Dilemma probabilistico

[SnakePlinsky]

Un saluto a tutti.

Quello che ora propongo non è propriamente un gioco matematico, ma piuttosto un dilemma teorico.

Supponiamo di giocare con una moneta non truccata, quindi con p_testa = 1/2 e p_croce = 1/2.
Se esce croce vinco 1, se esce testa perdo 1.
La mia vincita totale al tempo t è data dalla somma di vincite e perdite.

Il valore atteso ad ogni lancio è pari a 1/2*1 + 1/2*(-1) = 0. Siccome sono eventi indipendenti il valore atteso in epoca zero della vincita dopo t lanci è pari alla somma dei valori attesi ed è quindi pari a 0. Più precisamente, poiché questa successione gode della proprietà di martingala, il valore condizionato della vincita in i conosciuto il valore in j , j La successione delle mie vincite è una cosiddetta catena di Markov, "quindi" una Random Walk (…)

Se faccio infinite prove e t tende ad infinito il valore medio delle mie vincite in t tende a zero (per il teorema centrale del limite).

Fin qui nessun problema.

ORA SUPONIAMO CHE SE VINCO, AL PROSSIMO LANCIO PUNTO 1, MENTRE SE PERDO RADDOPPIO, AD OGNI LANCIO, FINO A CHE NON VINCO: QUANDO QUESTO ACCADE, PUNTO DI NUOVO 1. (è definita progressione con raddoppio). Nota: ho a disposizione un capitale infinito per giocare quindi NON CI SONO PUNTATE MASSIME.

Ora io mi attendo, in epoca zero, che il valore atteso della vincita in t sia zero, poichè è dato dalla somma di valori attesi paria zero (infatti ad ogni puntata il mio valore atteso è: 1/2*puntata - 1/2*puntata =0: il valore della puntata non può incidere sul valore della vincita attesa).
L’entità della puntata non dovrebbe incidere sul valore atteso della vincita in un qualunque tempo t.

Ma probabilmente mi sfugge qualcosa, poiché se utilizzata nella pratica, questa strategia (conosciuta come “progressione con raddoppio”) mi da una vincita positiva e crescente nel tempo: come è possibile ciò?

Una somma di valori attesi tutti pari a zero mi dovrebbe dare un valore atteso pari a zero, eppure non è così.

Ecco il codice matlab se qualcuno volesse fare una simulazione:

%%%%%%%%MArtingala con raddoppio%%%%%%%
%%%%%%%%si punta su Croce (--> se la realizzazione
%%%%%%%%di un White Noise risulta >0)
%%%%%%%%Se vinco intasco la puntata e ripunto 1,
%%%%%%%%se viene Testa raddoppio la puntata successiva fino
%%%%%%%%a che non vinco.
puntata=zeros(1000,1);
puntata(1,1)=1;
vincita(1,1)=0;
base=randn(1000,1);
for a=2:1000;
if base(a,1)>0;
vincita(a,1)=[(vincita(a-1,1) + puntata(a,1))];
puntata((a+1),1)=1;
else;
vincita(a,1)=[(vincita(a-1,1) - puntata(a,1))];
puntata((a+1),1)=[puntata(a,1)*2];
end;
end;

Un saluto

[SnakePlinsky]

Bene, siccome mediamente c'è una risposta al post per 47 visite, non mi rimane che attendere altre 23 visite.

[kinder1]

considera una successione infinita di lanci della moneta, che possiamo rappresentare con una successione di 0 e 1, per esempio associando a 0 l'insuccesso ed a 1 il successo.
Ipotizziamo che la successione non contenga infiniti zeri consecutivi, e prendiamo in considerazione una qualunque successione finita di zeri consecutivi della successione data (includendo anche il caso un cui la successione consista di un solo zero avente uno ai suoi lati), più l'uno immediatamente alla sua destra, che ricordiamo essere una vincita. Questa serie di lanci, secondo la strategia del raddoppio, avrà sempre come risultato netto 1.
Possiamo allora immaginare di costruire una nuova successione partendo dalla prima, nella quale sostituiamo tutti gli zeri e l'uno immediatamente successivo con un semplice uno.
Avremo così una successione di infiniti 1.

[Piera4]

Dai un'occhiata qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_ ... ietroburgo

[SnakePlinsky]

Un grazie a Kinder e Piera per le risposte.

Il paradosso di San Pietroburgo non lo conoscevo. Comunque non riesco a risolvere il mio dilemma: per quale motivo una somma di valori attesi non condizionati tutti uguali a zero mi da un numero positivo nella pratica (e crescente tendenzialmente in ragione 1/2)?

X Kinder: ti seguo, intuitivamente si capisce perchè la strategia è vantaggiosa. Il problema è che non riesco a spiegarmelo teoricamente, probabilmente commetto un errore di definizione del problema riguardo al valore atteso, ma non riesco a capire quale.

Ecco le immagini:

[img=http://img504.imageshack.us/img504/6707/unoraddoppioyl3.th.jpg]

e senza 50 simulazioni senza raddoppio:

[img=http://img528.imageshack.us/img528/8707/50senzaraddoppioqf8.th.jpg]

[kinder1]

per dire con certezza qual'è l'errore ci dovrei pensare. Preliminarmente credo che l'errore potrebbe risiedere nel fatto che tu consideri il valore atteso come se ti trovassi di fronte ad eventi completamente indipendenti. In realtà, mentre ciò può essere vero per quanto riguarda l'esito del lancio della moneta (testa o croce), ciò sicuramente non è vero per quanto riguarda la definizione della puntata, la quale dipende proprio dall'esito dei lanci precedenti.

