Esercizio dado, urna e variabile aleatoria
Buongiorno a tutti ragazzi, sono un nuovo iscritto 
Mi manca solo questo esame e mi sono finalmente laureato in informatica, ma statistica è davvero una materia ostica!
Ho dei dubbi riguardo al seguente esercizio, e vorrei degli input anche per capire se ho ragionato bene.
L'esercizio recita:
Si lancia un dado a 4 facce, dove la probabilità che il risultato sia 1 o 2 o 3 è
uguale a p.
a) (4 punti) Sia X la v.a. che fornisce il risultato del lancio. Quanto valgono E(X) e V (X)?
b) (5 punti) Sia data un’urna vuota inizialmente. Lancio 3 volte il dado immettendo ogni volta nell’urna una pallina bianca se il risultato del lancio è 1 o 2 o 3 e una pallina nera se 4. (Suggerimento: usare la binomiale di
parametri 3, p). Dopo estraggo una pallina dall’urna. Qual è la probabilità che sia bianca?
c) (4 punti) Nelle stesse ipotesi di b), supponiamo di estrarre 1 bianca e 1 nera dall’urna. Qual è la probabilità che la pallina rimasta sia nera?
Per il punto a) ho fatto questo:
Sapendo che P(1), P(2) e P(3) valgono p, allora P(4) vale 1-3p. Dunque ho applicato la definizione di media.
$\E(X) = sum_{k=1}^N k*x$
Per la varianza sorge il primo problema, cioè ho posto
$\V(X) = E(X^2) - E(X)^2$
ma non so come calcolare effettivamente $\E(X^2)$ dato che non posso usare la tattica $\E(X^2) = V(X) + E(X)^2$ e non so se possa effettivamente usare la formula della media, ma con i valori k al quadrato per $\E(X^2)$.
Il punto b) è molto facile per me, col suggerimento della binomiale ho posto 3 casi
1. 1 pallina bianca
2. 2 palline bianche
3. 3 palline bianche
e poi mi basta fare la probabilità totale
Il punto c) invece credo di non averlo capito. Nel senso, la logica mi suggerisce che l'unico caso possibile in cui rimanga una pallina nera è il caso in cui vengano estratte 2 nere e 1 bianca, ma non riesco a capire come impostare eventuali probabilità condizionate.
Mi manca solo questo esame e mi sono finalmente laureato in informatica, ma statistica è davvero una materia ostica!
Ho dei dubbi riguardo al seguente esercizio, e vorrei degli input anche per capire se ho ragionato bene.
L'esercizio recita:
Si lancia un dado a 4 facce, dove la probabilità che il risultato sia 1 o 2 o 3 è
uguale a p.
a) (4 punti) Sia X la v.a. che fornisce il risultato del lancio. Quanto valgono E(X) e V (X)?
b) (5 punti) Sia data un’urna vuota inizialmente. Lancio 3 volte il dado immettendo ogni volta nell’urna una pallina bianca se il risultato del lancio è 1 o 2 o 3 e una pallina nera se 4. (Suggerimento: usare la binomiale di
parametri 3, p). Dopo estraggo una pallina dall’urna. Qual è la probabilità che sia bianca?
c) (4 punti) Nelle stesse ipotesi di b), supponiamo di estrarre 1 bianca e 1 nera dall’urna. Qual è la probabilità che la pallina rimasta sia nera?
Per il punto a) ho fatto questo:
Sapendo che P(1), P(2) e P(3) valgono p, allora P(4) vale 1-3p. Dunque ho applicato la definizione di media.
$\E(X) = sum_{k=1}^N k*x$
Per la varianza sorge il primo problema, cioè ho posto
$\V(X) = E(X^2) - E(X)^2$
ma non so come calcolare effettivamente $\E(X^2)$ dato che non posso usare la tattica $\E(X^2) = V(X) + E(X)^2$ e non so se possa effettivamente usare la formula della media, ma con i valori k al quadrato per $\E(X^2)$.
