Esercizio esame su intervallo di confidenza

[rand88]

Buonasera, offro un caffè virtuale a chi mi illustra lo svolgimento del seguente esercizio

1) Provando a durata un campione casuale di 16 lampadine è stata calcolata una vita media di 30000 ore ed uno scarto tipo S di 20 ore. Assumendo un modello cdf delle durate di tipo normale, di parametri σ e µ, si valuti l'intervallo di confidenza di σ al livello 1-α = 90 %.

Poi chiedo conferma sulla banalità di questo esercizio:
2) Si formuli la pdf f(y) di una v.a. Y definita come somma di 2 v.a. Gaussiane Standard, s-indipendenti, U1 e U2.

Essendo la v.a. Gaussiana riproducibile, si avrà che:
Y = U1 + U2
Dunque: f(y) = f (u1) x f(u2)

Sarei davvero grato,
saluti

[Lo_zio_Tom]

"rand88":
2) Si formuli la pdf f(y) di una v.a. Y definita come somma di 2 v.a. Gaussiane Standard, s-indipendenti, U1 e U2.

Essendo la v.a. Gaussiana riproducibile, si avrà che:
Y = U1 + U2
Dunque: f(y) = f (u1) x f(u2)

Sarei davvero grato,
saluti

essendo riproducibile...la funzione di densità della somma di due Gaussiane indipendenti sarà ancora una Gaussiana di media $mu_(1)+mu_(2)$ e di varianza $sigma_(1)^2+sigma_(2)^2$

lo si può dimostrare in vari modi....o con il metodo della FdR o con le proprietà della FgM

questa f(y) = f (u1) x f(u2) onestamente non l'ho capita

[rand88]

Esatto, essendo riproducibile, Y = U1+U2 sarà ancora una v.a. normale standard di media nulla e varianza 2.
L'esercizio chiede di formulare la pdf di Y.
Ora La pdf di una normale standard è: $ f(u)= 1/ (2Pi )^(1/2)*e^-(u^2/2) $
Dunque la pdf di Y sarà: $ f(y)= 1/(2Pi )^(1/2)*e^-((1/2)(u1^2+u2^2)) $

No?
PS: perdonami ma non mi è ancora ben chiaro come scrive i pedici in questo forum (u1, u2)

[Lo_zio_Tom]

se le due variabili sono gaussiane standard, indipendenti vale la seguente:


$M_(sumx)(t)=PiM_(X)(t)=e^(t^2)=e^(t\cdot0+2/2t^2)$

e quindi

$f(y)=1/(2sqrt(pi))e^(-y^2/4)$

che non mi sembra esattamente come la tua....

[rand88]

"tommik":se le due variabili sono gaussiane standard, indipendenti vale la seguente:


$M_(sumx)(t)=PiM_(X)(t)=e^(t^2)=e^(t\cdot0+2/2t^2)$

e quindi

$f(y)=1/(2sqrt(pi))e^(-y^2/4)$

che non mi sembra esattamente come la tua....

Con la prima formula hai espresso la Mgf, giusto?
In tal caso mi trovo perchè la mgf di una normale standard U è:
$ phi = e^(t^2/2) $
Dunque la mgf di Y = U1+U2 è: $ phi Y(t) = phi U1(t)*phi U2(t)=e^(2*t^2/2) $

Ed avevo pensato di fare lo stesso per formulare la pdf. Però con la pdf poi non mi troverei con te

[Lo_zio_Tom]

va beh...comunque eccoti l'intervallo di confidenza


$(sum_(i)(x_(i)-mu)^2)/b<=sigma^2<=(sum_(i)(x_(i)-mu)^2)/a$

dove $a$ e $b$ sono le ascisse della $chi_(n)^2$


Ovviamente si può anche come volevi fare tu (con qualche accorgimento)...in questo modo:

partiamo dall'integrale doppio che ti ho mostrato prima

$intint_(x+y
ora poniamo $y=u-x$ e otteniamo:

$=int_(-oo)^(+oo)[int_(-oo)^(z)f_(XY)(x,u-x)du]dx=$

ricordando che

$f_(z)(z)=(dF_(z)(z))/(dz)=d/(dz){ int_(-oo)^(z)[int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,u-x)dx]du}=$

$=int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,z-x)dx=int_(-oo)^(oo)f_(Y)(z-x)f_(X)(x)dx$

[rand88]

"tommik":ecco lo sapevo...ora mi hai messo la pulce nell'orecchio e mi stai inzigando....

dunque sì...si può anche come volevi fare tu (con qualche accorgimento)...in questo modo:

partiamo dall'integrale doppio che ti ho mostrato prima

$intint_(x+y
ora poniamo $y=u-x$ e otteniamo:

$=int_(-oo)^(+oo)[int_(-oo)^(z)f_(XY)(x,u-x)du]dx=$

ricordando che

$f_(z)(z)=(dF_(z)(z))/(dz)=d/(dz){ int_(-oo)^(z)[int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,u-x)dx]du}=$

$=int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,z-x)dx=int_(-oo)^(oo)f_(Y)(z-x)f_(X)(x)dx$

mmm direi meglio come dicevi tu
Ma i passaggi che ti hanno portato a tirare fuori la pdf a partire dalla mgf?