Secondo me il calcolo che fai tu presuppone una definizione a priori della progressione della puntata, indipendente dall'esito dei lanci precedenti.

[SnakePlinsky]

Più di 300 visite, è statisticamente ora che qualcuno risponda...

Ora vi mostro questa dimostrazione che dice sostanzialmente che non si può guadagnare con una progressione (ovvero il mio dilemma), quando si ha una probabilità di vincita minore di 0.5. Ora dalle mie simulazioni con Matlab risulte il contrario, la strategia del raddoppio ha vincita positiva anche con p di vincita < 0.5 (ma non troppo minore), avendo a disposizione un capitale infinito.

Mathematical Proof that Progressions cannot overcome Expectation.
by Richard Reid
--------------------------------------------------------------------------------


In "The Casino Gambler's Guide," Allan Wilson provided a mathematical proof of the fallacy that a progression can overcome a negative expectation in a game with even payoffs. This article expands on Wilson's Proof and provides the proof that progression systems cannot overcome a negative expectation even if the game provides uneven payoffs.
Let bk = the size of the kth bet.
Mk = the size of the payoff on the kth bet.
pk = the probability that the series terminates with a win on the kth bet, having been preceeded by k-1 losses in a row.
n-1 = the greatest number of losses in a row that a player can handle, given the size of the player's bankroll. In other words, the nth bet must be won, otherwise the player's entire bankroll will be lost.

Let's now define Bn = bn * Mn

The expected value for any series is:

Eseries = p1B1 + p2(B2-b1) + p3(B3-b2-b1) + . . . + pn(Bn-bn-1-bn-2- . . . -b2-b1) + (1-p1-p2- . . . -pn) * (-bn-bn-1-bn-2- . . . -b2-b1)

If we let

Eseries = A + B where,

A = p1B1 + p2(B2-b1) + p3(B3-b2-b1) + . . . + pn(Bn-bn-1-bn-2- . . . -b2-b1)

and

B = (1-p1-p2- . . . -pn) * (-bn-bn-1-bn-2- . . . -b2-b1)

then it is easier to see that "A" represents the probability that the series will end with a win multiplied by the bet size at the nth term in the series and "B" is the probability that the series ends in a loss multiplied by the net loss.

Now let's rearrange the terms in "A."

A = p1B1 + p2B2 - p2b1 + p3B3 - p3b2 - p3b1 + . . . + pnBn - pnbn-1 - pnbn-2 - . . . - pnb2 - pnb1
A = p1B1 + p2B2 + . . . + pnBn + b1(- p2 - p3 - . . . - pn) + b2(- p3 - . . . - pn) + bn-2(- pn-1 - pn) + bn-1(- pn)

And for "B" we get

B = -bn(1 - p1 - p2 - . . . - pn) - bn-1(1 - p1 - p2 - . . . - pn) - . . . - b2(1 - p1 - p2 - . . . - pn) - b1(1 - p1 - p2 - . . . - pn)

Now if we combine A and B again, we get,

Eseries = A + B
Eseries = p1B1 + p2B2 + . . . + pnBn - b1(1 - p1) - b2(1 - p1 - p2) - . . . - bn-1(1 - p1 - p2 - . . . - pn-1) - bn(1 - p1 - p2 - . . . - pn)
Eseries = p1B1 + p2B2 + . . . + pnBn + p1b1 + (p2 + p1)b2 + (p3 + p2 + p1)b3 + . . . + (pn + pn-1 + . . . + p2 + p1)bn - (b1 + b2 + . . . + bn)

Wilson points out that to get rid of the subscripts, all we have to do is realize that pk = (1-p)k-1p, where p is the probability of a win on an individual play and 1-p is the probability of a loss. If we think about it, it makes sense that the probability of a series terminating in a win at the kth level is the product of the probability of k-1 losses in a row multiplied by the probability of win on the kth trial.

So how do we use this information? Well, let's try substituting this expression for each pk and see what we get.

Eseries = (1-p)1-1pB1 + (1-p)2-1pB2 + . . . + (1-p)n-1pBn + (1-p)1-1pb1 + ((1-p)2-1p + (1-p)1-1p)b2 + ((1-p)3-1p + (1-p)2-1p + (1-p)1-1p)b3 + . . . + ((1-p)n-1p + (1-p)n-1-1p + . . . + (1-p)2-1p + (1-p)1-1p)bn - (b1 + b2 + . . . + bn)

Simplifying, we get

Eseries = (p(1-p)0B1 + (1-p)1pB2 + . . . + (1-p)n-1pBn + p(1-p)0b1 + ((1-p)1p + (1-p)0p)b2 + ((1-p)2p + (1-p)1p + (1-p)0p)b3 + . . . + ((1-p)n-1p + (1-p)n-2p + . . . + (1-p)1p + (1-p)0p)bn - (b1 + b2 + . . . + bn)

If we factor p out of the first parts of the equation and look closely, we can see that the kth term T can be written as:

T = p[(1-p)k-1]Bk + p[(1-p)k-1 + (1-p)k-2 + . . . + (1-p)2 + (1-p)1 + (1-p)0]bk

or rephrased for Bk = bk * Mk we get

T = p[(1-p)k-1Mk + (1-p)k-1 + (1-p)k-2 + . . . + (1-p)2 + (1-p)1 + (1-p)0]bk

If we substitute

C = (1-p)k-1 + (1-p)k-2 + . . . + (1-p)2 + (1-p)1 + (1-p)0

and if we multiply C by (1-p) and call this D

D = (1-p)C = (1-p)k + (1-p)k-1 + . . . + (1-p)3 + (1-p)2 + (1-p)1

Now, if we subtract C from D, we get

D - C = (1-p)C - C = (1-p)k - (1-p)0
[(1-p) - 1]C = (1-p)k - (1-p)0
C = [(1-p)k - 1]/[(1-p) - 1] or
C = [(1-p)k - 1]/-p]


Now if we substitute C back into T, we get

T = p[(1-p)k-1Mk + [(1-p)k - 1]/-p]bk
T = p(1-p)k-1Mk + 1 - (1-p)k]bk
T = p(1-p)k-1Mk + 1 - (1-p)(1-p)k-1]bk
T = [[pMk - (1-p)](1-p)k-1 + 1]bk This now allows us to write the equations in terms of summations. We therefore get

Eseries = sum {[[pMk - (1-p)](1-p)k-1]bk} + sum {bk} - sum {bk}, for k = 1 to n

The last two terms cancel, so we are left with:

Eseries = sum {[pMk - (1-p)](1-p)k-1]bk}, for k = 1 to n
Eseries = sum {[(1+Mk)p - 1](1-p)k-1]]bk}, for k = 1 to n

If we now look closely at this equation, we can make several observations. First, the sign of Eseries depends solely on the resulting sign of [(1+Mk)p - 1]. To make things a little easier to follow, let's say we're dealing with a game that has even payoffs. This means that Mk = 1 and therefore
Eseries = sum {[2p - 1](1-p)k-1]]bk}, for k = 1 to n
Eseries = [2p - 1]sum {(1-p)k-1]]bk}, for k = 1 to n

Now it is a little easier to see what is going on. For example, if we are in an unfair game, then p < 0.5 and we can easily see that 2p-1 will be a negative value. For example, if our chance of winning is only 49%, then p = 0.49 and 2p-1 = -0.02. In an even game, p = 0.5 and we see that 2*0.5-1 = 0. In this case, the equation is telling us that in an even game the expected value is zero just as we would expect it should. If we are playing a game with an advantage, then p > 0.5 and 2p-1 will be positive.

The general formula for uneven payoffs work just as well, but is more complicated to understand. Suffice to say that if [(1+Mk)p - 1] is negative, then regardless of the progression, the game will eventually result in a loss for the player.

Hopefully, this post will provide definitive proof of the fallacy of trying to overcome a negative expectation by using any type of progression whether it be the martingale or some other modern progression.

[Fioravante Patrone1]

"SnakePlinsky":
Supponiamo di giocare con una moneta non truccata, quindi con p_testa = 1/2 e p_croce = 1/2.
Se esce croce vinco 1, se esce testa perdo 1.
La mia vincita totale al tempo t è data dalla somma di vincite e perdite.

Il valore atteso ad ogni lancio è pari a 1/2*1 + 1/2*(-1) = 0. Siccome sono eventi indipendenti il valore atteso in epoca zero della vincita dopo t lanci è pari alla somma dei valori attesi ed è quindi pari a 0. Più precisamente, poiché questa successione gode della proprietà di martingala, il valore condizionato della vincita in i conosciuto il valore in j , j La successione delle mie vincite è una cosiddetta catena di Markov, "quindi" una Random Walk (…)

Se faccio infinite prove e t tende ad infinito il valore medio delle mie vincite in t tende a zero (per il teorema centrale del limite).

Fin qui nessun problema.

ORA SUPONIAMO CHE SE VINCO, AL PROSSIMO LANCIO PUNTO 1, MENTRE SE PERDO RADDOPPIO, AD OGNI LANCIO, FINO A CHE NON VINCO: QUANDO QUESTO ACCADE, PUNTO DI NUOVO 1. (è definita progressione con raddoppio). Nota: ho a disposizione un capitale infinito per giocare quindi NON CI SONO PUNTATE MASSIME.

Ora io mi attendo, in epoca zero, che il valore atteso della vincita in t sia zero, poichè è dato dalla somma di valori attesi paria zero (infatti ad ogni puntata il mio valore atteso è: 1/2*puntata - 1/2*puntata =0: il valore della puntata non può incidere sul valore della vincita attesa).
L’entità della puntata non dovrebbe incidere sul valore atteso della vincita in un qualunque tempo t.

Ma probabilmente mi sfugge qualcosa, poiché se utilizzata nella pratica, questa strategia (conosciuta come “progressione con raddoppio”) mi da una vincita positiva e crescente nel tempo: come è possibile ciò?

visto che vuoi essere pagato in natura...

lo sbaglio sta qui: "poiché se utilizzata nella pratica, questa strategia (conosciuta come “progressione con raddoppio”) mi da una vincita positiva e crescente nel tempo"

Non è vero. E' una illusione cognitiva, dovuta al fatto di trascurare eventi con probabilità piccola.
E per dirlo io, che non so niente di probabilità, devo avere solidi argomenti.

I miei argomenti sono solidi in quanto molto semplici.
Costruiamo l'albero degli eventi. O, per meglio dire, vediamo quali tutte le possibili vincite/perdite avvenute nei vari istanti con le loro probabilità
tempo 1: 2 storie possibili, con prob 1/2 cadauno: T o C. Vincite: -1 e 1. Risultato atteso: pareggio...
tempo 2: 4 storie possibili, con prob 1/4 cadauno: TT TC CT CC. Vincite (cumulate) rispettivamente: -3 1 0 2. Risultato atteso: pareggio...
tempo 3: 8 storie possibili, con prob 1/8 cadauno: TTT TTC TCT TCC CTT CTC CCT CCC. Vincite (cumulate) rispettivamente: -7 1 0 2 -2 2 1 3. Risultato atteso: pareggio...