Il punto b) è molto facile per me, col suggerimento della binomiale ho posto 3 casi
1. 1 pallina bianca
2. 2 palline bianche
3. 3 palline bianche
e poi mi basta fare la probabilità totale
Il punto c) invece credo di non averlo capito. Nel senso, la logica mi suggerisce che l'unico caso possibile in cui rimanga una pallina nera è il caso in cui vengano estratte 2 nere e 1 bianca, ma non riesco a capire come impostare eventuali probabilità condizionate.
Risposte
"SysteMachine":
Si lancia un dado a 4 facce, dove la probabilità che il risultato sia 1 o 2 o 3 è
uguale a p.
Sapendo che P(1), P(2) e P(3) valgono p, allora P(4) vale 1-3p
E non $1-p$? La mia prima reazione era $P(1\text{ o }2\text{ o }3)=p$ ma magari ho capito male il testo.
"SysteMachine":
Il punto b) è molto facile per me, col suggerimento della binomiale ho posto 3 casi
1. 1 pallina bianca
2. 2 palline bianche
3. 3 palline bianche
4 casi, no? Ma ok il caso 0 palline bianche lo puoi escludere.
Io ho fatto questo ragionamento, magari è sbagliato:
$P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1$
$P(1) + P(2) + P(3) = 3p$
$P(4) = 1 - P(1) + P(2) + P(3)$
$P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1$
$P(1) + P(2) + P(3) = 3p$
$P(4) = 1 - P(1) + P(2) + P(3)$
Il caso 0 palline mi sembrava inutile visto che a me serve la probabilità di estrarre 1 pallina bianca, se ho 0 palline bianche allora sto sommando un 0 alla probabilità totale, quindi posso evitare.
"SysteMachine":
Il punto c) invece credo di non averlo capito. Nel senso, la logica mi suggerisce che l'unico caso possibile in cui rimanga una pallina nera è il caso in cui vengano estratte 2 nere e 1 bianca
E in quali altri casi puoi estrarre una bianca e una nera?
"ghira":
[quote="SysteMachine"]
Il punto c) invece credo di non averlo capito. Nel senso, la logica mi suggerisce che l'unico caso possibile in cui rimanga una pallina nera è il caso in cui vengano estratte 2 nere e 1 bianca
E in quali altri casi puoi estrarre una bianca e una nera?[/quote]
Mi stai dicendo che devo considerare anche l'evenienza in cui la pallina rimasta sia bianca? Quindi devo unire la probabilità che la pallina rimasta sia bianca con quella nera? Io avevo dato per scontato che dovessimo considerare la probabilità che la pallina rimasta fosse nera, rimanendo dunque in 1 solo caso.
"SysteMachine":
Mi stai dicendo che devo considerare anche l'evenienza in cui la pallina rimasta sia bianca? Quindi devo unire la probabilità che la pallina rimasta sia bianca con quella nera? Io avevo dato per scontato che dovessimo considerare la probabilità che la pallina rimasta fosse nera, rimanendo dunque in 1 solo caso.
Hai estratto una bianca e una nera. In quali casi puoi aver fatto questo? In quali di questi casi la pallina rimasta è nera?
"SysteMachine":
so se possa effettivamente usare la formula della media, ma con i valori k al quadrato per $\E(X^2)$.
Certo che puoi. Quali sono i valori? Con quali probabilità? Fatto.
"ghira":
[quote="SysteMachine"]
Mi stai dicendo che devo considerare anche l'evenienza in cui la pallina rimasta sia bianca? Quindi devo unire la probabilità che la pallina rimasta sia bianca con quella nera? Io avevo dato per scontato che dovessimo considerare la probabilità che la pallina rimasta fosse nera, rimanendo dunque in 1 solo caso.
