Funzione di densità e di ripartizione
Ciao a tutti,
ho un pò di difficoltà con questo esercizio:
Data la funzione
$f(x)=\{(c*|senx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$
$1)$ determinare il valore della costante c in modo che $f(x)$ sia la funzione di densità di una varibile casuale X:
$\int_{-\pi/2}^0 (-senx) dx + \int_0^{\pi/2} senxdx = [cosx]_(-\pi/2)^0 + [-cosx]_0^(\pi/2)=[cos(0)-cos(-\pi/2)] + [-cos(\pi/2)- (-cos(0))] = 1-(-1)=2$
poichè $\int_{-oo}^oo f(x)=1 rArr c*2=1$ quindi $c=0,5$ (fin qua credo sia tutto giusto)
$2)$ determinare la funzione di ripartizione della v.c. X:
Qua iniziano i dubbi. Per prima cosa, la funzione di densità che ho trovato qual è?
$f(x)=\{(0.5 * |senx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$ oppure $f(x)=\{(0.5 * senx, if 0<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$ poichè deve essere positiva?
ho un pò di difficoltà con questo esercizio:
Data la funzione
$f(x)=\{(c*|senx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$
$1)$ determinare il valore della costante c in modo che $f(x)$ sia la funzione di densità di una varibile casuale X:
$\int_{-\pi/2}^0 (-senx) dx + \int_0^{\pi/2} senxdx = [cosx]_(-\pi/2)^0 + [-cosx]_0^(\pi/2)=[cos(0)-cos(-\pi/2)] + [-cos(\pi/2)- (-cos(0))] = 1-(-1)=2$
poichè $\int_{-oo}^oo f(x)=1 rArr c*2=1$ quindi $c=0,5$ (fin qua credo sia tutto giusto)
$2)$ determinare la funzione di ripartizione della v.c. X:
Qua iniziano i dubbi. Per prima cosa, la funzione di densità che ho trovato qual è?
$f(x)=\{(0.5 * |senx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$ oppure $f(x)=\{(0.5 * senx, if 0<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$ poichè deve essere positiva?
Risposte
"bius88":
$P(X>0.5)=F(3)-F(0.5)=5/6$
Così è formalmente scorretto, anche se il risultato è giusto (dato che $F(3)=1$).
Metodo corretto:
$P(X>0.5)=1-P(X<=0.5)=1-F(0.5)=1-1/3*0.5=1-1/3*1/2=1-1/6=5/6$
Ok, gentilissimo....grazie 1000 
Provo a fare un esercizio per vedere se li ho capiti:
La lunghezza di una trave (in metri) è una v.c. $X$ con densità del tipo:
$f(x)=\{(x,if 0<=x<=k),(2k-x, if k<=x<=2k),(0,text{altrove}):}$
Determinare il valore della costante $k$:
Poichè $\int_-oo^oo f(x)dx=1 rArr \int_0^k x dx= [x^2/2]_0^k= k^2/2$; pongo il risultato $=1$ e ottengo: $k^2/2=1 rArr k=+-sqrt(2)$ Prendo $k=sqrt(2)$
Calcolare la funzione di ripartizione di X e disegnarla
$F(x)=\{(0, if x<0),(\int_0^x t*dt=x^2/2,if 0<=x<=sqrt(2)),(\int_0^x 2*sqrt(2)-t*dt=2*sqrt(2)*x-x^2/2, if sqrt(2)<=x<=2*sqrt(2)),(1, if x>2*sqrt(2)):}$
Grafico:
Calcolare la probabilità $P(X>=150 cm)$
$150 cm=1.5 m$ quindi $P(X>=1.5 cm)=1-P(X<=1.5)=1-F(1.5)=1-2*sqrt(2)*1.5-1.5^2/2=3.18$
E' corretto? Spero di si....fatemi sapere! GRAZIE!!
