Esercizi teorici probabilità
Salve 
vi presento un pò di esercizi teorici del mio corso necessari da risolvere per passare ai veri e propri problemi. Ovviamente senza soluzione non riesco a capire se possono essere stati svolti in maniera corretta.Sono esercizi teorici e quindi da svolgere in meno di un minuto(a detta del prof) per questo li presento sotto un unico topic anche se prendono vari campi della probabilità. Spero di non fare una cavolata
1) Data una v.a. $X~N(0.5,4)$ calcolare $P(e^X>=5)$
2)Data $M_Z (t)=1/4e^(t^2)/(1/2-t)^2$ dove $Z=X+Y$ calcolare $E(Z)$
3)Data $P(C)=1/2$ e $P(B|C)=1/4$ e $P(AnnBnnC)=1/10$. Calcolare $P(A|BnnC)$
4)Calcolare $P(AnnB|AuuB)$ conoscendo $P(A)=1/4$ $P(B)=1/2$ (considerare eventi indipendenti)
5)Sia $X~Gamma(alpha,lambda)$ e $Y=lambdaX$ con $lambda>0$ calcolare la fgm $Y$ e densità.
6)$X~Gamma(alpha,lambda)$ e $Y=5X+2$ calcolare densità di $Y$
7)Data $P(B)=1/3$ e $P(A^c nn B)=1/5$ calcolare $P(A|B)$
8)Se $A,B$ sono due insiemi,quale è la o-algebra generata da $AuuB$
9)Dire,giustificando risposta,se la famiglia data da ${Omega,emptyset,A}$ con $A$ sottoinsieme di $Omega$ è una o-algebra.
10)Dare la definizione di eventi indipendenti per $A_1,...A_n$ con $n=2$ e poi $n>=3$
Iniziamo
1)Scrivo $F_Y(y)=P(e^X<=y)=P(e^X<=y)=P(X<=ln(5))=P((ln(5)-0.5)/2)=Phi(0,55)$
2)Osservo che quella funzione è il prodotto di $M_X(t)=e^(t^2)$ dove $X~N(0,2)$ e $M_Y(t)=(1/2)^2/(1/2-t)^2$ dove $Y~Gamma(2,1/2)$ quindi $E(Z)=4$
3)$P(A|BnnC)=(P((AnnCnnB)))/(P((BnnC)))=(P((AnnCnnB)))/(P(B|C)P(C))=8/10$ grazie all'indipendenza
4)$P(AnnB|AuuB)=(P((AuuB)uu(AnnB)))/(P((AuuB)))=(P(BnnA))$ semplificio e ottengo $P(A)P(B)$ grazie all'indipendenza
5)Dalla definizione di fgm scrivo $M(t)=E(e^(lambdatY))$ quindi calcolo $E(g(y))=int_0^{oo}e^(lambdaty)(lambda^(alpha))/(Gamma(alpha)) y^(alpha-1) e^{-lambda y) dy$ $=int_0^{oo}(lambda^(alpha))/(Gamma(alpha)) y^(alpha-1) e^{-((lambda+t) y)) dy=lambda^alpha/(lambda+tlambda)^alpha$ .Manca la densità
6)$P(Y<=y)=P(5X+2<=y)=P(X<=(y-2)/5)=F_Y(y)=F_X((y-2)/5)$ derivo $f(y)=f_x((y-2)/5)1/5$ quindi
$lambda^(alpha)/(Gamma(alpha)) ((y-2)/5)^(alpha-1) e^{-lambda ((y-2)/5)) 1/5$
poi il resto non riesco nel 7) ho provato a scrivere $P(A nn B)=4/5$ e poi procedere come negli esercizi precednenti ma esce una $P>1$ mentre il resto non riesco... Forse non riesco a dare un significato alle o-algebre. Mentre per l'indipendenza so scrivere l'indipendenza di eventi per def,ma cosa vuol dire con $n$ cosi dato?(spero di essermi spiegato
)
Grazie a chi mi dedicherà del tempo. Spero ancora di non aver sbagliato a scrivere questo topic in questo modo,anche perchè c ho messo quasi un ora
vi presento un pò di esercizi teorici del mio corso necessari da risolvere per passare ai veri e propri problemi. Ovviamente senza soluzione non riesco a capire se possono essere stati svolti in maniera corretta.Sono esercizi teorici e quindi da svolgere in meno di un minuto(a detta del prof) per questo li presento sotto un unico topic anche se prendono vari campi della probabilità. Spero di non fare una cavolata
1) Data una v.a. $X~N(0.5,4)$ calcolare $P(e^X>=5)$
2)Data $M_Z (t)=1/4e^(t^2)/(1/2-t)^2$ dove $Z=X+Y$ calcolare $E(Z)$
3)Data $P(C)=1/2$ e $P(B|C)=1/4$ e $P(AnnBnnC)=1/10$. Calcolare $P(A|BnnC)$
4)Calcolare $P(AnnB|AuuB)$ conoscendo $P(A)=1/4$ $P(B)=1/2$ (considerare eventi indipendenti)
5)Sia $X~Gamma(alpha,lambda)$ e $Y=lambdaX$ con $lambda>0$ calcolare la fgm $Y$ e densità.