Hai estratto una bianca e una nera. In quali casi puoi aver fatto questo? In quali di questi casi la pallina rimasta è nera?[/quote]
Quindi qui posso praticamente rifare la probabilità totale? Se mi poni il problema in questi termini allora deduco che $1/2$ sia la probabilità che la pallina rimasta sia bianca o nera, $A$ come probabilità di estrarre 2 bianche 1 nera e $B$ come probabilità di estrarre 1 bianca 2 nere e faccio
$1/2 * A + 1/2 * B $
"ghira":
[quote="SysteMachine"] so se possa effettivamente usare la formula della media, ma con i valori k al quadrato per $ \E(X^2) $.
Certo che puoi. Quali sono i valori? Con quali probabilità? Fatto.[/quote]
Apposto, allora questo punto lo considero risolto.
"SysteMachine":
(Suggerimento: usare la binomiale di
parametri 3, p).
E non, per esempio, $3, 3p$.
"SysteMachine":
Quindi qui posso praticamente rifare la probabilità totale? Se mi poni il problema in questi termini allora deduco che $1/2$ sia la probabilità che la pallina rimasta sia bianca o nera
Siamo sicuri?
"ghira":
[quote="SysteMachine"](Suggerimento: usare la binomiale di
parametri 3, p).
E non, per esempio, $3, 3p$.[/quote]
Questo suggerimento l'ha lasciato il professore. Essendo una binomiale di parametro (3, p) credo che la probabilità di un evento singolo sia p inteso come specifica faccia del dado. Nel senso che la probabilità che esca specificatamente 1 è $p$, equiprobabile a 2 e 3. 4, invece, è la mia q, cioè $1-3p.$ (?)
"SysteMachine":
Io ho fatto questo ragionamento, magari è sbagliato:
$ P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1 $
$ P(1) + P(2) + P(3) = 3p $
$ P(4) = 1 - P(1) + P(2) + P(3) $
Proprio per questo ragionamento credo di aver impostato bene le probabilità singole, magari mi sto sbagliando.
Poniamo che tu abbia ragione, e che $P(1) + P(2) + P(3) = p$
Se dovessi valutare la probabilità singola di una faccia, $P(1) = P(2) = P(3) = p/3$ è l'unica alternativa che mi viene in mente, considerando che è una binomiale e stiamo riassumendo tutto in biglia bianca $= p$ e biglia nera $= 1-p$.
"ghira":
[quote="SysteMachine"]
Quindi qui posso praticamente rifare la probabilità totale? Se mi poni il problema in questi termini allora deduco che $ 1/2 $ sia la probabilità che la pallina rimasta sia bianca o nera
Siamo sicuri?[/quote]
No, con gli esercizi di questo tipo sono una chiavica, e non ho per nulla chiaro come impostare problemi del tipo probabilità condizionata o Bayes (ammesso che sia uno di questo tipo).
"SysteMachine":
Questo suggerimento l'ha lasciato il professore. Essendo una binomiale di parametro (3, p) credo che la probabilità di un evento singolo sia p inteso come specifica faccia del dado. Nel senso che la probabilità che esca specificatamente 1 è $p$, equiprobabile a 2 e 3. 4, invece, è la mia q, cioè $1-3p.$ (?)
Ma nella binomiale ci sono solo due possibilità. Qui, bianco e nero. non-4 e 4. Se il professore ha scritto "$3,p$" e non "$3, 3p$" credo che sia per dirti che la probabilità di una pallina bianca sia $p$.
"ghira":
[quote="SysteMachine"]
Questo suggerimento l'ha lasciato il professore. Essendo una binomiale di parametro (3, p) credo che la probabilità di un evento singolo sia p inteso come specifica faccia del dado. Nel senso che la probabilità che esca specificatamente 1 è $p$, equiprobabile a 2 e 3. 4, invece, è la mia q, cioè $1-3p.$ (?)
Ma nella binomiale ci sono solo due possibilità. Qui, bianco e nero. non-4 e 4. Se il professore ha scritto "$3,p$" e non "$3, 3p$" credo che sia per dirti che la probabilità di una pallina bianca sia $p$.[/quote]
Ok, effettivamente credo sia così, ho inteso male la traccia, mi basta solamente ricalcolare tutto, ma almeno i procedimenti di a) e b) sono corretti.
