Funzione di densità e di ripartizione
Ciao a tutti,
ho un pò di difficoltà con questo esercizio:
Data la funzione
$f(x)=\{(c*|senx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$
$1)$ determinare il valore della costante c in modo che $f(x)$ sia la funzione di densità di una varibile casuale X:
$\int_{-\pi/2}^0 (-senx) dx + \int_0^{\pi/2} senxdx = [cosx]_(-\pi/2)^0 + [-cosx]_0^(\pi/2)=[cos(0)-cos(-\pi/2)] + [-cos(\pi/2)- (-cos(0))] = 1-(-1)=2$
poichè $\int_{-oo}^oo f(x)=1 rArr c*2=1$ quindi $c=0,5$ (fin qua credo sia tutto giusto)
$2)$ determinare la funzione di ripartizione della v.c. X:
Qua iniziano i dubbi. Per prima cosa, la funzione di densità che ho trovato qual è?
$f(x)=\{(0.5 * |senx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$ oppure $f(x)=\{(0.5 * senx, if 0<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$ poichè deve essere positiva?
ho un pò di difficoltà con questo esercizio:
Data la funzione
$f(x)=\{(c*|senx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$
$1)$ determinare il valore della costante c in modo che $f(x)$ sia la funzione di densità di una varibile casuale X:
$\int_{-\pi/2}^0 (-senx) dx + \int_0^{\pi/2} senxdx = [cosx]_(-\pi/2)^0 + [-cosx]_0^(\pi/2)=[cos(0)-cos(-\pi/2)] + [-cos(\pi/2)- (-cos(0))] = 1-(-1)=2$
poichè $\int_{-oo}^oo f(x)=1 rArr c*2=1$ quindi $c=0,5$ (fin qua credo sia tutto giusto)
$2)$ determinare la funzione di ripartizione della v.c. X:
Qua iniziano i dubbi. Per prima cosa, la funzione di densità che ho trovato qual è?
$f(x)=\{(0.5 * |senx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$ oppure $f(x)=\{(0.5 * senx, if 0<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$ poichè deve essere positiva?
Risposte
"bius88":
Qua iniziano i dubbi. Per prima cosa, la funzione di densità che ho trovato qual è?
E' la prima che hai (correttamente) trovato.
Attenzione che nella seconda avresti $f(x)=0$ per $-pi/2<=x<0$ (contrariamente a quanto assegnato dall'esercizio).
La prima è comunque sempre non negativa (hai il valore assoluto
)
ok cenzo....grazie 1000!!
Ma ora per trovare la funzione di ripartizione $F(x)$ come devo fare?
Sul libro ho trovato che $F(x)=\int_-oo^xf(x)dx$; $\lim_{n \to \-infty}F(x)=0$ e $\lim_{n \to \+infty}F(x)=1$.
La $f(x)$ è quella che ho trovato prima, ma non ho capito qual è l'estremo di integrazione superiore...al posto della $x$ che cosa devo mettere?
Ma ora per trovare la funzione di ripartizione $F(x)$ come devo fare?
Sul libro ho trovato che $F(x)=\int_-oo^xf(x)dx$; $\lim_{n \to \-infty}F(x)=0$ e $\lim_{n \to \+infty}F(x)=1$.
La $f(x)$ è quella che ho trovato prima, ma non ho capito qual è l'estremo di integrazione superiore...al posto della $x$ che cosa devo mettere?
Non devi mettere nessun valore particolare al posto di $x$: è una variabile che può assumere qualsiasi valore in $RR$.
Per evitare confusione sarebbe preferibile indicare la variabile di escursione con $x$ (estremo dell'integrale) e la variabile di integrazione con un altro nome, diciamo $t$. Per cui avresti:
$F_X(x)=P(X<=x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$
dove $f(t)$ è la densità di probabilità che hai precedentemente determinato.
Il mio consiglio è di studiare separatamente i quattro casi:
1) $x<-pi/2$
2) $-pi/2<=x<0$
3) $0<=x<=pi/2$
4) $x>pi/2$
Potrebbe esserti di grande aiuto disegnare il grafico della $f(x)$ e ricordare la definizione della funzione di ripartizione, in modo da "vedere" sul grafico quello che stai calcolando analiticamente.
Per evitare confusione sarebbe preferibile indicare la variabile di escursione con $x$ (estremo dell'integrale) e la variabile di integrazione con un altro nome, diciamo $t$. Per cui avresti:
$F_X(x)=P(X<=x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$
dove $f(t)$ è la densità di probabilità che hai precedentemente determinato.