6)$X~Gamma(alpha,lambda)$ e $Y=5X+2$ calcolare densità di $Y$
7)Data $P(B)=1/3$ e $P(A^c nn B)=1/5$ calcolare $P(A|B)$
8)Se $A,B$ sono due insiemi,quale è la o-algebra generata da $AuuB$
9)Dire,giustificando risposta,se la famiglia data da ${Omega,emptyset,A}$ con $A$ sottoinsieme di $Omega$ è una o-algebra.
10)Dare la definizione di eventi indipendenti per $A_1,...A_n$ con $n=2$ e poi $n>=3$
Iniziamo
1)Scrivo $F_Y(y)=P(e^X<=y)=P(e^X<=y)=P(X<=ln(5))=P((ln(5)-0.5)/2)=Phi(0,55)$
2)Osservo che quella funzione è il prodotto di $M_X(t)=e^(t^2)$ dove $X~N(0,2)$ e $M_Y(t)=(1/2)^2/(1/2-t)^2$ dove $Y~Gamma(2,1/2)$ quindi $E(Z)=4$
3)$P(A|BnnC)=(P((AnnCnnB)))/(P((BnnC)))=(P((AnnCnnB)))/(P(B|C)P(C))=8/10$ grazie all'indipendenza
4)$P(AnnB|AuuB)=(P((AuuB)uu(AnnB)))/(P((AuuB)))=(P(BnnA))$ semplificio e ottengo $P(A)P(B)$ grazie all'indipendenza
5)Dalla definizione di fgm scrivo $M(t)=E(e^(lambdatY))$ quindi calcolo $E(g(y))=int_0^{oo}e^(lambdaty)(lambda^(alpha))/(Gamma(alpha)) y^(alpha-1) e^{-lambda y) dy$ $=int_0^{oo}(lambda^(alpha))/(Gamma(alpha)) y^(alpha-1) e^{-((lambda+t) y)) dy=lambda^alpha/(lambda+tlambda)^alpha$ .Manca la densità
6)$P(Y<=y)=P(5X+2<=y)=P(X<=(y-2)/5)=F_Y(y)=F_X((y-2)/5)$ derivo $f(y)=f_x((y-2)/5)1/5$ quindi
$lambda^(alpha)/(Gamma(alpha)) ((y-2)/5)^(alpha-1) e^{-lambda ((y-2)/5)) 1/5$
poi il resto non riesco nel 7) ho provato a scrivere $P(A nn B)=4/5$ e poi procedere come negli esercizi precednenti ma esce una $P>1$ mentre il resto non riesco... Forse non riesco a dare un significato alle o-algebre. Mentre per l'indipendenza so scrivere l'indipendenza di eventi per def,ma cosa vuol dire con $n$ cosi dato?(spero di essermi spiegato
)Grazie a chi mi dedicherà del tempo. Spero ancora di non aver sbagliato a scrivere questo topic in questo modo,anche perchè c ho messo quasi un ora
Risposte
Come ti dicevo... Perché non viene preso anche l elemento 2 nei sottoinsiemi??
Ps:gli esercizi della parte, diciamo continua, sono corretti? Non vorrei prenderli per buoni e magari sbagliare sempre le stessa cosa
Grazie comunque
Ps:gli esercizi della parte, diciamo continua, sono corretti? Non vorrei prenderli per buoni e magari sbagliare sempre le stessa cosa
Grazie comunque
"shadow88":
Come ti dicevo... Perché non viene preso anche l elemento 2 nei sottoinsiemi??
In che senso perché? Perché quell'insieme l'ho inventato io. Non volevo che ${2}$ ci fosse.
"shadow88":
Ps:gli esercizi della parte, diciamo continua, sono corretti? Non vorrei prenderli per buoni e magari sbagliare sempre le stessa cosa
Non li ho nemmeno guardati, onestamente.
