Esercizi teorici probabilità
Salve 
vi presento un pò di esercizi teorici del mio corso necessari da risolvere per passare ai veri e propri problemi. Ovviamente senza soluzione non riesco a capire se possono essere stati svolti in maniera corretta.Sono esercizi teorici e quindi da svolgere in meno di un minuto(a detta del prof) per questo li presento sotto un unico topic anche se prendono vari campi della probabilità. Spero di non fare una cavolata
1) Data una v.a. $X~N(0.5,4)$ calcolare $P(e^X>=5)$
2)Data $M_Z (t)=1/4e^(t^2)/(1/2-t)^2$ dove $Z=X+Y$ calcolare $E(Z)$
3)Data $P(C)=1/2$ e $P(B|C)=1/4$ e $P(AnnBnnC)=1/10$. Calcolare $P(A|BnnC)$
4)Calcolare $P(AnnB|AuuB)$ conoscendo $P(A)=1/4$ $P(B)=1/2$ (considerare eventi indipendenti)
5)Sia $X~Gamma(alpha,lambda)$ e $Y=lambdaX$ con $lambda>0$ calcolare la fgm $Y$ e densità.
6)$X~Gamma(alpha,lambda)$ e $Y=5X+2$ calcolare densità di $Y$
7)Data $P(B)=1/3$ e $P(A^c nn B)=1/5$ calcolare $P(A|B)$
8)Se $A,B$ sono due insiemi,quale è la o-algebra generata da $AuuB$
9)Dire,giustificando risposta,se la famiglia data da ${Omega,emptyset,A}$ con $A$ sottoinsieme di $Omega$ è una o-algebra.
10)Dare la definizione di eventi indipendenti per $A_1,...A_n$ con $n=2$ e poi $n>=3$
Iniziamo
1)Scrivo $F_Y(y)=P(e^X<=y)=P(e^X<=y)=P(X<=ln(5))=P((ln(5)-0.5)/2)=Phi(0,55)$
2)Osservo che quella funzione è il prodotto di $M_X(t)=e^(t^2)$ dove $X~N(0,2)$ e $M_Y(t)=(1/2)^2/(1/2-t)^2$ dove $Y~Gamma(2,1/2)$ quindi $E(Z)=4$
3)$P(A|BnnC)=(P((AnnCnnB)))/(P((BnnC)))=(P((AnnCnnB)))/(P(B|C)P(C))=8/10$ grazie all'indipendenza
4)$P(AnnB|AuuB)=(P((AuuB)uu(AnnB)))/(P((AuuB)))=(P(BnnA))$ semplificio e ottengo $P(A)P(B)$ grazie all'indipendenza
5)Dalla definizione di fgm scrivo $M(t)=E(e^(lambdatY))$ quindi calcolo $E(g(y))=int_0^{oo}e^(lambdaty)(lambda^(alpha))/(Gamma(alpha)) y^(alpha-1) e^{-lambda y) dy$ $=int_0^{oo}(lambda^(alpha))/(Gamma(alpha)) y^(alpha-1) e^{-((lambda+t) y)) dy=lambda^alpha/(lambda+tlambda)^alpha$ .Manca la densità
6)$P(Y<=y)=P(5X+2<=y)=P(X<=(y-2)/5)=F_Y(y)=F_X((y-2)/5)$ derivo $f(y)=f_x((y-2)/5)1/5$ quindi
$lambda^(alpha)/(Gamma(alpha)) ((y-2)/5)^(alpha-1) e^{-lambda ((y-2)/5)) 1/5$
poi il resto non riesco nel 7) ho provato a scrivere $P(A nn B)=4/5$ e poi procedere come negli esercizi precednenti ma esce una $P>1$ mentre il resto non riesco... Forse non riesco a dare un significato alle o-algebre. Mentre per l'indipendenza so scrivere l'indipendenza di eventi per def,ma cosa vuol dire con $n$ cosi dato?(spero di essermi spiegato
)
Grazie a chi mi dedicherà del tempo. Spero ancora di non aver sbagliato a scrivere questo topic in questo modo,anche perchè c ho messo quasi un ora
vi presento un pò di esercizi teorici del mio corso necessari da risolvere per passare ai veri e propri problemi. Ovviamente senza soluzione non riesco a capire se possono essere stati svolti in maniera corretta.Sono esercizi teorici e quindi da svolgere in meno di un minuto(a detta del prof) per questo li presento sotto un unico topic anche se prendono vari campi della probabilità. Spero di non fare una cavolata
1) Data una v.a. $X~N(0.5,4)$ calcolare $P(e^X>=5)$
2)Data $M_Z (t)=1/4e^(t^2)/(1/2-t)^2$ dove $Z=X+Y$ calcolare $E(Z)$
3)Data $P(C)=1/2$ e $P(B|C)=1/4$ e $P(AnnBnnC)=1/10$. Calcolare $P(A|BnnC)$
4)Calcolare $P(AnnB|AuuB)$ conoscendo $P(A)=1/4$ $P(B)=1/2$ (considerare eventi indipendenti)
5)Sia $X~Gamma(alpha,lambda)$ e $Y=lambdaX$ con $lambda>0$ calcolare la fgm $Y$ e densità.