Il mio consiglio è di studiare separatamente i quattro casi:
1) $x<-pi/2$
2) $-pi/2<=x<0$
3) $0<=x<=pi/2$
4) $x>pi/2$
Potrebbe esserti di grande aiuto disegnare il grafico della $f(x)$ e ricordare la definizione della funzione di ripartizione, in modo da "vedere" sul grafico quello che stai calcolando analiticamente.
Grazie cenzo, ma come faccio a studiare quei 4 casi?
Ricordo che il grafico della funzione di ripartizione è una funzione a gradini..
Ricordo che il grafico della funzione di ripartizione è una funzione a gradini..
Ti consiglio di iniziare a disegnare il grafico della funzione densità di probabilità, per intenderci la $f(x)$ che ti sei calcolato al primo post con coefficiente $c=1/2$.
Ricorda poi che in questo caso la funzione di ripartizione $F(x)$ non è a gradini, in quanto la variabile casuale è continua, non è discreta.
La funzione di ripartizione $F(x)$ è la probabilità che la variabile casuale continua $X$ assuma un valore minore o uguale ad un certo valore $x$, rappresentata dall'area sotto la curva $f(x)$, da cui quell'integrale $F_X(x)=P(X<=x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$.
Se disegni il grafico di $f(x)$ vedrai tutto in modo più chiaro.
Ad esempio, è evidente che $F(x)=0$ per $x<-pi/2$, e anche $F(x)=1$ per $x>pi/2$
Ricorda poi che in questo caso la funzione di ripartizione $F(x)$ non è a gradini, in quanto la variabile casuale è continua, non è discreta.
La funzione di ripartizione $F(x)$ è la probabilità che la variabile casuale continua $X$ assuma un valore minore o uguale ad un certo valore $x$, rappresentata dall'area sotto la curva $f(x)$, da cui quell'integrale $F_X(x)=P(X<=x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$.
Se disegni il grafico di $f(x)$ vedrai tutto in modo più chiaro.
Ad esempio, è evidente che $F(x)=0$ per $x<-pi/2$, e anche $F(x)=1$ per $x>pi/2$
ok cenzo:
Siccome il seno è in valore assoluto esiste solo tra $-2pi$ e$-pi$ e tra $0$ e $pi$;
poichè il mio intervallo è tra $-pi/2$ e $pi/2$ trovo che:
Per $x=0$ $rArr F(x)=0$
Per $x=pi/2$ $rArr F(x)=1$
Negli altri intervalli non esiste...
Perchè per $x<-pi/2$ abbiamo $F(x)=0$ e per $x>pi/2$ abbiamo $F(x)=1$?
Siccome il seno è in valore assoluto esiste solo tra $-2pi$ e$-pi$ e tra $0$ e $pi$;
poichè il mio intervallo è tra $-pi/2$ e $pi/2$ trovo che:
Per $x=0$ $rArr F(x)=0$
Per $x=pi/2$ $rArr F(x)=1$
Negli altri intervalli non esiste...
"cenzo":
Se disegni il grafico di $f(x)$ vedrai tutto in modo più chiaro.
Ad esempio, è evidente che $F(x)=0$ per $x<-pi/2$, e anche $F(x)=1$ per $x>pi/2$
Perchè per $x<-pi/2$ abbiamo $F(x)=0$ e per $x>pi/2$ abbiamo $F(x)=1$?
Ciao, il grafico che hai disegnato è relativo alla funzione $sinx$, non è il grafico della densità di probabilità $f(x)$:
$f(x)=\{(1/2*|sinx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$
In pratica devi disegnare il grafico della funzione così definita:
$f(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*(-sinx), if -pi/2<=x<0) ,(1/2*sinx,if 0<=x<=pi/2),(0,if x>pi/2):}$
Noterai che tale grafico ha massimo uguale a $1/2$ (non $1$ come il seno); è sempre maggiore o uguale a zero (mai negativo come il seno) e tale che l'area sottesa sia uguale ad 1 (è quello che hai utilizzato per ricavare $c=1/2=0.5$).
$f(x)=\{(1/2*|sinx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$
In pratica devi disegnare il grafico della funzione così definita:
$f(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*(-sinx), if -pi/2<=x<0) ,(1/2*sinx,if 0<=x<=pi/2),(0,if x>pi/2):}$
Noterai che tale grafico ha massimo uguale a $1/2$ (non $1$ come il seno); è sempre maggiore o uguale a zero (mai negativo come il seno) e tale che l'area sottesa sia uguale ad 1 (è quello che hai utilizzato per ricavare $c=1/2=0.5$).
grazie 1000 cenzo....comunque ho riletto la traccia e non mi chiede di disegnare il grafico ma solo di determinare la funzione di ripartizione; una volta trovata la costante $c$ era già tutto pronto (non avevo capito come dovevo scriverla)!!!
