Funzione di densità e di ripartizione
Ciao a tutti,
ho un pò di difficoltà con questo esercizio:
Data la funzione
$f(x)=\{(c*|senx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$
$1)$ determinare il valore della costante c in modo che $f(x)$ sia la funzione di densità di una varibile casuale X:
$\int_{-\pi/2}^0 (-senx) dx + \int_0^{\pi/2} senxdx = [cosx]_(-\pi/2)^0 + [-cosx]_0^(\pi/2)=[cos(0)-cos(-\pi/2)] + [-cos(\pi/2)- (-cos(0))] = 1-(-1)=2$
poichè $\int_{-oo}^oo f(x)=1 rArr c*2=1$ quindi $c=0,5$ (fin qua credo sia tutto giusto)
$2)$ determinare la funzione di ripartizione della v.c. X:
Qua iniziano i dubbi. Per prima cosa, la funzione di densità che ho trovato qual è?
$f(x)=\{(0.5 * |senx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$ oppure $f(x)=\{(0.5 * senx, if 0<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$ poichè deve essere positiva?
ho un pò di difficoltà con questo esercizio:
Data la funzione
$f(x)=\{(c*|senx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$
$1)$ determinare il valore della costante c in modo che $f(x)$ sia la funzione di densità di una varibile casuale X:
$\int_{-\pi/2}^0 (-senx) dx + \int_0^{\pi/2} senxdx = [cosx]_(-\pi/2)^0 + [-cosx]_0^(\pi/2)=[cos(0)-cos(-\pi/2)] + [-cos(\pi/2)- (-cos(0))] = 1-(-1)=2$
poichè $\int_{-oo}^oo f(x)=1 rArr c*2=1$ quindi $c=0,5$ (fin qua credo sia tutto giusto)
$2)$ determinare la funzione di ripartizione della v.c. X:
Qua iniziano i dubbi. Per prima cosa, la funzione di densità che ho trovato qual è?
$f(x)=\{(0.5 * |senx|, if -pi/2<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$ oppure $f(x)=\{(0.5 * senx, if 0<=x<=pi/2) ,(0,text{altrimenti}):}$ poichè deve essere positiva?
Risposte
Confermo il vostro risultato $root(3)(3/4)=root3(6)/3\sim0.91$
Bene, ora la funzione di densità è:
$f(x)=\{(0, if x<-0.91),(0.91^2 - x^2,if -0.91<=x<=0.91),(0, if x>0.91):} = \{(0, if x<-0.91),(0.83 - x^2,if -0.91<=x<=0.91),(0, if x>0.91):}$
La funzione di ripartizione è:
$F(x)=\{(0, if x<-0.91),(\int_(-oo)^(-0.91) 0* dt + \int_(-0.91)^x (0.83 - t^2) * dt ,if -0.91<=x<=0.91),(1, if x>0.91):}$ e viene:
$F(x)=\{(0, if x<-0.91),(-x^3/3 + 0.83*x + 0.5,if -0.91<=x<=0.91),(1, if x>0.91):}$
o forse è meglio:
$F(x)=\{(0, if x<-0.91),(\int_(-oo)^(-0.91) 0* dt + \int_(-0.91)^x (0.83 - t^2) * dt ,if -0.91<=x<=0),(\int_(-oo)^(-0.91) 0* dt + \int_(-0.91)^0 (0.83 - t^2) * dt +int_(0)^x (0.83 - t^2) * dt ,if 0<=x<=0.91),(1, if x>0.91):}$
La soluzione è però identica.
Per quanto riguarda il grafico:
il problema è che in $-0.91$ scendo a $ -0.0041$ mentre nel punto $0.91$ il valore è $1.0041$
$f(x)=\{(0, if x<-0.91),(0.91^2 - x^2,if -0.91<=x<=0.91),(0, if x>0.91):} = \{(0, if x<-0.91),(0.83 - x^2,if -0.91<=x<=0.91),(0, if x>0.91):}$
La funzione di ripartizione è:
$F(x)=\{(0, if x<-0.91),(\int_(-oo)^(-0.91) 0* dt + \int_(-0.91)^x (0.83 - t^2) * dt ,if -0.91<=x<=0.91),(1, if x>0.91):}$ e viene:
$F(x)=\{(0, if x<-0.91),(-x^3/3 + 0.83*x + 0.5,if -0.91<=x<=0.91),(1, if x>0.91):}$
o forse è meglio:
$F(x)=\{(0, if x<-0.91),(\int_(-oo)^(-0.91) 0* dt + \int_(-0.91)^x (0.83 - t^2) * dt ,if -0.91<=x<=0),(\int_(-oo)^(-0.91) 0* dt + \int_(-0.91)^0 (0.83 - t^2) * dt +int_(0)^x (0.83 - t^2) * dt ,if 0<=x<=0.91),(1, if x>0.91):}$
La soluzione è però identica.
Per quanto riguarda il grafico:
il problema è che in $-0.91$ scendo a $ -0.0041$ mentre nel punto $0.91$ il valore è $1.0041$
Meglio la prima espressione della $F(x)$, non c'è davvero nessun motivo per spezzarla in due 
Il problema del valore negativo (o maggiore di 1) è dovuto all'approssimazione $root3(6)/3\sim0.91$
Usa i radicali e non l'approssimazione e vedrai che tutto torna esattamente.
Il problema del valore negativo (o maggiore di 1) è dovuto all'approssimazione $root3(6)/3\sim0.91$
Usa i radicali e non l'approssimazione e vedrai che tutto torna esattamente.
Ok... per ultimo la media:
$E(X)=\int_-oo^(+oo) x*f(x)*dx$ $rArr \int_-0.91^(+0.91) (0.83 - x^2)dx\sim1$
OK?
$E(X)=\int_-oo^(+oo) x*f(x)*dx$ $rArr \int_-0.91^(+0.91) (0.83 - x^2)dx\sim1$
OK?
"bius88":
Ok... per ultimo la media:
$E(X)=\int_-oo^(+oo) x*f(x)*dx$ $rArr \int_-0.91^(+0.91) (0.83 - x^2)dx\sim1$
OK?
C'è un errore (non hai moltiplicato per $x$). La $f(x)$ è simmetrica rispetto all'asse $y$. La media dev'essere $0$.
Me ne sono accorto ora ed ero venuto a correggere...mi hai anticipato. Grazie 1000!!
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