[EX] Calcolo probabilità evento
mi sto addentrando in questa materia e in particolare ora su combinazioni, disposizioni e permutazioni
vorrei un aiuto da qualcuno più esperto di me su questa situazione:
ho un dado a 12 facce ed eseguo 24 lanci, qual'è la probabilità che in questi 24 lanci si presentino almeno 3 ripetizioni di due numeri?
sono riuscito tramite la formula qui sotto a capire qual'è la probabilità che si verifichi una situazione di totale equilibrio di uscite dei numeri (ovvero 2 volte tutte le facce), quindi vuol dire che se non si verifica il totale equilibrio... almeno un numero si è ripetuto per almeno 3 volte
totale equilibrio => ${24!}/(2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!)={24!}/{2^12}=0,0001905442$ (praticamente circa una volta su 500.000)
ora però come ho detto anche sopra non riesco a capire invece come posso fare per calcolare la probabilità che almeno 2 numeri escano per 3 volte, ovvero, tra le 12 facce quale sia la probabilità che almeno 2 facce sortiscano per almeno 3 volte, entro questi 24 lanci
spero in qualche aiuto per cercare di capire come risolvere questo problema...
ciao
vorrei un aiuto da qualcuno più esperto di me su questa situazione:
ho un dado a 12 facce ed eseguo 24 lanci, qual'è la probabilità che in questi 24 lanci si presentino almeno 3 ripetizioni di due numeri?
sono riuscito tramite la formula qui sotto a capire qual'è la probabilità che si verifichi una situazione di totale equilibrio di uscite dei numeri (ovvero 2 volte tutte le facce), quindi vuol dire che se non si verifica il totale equilibrio... almeno un numero si è ripetuto per almeno 3 volte
totale equilibrio => ${24!}/(2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!)={24!}/{2^12}=0,0001905442$ (praticamente circa una volta su 500.000)
ora però come ho detto anche sopra non riesco a capire invece come posso fare per calcolare la probabilità che almeno 2 numeri escano per 3 volte, ovvero, tra le 12 facce quale sia la probabilità che almeno 2 facce sortiscano per almeno 3 volte, entro questi 24 lanci
spero in qualche aiuto per cercare di capire come risolvere questo problema...
ciao
Risposte
Ma 3 ripetizioni di entrambi i numeri (cioé almeno 6 date estrazioni) o 3 ripetizioni in tutto (cioè almeno 3 date estrazioni)?
almeno 2 delle 12 facce devono uscire per tre volte per es. (1 3 2 8 6 7 5 1 4 2 7 9 4 11 1 12 10 7 3 5 10 12 6 8)
quindi nell'esempio di sopra l'1 e il 7 sono usciti per tre volte ma a me va bene anche che escono più di tre volte o anche altre facce escano 3 o più volte...
in poche parole a me servono solo i casi in cui in 24 colpi trovo almeno 2 facce che escono per almeno 3 volte, non so se sono riuscito a spiegare bene, fammi sapere se non ti è chiaro
quindi nell'esempio di sopra l'1 e il 7 sono usciti per tre volte ma a me va bene anche che escono più di tre volte o anche altre facce escano 3 o più volte...
in poche parole a me servono solo i casi in cui in 24 colpi trovo almeno 2 facce che escono per almeno 3 volte, non so se sono riuscito a spiegare bene, fammi sapere se non ti è chiaro
Chiaro, era la prima che ho indicato. Non mi sembra ci sia una soluzione rapida, comunque sto pensando ad un conteggio "a rovescio" ovvero considerando le volte che un dato numero esce 0, 1 o 2 volte sole.
ho riflettuto un po e ho provato con questa formula
${24!}/(3!3!18!)*(1/12)^3*(1/12)^3*(10/12)^18$
questo dovrebbe dare come risultato la probabilità che escano esattamente 3 volte, esattamente 2 facce giusto?
dovrei fare qualcosa come trovare la probabilità di ogni possibile variante e poi fare la somma di tutte le esatte probabilità però mi pare strano che non esiste un modo meno rudimentale di questo
[xdom="hamming_burst"]cerca di utilizzare i tag matematici presenti nel forum, sono i $ così diventa più chiara la lettura. Grazie[/xdom]
${24!}/(3!3!18!)*(1/12)^3*(1/12)^3*(10/12)^18$
questo dovrebbe dare come risultato la probabilità che escano esattamente 3 volte, esattamente 2 facce giusto?
dovrei fare qualcosa come trovare la probabilità di ogni possibile variante e poi fare la somma di tutte le esatte probabilità però mi pare strano che non esiste un modo meno rudimentale di questo
[xdom="hamming_burst"]cerca di utilizzare i tag matematici presenti nel forum, sono i $ così diventa più chiara la lettura. Grazie[/xdom]
Ho fatto un po' di calcoli e mi viene all'incirca $p=0.29$ (possibili errori di calcolo e di metodo in agguato 
). Se qualcuno vuole confermare o smentire è il benvenuto.
). Se qualcuno vuole confermare o smentire è il benvenuto.
prima di tutto grazie per il tempo dedicato 
poi pensandoci su la probabilità che almeno una faccia raggiunga le 3 uscite è molto alta, solo in un caso su 500.000 circa nessuna faccia raggiunge le tre uscite, quindi per il caso che stiamo osservando di almeno due facce che escono almeno 3 volte mi immagino una probabilità molto alta, quindi sempre $p>0.90$, non ti pare anche a te?
poi pensandoci su la probabilità che almeno una faccia raggiunga le 3 uscite è molto alta, solo in un caso su 500.000 circa nessuna faccia raggiunge le tre uscite, quindi per il caso che stiamo osservando di almeno due facce che escono almeno 3 volte mi immagino una probabilità molto alta, quindi sempre $p>0.90$, non ti pare anche a te?
Può essere: così a naso, la probabilità che si verifichi ciò che richiedi è molto alta.
La probabilità da me calcolata è relativa all'evento: "scelti due numeri 'x' e 'y' di un dado-12, essi si presentano almeno tre volte ciascuno in 24 lanci". Ora se tale probabilità è di poco inferiore al 30%(*) mi sembra che, di conseguenza, la probabilità che tale evento si verifichi per (almeno) due numeri qualsiasi può ragionevolmente superare il 90% - anche se sarebbe meglio fare i calcoli appropriati, che spesso ti smentiscono.
(*) Sempre - insisto - io non abbia fatto macrosopici errori di calcolo o di metodo.
La probabilità da me calcolata è relativa all'evento: "scelti due numeri 'x' e 'y' di un dado-12, essi si presentano almeno tre volte ciascuno in 24 lanci". Ora se tale probabilità è di poco inferiore al 30%(*) mi sembra che, di conseguenza, la probabilità che tale evento si verifichi per (almeno) due numeri qualsiasi può ragionevolmente superare il 90% - anche se sarebbe meglio fare i calcoli appropriati, che spesso ti smentiscono.
(*) Sempre - insisto - io non abbia fatto macrosopici errori di calcolo o di metodo.
penso di aver trovato la soluzione in termini di modus operandi, ovvero basta trovare la probabilità di avere esattamente 10 facce ripetute 2 volte, una faccia 3 volte e una 1 volta... quindi una volta trovata questa probabilità la sommiamo alla probabilità di avere esattamente una situazione di equilibrio che ho messo anche nel primo post, ovvero tutte le facce escono 2 volte... in questo modo ho la probabilità che l'evento da me richiesto non avvenga... praticamente abbiamo la soluzione (vero?)
Dovresti anche aggiungere la probabilità che una faccia esca 24 volte. O che una 23 e una 1. O che una 22 e una 2. O che una 14, e cinque 2. O che una 8, sei 2, e quattro 1........
E' un po lunga....
E' un po lunga....
purtroppo hai ragione, ci stavo riflettendo anch'io poco fa su questa cosa, in pratica questo problema sembra avere solo una soluzione complessa
Dato che le probabilità non sono il mio forte ho fatto un programmino in C che facesse l'esercizio al mio posto, insomma la probabilità è circa del 99,74%, detto questo, non ho una formula 
grazie per l'intervento, quindi non riesci proprio in alcun modo a indicarmi la strada con cui sei arrivato a questo risultato?
Provo a impostare un ragionamento, sperando abbia senso, ma lascio a te le formule Allora:
"la probabilità che su 24 lanci di un dado a 12 facce escano almeno due numeri per almeno tre volte"
è equivalente al contrario di:
"la probabilità che su 24 lanci di un dado a 12 facce: *Tutti i numeri escano due volte o meno* o *esattamente un numero esca almeno tre volte e gli altri 23 due volte o meno*
Se un evento P(x) ha probabilità contraria ad uno Q(x), significa che P(x)=1-Q(X)
Ora sia:
A(X) = Probabilità che almeno 1 faccia esca almeno tre volte su X lanci;
B(X) = Probabilità che tutte le facce escano 2 volte o meno su X lanci;
C(X) = Probabilità che esattamente una faccia esca almeno 3 volte su X lanci;
Si ha che A è il contrario di B, dunque A(X) = 1-B(X), e mi pare che sia più facile calcolare A(X)!
Quindi la probabilità che "Tutti i numeri escano due volte o meno" = B(24) = 1-(A(24))
E la probabilità che "esattamente una faccia esca almeno tre volte e gli altri 23 due volte o meno" =
= C(24) x B(23) = C(24) x (1-A(23))
In definitiva la probabilità cercata è:
1- {[1-A(24)] + [C(24)x(1-A(23))]}
Allora: "la probabilità che su 24 lanci di un dado a 12 facce escano almeno due numeri per almeno tre volte"
è equivalente al contrario di:
"la probabilità che su 24 lanci di un dado a 12 facce: *Tutti i numeri escano due volte o meno* o *esattamente un numero esca almeno tre volte e gli altri 23 due volte o meno*
Se un evento P(x) ha probabilità contraria ad uno Q(x), significa che P(x)=1-Q(X)
Ora sia:
A(X) = Probabilità che almeno 1 faccia esca almeno tre volte su X lanci;
B(X) = Probabilità che tutte le facce escano 2 volte o meno su X lanci;
C(X) = Probabilità che esattamente una faccia esca almeno 3 volte su X lanci;
Si ha che A è il contrario di B, dunque A(X) = 1-B(X), e mi pare che sia più facile calcolare A(X)!
Quindi la probabilità che "Tutti i numeri escano due volte o meno" = B(24) = 1-(A(24))
E la probabilità che "esattamente una faccia esca almeno tre volte e gli altri 23 due volte o meno" =
= C(24) x B(23) = C(24) x (1-A(23))
In definitiva la probabilità cercata è:
1- {[1-A(24)] + [C(24)x(1-A(23))]}
Ciao Giso.
Il tuo ragionamento non va bene, perchè come ho già scritto in un post precedente, una faccia potrebbe uscire anche 4,5,6,7.......23,24 volte.
E contare tutte le possibilità è lunghetto.
Il tuo ragionamento non va bene, perchè come ho già scritto in un post precedente, una faccia potrebbe uscire anche 4,5,6,7.......23,24 volte.
E contare tutte le possibilità è lunghetto.
Ma infatti io scrivo che "una faccia esca almeno tre volte".
Poi che sian calcoli laboriosi, su questo non ci piove.
EDIT: ops a dire il vero avevo scritto in un pezzo una cosa, in uno un'altra..
Comunque, a pensarci, calcolare che su 24 lanci escano tutte e dodici le facce due volte o meno è più elementare di quel che sembra. Infatti l'unica possibilità e che escano tutte le facce due volte..
Poi che sian calcoli laboriosi, su questo non ci piove.
EDIT: ops a dire il vero avevo scritto in un pezzo una cosa, in uno un'altra..