[Lo_zio_Tom]

la MGF di una normale $N(mu,sigma^2)$ è la seguente

$M_(X)(t)=e^(mut+sigma^2t^2/2)$

a conti fatti la nostra


$M_(Y)(t)=e^(t^2)$

che può essere scritta come

$M_(Y)(t)=e^(0\cdott+(2t^2)/(2)$

cioè la FGM di una distribuzione normale, di media 0 e varianza 2

fine

[rand88]

"tommik":se le due variabili sono gaussiane standard, indipendenti vale la seguente:


$M_(sumx)(t)=PiM_(X)(t)=e^(t^2)=e^(t\cdot0+2/2t^2)$

e quindi

$f(y)=1/(2sqrt(pi))e^(-y^2/4)$

che non mi sembra esattamente come la tua....

Se espliciti i passaggi mi sarà tutto più chiaro e te ne sono grato

[Lo_zio_Tom]

scusami quella che abbiamo trovato è la FGM di una normale di media 0 e varianza 2

quindi


$f(x,mu,sigma^2)=1/(sigmasqrt(2pi))e^(-1/(2sigma^2)(x-mu)^2)$


sostituisci $mu=0$ e $sigma^2=2$

[rand88]

"tommik":scusami quella che abbiamo trovato è la FGM di una normale di media 0 e varianza 2

quindi


$f(x,mu,sigma^2)=1/(sigmasqrt(2pi))e^(-1/(2sigma^2)(x-mu)^2)$


sostituisci $mu=0$ e $sigma^2=2$

Ora si, mi è chiarissimo! Grazie mille, hai un caffè pagato!!

Se mi esplicitassi lo svolgimento anche del primo esercizio ci metto anche una sfogliatella vicino al caffè, ma forse sarebbe abusare troppo della tua disponibilità

[Lo_zio_Tom]

Hai chiesto l'intervallo di confidenza per $ sigma $

Sicuro che non stai cercando l'intervallo di confidenza per $ mu $??

[rand88]

"tommik":Hai chiesto l'intervallo di confidenza per $ sigma $

Sicuro che non stai cercando l'intervallo di confidenza per $ mu $??

Si, purtroppo la traccia mi chiedeva proprio per σ

[Lo_zio_Tom]

L' intervallo per $ sigma^2$ è

$[(n-1) S^2/b; (n-1) S^2/a] $

Dove $ a, b $ li leggi sulle tavole

tutto qui

$ sqrt (15\cdot400/25)
$15,5
Questo supponendo che $ S^2$ sia la varianza campionaria corretta, cioè quella divisa per $(n-1) $

Altrimenti la formula cambia leggermente

[rand88]

"tommik":$ sqrt (15\cdot400/25)
$15,5
Ok mi è chiaro e svolgendolo anche io, mi trovo.

Ma nel testo della traccia quando dice "assumendo un modello cdf delle durate di tipo normale di parametri µ e σ..." non è che chiede di utilizzare la funzione ancillare Normale standard? e forse per questo da anche la media?
Anche se la normale, nei pochi esercizi che ho fatto, mi sembra di aver capito che si utilizza per determinare l'intervallo di confidenza della µ. Nel caso è' possibile utilizzarla anche per determinare la σ?

PS: Grazie, mi sei stato di grande aiuto.