La lunghezza di una trave (in metri) è una v.c. $X$ con densità del tipo:
$f(x)=\{(x,if 0<=x<=k),(2k-x, if k<=x<=2k),(0,text{altrove}):}$
Determinare il valore della costante $k$:
Poichè $\int_-oo^oo f(x)dx=1 rArr \int_0^k x dx= [x^2/2]_0^k= k^2/2$; pongo il risultato $=1$ e ottengo: $k^2/2=1 rArr k=+-sqrt(2)$ Prendo $k=sqrt(2)$
Calcolare la funzione di ripartizione di X e disegnarla
$F(x)=\{(0, if x<0),(\int_0^x t*dt=x^2/2,if 0<=x<=sqrt(2)),(\int_0^x 2*sqrt(2)-t*dt=2*sqrt(2)*x-x^2/2, if sqrt(2)<=x<=2*sqrt(2)),(1, if x>2*sqrt(2)):}$
Grafico:
Calcolare la probabilità $P(X>=150 cm)$
$150 cm=1.5 m$ quindi $P(X>=1.5 cm)=1-P(X<=1.5)=1-F(1.5)=1-2*sqrt(2)*1.5-1.5^2/2=3.18$
E' corretto? Spero di si....fatemi sapere! GRAZIE!!
"bius88":
$f(x)=\{(x,if 0<=x<=k),(2k-x, if k<=x<=2k),(0,text{altrove}):}$
Determinare il valore della costante $k$:
Poichè $\int_-oo^oo f(x)dx=1 rArr \int_0^k x dx=$
Hai dimenticato l'integrale sull'intervallo $(k,2k)$.
"bius88":
$150 cm=1.5 m$ quindi $P(X>=1.5 cm)=1-P(X<=1.5)=1-F(1.5)=1-2*sqrt(2)*1.5-1.5^2/2=3.18$
E' corretto? Spero di si....
Rifletti sempre: una probabilità $p=3.18$ ti dovrebbe far suonare un campanello d'allarme...
"cenzo":
[quote="bius88"]$f(x)=\{(x,if 0<=x<=k),(2k-x, if k<=x<=2k),(0,text{altrove}):}$
Determinare il valore della costante $k$:
Poichè $\int_-oo^oo f(x)dx=1 rArr \int_0^k x dx=$
Hai dimenticato l'integrale sull'intervallo $(k,2k)$.
[/quote]Ma se trovo $k$ dalla prima relazione non mi basta poi sostituirla anche nella seconda? Comunque lo faccio ora:
$\int_k^(2k) (2k-x)* dx= 2k*\int_k^(2k) dx + \int_k^(2k) -x*dx= 2k*[x]_k^(2k)+[-x^2/2]_k^(2k)=2k*[2k-k]+[-(4k^2)/2-(-k^2/2)]=2k*[k]-(3k^2)/2=2k^2-(3k^2)/2=k^2/2$; viene come l'ntegrale della prima relazione
pongo il risultato $=1$ e ottengo: $k^2/2=1 rArr k=+-sqrt(2)$; Prendo $k=sqrt(2)$
Non me lo potevo risparmiare?
"Rggb":
[quote="bius88"]$150 cm=1.5 m$ quindi $P(X>=1.5 cm)=1-P(X<=1.5)=1-F(1.5)=1-2*sqrt(2)*1.5-1.5^2/2=3.18$
E' corretto? Spero di si....
Rifletti sempre: una probabilità $p=3.18$ ti dovrebbe far suonare un campanello d'allarme...[/quote]
Hai ragione....ho rifatto i calcoli ma l'unico sbaglio è che invece di $3.18$ il risultato è $3.12$....mi sa che c'è qualcosa che non va già nel primo punto.....ma cosa?
Non torna per quel che ti ha scritto cenzo, ne avevi dimenticato uno; l'hai ricalcolato, ma l'integrale che vale 1 è la somma dei due integrali
$int_(-infty)^(infty)f(x)dx=int_(0)^(k)x dx+int_(k)^(2k)(2k-x)dx$
quindi se ricalcoli...