Quindi $f(x)=\{(1/2*|sinx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$
La funzione di ripartizione è:
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*(-sinx), if -pi/2<=x<0) ,(1/2*sinx,if 0<=x<=pi/2),(0,if x>pi/2):}$
E' giusto così?
L'utimo punto dice di calcolare la probabilità che la variabile casuale X non superi il valore $pi/3$. Qui non so proprio che pesci prendere...
Quindi $f(x)=\{(1/2*|sinx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$
La funzione di ripartizione è:
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*(-sinx), if -pi/2<=x<0) ,(1/2*sinx,if 0<=x<=pi/2),(0,if x>pi/2):}$
E' giusto così?
L'utimo punto dice di calcolare la probabilità che la variabile casuale X non superi il valore $pi/3$. Qui non so proprio che pesci prendere...
"bius88":
La funzione di ripartizione è:
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*(-sinx), if -pi/2<=x<0) ,(1/2*sinx,if 0<=x<=pi/2),(0,if x>pi/2):}$
E' giusto così?
No, quella è la densità $f(x)$... sei ancora molto lontano dalla $F(x)$... ti consiglio di studiare meglio la teoria.
La $F(x)=\int_-oo^xf(t)dt$
Allora cenzo la funzione di ripartizione va sempre da $0$ a $1$, ma non ho capito come devo svolgere l'integrale. Per caso è così?
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*\int_{-\pi/2}^0(-sinx) dx, if -pi/2<=x<0) ,(1/2*\int_{0}^(-\pi/2) sinx,if 0<=x<=pi/2),(1,if x>pi/2):}$
oppure così:
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*\int_{-oo}^x(-sinx) dx, if -pi/2<=x<0) ,(1/2*\int_{-oo}^(x) sinx,if 0<=x<=pi/2),(1,if x>pi/2):}$
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*\int_{-\pi/2}^0(-sinx) dx, if -pi/2<=x<0) ,(1/2*\int_{0}^(-\pi/2) sinx,if 0<=x<=pi/2),(1,if x>pi/2):}$
oppure così:
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*\int_{-oo}^x(-sinx) dx, if -pi/2<=x<0) ,(1/2*\int_{-oo}^(x) sinx,if 0<=x<=pi/2),(1,if x>pi/2):}$
Nessuna delle due che hai postato è corretta.
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*\int_{-\pi/2}^{x}(-sint) dt, if -pi/2<=x<0) ,(1/2*\int_{-\pi/2}^{0}(-sint) dt+1/2*\int_{0}^(x) sint dt,if 0<=x<=pi/2),(1,if x>pi/2):}$
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*\int_{-\pi/2}^{x}(-sint) dt, if -pi/2<=x<0) ,(1/2*\int_{-\pi/2}^{0}(-sint) dt+1/2*\int_{0}^(x) sint dt,if 0<=x<=pi/2),(1,if x>pi/2):}$
"cenzo":
Nessuna delle due che hai postato è corretta.
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*\int_{-\pi/2}^{x}(-sint) dt, if -pi/2<=x<0) ,(1/2*\int_{-\pi/2}^{0}(-sint) dt+1/2*\int_{0}^(x) sint dt,if 0<=x<=pi/2),(1,if x>pi/2):}$
Non ho capito la seconda e la terza relazione (gli estremi di integrazione): perchè nella regola l'integrale va da $-oo$ a $x$? Potresti spiegarmi come devo scegliere gli estremi?
Praticamente devo sostituire ad $oo$ il valore più piccolo degli intervalli (nel mio caso $-pi/2$)...Comunque risolvendo viene:
$ c*\int_{-\pi/2}^x (-sent) dt=c* [cost]_(-\pi/2)^x=c*[cos(x)-cos(-\pi/2)]= c*(cosx)= 0,5 cosx
$c*\int_{-\pi/2}^0 (-sent) dt + c*\int_0^{x} sentdt = c*([cost]_(-\pi/2)^0 + [-cost]_0^x)=c*([cos(0)-cos(-\pi/2)] + [-cos(x)- (-cos(0))]) =c*(1+(-cosx+1))=c*(1-cosx+1)=c*(2-cosx)=1-0.5cosx$
quindi:
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/2*cosx, if -pi/2<=x<0) ,(1-1/2cosx,if 0<=x<=pi/2),(1,if x>pi/2):}$
Intanto mi porto il lavoro avanti risolvendo l'ultimo punto dell'esercizio (sperando che sopra sia tutto giusto):
Determinare la probabilità che la v.c. $X$ non superi il valore $pi/3$
Se $P(X<=pi/3)$ abbiamo che:
$ \int_{0}^(pi/3)1-1/2*cosx dx=\int_{0}^(pi/3)1* dx+\int_{0}^(pi/3)-1/2*cosx dx=[x]_(0)^(pi/3)+1/2*\int_{0}^(pi/3)-cosx dx= [pi/3-0]+1/2*[-senx]_(0)^(pi/3)=pi/3+1/2(-sqrt(3)/2-0)=pi/3-sqrt(3)/4$
Fatemi sapere...grazie!