6)$X~Gamma(alpha,lambda)$ e $Y=5X+2$ calcolare densità di $Y$
7)Data $P(B)=1/3$ e $P(A^c nn B)=1/5$ calcolare $P(A|B)$
8)Se $A,B$ sono due insiemi,quale è la o-algebra generata da $AuuB$
9)Dire,giustificando risposta,se la famiglia data da ${Omega,emptyset,A}$ con $A$ sottoinsieme di $Omega$ è una o-algebra.
10)Dare la definizione di eventi indipendenti per $A_1,...A_n$ con $n=2$ e poi $n>=3$
Iniziamo
1)Scrivo $F_Y(y)=P(e^X<=y)=P(e^X<=y)=P(X<=ln(5))=P((ln(5)-0.5)/2)=Phi(0,55)$
2)Osservo che quella funzione è il prodotto di $M_X(t)=e^(t^2)$ dove $X~N(0,2)$ e $M_Y(t)=(1/2)^2/(1/2-t)^2$ dove $Y~Gamma(2,1/2)$ quindi $E(Z)=4$
3)$P(A|BnnC)=(P((AnnCnnB)))/(P((BnnC)))=(P((AnnCnnB)))/(P(B|C)P(C))=8/10$ grazie all'indipendenza
4)$P(AnnB|AuuB)=(P((AuuB)uu(AnnB)))/(P((AuuB)))=(P(BnnA))$ semplificio e ottengo $P(A)P(B)$ grazie all'indipendenza
5)Dalla definizione di fgm scrivo $M(t)=E(e^(lambdatY))$ quindi calcolo $E(g(y))=int_0^{oo}e^(lambdaty)(lambda^(alpha))/(Gamma(alpha)) y^(alpha-1) e^{-lambda y) dy$ $=int_0^{oo}(lambda^(alpha))/(Gamma(alpha)) y^(alpha-1) e^{-((lambda+t) y)) dy=lambda^alpha/(lambda+tlambda)^alpha$ .Manca la densità
6)$P(Y<=y)=P(5X+2<=y)=P(X<=(y-2)/5)=F_Y(y)=F_X((y-2)/5)$ derivo $f(y)=f_x((y-2)/5)1/5$ quindi
$lambda^(alpha)/(Gamma(alpha)) ((y-2)/5)^(alpha-1) e^{-lambda ((y-2)/5)) 1/5$
poi il resto non riesco nel 7) ho provato a scrivere $P(A nn B)=4/5$ e poi procedere come negli esercizi precednenti ma esce una $P>1$ mentre il resto non riesco... Forse non riesco a dare un significato alle o-algebre. Mentre per l'indipendenza so scrivere l'indipendenza di eventi per def,ma cosa vuol dire con $n$ cosi dato?(spero di essermi spiegato
)Grazie a chi mi dedicherà del tempo. Spero ancora di non aver sbagliato a scrivere questo topic in questo modo,anche perchè c ho messo quasi un ora
Risposte
"shadow88":
7)Data $P(B)=1/3$ e $P(A^c nn B)=1/5$ calcolare $P(A|B)$
nel 7) ho provato a scrivere $P(A nn B)=4/5$
Se $P(B)=1/3$ come fa $P(A nn B)$ ad essere maggiore di $1/3$?
"shadow88":
10)Dare la definizione di eventi indipendenti per $A_1,...A_n$ con $n>2$ e poi $n>=3$
Mentre per l'indipendenza so scrivere l'indipendenza di eventi per def,ma cosa vuol dire con $n$ cosi dato?(spero di essermi spiegato
Sicuro che non è $=2$ e poi $>=3$?
"shadow88":
Forse non riesco a dare un significato alle o-algebre.
https://it.wikipedia.org/wiki/Sigma-algebra
"shadow88":
4)Calcolare $P(AnnB|AuuB)$ conoscendo $P(A)=1/4$ $P(B)=1/2$
4)$P(AnnB|AuuB)=(P((AuuB)uu(AnnB)))=(P(BnnC))$ semplificio e ottengo $P(A)P(B)$ grazie all'indipendenza
Quale C? Quale indipendenza?