Ti convince?
Magari non ho capito la domanda...

[SnakePlinsky]

visto che vuoi essere pagato in natura...

o sbaglio sta qui: "poiché se utilizzata nella pratica, questa strategia (conosciuta come “progressione con raddoppio”) mi da una vincita positiva e crescente nel tempo"

Non è vero. E' una illusione cognitiva, dovuta al fatto di trascurare eventi con probabilità piccola.
E per dirlo io, che non so niente di probabilità, devo avere solidi argomenti.

è quello che ho pensato subito anch'io.

Il valore atteso ad ogni lancio è zero, qualsiasi sia la puntata: 1/2*puntata_qualsiasi -1/2*puntata_qualsiasi=0.

E dicevo: somma di valori attesi pari a zero = 0.

Poi ho fatto le simulazioni in matlab, con numeri grandi.

Poi ho discusso un pò: avendo a disposizione un capitale infinito, l'unica possibilità che la strategia fallisca è una serie infinita di croci, se punto testa.

C'era un contrasto, presunto, tra teoria e pratica.

Ma finalmente (forse) sono venuto a capo del problema ieri, parlando con una persona "qualificata": lo sbaglio è nella somma dei valori attesi, tutti zero, assumendo che siano eventi indipendenti. Invece non lo sono, poichè la puntata al tempo successivo è dipendente dal risultato al tempo precedente. La formalizzazione non so darla , ma questa spiegazione mi ha convinto... abbastanza

[Fioravante Patrone1]

"SnakePlinsky":
Poi ho discusso un pò: avendo a disposizione un capitale infinito, l'unica possibilità che la strategia fallisca è una serie infinita di croci, se punto testa.

C'era un contrasto, presunto, tra teoria e pratica.

Ma finalmente (forse) sono venuto a capo del problema ieri, parlando con una persona "qualificata": lo sbaglio è nella somma dei valori attesi, tutti zero, assumendo che siano eventi indipendenti. Invece non lo sono, poichè la puntata al tempo successivo è dipendente dal risultato al tempo precedente. La formalizzazione non so darla , ma questa spiegazione mi ha convinto... abbastanza

Io sono certo che la somma dei valori attesi è sempre zero, ad ogni "istante". Proprio perché ignorante in materia, ho adottato il punto di vista più semplice. Cioè ho riprodotto pedissequamente il tuo schema di gioco. Non ho usato assunzioni particolari di indipendenza (tranne quelle ovvie, ma tu non mi sembri il tipo che punta sui numeri in ritardo ). Sì, è vero, lo fatto solo per 3 istanti, ma ho abbastanza abitudine alla mate da capire senza noiose prove per induzione che il discorso regge per ogni istante.

Notare che, nei mie due calcoletti, ho assunto che, dopo aver vinto, tu riprendessi a giocare. Se invece, dopo aver vinto 1, ti fermi, i numeri cambiano. Diventano, ad esempio:

tempo 1: 2 storie possibili, con prob 1/2 cadauno: T o C. Vincite: -1 e 1. Risultato atteso: pareggio...
tempo 2: 3 storie possibili, con prob 1/2 la prima e 1/4 le altre due: C TC TT. Vincite (cumulate) rispettivamente: 1 1 -3. Risultato atteso: pareggio... ($1/2 \cdot 1 + 1/4 \cdot 1 - 1/4 \cdot 3 = 0$)
tempo 3: 4 storie possibili, con prob ... Risultato atteso: $1/2 \cdot 1 + 1/4 \cdot 1 + 1/8 \cdot 1 - 1/8 \cdot 7 = 0$. Pareggio...

Mi piacerebbe conoscere la persona "qualificata". O, per lo meno, il dettaglio del suo argomento xhe ti ha convinto "abbastanza..."

[SnakePlinsky]

Anch'io, appena propostami questa strategia, senza rifletterci più di tanto, l'ho bollata come il solito sistema popolare e privo di logica (come i numeri ritardatari).

Intuitivamente dicevo: è impossibile estrarre una vincita positiva da un fenomeno dal valore atteso pari a zero.

E sono rimasto su questa posizione finchè a causa insistenza di chi mi ha parlato di questa strategia ho provato a fare una simulazione in matlab. Ai primi risultati mi sono detto "c'è un errore nel codice". Invece nessun errore. Poi ho visto che la strategia risulta vincente anche con probabilità di vincita <1/2 (moneta truccta), ma non troppo minore. Poi ho provato a triplicare, quadruplicare, etc e la strategia è ancora più vincente.

Da allora questo dilemma mi assilla...

Mi piacerebbe conoscere la persona "qualificata". O, per lo meno, il dettaglio del suo argomento xhe ti ha convinto "abbastanza..."

Ne ho parlato con un fisico, che essenzialmente mi ha detto le stesse argomentazioni di Kinder in un post precedente: i valori attesi sono sempre uguali a zero, e l'esito del lancio rimane sempre ovviamente indipendente, tuttavia la progressione nella puntata non è indipendente. Ora questa non indipendenza fa si che la strategia mi dia una vincita positiva. Io non so formalizzare questo ragionamento, ma mi affascina molto perchè capace di estrarre una vincita positiva da un fenomeno a valore atteso zero.

