ad ogni modo, sia seascoli che don abbondio hanno ragione: non c'è nessun rischio, tanto prima o poi si vince...
Rispondo a Lord K con piacere.
Primo punto. Il paragone con l'ottusità e il dogmatismo dei dotti medievali era ovviamente una metafora, ma una metafora pertinente. Qui la Bibbia o la dottrina aristotelica è ciò che fin dall'inizio (anche per mostrare di conoscerlo) ho chiamato "il teorema della tara" , cioè se una scommessa è iniqua allora questo carattere sfavorevole per il giocatore si propaga, appunto, come una "tara ereditaria" a tutti i sistemi di gioco e strategie di puntate basate sulla ripetizione di quella scommessa iniqua. Questo teorema in genere vale e va rispettato. Ma ci sono delle ipotesi su cui si fonda la sua dimostrazione, e sono le stesse su cui si basa la legge dei Grandi Numeri. Quest'ipotesi è nello specifico delle martingale: il valore aspettato della spesa necessaria a reggere una giocata deve essere finito!
Allora sì, che sei "condannato" a perdere. Non solo, ma sai anche quanto: in media perdi una percentuale pari a pQ-1 di tutto ciò che punti nel gioco. Ma qui quell'ipotesi non vale! E allora perchè continuare ad invocare (è quello che hanno fatto quasi tutti in questo topic) quel risultato quando non vi sono più le condizioni per la sua validità? Siamo in un terreno nuovo e inesplorato, e ci vuole coraggio per affrontare l'ignoto anche a proprio rischio (ricordi? "non vogliate negar l'esperienza / di retro al sol, del mondo sanza gente. / Considerate la vostra semenza: fatti non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza" e nessuno mi rammenti quel funereo verso finale: "infin che 'l mar fu sopra noi richiuso.")
Secondo punto. Due cose ho da dirti.
1) Intanto non è vero che non è mai successo che il banco abbia perso di brutto. Non nel lotto certo! Ma ti posso citare il caso di vari casinò in Stati Uniti, e non solo, che hanno subito ripetutamente pesanti perdite a causa di strategie di gioco ben congegnate e previamente collaudate al computer (cfr. "Beat the dealer" di fine anni 60 di B.Thorpe per quanto riguarda il black jack, o "Million dollar Blackjack" di Ken Uston del 1983). Io stesso, insieme a 5 amici, abbiamo praticamente sbancato al gioco delle scommesse sportive un'agenzia di scommesse, succursale dell'inglese Stanley, che aveva aperto nei sotterranei della stazione Termini e riportò pesanti perdite contro il nostro gioco avveduto (non a martingala, ma più cauto).
Prima di fallire, arrivarono al punto di rifiutarmi il diritto di puntare ai loro botteghini, ma fu inutile perchè le puntate le facevano altri soci (e così pure la riscossione delle vincite). Il banco che fallisce viene poi spazzato via dalla concorrenza, perciò di norma non si vedono in giro allibratori che consentono un gioco vincente. Ma ce ne sono, anche se rari. Quello che è difficile è riconoscerli.
2) La maggior parte dei giocatori sono persone irrazionali e testarde. Anche se gli dici dove e perchè sbagliano, continuano a puntare a modo loro e a perdere. Su questo si fondano i profitti dei casinò, del superEnalotto, degli allibratori etc. Anche se ci sono alcuni giocatori che hanno metodi vincenti e vincono, la stragrande maggioranza di chi gioca è in condizioni di grave incapacità, il che va a tutto vantaggio dei biscazzieri. Ecco perchè questi proliferano e prosperano. E' lo stesso motivo per cui funzionano i messaggi pubblicitari: la gente è piena di gonzi, sprovveduti, ingenui, fanatici, ignoranti, etc. E sarà sempre così!
Primo punto. Il paragone con l'ottusità e il dogmatismo dei dotti medievali era ovviamente una metafora, ma una metafora pertinente. Qui la Bibbia o la dottrina aristotelica è ciò che fin dall'inizio (anche per mostrare di conoscerlo) ho chiamato "il teorema della tara" , cioè se una scommessa è iniqua allora questo carattere sfavorevole per il giocatore si propaga, appunto, come una "tara ereditaria" a tutti i sistemi di gioco e strategie di puntate basate sulla ripetizione di quella scommessa iniqua. Questo teorema in genere vale e va rispettato. Ma ci sono delle ipotesi su cui si fonda la sua dimostrazione, e sono le stesse su cui si basa la legge dei Grandi Numeri. Quest'ipotesi è nello specifico delle martingale: il valore aspettato della spesa necessaria a reggere una giocata deve essere finito!
Allora sì, che sei "condannato" a perdere. Non solo, ma sai anche quanto: in media perdi una percentuale pari a pQ-1 di tutto ciò che punti nel gioco. Ma qui quell'ipotesi non vale! E allora perchè continuare ad invocare (è quello che hanno fatto quasi tutti in questo topic) quel risultato quando non vi sono più le condizioni per la sua validità? Siamo in un terreno nuovo e inesplorato, e ci vuole coraggio per affrontare l'ignoto anche a proprio rischio (ricordi? "non vogliate negar l'esperienza / di retro al sol, del mondo sanza gente. / Considerate la vostra semenza: fatti non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza" e nessuno mi rammenti quel funereo verso finale: "infin che 'l mar fu sopra noi richiuso.")
Secondo punto. Due cose ho da dirti.
1) Intanto non è vero che non è mai successo che il banco abbia perso di brutto. Non nel lotto certo! Ma ti posso citare il caso di vari casinò in Stati Uniti, e non solo, che hanno subito ripetutamente pesanti perdite a causa di strategie di gioco ben congegnate e previamente collaudate al computer (cfr. "Beat the dealer" di fine anni 60 di B.Thorpe per quanto riguarda il black jack, o "Million dollar Blackjack" di Ken Uston del 1983). Io stesso, insieme a 5 amici, abbiamo praticamente sbancato al gioco delle scommesse sportive un'agenzia di scommesse, succursale dell'inglese Stanley, che aveva aperto nei sotterranei della stazione Termini e riportò pesanti perdite contro il nostro gioco avveduto (non a martingala, ma più cauto).
Prima di fallire, arrivarono al punto di rifiutarmi il diritto di puntare ai loro botteghini, ma fu inutile perchè le puntate le facevano altri soci (e così pure la riscossione delle vincite). Il banco che fallisce viene poi spazzato via dalla concorrenza, perciò di norma non si vedono in giro allibratori che consentono un gioco vincente. Ma ce ne sono, anche se rari. Quello che è difficile è riconoscerli.
2) La maggior parte dei giocatori sono persone irrazionali e testarde. Anche se gli dici dove e perchè sbagliano, continuano a puntare a modo loro e a perdere. Su questo si fondano i profitti dei casinò, del superEnalotto, degli allibratori etc. Anche se ci sono alcuni giocatori che hanno metodi vincenti e vincono, la stragrande maggioranza di chi gioca è in condizioni di grave incapacità, il che va a tutto vantaggio dei biscazzieri. Ecco perchè questi proliferano e prosperano. E' lo stesso motivo per cui funzionano i messaggi pubblicitari: la gente è piena di gonzi, sprovveduti, ingenui, fanatici, ignoranti, etc. E sarà sempre così!
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