Determinare la probabilità che la v.c. $X$ non superi il valore $pi/3$
Se $P(X<=pi/3)$ abbiamo che:
$ \int_{0}^(pi/3)1-1/2*cosx dx=\int_{0}^(pi/3)1* dx+\int_{0}^(pi/3)-1/2*cosx dx=[x]_(0)^(pi/3)+1/2*\int_{0}^(pi/3)-cosx dx= [pi/3-0]+1/2*[-senx]_(0)^(pi/3)=pi/3+1/2(-sqrt(3)/2-0)=pi/3-sqrt(3)/4$
Fatemi sapere...grazie!
Gli integrali che hai fatto vanno bene, però $P(X<=pi/3)=F(x=pi/3)$ è proprio la funzione di ripartizione $F(x)$ calcolata in $x=pi/3$.
Quindi $P(X<=pi/3)=F(x=pi/3)=1-1/2cos(pi/3)$ (dato che $0<=pi/3<=pi/2$ stai nel terzo caso).
Quindi $P(X<=pi/3)=F(x=pi/3)=1-1/2cos(pi/3)$ (dato che $0<=pi/3<=pi/2$ stai nel terzo caso).
ok allora la $F(X)$ è giusta...quindi per trovare la funzione di ripartizione devo sostituire a $-oo$ il valore più piccolo degli intervalli (nel mio caso era $-pi/2$)?
Per quanto riguarda l'ultimo punto cioè $P(X<=pi/3)$ ho trovato che $P(X<=pi/3)=F(pi/3)-F(0)$ quindi $[1-1/2*cos(pi/3)]-[1-1/2*cos(0)]=1/4$
Il problema è che il risultato deve essere uguale al valore che ho calcolato con l'ultimo integrale ma non è così.
Qual è il risultato corretto?
Grazie
Per quanto riguarda l'ultimo punto cioè $P(X<=pi/3)$ ho trovato che $P(X<=pi/3)=F(pi/3)-F(0)$ quindi $[1-1/2*cos(pi/3)]-[1-1/2*cos(0)]=1/4$
Il problema è che il risultato deve essere uguale al valore che ho calcolato con l'ultimo integrale ma non è così.
Qual è il risultato corretto?
Grazie
"bius88":
$P(X<=pi/3)=F(pi/3)-F(0)$
Questo non è corretto.
$P(X<=a)=F(a)$
Invece $P(a
Ok, chiarissimo, però mi sorge un altro dubbio...lo enuncio ricapitolando:
determinare la probabilità che la v.c. $X$ non superi il valore $pi/3$: $P(X<=pi/3)=F(pi/3)$
determinare la probabilità che la v.c. $X$ sia compresa tra $pi/6$ e $pi/2$: $P(pi/6
determinare la probabilità che la v.c. $X$ superi il valore $pi/3$: $P(X>pi/3)$ In questo caso?
determinare la probabilità che la v.c. $X$ non superi il valore $pi/3$: $P(X<=pi/3)=F(pi/3)$
determinare la probabilità che la v.c. $X$ sia compresa tra $pi/6$ e $pi/2$: $P(pi/6
determinare la probabilità che la v.c. $X$ superi il valore $pi/3$: $P(X>pi/3)$ In questo caso?
"bius88":
determinare la probabilità che la v.c. $X$ superi il valore $pi/3$: $P(X>pi/3)$ In questo caso?
Conviene ragionare sull'evento complementare (la sua negazione, il suo contrario).
L'evento complementare di $X>pi/3$ è $X<=pi/3$.
Inoltre sappiamo che la somma delle probabilità di un evento e del suo complementare fa $1$.
Ok?
te lo chiedo perchè ho trovato un esercizio svolto così:
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/3*t, if 0<=x<3),(1,if x>=3):}$
$P(X>0.5)=F(3)-F(0.5)=5/6$
$F(x)=\{(0,if x<-pi/2),(1/3*t, if 0<=x<3),(1,if x>=3):}$
$P(X>0.5)=F(3)-F(0.5)=5/6$
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