Invece per quanto riguarda il punto c) non so proprio come fare questi esercizi.
"SysteMachine":
Ok, effettivamente credo sia così, ho inteso male la traccia
Secondo me la cosa non è chiara. L'indizio più tardi sembra aiutare però.
"SysteMachine":
Invece per quanto riguarda il punto c) non so proprio come fare questi esercizi.
Dato che hai estratto 1B1N, quali sono le probabilità di 0,1,2,3 bianche inizialmente?
Mi sembra una cosa da Bayes.
Chiaramente le probabilità di 0 e 3 sono 0.
Adesso, che probabilità c'è che la terza palla sia nera?
"ghira":
[quote="SysteMachine"]
Invece per quanto riguarda il punto c) non so proprio come fare questi esercizi.
Dato che hai estratto 1B1N, quali sono le probabilità di 0,1,2,3 bianche inizialmente?
Mi sembra una cosa da Bayes.
Chiaramente le probabilità di 0 e 3 sono 0.
Adesso, che probabilità c'è che la terza palla sia nera?[/quote]
Io ora faccio un po' di confusione con l'applicazione di questo teorema, quindi perdonami se dico stupidaggini ma sono qui soprattutto per imparare.
La probabilità di aver estratto 0 bianche o 3 bianche è 0, dato che ho per forza almeno una bianca e almeno una nera. Quindi siamo nel caso in cui ho inserito nell'urna o 2 bianche e 1 nera o 2 nere e 1 bianca.
Quindi indichiamo con $P(A)$ la probabilità che la pallina rimasta sia nera e $P(B)$ la probabilità di aver estratto una pallina bianca e una nera. Quindi, vedendo la formula di Bayes, cioè $P(A|B) = (P(B|A) * P(A))/(P(B))$ io identifico come $P(B|A) = P(2B1N uu 1B2N|N)$, dove con $N$ indico che la pallina rimasta sia nera. In generale, è la probabilità di aver estratto 1 bianca e 1 nera sapendo che la pallina rimasta sia nera (e se ho capito bene, $P(B|A)$ è letteralmente $1*P(1B2N)$).
A questa ci moltiplico $P(A)$, cioè la probabilità che se estraggo 2 palline, quella rimasta è nera, quindi la probabilità totale (3 nere, 2 nere 1 bianca, 1 nera e 2 bianche) e divido per $P(B)$, cioè la probabilità di estrarre 1 bianca e 1 nera, quindi la probabilità di aver inserito nell'urna o 2 bianche e 1 nera o 2 nere e 1 bianca, giusto?
"ghira":
[quote="SysteMachine"]
Ok, effettivamente credo sia così, ho inteso male la traccia
Secondo me la cosa non è chiara. L'indizio più tardi sembra aiutare però.[/quote]
Dato il parametro p della binomiale affermiamo che le probabilità siano rispettivamente p e 1-p, per pace dei sensi
Non sono particolarmente convinto. Hai provato a scrivere una simulazione per vedere cosa succede? Rileggo meglio più tardi, ma secondo me stai applicando Bayes alle cose sbagliate. Potrei sbagliarmi.
La mia prima reazione è di fare così:
Chiamiamo 0,1,2,3 gli eventi "Ci sono 0, 1, 2, 3 palline bianche"
Chiamiamo "BN" l'evento "peschiamo una bianca e una nera".
Cosa sono $P(BN|i)$ per ogni $i$?
Adesso Bayes: Cosa sono $P(i|BN)$ per ogni $i$?
Chiamiamo 0,1,2,3 gli eventi "Ci sono 0, 1, 2, 3 palline bianche"
Chiamiamo "BN" l'evento "peschiamo una bianca e una nera".
Cosa sono $P(BN|i)$ per ogni $i$?
Adesso Bayes: Cosa sono $P(i|BN)$ per ogni $i$?
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