Il post di Kinder:

per dire con certezza qual'è l'errore ci dovrei pensare. Preliminarmente credo che l'errore potrebbe risiedere nel fatto che tu consideri il valore atteso come se ti trovassi di fronte ad eventi completamente indipendenti. In realtà, mentre ciò può essere vero per quanto riguarda l'esito del lancio della moneta (testa o croce), ciò sicuramente non è vero per quanto riguarda la definizione della puntata, la quale dipende proprio dall'esito dei lanci precedenti.

Senza raddoppio, la vincita è una catena di Markov



con progressione raddoppio:



Spero di averTi insinuato il dubbio....così che anche Tu sia incentivato alla risoluzione del problema

[Fioravante Patrone1]

"SnakePlinsky":
E sono rimasto su questa posizione finchè a causa insistenza di chi mi ha parlato di questa strategia ho provato a fare una simulazione in matlab. Ai primi risultati mi sono detto "c'è un errore nel codice". Invece nessun errore. Poi ho visto che la strategia risulta vincente anche con probabilità di vincita <1/2 (moneta truccta), ma non troppo minore. Poi ho provato a triplicare, quadruplicare, etc e la strategia è ancora più vincente.

A mio parere devi chiarire in che senso la strategia è vincente
I miei conticini mostrano, al di à di ogni ragionevole dubbio, che ad ogni "istante" il valore atteso della vincita è pari a zero

"SnakePlinsky":
Ne ho parlato con un fisico, che essenzialmente mi ha detto ... la progressione nella puntata non è indipendente. Ora questa non indipendenza fa si che la strategia mi dia una vincita positiva. Io non so formalizzare questo ragionamento, ma mi affascina molto perchè capace di estrarre una vincita positiva da un fenomeno a valore atteso zero.

Il post di Kinder:

per dire con certezza qual'è l'errore ci dovrei pensare. Preliminarmente credo che l'errore potrebbe risiedere nel fatto che tu consideri il valore atteso come se ti trovassi di fronte ad eventi completamente indipendenti. In realtà, mentre ciò può essere vero per quanto riguarda l'esito del lancio della moneta (testa o croce), ciò sicuramente non è vero per quanto riguarda la definizione della puntata, la quale dipende proprio dall'esito dei lanci precedenti.

Con tutto il rispetto per i fisici (si fa per dire...) e per kinder (si fa sul serio), ciò che loro dicono sono solo "parole".
Cioè suggeriscono cosa potrebbe succedere.
Invece i miei conticini da scolaretto delle medie mostrano, dati alla mano, che NON si guadagna.
Ovviamente dando per scontato che:
- l'obiettivo sia il guadagno atteso
- tu (o il viandante che passa da queste parti) creda che non c'è bisogno di una dim per induzione

"SnakePlinsky":
con progressione raddoppio:

Riguardo alla figura, mi spieghi cosa sono quei "filini" che penzolano?

Comunque, non regge. Vuoi fare una dim "per tentativi"? Il baco sta proprio nell'usare un programma e non tenere conto che qui sono coinvolte (ed hanno un ruolo essenziale) eventi con probabilità molto piccole (cit.)!

"SnakePlinsky":
Spero di averTi insinuato il dubbio....così che anche Tu sia incentivato alla risoluzione del problema

No, Lei non mi ha insinuato alcun dubbio, per ora!
Il che è grave, visto che sono strutturalmente un insicuro.
Al massimo, come già detto, c'è di mezzo una incomprensione su quale sia la "funzione obiettivo" dello scommettitore.

[SnakePlinsky]

SnakePlinsky ha scritto:

Spero di averTi insinuato il dubbio....così che anche Tu sia incentivato alla risoluzione del problema


No, Lei non mi ha insinuato alcun dubbio, per ora!
Il che è grave, visto che sono strutturalmente un insicuro.
Al massimo, come già detto, c'è di mezzo una incomprensione su quale sia la "funzione obiettivo" dello scommettitore.

Non era mia intenzione offendere dandoLe del "Tu", anzi nelle mie intenzioni originali era una forma di rispetto. Per questo mi scuso nel caso sia stato travisato il mio uso del maiuscolo.

Nel caso sia stato così inteso spero che le mie scuse siano accette. E sperando le mie scuse accette, vista la mia buona fede, continuo nel discorso intrapreso.

"A mio parere devi chiarire in che senso la strategia è vincente
I miei conticini mostrano, al di à di ogni ragionevole dubbio, che ad ogni "istante" il valore atteso della vincita è pari a zero "

Vincente nel senso che mi da un rendimento positivo. Lo so che è tentato di smettere di leggere, ma abbia ancora pazienza, non ho finito.


"Riguardo alla figura, mi spieghi cosa sono quei "filini" che penzolano?"

Sono perdite "mostruose", nella figura una arrivava fino a 10^5. Siccome raddoppio, la perdita aumenta in funzione di ^2, mentre la vincita "sembra" aumentare in ragione 1/2.

A questo punto so gia cosa pensa chi legge, l'ho pensato anch'io: "vuoi vedere che considerando quelle perdite enormi, il valore medio della strategia diviene pari a zero?"

Tale era il mio pensiero, ed ecco che faccio partire 1000 simulazioni su di una lunghezza 10000 col Matlab. Calcolo il valore medio finale: circa 5000. Per sicurezza calcolo il valore medio di tutti i 1000*10000 dati : significativamente maggiore di zero.