[Lo_zio_Tom]

Dunque: la stima per intervallo di parametri sulla distribuzione normale si basa sulla distirbuzione di statistiche campionarie note:

Per quanto riguarda la stima del parametro $sigma^2$ esistono due distribuzioni note:


1) $(n-1)S^2/sigma^2~ chi_(n-1)^2$

che si può scrivere anche come $nS^2/sigma^2~ chi_(n-1)^2$ nel caso in cui $S^2$ sia calcolato nella sua versione "distorta", ovvero diviso per $n$ invece che per $(n-1)$


2) $sum_(i=1)^(n)((x_(i)-mu)/sigma)^2~ chi_(n)^2$

con semplici conti algebrici,

la statistica 1) porge l'intervallo di confidenza

$[(n-1)S^2/b;(n-1)S^2/a]$ dove $a,b$ sono i quantili della $chi_(n-1)^2$




la statistica 2) porge invece l'intervallo di confidenza

$[(sum_(i)(x_(i)-mu)^2)/b;(sum_(i)(x_(i)-mu)^2)/a]$ dove $a,b$ sono i quantili della $chi_(n)^2$


quindi nel secondo caso, conoscendo la media, si elimina una relazione lineare fra le variabili e quindi i gradi di libertà aumentano di uno.
Ma occorre conoscere i dati campionari....che in realtà si dovrebbero conoscere sempre in un problema di stima....

Per quanto riguarda il tuo esercizio....opterei anche per un semplice refuso sulla traccia.....magari voleva davvero soltanto la stima di $mu$.....

Gli intervalli di confidenza non sono un argomento su cui perderci molto tempo, secondo me...ergo, passa oltre

[rand88]

"tommik":

Per quanto riguarda il tuo esercizio....opterei anche per un semplice refuso sulla traccia.....magari voleva davvero soltanto la stima di $mu$.....

:

e nel caso fosse un refuso e voleva conoscere la µ come si sarebbe risolto senza misure campionarie?
Utilizzando la T student? (ma anche li compare la x campionaria)

[Lo_zio_Tom]

"rand88":
e nel caso fosse un refuso e voleva conoscere la µ come si sarebbe risolto senza misure campionarie?
Utilizzando la T student? (ma anche li compare la x campionaria)

certo, con la t di Student...ma lì la media campionaria SERVE!!!!!
$|bar(x)-mu|<=tS/sqrt(n)$

dove t è la t di Student con $(n-1)$ gradi di libertà a livello di significatività richiesto

[rand88]

"tommik":[quote="rand88"]
e nel caso fosse un refuso e voleva conoscere la µ come si sarebbe risolto senza misure campionarie?
Utilizzando la T student? (ma anche li compare la x campionaria)

certo, con la t di Student...ma lì la media campionaria SERVE!!!!!

...mi sa che hai un po' di confusione in testa.... [/quote]
Assolutamente si, ho moolta confusione. E' l'ultimo esame e ho provato ad immagazzinare tutto in troppo poco tempo.
Allora nel caso chiedesse la µ, si svolge così:
$ p[(t1<(x-mu )/(s/(n^(1/2)))
$ P[x-t2*(s/n^(1/2))
Ipotizzando le code di probabilità uguali e pari ad $ alpha /2=0.05 $ ricavo i percentili t1 e t2 dalla tavola:
t1= -1,753 t2= +1,753
Dunque sostituendo:

$ P[30000-(1,753*(20/4)
$ p[29991,23
Giusto?

[Lo_zio_Tom]

se con $x$ indichi $bar(x)$ ok

però hai sbagliato a leggere le tavole..la $t$ con $n-1$ gradi di libertà $->15$ gradi...quindi il t critico è 1,753

però ti ripeto....a costo di essere noioso, dipende come è calcolata la statistica $S^2$

se

$S^2=1/(n-1)sum_(i)(x_(i)-barx)^2$

la formula è quella che ti ho scritto....

se invece $S^2=1/nsum_(i)(x_(i)-barx)^2$ allora la formula cambia leggermente.....questo io non lo posso sapere perché alcuni testi lo calcolano in un modo altri, nell'altro

[rand88]

Buona sera, dato quanto mi sei stato di aiuto, ti disturbo ancora per un altro esercizio.

Le prime 421 pagine di un testo dattiloscritto contengono 473 errori. Trovo 23 errori nelle successive 15 pagine. Con quale probabilità scorrerò ulteriori 2 pagine senza trovare errori?

Su internet ho trovato il seguente svolgimento:
"ho una media λ di errori per pagina uguale a λ = (473/421 + 23/15)/2 ~ 1.328

da cui ricavo la distribuzione P(n) = e^-λ*λ^n/n! = e^-λ*λ^1.328/1.328!

la probabiità di non trovare errori nelle due pagine successive è

. . .2
1 - ∑ P(j) = 1 - (0.265 + 0.352 + 0.234) = 0.149 (14.9 %)
. . .j=0

Ma è sballato, vero?

Il procedimento giusto è il seguente?:
$ P(y)= ((lambda *x)^y)/(y!)*e^(-lambda *x) $

con x=2
y= 0
$ lambda =(473+23)/(421+15)=1,328 $