$int_(-infty)^(infty)f(x)dx=int_(0)^(k)x dx+int_(k)^(2k)(2k-x)dx$
quindi se ricalcoli...
Ah ok.... allora i due integrali danno $k^2/2$ quindi $k^2/2+k^2/2=k^2$; pongo il risultato $=1$ e ottengo: $k^2=1 rArr k=+-1$ Prendo $k=1$
$F(x)=\{(0, if x<0),(\int_0^x t*dt=x^2/2,if 0<=x<=1),(\int_0^x 2*1-t*dt=2*x-x^2/2, if 1<=x<=2),(1, if x>2):}$
Grafico:
Calcolare la probabilità $P(X>=150 cm)$
$150 cm=1.5 m$ quindi $P(X>=1.5 cm)=1-P(X<=1.5)=1-F(1.5)=1-2*1.5-1.5^2/2=0,875$
Ora va bene?
Fatemi sapere
$F(x)=\{(0, if x<0),(\int_0^x t*dt=x^2/2,if 0<=x<=1),(\int_0^x 2*1-t*dt=2*x-x^2/2, if 1<=x<=2),(1, if x>2):}$
Grafico:
Calcolare la probabilità $P(X>=150 cm)$
$150 cm=1.5 m$ quindi $P(X>=1.5 cm)=1-P(X<=1.5)=1-F(1.5)=1-2*1.5-1.5^2/2=0,875$
Ora va bene?
Fatemi sapere
"bius88":OK
Ah ok.... allora i due integrali danno $k^2/2$ quindi $k^2/2+k^2/2=k^2$; pongo il risultato $=1$ e ottengo: $k^2=1 rArr k=+-1$ Prendo $k=1$
"bius88":
$F(x)=\{(0, if x<0),(\int_0^x t*dt=x^2/2,if 0<=x<=1),(\int_0^x 2*1-t*dt=2*x-x^2/2, if 1<=x<=2),(1, if x>2):}$
C'è un errore nel terzo "pezzo" (si nota anche perchè non avresti continuità in $x=1$, capisci cosa intendo ?)
Per $1<=x<=2$ hai $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{-\infty}^{0}0*dt+\int_{0}^{1}t*dt+\int_{1}^{x}(2-t)dt=...$
(Il secondo integrale non c'è bisogno di svolgerlo di nuovo, basta sfruttare la $F(x)$ del secondo "pezzo", sostituendo $x=1$).
Mi permetto due osservazioni sul grafico di $F(x)$:
1) Non è possibile che il massimo di $F(x)$ sia $2$ (deve essere $1$)
2) La $F(x)$ è una funzione di secondo grado (archi di parabola), non di primo grado (hai disegnato dei segmenti di retta)
$F(x)=\{(0, if x<0),(x^2/2,if 0<=x<=1),(2*x-x^2/2-1, if 1<=x<=2),(1, if x>2):}$
Grafico:
Calcolare la probabilità $P(X>=150 cm)$
$150 cm=1.5 m$ quindi $P(X>=1.5 cm)=1-P(X<=1.5)=1-F(1.5)=1-(2*1.5-1.5^2/2-1)=0,125$
Ora spero sia corretta...
Grafico:
Calcolare la probabilità $P(X>=150 cm)$
$150 cm=1.5 m$ quindi $P(X>=1.5 cm)=1-P(X<=1.5)=1-F(1.5)=1-(2*1.5-1.5^2/2-1)=0,125$
Ora spero sia corretta...
Grazie!! 
Prego, ciao.
Ciao, posto un esercizio che ho svolto perchè non mi convince il risultato dell'ultimo punto.