A questo punto faccio un controllo: rilancio le 1000*10000 simulazioni, senza raddoppio. Valore finale medio: non significativamente diverso da zero. Valore medio : non significativamente diverso da zero.

A questo punto decido di iscrivermi su matematicamente.it

So che la cosa sembra strana, a da semplici calcoli si capisce il valore atteso sia sempre pari a zero. Invece tentando di fare la cosa manualmente (ho provato con una moneta, e vedevo che la vincita aumentava, allora mi sono detto sarà una fluttuazione casuale, per questo ho fatto la simulazione col Matlab)

Comunque, non regge. Vuoi fare una dim "per tentativi"? Il baco sta proprio nell'usare un programma e non tenere conto che qui sono coinvolte (ed hanno un ruolo essenziale) eventi con probabilità molto piccole (cit.)!

Non voglio dimostrare nulla, anzi mi piacerebbe che qualcuno mi dimostrasse che sto sbagliando (in modo che risultasse fondato il mio scetticismo originale). Potrebbe darsi che col raddoppio ci sia un subdolo trasferimento in conto vincita, anche se a me non sembra. Mi piacerebbe trovare una soluzione a questo problema.

[Fioravante Patrone1]

"SnakePlinsky":
Non era mia intenzione offendere dandoLe del "Tu", anzi nelle mie intenzioni originali era una forma di rispetto. Per questo mi scuso nel caso sia stato travisato il mio uso del maiuscolo.

Guarda, per far prima ci vediamo dietro al convento delle Carmelitane Scalze, all'alba di lunedì prossimo.

"SnakePlinsky":
Vincente nel senso che mi da un rendimento positivo.

Chiedo scusa, ma sono abituato a spaccare il capello in $2^n$ parti ($n$ grande q.b. per essere certo di capire esattamente ciò di cui si sta parlando)

Questo rendimento positivo quando lo calcoli? Escludo che uno sia interessato ad un rendimento positivo post mortem, ovvero all'infinito (casomai, se è invece così, basta dirlo). Pertanto sarebbe sufficiente garantire che vi sia un certo "istante" in cui il rendimento è positivo.

Allora il metodo del raddoppio non è vincente. Come abbiamo visto, assicura una vincita attesa nulla in ogni "istante". Ergo, non è vincente.

"SnakePlinsky":
"Riguardo alla figura, mi spieghi cosa sono quei "filini" che penzolano?"

Sono perdite "mostruose", nella figura una arrivava fino a 10^5. Siccome raddoppio, la perdita aumenta in funzione di ^2, mentre la vincita "sembra" aumentare in ragione 1/2.

Questo mi preoccupa. Non sono certo di capire come tu possa andare in perdita.
Abbozzo una possibile interpretazione della figura.
In ascissa sono indicati i vari "run" delle simulazioni.
In ordinata presumo ci metti le vincite. Cioè, la situazione che ti ritrovi al temine della 10.000-esima iterazione. Però c'è qualcosa che non mi è chiaro. Sembrerebbero vincite "cumulate", con l'andar dei vari run.
Ma se così è non capisco perché la "retta di inclinazione 1/2" non riparte dal fondo del "filo" che pende!!!
Insomma, c'è qualcosa da chiarire. Non vorrei fosse un "banale" errore di programmazione/simulazione

"SnakePlinsky":
Tale era il mio pensiero, ed ecco che faccio partire 1000 simulazioni su di una lunghezza 10000 col Matlab. Calcolo il valore medio finale: circa 5000. Per sicurezza calcolo il valore medio di tutti i 1000*10000 dati : significativamente maggiore di zero.

A questo punto faccio un controllo: rilancio le 1000*10000 simulazioni, senza raddoppio. Valore finale medio: non significativamente diverso da zero. Valore medio : non significativamente diverso da zero.

Proverò a far girare il programma di simulazione (appena posso). C'è qualcosa che non mi quadra.

"SnakePlinsky":
A questo punto decido di iscrivermi su matematicamente.it

Ottima scelta!

"SnakePlinsky":
Non voglio dimostrare nulla, anzi mi piacerebbe che qualcuno mi dimostrasse che sto sbagliando (in modo che risultasse fondato il mio scetticismo originale). Potrebbe darsi che col raddoppio ci sia un subdolo trasferimento in conto vincita, anche se a me non sembra. Mi piacerebbe trovare una soluzione a questo problema.

Summing up: a questo punto io continuo ad essere certo che il metodo del raddoppio non permette "rendimenti positivi". L'unica cosa che vorrei anch'io chiarire è quello che succede nelle simulazioni. I "filini" e le tue spiegazioni mi inducono a ritenere che, forse, non ho capito esattamente il tuo metodo. Che comunque diverà evidente dopo aver "decifrato" il programma matlab.

[SnakePlinsky]

Sono perdite "mostruose", nella figura una arrivava fino a 10^5. Siccome raddoppio, la perdita aumenta in funzione di ^2, mentre la vincita "sembra" aumentare in ragione 1/2.

Mi correggo: la perdita aumenta in funzione 2^n (nel caso di n lanci sfavorevoli consecutivi). Raddoppiando dopo ogni perdita, c'è una successione esponenziale fino a che non ci sono vincite.

Guarda, per far prima ci vediamo dietro al convento delle Carmelitane Scalze, all'alba di lunedì prossimo.

Spada o pistola? Scherzo, e ribadisco la mia intenzione a non offendere.

Allora il metodo del raddoppio non è vincente. Come abbiamo visto, assicura una vincita attesa nulla in ogni "istante". Ergo, non è vincente.