Comunque, a pensarci, calcolare che su 24 lanci escano tutte e dodici le facce due volte o meno è più elementare di quel che sembra. Infatti l'unica possibilità e che escano tutte le facce due volte..
grazie per gli interventi, credo che siamo vicini all'obiettivo e grazie giso per il ragionamento pare filare, in serata mi dedico meglio ai calcoli in effetti per calcolare che almeno un numero esca 3 volte basta usare la formula che ho messo alla prima pagina per vedere qual'è la probabilità che ci sia un equilibrio di tutte le facce, ora basta trovare la probabilità che ESATTAMENTE un numero esca per 3 volte ed è fatta
Ok! Comunque occhio che devi trovare che esattamente uno si ripeta almeno tre volte, e tutti gli altri 23 due o meno
quindi esattamente un numero per almeno 3 volte e esattamente un numero per esattamente 3 volte?
A(X) = Probabilità che almeno 1 faccia esca almeno tre volte su X lanci;
B(X) = Probabilità che tutte le facce escano 2 volte o meno su X lanci;
C(X) = Probabilità che esattamente una faccia esca almeno 3 volte su X lanci;
per il punto A dovrebbe andare bene
totale equilibrio => $(1/12)^24*{24!}/(2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!)*100=(1/12)^24*{24!}/{2^12}*100=0,0001905442$ (praticamente circa una volta su 500.000) avvine l'equilibrio di conseguenza basta fare 1- il risultato che abbiamo per avere la probabilità del punto A
mentre per il punto C dobbiamo usare un calcolo sulle disposizioni con ripetizioni? le conferme sono sempre ben gradite
A(X) = Probabilità che almeno 1 faccia esca almeno tre volte su X lanci;
B(X) = Probabilità che tutte le facce escano 2 volte o meno su X lanci;
C(X) = Probabilità che esattamente una faccia esca almeno 3 volte su X lanci;
per il punto A dovrebbe andare bene
totale equilibrio => $(1/12)^24*{24!}/(2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!2!)*100=(1/12)^24*{24!}/{2^12}*100=0,0001905442$ (praticamente circa una volta su 500.000) avvine l'equilibrio di conseguenza basta fare 1- il risultato che abbiamo per avere la probabilità del punto A
mentre per il punto C dobbiamo usare un calcolo sulle disposizioni con ripetizioni? le conferme sono sempre ben gradite
ho applicato questa formula per trovare il punto C ovvero esattamente una faccia per almeno 3 volte
$1 - (1/12)^0 *(11/12)^24 - 24 *(1/12)^1 *(11/12)^23 - 276 *(1/12)^2 *(11/12)^22 = 0,3231528138$
ora se qualcuno vuole confermarmi la correttezza di questa formula glie ne sarei grato,
quindi se la formula per il punto C è giusta, la probablità del punto A è del
$0,9998094558$
ora giso ho provato ad applicare la tua formula e ho questo risultato
$1-(1-0,9998094558)+[0,3231528138*(1-0,9998094558)]=0,9997478809$
a te veniva 99,74 a me 99,974, un 9 di troppo, dove potrebbe stare il problema? (forse ci siamo quasi)
$1 - (1/12)^0 *(11/12)^24 - 24 *(1/12)^1 *(11/12)^23 - 276 *(1/12)^2 *(11/12)^22 = 0,3231528138$
ora se qualcuno vuole confermarmi la correttezza di questa formula glie ne sarei grato,
quindi se la formula per il punto C è giusta, la probablità del punto A è del
$0,9998094558$
ora giso ho provato ad applicare la tua formula e ho questo risultato
$1-(1-0,9998094558)+[0,3231528138*(1-0,9998094558)]=0,9997478809$
a te veniva 99,74 a me 99,974, un 9 di troppo, dove potrebbe stare il problema? (forse ci siamo quasi
)
stavo pensando che la formula che ho usato per il punto C non è corretta, poi ho pensato anche ad un altra cosa, per calcolare quello che mi serve non dovrebbe bastare fare 1-B-C?
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