Sia $X$ una v.c. con densità del tipo:
$f(x)=\{(k*x^3, if 0<=x<=1),(0,text{altrimenti}):}$
Determinare il valore della costante $k$:
Poichè $\int_-oo^oo f(x)dx=1 rArr \int_0^1 kx^3 dx= k*[x^4/4]_0^1= 1/4*k$; pongo il risultato $=1$ e ottengo: $k/4=1 rArr k=4)$
Calcolare la funzione di ripartizione di X e disegnarla
$F(x)=\{(0, if x<0),(\int_-oo^0 0*dt + \int_0^x 4*t^3*dt=x^4,if 0<=x<=1),(1, if x>1):}$
Grafico:
Calcolare la probabilità $P(-0.5<=X<=0.5)$
$P(-0.5<=X<=0.5)=F(0.5)-F(-0.5)=0.5^4 -(-0.5^4)=0.0625-0.0625=0$
E' possibile che venga $0$?
GRAZIE!!
Sia $X$ una v.c. con densità del tipo:
$f(x)=\{(k*x^3, if 0<=x<=1),(0,text{altrimenti}):}$
Determinare il valore della costante $k$:
Poichè $\int_-oo^oo f(x)dx=1 rArr \int_0^1 kx^3 dx= k*[x^4/4]_0^1= 1/4*k$; pongo il risultato $=1$ e ottengo: $k/4=1 rArr k=4)$
Calcolare la funzione di ripartizione di X e disegnarla
$F(x)=\{(0, if x<0),(\int_-oo^0 0*dt + \int_0^x 4*t^3*dt=x^4,if 0<=x<=1),(1, if x>1):}$
Grafico:
Calcolare la probabilità $P(-0.5<=X<=0.5)$
$P(-0.5<=X<=0.5)=F(0.5)-F(-0.5)=0.5^4 -(-0.5^4)=0.0625-0.0625=0$
E' possibile che venga $0$?
GRAZIE!!
"bius88":
$P(-0.5<=X<=0.5)=F(0.5)-F(-0.5)=0.5^4 -(-0.5^4)=0.0625-0.0625=0$
Attenzione nel valutare $F(-0.5)$. Hai erroneamente utilizzato il secondo "pezzo", quando invece, essendo $-0.5<0$ ($if x<0$), dovevi usare il primo (cioè $0$).
Quindi $P(-0.5<=X<=0.5)=F(0.5)-F(-0.5)=0.5^4 -(0)=0.0625$
E' ok, infatti la tua distribuzione è nulla per x<0
ok...grazie!
E se ho una funzione definita da:
$f(x)=\{(0, if x<-c),(c^2 - x^2,if -c<=x<=c),(0, if x>c):}$
dove $c$ è una costante reale strettamente positiva, come devo scegliere $c$ affinchè $f(x)$ sia una funzione di densità?
E se ho una funzione definita da:
$f(x)=\{(0, if x<-c),(c^2 - x^2,if -c<=x<=c),(0, if x>c):}$
dove $c$ è una costante reale strettamente positiva, come devo scegliere $c$ affinchè $f(x)$ sia una funzione di densità?
Mi torna 0.91 ma l'ho calcolato velocemente e "a naso" mi sembra non vada bene... a te quanto viene?
A dire la verità non sono sicuro del procedimento... io ho posto:
$f(x)>=0$ $rArr c^2 - x^2>=0$
$\int_-oo^(+oo) f(x)*dx=1$ $rArr \int_-c^(+c) (c^2 - x^2)dx=4/3 c^3$
Pongo $4/3 c^3=1 rArr c^3=3/4 rArr c =root(3)(3/4)\sim0.91$
Si anche a me esce così....magari sentiamo anche il parere di cenzo!
$f(x)>=0$ $rArr c^2 - x^2>=0$
$\int_-oo^(+oo) f(x)*dx=1$ $rArr \int_-c^(+c) (c^2 - x^2)dx=4/3 c^3$
Pongo $4/3 c^3=1 rArr c^3=3/4 rArr c =root(3)(3/4)\sim0.91$
Si anche a me esce così....magari sentiamo anche il parere di cenzo!
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