Da wikipedia:
"In ambito matematico, il termine martingala si riferiva originariamente ad una serie di strategie utilizzate dagli scommettitori francesi nel XVIII secolo. La più semplice di queste strategie, veniva utilizzata in giochi simili all'odierno testa o croce: lo scommettitore sceglieva una faccia di una moneta. Questa veniva lanciata, ed il giocatore guadagnava o perdeva una quantità prefissata di denaro a seconda che avesse indovinato o meno la faccia mostrata dalla moneta dopo la caduta. La strategia della martingala, consisteva nel raddoppiare la puntata dopo ogni lancio perso. Questa tecnica, che apparentemente conduce ad una vincita finale certa, è stata in verità la causa di forti perdite da parte di scommettitori. Un'analisi più attenta, mostra che la posta da mettere in gioco aumenta esponenzialmente con i lanci perdenti, e ci si convince facilmente del fatto che, per assicurarsi la vittoria, bisognerebbe disporre di una fortuna infinita da poter scommettere! Paradossalmente, uno dei risultati elementari implicato dall'odierna teoria delle martingale, è proprio l'inesistenza di un sistema di scommesse vincente."

Ora mi chiedo:

avendo a disposizione un capitale infinito, in un tempo infinito è possibile avere una successione infinita di croci (o teste)?

Se ad infinito è possibile una successione infinita di croci, la strategia non è più vincente.

Ma nel tempo finito quale interpretazione devo trarre?

In ascissa sono indicati i vari "run" delle simulazioni.
In ordinata presumo ci metti le vincite. Cioè, la situazione che ti ritrovi al temine della 10.000-esima iterazione. Però c'è qualcosa che non mi è chiaro. Sembrerebbero vincite "cumulate", con l'andar dei vari run.
Ma se così è non capisco perché la "retta di inclinazione 1/2" non riparte dal fondo del "filo" che pende!!!

Non riparte dal fondo perchè il fatto di raddoppiare ad ogni lancio perdente mi porta nel caso di vincita a recuperare tutta la perdita cumulata dei precedenti lanci perdenti.

Insomma, c'è qualcosa da chiarire. Non vorrei fosse un "banale" errore di programmazione/simulazione

Magari, potrei mettere l'animo in pace.

L'unica cosa che vorrei anch'io chiarire è quello che succede nelle simulazioni.

Attento, dopo averlo fatto ti roderà dentro il tarlo del dubbio, come accade a me

Che comunque diverà evidente dopo aver "decifrato" il programma matlab.

Te lo decifro io. Creo un vettore "base" costituito da numeri a distribuzione normale standard (randn di matlab).

Come noto la probabilità che randn<= 0 è 1/2. Con questo artificio ho creato la successione di testa e croce.

Dopo metto "if base >0" (se considero randn>0 testa e io punto su testa) guadagno 1. Punto di nuovo 1.

Se "else (ovvero base<= 0, ovvero viene croce)" perdo la puntata, raddoppio la puntata successiva"

"vincita" mi rappresenta la vincita cumulata.

[Fioravante Patrone1]

"SnakePlinsky":
Spada o pistola?

Spada!

"SnakePlinsky":
Ora mi chiedo:

avendo a disposizione un capitale infinito, in un tempo infinito è possibile avere una successione infinita di croci (o teste)?

Se ad infinito è possibile una successione infinita di croci, la strategia non è più vincente.

ovviamente sì che è possibile
OGNI successione è possibile

sono anche tutte equiprobabili
ed hanno, ovviamente, tutte probabilità zero

[SnakePlinsky]

ovviamente sì che è possibile
OGNI successione è possibile

sono anche tutte equiprobabili
ed hanno, ovviamente, tutte probabilità zero

Allora la strategia non è vincente, o meglio rimane vincente se raddoppio l'infinito

Rimane tuttavia il fatto che nel finito la strategia pare funzionare. Potremmo dire che essendo disposti a raddoppiare il capitale al massimo n volte, la strategia è vincente se si escludono eventi di probabilità minore di 1/2^n.

Posso affermare questo?

[Fioravante Patrone1]

"SnakePlinsky":

ovviamente sì che è possibile
OGNI successione è possibile

sono anche tutte equiprobabili
ed hanno, ovviamente, tutte probabilità zero

Allora la strategia non è vincente, o meglio rimane vincente se raddoppio l'infinito

bene, sono lieto di questa considerazione!

"SnakePlinsky":
Rimane tuttavia il fatto che nel finito la strategia pare funzionare. Potremmo dire che essendo disposti a raddoppiare il capitale al massimo n volte, la strategia è vincente se si escludono eventi di probabilità minore di 1/2^n.

Posso affermare questo?

è sostanzialmente quello che avevo avanzato come "spiegazione" qui:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 694#163694
dove dicevo: "Non è vero. E' una illusione cognitiva, dovuta al fatto di trascurare eventi con probabilità piccola. "

Ti dico come la vedo io. Noi siamo abituati a non considerare gli eventi con probabilità piccola. Credo che sia anche spiegabile in termini evolutivi, questa nostra abitudine. Fra l'altro, c'è anche una buona ragione, e cioè che di questi "possibili accadimenti" con probabilità molto piccola ce ne sono uno sfracello e, per di più, di alcuni non ne siamo minimamente consapevoli. Non solo, la stragrande maggioranza di questi eventi ha comunque un influsso trascurabile sul nostro futuro (non sono tutti degli "11 settembre").