Per il 4 e il 7 cosa dici adesso?
il 4)
in defininitiva posso scrivere $(P(AnnB))/(P(AuuB))=(P(A)P(B))/((P(A)+P(B)-P(A)P(B)))$
il 7) non ho piu idee oltre a quelle gia dette
in defininitiva posso scrivere $(P(AnnB))/(P(AuuB))=(P(A)P(B))/((P(A)+P(B)-P(A)P(B)))$
il 7) non ho piu idee oltre a quelle gia dette
"shadow88":
il 4)
in defininitiva posso scrivere $(P(AnnB))/P(AuuB)=(P(A)P(B))((P(A)+P(B)-P(A)P(B))$
E quindi la tua risposta è..?
"shadow88":
il 7) non ho piu idee oltre a quelle gia dette
Fallo brutalmente a mano un passo alla volta calcolando le probabilità di cose qualsiasi.
"shadow88":
$P(A^c)P(B)=1/5$
Questo non ci è stato detto.
esercizio 7)
$P(A^c nn B)=P(B)-P(AnnB)$ quindi $P(AnnB)=P(B)-P(A^c nn B)$ in definitiva
$P(A|B)=(P(AnnB))/(P(B))$ sostituisco $=(1/3-1/5)/(1/3)=2/5$
esercizio 8)
Definito $Omega$ spazio degli eventi e $A$ $B$ sottoinsiemi di $Omega$
$S_A={0,A^c,A,Omega}$ mentre $S_B={0,B^c,B,Omega}$ sono sigma-algebre. Ora come trovo l unione...so trovare l unione delle sigma-algebre ma non è quello che mi chiede o sbaglio?
$P(A^c nn B)=P(B)-P(AnnB)$ quindi $P(AnnB)=P(B)-P(A^c nn B)$ in definitiva
$P(A|B)=(P(AnnB))/(P(B))$ sostituisco $=(1/3-1/5)/(1/3)=2/5$
esercizio 8)
Definito $Omega$ spazio degli eventi e $A$ $B$ sottoinsiemi di $Omega$
$S_A={0,A^c,A,Omega}$ mentre $S_B={0,B^c,B,Omega}$ sono sigma-algebre. Ora come trovo l unione...so trovare l unione delle sigma-algebre ma non è quello che mi chiede o sbaglio?
"shadow88":
esercizio 7)
$P(A^c nn B)=P(B)-P(AnnB)$ quindi $P(AnnB)=P(B)-P(A^c nn B)$ in definitiva
$P(A|B)=(P(AnnB))/(P(B))$ sostituisco $=(1/3-1/5)/(1/3)=2/5$
Sì.
"shadow88":
esercizio 8)
Definito $Omega$ spazio degli eventi e $A$ $B$ sottoinsiemi di $Omega$
$S_A={0,A^c,A,Omega}$ mentre $S_B={0,B^c,B,Omega}$ sono sigma-algebre. Ora come trovo l unione...so trovare l unione delle sigma-algebre ma non è quello che mi chiede o sbaglio?
Ecco perché ti ho chiesto se sei sicuro. "Generato da $A\cup B$" mi dà l'idea che abbiamo solo $A\cup B$ e non $A$ e $B$. Quindi la nostra $\sigma$-algebra contiene solo 4 cose. Ma sospetto che non sia così.
Bo io ho copiato il testo pari pari .
Ghira ti ringrazio comunque. Se ti va di dare uno sguardo anche al resto io te ne sarei grato. Tanto. Purtroppo non ho altri modi per verificare se ho fatto bene o no se non in questo forum.
.Ghira ti ringrazio comunque. Se ti va di dare uno sguardo anche al resto io te ne sarei grato. Tanto. Purtroppo non ho altri modi per verificare se ho fatto bene o no se non in questo forum.
"shadow88":
Bo io ho copiato il testo pari pari
Se invece la nostra $\sigma$-algebra contiene $\emptyset$, $A$, $B$ e $\Omega$, e $A$ e $B$ sono distinti e nessuno dei due è $\emptyset$ o $\Omega$, quali altri insiemi devono essere presenti nella $\sigma$-algebra? Supponiamo anche che nessuno di $A$ e $B$ sia un sottoinsieme dell'altro, e che la loro intersezione non sia vuota.
$(AuuB,AnnB)$ forse
"shadow88":
$(AuuB,AnnB)$ forse
e anche...?
L unione e l intersezione dei complementari
"shadow88":
L unione e l intersezione dei complementari
E $A-B$, $B-A$, e $(A-B) \cup (B-A)$?
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