Esercizio dado, urna e variabile aleatoria
Buongiorno a tutti ragazzi, sono un nuovo iscritto 
Mi manca solo questo esame e mi sono finalmente laureato in informatica, ma statistica è davvero una materia ostica!
Ho dei dubbi riguardo al seguente esercizio, e vorrei degli input anche per capire se ho ragionato bene.
L'esercizio recita:
Si lancia un dado a 4 facce, dove la probabilità che il risultato sia 1 o 2 o 3 è
uguale a p.
a) (4 punti) Sia X la v.a. che fornisce il risultato del lancio. Quanto valgono E(X) e V (X)?
b) (5 punti) Sia data un’urna vuota inizialmente. Lancio 3 volte il dado immettendo ogni volta nell’urna una pallina bianca se il risultato del lancio è 1 o 2 o 3 e una pallina nera se 4. (Suggerimento: usare la binomiale di
parametri 3, p). Dopo estraggo una pallina dall’urna. Qual è la probabilità che sia bianca?
c) (4 punti) Nelle stesse ipotesi di b), supponiamo di estrarre 1 bianca e 1 nera dall’urna. Qual è la probabilità che la pallina rimasta sia nera?
Per il punto a) ho fatto questo:
Sapendo che P(1), P(2) e P(3) valgono p, allora P(4) vale 1-3p. Dunque ho applicato la definizione di media.
$\E(X) = sum_{k=1}^N k*x$
Per la varianza sorge il primo problema, cioè ho posto
$\V(X) = E(X^2) - E(X)^2$
ma non so come calcolare effettivamente $\E(X^2)$ dato che non posso usare la tattica $\E(X^2) = V(X) + E(X)^2$ e non so se possa effettivamente usare la formula della media, ma con i valori k al quadrato per $\E(X^2)$.
Il punto b) è molto facile per me, col suggerimento della binomiale ho posto 3 casi
1. 1 pallina bianca
2. 2 palline bianche
3. 3 palline bianche
e poi mi basta fare la probabilità totale
Il punto c) invece credo di non averlo capito. Nel senso, la logica mi suggerisce che l'unico caso possibile in cui rimanga una pallina nera è il caso in cui vengano estratte 2 nere e 1 bianca, ma non riesco a capire come impostare eventuali probabilità condizionate.
Mi manca solo questo esame e mi sono finalmente laureato in informatica, ma statistica è davvero una materia ostica!
Ho dei dubbi riguardo al seguente esercizio, e vorrei degli input anche per capire se ho ragionato bene.
L'esercizio recita:
Si lancia un dado a 4 facce, dove la probabilità che il risultato sia 1 o 2 o 3 è
uguale a p.
a) (4 punti) Sia X la v.a. che fornisce il risultato del lancio. Quanto valgono E(X) e V (X)?
b) (5 punti) Sia data un’urna vuota inizialmente. Lancio 3 volte il dado immettendo ogni volta nell’urna una pallina bianca se il risultato del lancio è 1 o 2 o 3 e una pallina nera se 4. (Suggerimento: usare la binomiale di
parametri 3, p). Dopo estraggo una pallina dall’urna. Qual è la probabilità che sia bianca?
c) (4 punti) Nelle stesse ipotesi di b), supponiamo di estrarre 1 bianca e 1 nera dall’urna. Qual è la probabilità che la pallina rimasta sia nera?
Per il punto a) ho fatto questo:
Sapendo che P(1), P(2) e P(3) valgono p, allora P(4) vale 1-3p. Dunque ho applicato la definizione di media.
$\E(X) = sum_{k=1}^N k*x$
Per la varianza sorge il primo problema, cioè ho posto
$\V(X) = E(X^2) - E(X)^2$
ma non so come calcolare effettivamente $\E(X^2)$ dato che non posso usare la tattica $\E(X^2) = V(X) + E(X)^2$ e non so se possa effettivamente usare la formula della media, ma con i valori k al quadrato per $\E(X^2)$.
Il punto b) è molto facile per me, col suggerimento della binomiale ho posto 3 casi
1. 1 pallina bianca
2. 2 palline bianche
3. 3 palline bianche
e poi mi basta fare la probabilità totale
Il punto c) invece credo di non averlo capito. Nel senso, la logica mi suggerisce che l'unico caso possibile in cui rimanga una pallina nera è il caso in cui vengano estratte 2 nere e 1 bianca, ma non riesco a capire come impostare eventuali probabilità condizionate.
Risposte
"ghira":
La mia prima reazione è di fare così:
Chiamiamo 0,1,2,3 gli eventi "Ci sono 0, 1, 2, 3 palline bianche"
Chiamiamo "BN" l'evento "peschiamo una bianca e una nera".
Cosa sono $P(BN|i)$ per ogni $i$?
Adesso Bayes: Cosa sono $P(i|BN)$ per ogni $i$?
Quindi in questo caso, se applichiamo Bayes, dire "hai pescato una bianca e una nera (A), qual è la probabilità che la terza sia nera?(B)" equivale a fare la probabilità totale del pescare 1 bianca e 1 nera (con $i$ che include i casi 2b1n e 1b2n) e poi fare la probabilità condizionata con gli eventi singoli?
E in generale, così mi ritrovo anche per gli altri esercizi, posso applicare Bayes sempre in questo modo? In generale, prendo tutti i casi in cui è verificabile tale evento e poi lo condiziono agli eventi singoli?
"SysteMachine":
Quindi in questo caso, se applichiamo Bayes, dire "hai pescato una bianca e una nera (A), qual è la probabilità che la terza sia nera?(B)" equivale a fare la probabilità totale del pescare 1 bianca e 1 nera (con $i$ che include i casi 2b1n e 1b2n) e poi fare la probabilità condizionata con gli eventi singoli?
Direi di sì.
"SysteMachine":
E in generale, così mi ritrovo anche per gli altri esercizi, posso applicare Bayes sempre in questo modo? In generale, prendo tutti i casi in cui è verificabile tale evento e poi lo condiziono agli eventi singoli?
Non sempre, direi.
Perfetto, grazie mille per la pazienza
Bayes non mi è mai sembrato così speciale.
$P(A\cap B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)$ è abbastanza noto.
Quindi possiamo scrivere, abbastanza banalmente:
$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$
e
$P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$
E abbastanza spesso almeno una di queste due equazioni ci dice come calcolare una cosa a prima vista orribile in termini di cose molto più facili da calcolare.
$P(A\cap B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)$ è abbastanza noto.
Quindi possiamo scrivere, abbastanza banalmente:
$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$
e
$P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$
E abbastanza spesso almeno una di queste due equazioni ci dice come calcolare una cosa a prima vista orribile in termini di cose molto più facili da calcolare.
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