Però nell'esempio che fai della scommessa con raddoppio a mio parere non ha senso farsi "buggerare" dalla parte del nostro ammasso di neuroni che ci guida nella consueta giungla quotidiana. Qui abbiamo una situazione molto ben definita per cui le "thumb rule", il "naso", non ci sono di grande aiuto. Anzi, sono d'impiccio.
A questo aggiungo il fatto che "la strategia è vincente se si escludono eventi di probabilità minore di 1/2^n" significa guardare solo la parte del bicchiere che è piena, perché a questi eventi molto rari corrisponde una perdita tanto grande quanto loro sono rari! Sono proprio questi eventi poco probabili che fanno "pareggiare il conto" del guadagno atteso.


Ultima cosa. Ho guardato il programmino matlab.
Alla fine ti ritrovi un vettore di 1000 elementi, che ti dice quale era il tuo guadagno nei 1000 "istanti" che hai considerato. Se così è, continuo a non spiegami i "fili che penzolano". Secondo me c'è un secondo pezzo del programma di simulazione, quello in cui fai i vai un del programmino che hai trascritto e quei fili vengono da lì. Ma non capisco come, cioè cosa metti in ascissa (per me, i vai "un" della simulazione) ma, soprattutto, in ordinata.

[SnakePlinsky]

bene, sono lieto di questa considerazione!

Facendo finanza me ne intendo un pò di gioco d'azzardo, ed è anche per questo motivo che questa faccenda mi rode.

Ultima cosa. Ho guardato il programmino matlab.
Alla fine ti ritrovi un vettore di 1000 elementi, che ti dice quale era il tuo guadagno nei 1000 "istanti" che hai considerato. Se così è, continuo a non spiegami i "fili che penzolano". Secondo me c'è un secondo pezzo del programma di simulazione, quello in cui fai i vai un del programmino che hai trascritto e quei fili vengono da lì. Ma non capisco come, cioè cosa metti in ascissa (per me, i vai "un" della simulazione) ma, soprattutto, in ordinata.

In ascissa il tempo, o il passo della simulazione: in posizione 10 c'è la vincita cumulata (guadagni - perdite) al tempo 10. In ordinata l'entità del guadagno(perdita).

Se così è, continuo a non spiegami i "fili che penzolano".

Quei filini, se guardati da vicino, rappresentano la decrescita in funzione esponenziale 2^n, causata dal raddoppio della posta precedente.

"Non è vero. E' una illusione cognitiva, dovuta al fatto di trascurare eventi con probabilità piccola. "

Sono proprio questi eventi poco probabili che fanno "pareggiare il conto" del guadagno atteso.

Quindi i "filini" (eventi rari), per quanto rari dovrebbero riportare il valore atteso pari a zero.
Ora se così fosse, il valore medio in un istante qualsiasi, su n (n grande) simulazioni dovrebbe essere non significativamente diverso da zero. Questo accade nel caso della simulazione senza raddoppio (nel codice si toglie semplicemente *2), come vuole la teoria che tale startegia (puntare sempre la stessa cifra su croce) abbia valore atteso pari a zero.

Ora con raddoppio, da miei precedenti calcoli, non mostra un valore tendente a zero.

Ma potrebbe esserci un numero insufficente di dati: rifaccio la simulazione, e la posto il prima possibile.

A presto

[one.side.strip]

Io sinceramente non ci vedo niente di sorprenente nel grafico...
L'unica cosa vera è che il valore atteso di vincita ad ogni lancio è 0. Questo significa solamente che fissata una estrazione (diciamo la 1000esima), ripetendo mooolte volte 1000 lanci consecutivi, vincereste mediamente 0.
Quello che emerge dal grafico è invece un altro fatto altrettanto vero: poichè dopo ogni vittoria la propria vincita totale aumenta di 1, essendo le vittorie "la metà" del totale, all'ennesimo lancio c'è almeno una probabilità su due di avere un guadagno. Quello che compensa è che le perdite, quando ci sono, sono clamorose!

[luluemicia]

Concordo perfettamente con quanto asserito dal (grande) Prof. Patrone e, proprio perchè le sue considerazioni teoriche mi paiono palesemente più indiscutibili del fatto che se io saltassi a piedi pari per raggiungere la luna non ci riuscirei, mi rode il fatto che in pratica non vi sia una conferma in tal senso. Purtroppo non sono in grado di dare una mano in termini di simulazioni e, quindi, aspetto con ansia che qualcuno trovi con la simulazione quello che ormai tutti ci aspettiamo. Nel frattempo, mi (per finta, tanto non posso rispondere) e vi (in particolare a SnakePlinsky che mi pare lo "smanettone" delle simulazioni) pongo queste domande: non può essere che fissato per esempio il tempo t=10000, per rilevare che il valore atteso è 0 ci voglia un numero di simulazioni ben più grande, non solo di quello usato fino ad ora, ma addirittura maggiore di quello che ragionevolmente un computer possa darci? In tal caso non può convenire , sempre con t=10000, vedere che succede con un certo n di simulazioni, poi 1000n di simulazioni etcetera sperando di notare magari una decrescenza nel valore atteso (anche se dovesse essere sempre significativamente positivo) che ci fa capire che la verità è lo 0 della teoria e che la vedremo meglio quando avremo a disposizione una tecnologia superiore?
So poco di probabilità e nulla di simulazioni; perciò mi corre l'obbligo di "mettere le mani avanti" e scusarmi in anticipo se nel mio intervento c'è qualche "irragionevolezza". Tuttavia mi sto divertendo e questo senz'altro mi giustifica.