Ciao ghira e grazie come prima cosa
Ho corretto alcune imprecisioni di copiatura che giustamente hai sottolineato. Mentre per la o-algebra ovviamente ho letto la definizione ed esempi. Ma non riesco a capire,qui il mio limite nel non essere "matematico puro"
Comunque l'esercizio 7 rivedendo,anche qui grazie all'indipendenza scrivo
$P(A^c)P(B)=1/5$ seguirà che $P(A^c)=(1/5) /(1/3)=3/5$ e $P(A)=2/5$,quindi $P(A|B)=(P(AnnB))/(P(B))=(2/25)/(1/5)$
Ho corretto alcune imprecisioni di copiatura che giustamente hai sottolineato. Mentre per la o-algebra ovviamente ho letto la definizione ed esempi. Ma non riesco a capire,qui il mio limite nel non essere "matematico puro"
Comunque l'esercizio 7 rivedendo,anche qui grazie all'indipendenza scrivo
$P(A^c)P(B)=1/5$ seguirà che $P(A^c)=(1/5) /(1/3)=3/5$ e $P(A)=2/5$,quindi $P(A|B)=(P(AnnB))/(P(B))=(2/25)/(1/5)$
"shadow88":
o-algebra
$\sigma$, non o.
"shadow88":
Comunque l'esercizio 7 rivedendo,anche qui grazie all'indipendenza
quale indipendenza?
"shadow88":
8)Se $A,B$ sono due insiemi,quale è la o-algebra generata da $AuuB$
$\sigma$, non o! E... sei sicuro??
Ok cercherò di essere più preciso con la tribù. Hai ragione non c'è indipendenza.
"shadow88":
9)Dire,giustificando risposta,se la famiglia data da ${Omega,emptyset,A}$ con $A$ sottoinsieme di $Omega$ è una o-algebra.
Qui $A$ non è né $\Omega$ né $\emptyset$, immagino.
Sia $\Omega$ l'insieme ${1,2}$. ${\emptyset, {1}, {1,2}}$ è una $\sigma$-algebra?
"shadow88":
4)Calcolare $P(AnnB|AuuB)$ conoscendo $P(A)=1/4$ $P(B)=1/2$ (considerare eventi indipendenti)
4)$P(AnnB|AuuB)=(P((AuuB)uu(AnnB)))/(P((AuuB)))=(P(BnnA))$ semplificio e ottengo $P(A)P(B)$ grazie all'indipendenza
No. Ma che dici?
Io non riesco a rispondere a queste domande. E mi piacerebbe che lei mi aiutasse e capire dove ho sbagliato. Come da regolamento ho cercato di buttare giù una bozza dove possibile. Magari se può mostrarmi i miei errori e magari postandomi il corretto procedimento così che posso capire, aiutandomi a non commetterne più...
4)$P(AnnB|AuuB)=(P((AuuB) nn(AnnB)))/(P((AuuB)))=(P(BnnA))$.. L intersezione la vedo come un prodotto, semplifica e ottengo $P(A)P(B)$ grazie all indipendenza
"shadow88":
4)$P(AnnB|AuuB)=(P((AuuB) nn(AnnB)))/(P((AuuB)))=(P(BnnA))$
Ma $(AuuB) nn(AnnB)=AnnB$
Grazie... Proprietà distributiva e non prodotto... Vero...
"shadow88":
Io non riesco a rispondere a queste domande. E mi piacerebbe che lei mi aiutasse e capire dove ho sbagliato. Come da regolamento ho cercato di buttare giù una bozza dove possibile. Magari se può mostrarmi i miei errori e magari postandomi il corretto procedimento così che posso capire, aiutandomi a non commetterne più...
Per la domanda sulla $\sigma$-algebra: Il complementare di ${1}$ è nel nostro insieme?
"shadow88":
Grazie... Proprietà distributiva e non prodotto... Vero...
Beh, se proprio vuoi, ma $A\cap B$ è interamente contenuto in $A\cup B$ quindi la loro intersezione è $A\cap B$.
"ghira":
[quote="shadow88"]Io non riesco a rispondere a queste domande. E mi piacerebbe che lei mi aiutasse e capire dove ho sbagliato. Come da regolamento ho cercato di buttare giù una bozza dove possibile. Magari se può mostrarmi i miei errori e magari postandomi il corretto procedimento così che posso capire, aiutandomi a non commetterne più...
Per la domanda sulla $\sigma$-algebra: Il complementare di ${1}$ è nel nostro insieme?[/quote]
Il complementare di ${1}$ è ${2}$ giusto? Che non fa parte di quell insieme
"shadow88":
Il complementare di ${1}$ è ${2}$ giusto? Che non fa parte di quell insieme
Quindi il nostro insieme è una $\sigma$-algebra?
No...
Solo perché dei sottoinsiemi non viene preso anche ${2}$?
Solo perché dei sottoinsiemi non viene preso anche ${2}$?
"shadow88":
No...
Solo perché dei sottoinsiemi non viene preso anche ${2}$?
Giusto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo