Dilemma probabilistico
Un saluto a tutti.
Quello che ora propongo non è propriamente un gioco matematico, ma piuttosto un dilemma teorico.
Supponiamo di giocare con una moneta non truccata, quindi con p_testa = 1/2 e p_croce = 1/2.
Se esce croce vinco 1, se esce testa perdo 1.
La mia vincita totale al tempo t è data dalla somma di vincite e perdite.
Il valore atteso ad ogni lancio è pari a 1/2*1 + 1/2*(-1) = 0. Siccome sono eventi indipendenti il valore atteso in epoca zero della vincita dopo t lanci è pari alla somma dei valori attesi ed è quindi pari a 0. Più precisamente, poiché questa successione gode della proprietà di martingala, il valore condizionato della vincita in i conosciuto il valore in j , j
Se faccio infinite prove e t tende ad infinito il valore medio delle mie vincite in t tende a zero (per il teorema centrale del limite).
Fin qui nessun problema.
ORA SUPONIAMO CHE SE VINCO, AL PROSSIMO LANCIO PUNTO 1, MENTRE SE PERDO RADDOPPIO, AD OGNI LANCIO, FINO A CHE NON VINCO: QUANDO QUESTO ACCADE, PUNTO DI NUOVO 1. (è definita progressione con raddoppio). Nota: ho a disposizione un capitale infinito per giocare quindi NON CI SONO PUNTATE MASSIME.
Ora io mi attendo, in epoca zero, che il valore atteso della vincita in t sia zero, poichè è dato dalla somma di valori attesi paria zero (infatti ad ogni puntata il mio valore atteso è: 1/2*puntata - 1/2*puntata =0: il valore della puntata non può incidere sul valore della vincita attesa).
L’entità della puntata non dovrebbe incidere sul valore atteso della vincita in un qualunque tempo t.
Ma probabilmente mi sfugge qualcosa, poiché se utilizzata nella pratica, questa strategia (conosciuta come “progressione con raddoppio”) mi da una vincita positiva e crescente nel tempo: come è possibile ciò?
Una somma di valori attesi tutti pari a zero mi dovrebbe dare un valore atteso pari a zero, eppure non è così.
Ecco il codice matlab se qualcuno volesse fare una simulazione:
%%%%%%%%MArtingala con raddoppio%%%%%%%
%%%%%%%%si punta su Croce (--> se la realizzazione
%%%%%%%%di un White Noise risulta >0)
%%%%%%%%Se vinco intasco la puntata e ripunto 1,
%%%%%%%%se viene Testa raddoppio la puntata successiva fino
%%%%%%%%a che non vinco.
puntata=zeros(1000,1);
puntata(1,1)=1;
vincita(1,1)=0;
base=randn(1000,1);
for a=2:1000;
if base(a,1)>0;
vincita(a,1)=[(vincita(a-1,1) + puntata(a,1))];
puntata((a+1),1)=1;
else;
vincita(a,1)=[(vincita(a-1,1) - puntata(a,1))];
puntata((a+1),1)=[puntata(a,1)*2];
end;
end;
Un saluto
Quello che ora propongo non è propriamente un gioco matematico, ma piuttosto un dilemma teorico.
Supponiamo di giocare con una moneta non truccata, quindi con p_testa = 1/2 e p_croce = 1/2.
Se esce croce vinco 1, se esce testa perdo 1.
La mia vincita totale al tempo t è data dalla somma di vincite e perdite.
Il valore atteso ad ogni lancio è pari a 1/2*1 + 1/2*(-1) = 0. Siccome sono eventi indipendenti il valore atteso in epoca zero della vincita dopo t lanci è pari alla somma dei valori attesi ed è quindi pari a 0. Più precisamente, poiché questa successione gode della proprietà di martingala, il valore condizionato della vincita in i conosciuto il valore in j , j
Se faccio infinite prove e t tende ad infinito il valore medio delle mie vincite in t tende a zero (per il teorema centrale del limite).
Fin qui nessun problema.
ORA SUPONIAMO CHE SE VINCO, AL PROSSIMO LANCIO PUNTO 1, MENTRE SE PERDO RADDOPPIO, AD OGNI LANCIO, FINO A CHE NON VINCO: QUANDO QUESTO ACCADE, PUNTO DI NUOVO 1. (è definita progressione con raddoppio). Nota: ho a disposizione un capitale infinito per giocare quindi NON CI SONO PUNTATE MASSIME.
Ora io mi attendo, in epoca zero, che il valore atteso della vincita in t sia zero, poichè è dato dalla somma di valori attesi paria zero (infatti ad ogni puntata il mio valore atteso è: 1/2*puntata - 1/2*puntata =0: il valore della puntata non può incidere sul valore della vincita attesa).
L’entità della puntata non dovrebbe incidere sul valore atteso della vincita in un qualunque tempo t.
Ma probabilmente mi sfugge qualcosa, poiché se utilizzata nella pratica, questa strategia (conosciuta come “progressione con raddoppio”) mi da una vincita positiva e crescente nel tempo: come è possibile ciò?
Una somma di valori attesi tutti pari a zero mi dovrebbe dare un valore atteso pari a zero, eppure non è così.
Ecco il codice matlab se qualcuno volesse fare una simulazione:
%%%%%%%%MArtingala con raddoppio%%%%%%%
%%%%%%%%si punta su Croce (--> se la realizzazione
%%%%%%%%di un White Noise risulta >0)
%%%%%%%%Se vinco intasco la puntata e ripunto 1,
%%%%%%%%se viene Testa raddoppio la puntata successiva fino
%%%%%%%%a che non vinco.
puntata=zeros(1000,1);
puntata(1,1)=1;
vincita(1,1)=0;
base=randn(1000,1);
for a=2:1000;
if base(a,1)>0;
vincita(a,1)=[(vincita(a-1,1) + puntata(a,1))];
puntata((a+1),1)=1;
else;
vincita(a,1)=[(vincita(a-1,1) - puntata(a,1))];
puntata((a+1),1)=[puntata(a,1)*2];
end;
end;
Un saluto
Risposte
"luluemicia":
Concordo perfettamente con quanto asserito da ... Patrone e, proprio perchè le sue considerazioni teoriche mi paiono palesemente più indiscutibili del fatto che se io saltassi a piedi pari per raggiungere la luna non ci riuscirei, mi rode il fatto che in pratica non vi sia una conferma in tal senso.
Beh, anche che la radice quadrata di 2 è irrazionale è un fatto di cui è difficile trovare "conferma" nella pratica.
"luluemicia":
Purtroppo non sono in grado di dare una mano in termini di simulazioni e, quindi, aspetto con ansia che qualcuno trovi con la simulazione quello che ormai tutti ci aspettiamo.
Per me è sbagliata in partenza questa affermazione.
Supponiamo che io dica che, se ho un sacchetto con $10^1000$ biglie, di cui una sola nera e le altre rosse, la probabilità di che, pescandone una a caso, essa sia nera, è... talmente ovvia che non lo scrivo.
Vogliamo trovarne conferma con una simulazione?
1. mi sa che la probabilità che troviamo è 0. Che è sbagliato!
2. mi fa sentire a disagio questa "non conferma pratica" del risultato teorico? NO
3. ma cosa mi interessa, nel mondo vero, avere un risultato teorico che non ha conferme reali?
Nel punto 3 sta una questione importante, che vale anche per l'esempio di SnakePlinsky.
Ad esempio, io ne ricavo il seguente insegnamento: quasi sicuramente mi andrà bene. Ma c'è il rischio, anche se piccolissimissimissimo, che mi vada tremendamente male, ma proprio di brutto!
Questo è l'insegnamento di carattere pratico che ricavo dal risultato teorico.
Fare simulazioni, quando uno abbia chiaro il risultato teorico, non apporta ulteriore conoscenza significativa.
Secondo me invece basta saperle leggere le simulazioni e vedere che in effetti funzionano... Non ci si può aspettare la risosta giusta facendo la domanda sbagliata...
Premesso che per fare le simulazioni e questo post ritardo la mia cena 
;
Premesso, per rispondere a luluemicia, che non sono uno smanettone (magari lo fossi, è una figura molto ricercata nella finanza nell'ultimo periodo), ma studio finanza (o gioco d'azzardo che dir si voglia
) e quindi di teoria della probabilità so "qualcosa", uso matlab da 2 mesi; grazie a luluemicia per aver letto il mio problema;
Premesso che devo ringraziare il Prof. Patrone, il quale mi da corda, oltre al fatto che ha ripreso la sua decisione di non postare più (con mio grande sollievo e con sua inconsapevole "salvezza" da miei futuri molesti pm su questa questione in cui non poteva abbandonarmi);
Premesso che non sono il solito "bimbominkia" che viene a postare domande su un forum quando gli basterebbe aprire un libro e trovare la risposta dettagliata;
Premesso infatti che è su consiglio del mio Prof di modelli matematici che mi sono iscritto ad un forum per risolvere questa questione (il cui risultato interessa anche a lui);
finite le premesse, mi permetto di elencare alcuni punti teorici:
1) Come noto la successione temporale della vincita cumulata derivante dal lancio di una moneta è un classico esempio di catena di Markov: al tempo infinito ha varianza infinita, ma valore atteso = 0.
2) Un insieme di questo tipo di catene di markov ha anch'egli ovviamente valore atteso pari a zero, ad ogni istante. La realizzazione di tale proprietà in un campione aumenta in proporzione alla numerosità del campione (TCdLimite) m anche questa è cosa ovvia sia per voi che per me.
Quindi facendo una simulazione della vincita con una moneta senza raddoppio (nel codice basta toglier il "*2", ovvero l'azione del raddoppio) accade questo il valore medio è non significativamente diverso da zero (col p-value che volete, tranne lo 0% )
Infatti la media aritmetica del valore finale (in data 1000) delle 1000 simulazioni che vedete in foto (1000RW) è: 1.5300, un valore non significativamente diverso da zero. Il fenomeno ha distribuzione Normale, basta prendere un tavola per verificare questa affermazione;
Foto delle 1000 catene di markov:
Ora ho fatto la simulazione con il "raddoppio", portando il campione a 10000 simulazioni, tutte di lunghezza 1000
Valore medio finale: 491.9024 (il valore medio con meno simulazioni più variabile; ho notato che più si aumenta la numerosità del campione più il valore si avvicina a 500)
Vi posto l'immagine del risultato del raddoppio (notare l'ordine di grandezza):
Qusto è l'unico dettaglio possibile (mi è esploso matlab nel cercare di ulteriori dettagli):
Comunque le serie vanno sempre verso 500.
Questa è la serie del valore medio delle 10000 simulazioni ad ogni istante da 1 a 1000:
Il valore medio di questo vettore (la serie dei valori medi del vettore delle medie agli istanti 1...1000) è 206.
Questi i risultati. Mi interesserebbe capire. Scusate devo fuggire sono in terribile ritardo.
P.S. non prendete sottogamba questo problma. Ringrazio tutti quelli che vogliano leggere e magari darmi qualche idea.
saluti
P.S.S. il codice che avevo postato è con una sola simulazione, per farne tante aggiungere un ciclo for
;Premesso, per rispondere a luluemicia, che non sono uno smanettone (magari lo fossi, è una figura molto ricercata nella finanza nell'ultimo periodo), ma studio finanza (o gioco d'azzardo che dir si voglia
) e quindi di teoria della probabilità so "qualcosa", uso matlab da 2 mesi; grazie a luluemicia per aver letto il mio problema;Premesso che devo ringraziare il Prof. Patrone, il quale mi da corda, oltre al fatto che ha ripreso la sua decisione di non postare più (con mio grande sollievo e con sua inconsapevole "salvezza" da miei futuri molesti pm su questa questione in cui non poteva abbandonarmi);
Premesso che non sono il solito "bimbominkia" che viene a postare domande su un forum quando gli basterebbe aprire un libro e trovare la risposta dettagliata;
Premesso infatti che è su consiglio del mio Prof di modelli matematici che mi sono iscritto ad un forum per risolvere questa questione (il cui risultato interessa anche a lui);
finite le premesse, mi permetto di elencare alcuni punti teorici:
1) Come noto la successione temporale della vincita cumulata derivante dal lancio di una moneta è un classico esempio di catena di Markov: al tempo infinito ha varianza infinita, ma valore atteso = 0.
2) Un insieme di questo tipo di catene di markov ha anch'egli ovviamente valore atteso pari a zero, ad ogni istante. La realizzazione di tale proprietà in un campione aumenta in proporzione alla numerosità del campione (TCdLimite) m anche questa è cosa ovvia sia per voi che per me.
Quindi facendo una simulazione della vincita con una moneta senza raddoppio (nel codice basta toglier il "*2", ovvero l'azione del raddoppio) accade questo il valore medio è non significativamente diverso da zero (col p-value che volete, tranne lo 0%
)Infatti la media aritmetica del valore finale (in data 1000) delle 1000 simulazioni che vedete in foto (1000RW) è: 1.5300, un valore non significativamente diverso da zero. Il fenomeno ha distribuzione Normale, basta prendere un tavola per verificare questa affermazione;
Foto delle 1000 catene di markov:
Ora ho fatto la simulazione con il "raddoppio", portando il campione a 10000 simulazioni, tutte di lunghezza 1000
Valore medio finale: 491.9024 (il valore medio con meno simulazioni più variabile; ho notato che più si aumenta la numerosità del campione più il valore si avvicina a 500)
Vi posto l'immagine del risultato del raddoppio (notare l'ordine di grandezza):
Qusto è l'unico dettaglio possibile (mi è esploso matlab nel cercare di ulteriori dettagli):
Comunque le serie vanno sempre verso 500.
Questa è la serie del valore medio delle 10000 simulazioni ad ogni istante da 1 a 1000:
Il valore medio di questo vettore (la serie dei valori medi del vettore delle medie agli istanti 1...1000) è 206.
Questi i risultati. Mi interesserebbe capire. Scusate devo fuggire sono in terribile ritardo.
P.S. non prendete sottogamba questo problma. Ringrazio tutti quelli che vogliano leggere e magari darmi qualche idea.
saluti
P.S.S. il codice che avevo postato è con una sola simulazione, per farne tante aggiungere un ciclo for
Hai semplicemente fatto troppe poche simulazioni... con 1000 lanci hai circa il 99,8% di probabilità di avere una vincita positiva. Quindi 10000 simulazioni son decisamente pochine...
Scusate l'intrusione, ma queso argomento ha preso molto anche me 
Io concordo al 100% con quello che ha detto in un precedente post "one.side.strip".
Provo a riassumere quello che ho capito del problema.
Mi piacerebbe sapere quello che ne pensate e se concordate o no su quanto segue (mi riferisco sempre all'uso della tecnica del raddoppio).
1) Qualunque sia il numero di lanci da 1 a infinito la vincita media è zero.
Questo però non significa che usando tale strategia alla lunga non vinco nulla, ma solo che se ripetessi per un numero sufficientemente alto di volte $N$ lanci, e calcolassi ogni volta la vincita alla fine degli $N$ lanci, la vincita media che otterrei sarebbe nulla.
2) Per calcolare effettivamente la media, intesa come vincita media per $N$ che va ad infinito, devo considerare che ad ogni lancio ho probabilità 0.5 di vincere 1 (se punto sempre su testa ogni volta che esce testa recupero tutto quello che ho perso dall'ultima volta che è uscita testa +1).
Quindi la media è $\sum_{n=1}^{N} 1* 0.5 = 0.5 * N$
che è infinita quando $N$ va a infinito...
Questo concorda pienamente con le simulazioni di "SnakePlinsky" mi sembra... e si capisce perchè è moolto rischioso usare questa tecnica: per vincere ogni volta una quantità pari a 1 metto a rischio un capitale enorme.
Per esempio quelli che giocano al lotto l'ambata e usano questa tecnica vanno facilmente in rovina! ...oltretutto lì il tempo medio di attesa per l'evento "buono" è piuttosto grande...
Io concordo al 100% con quello che ha detto in un precedente post "one.side.strip".
Provo a riassumere quello che ho capito del problema.
Mi piacerebbe sapere quello che ne pensate e se concordate o no su quanto segue (mi riferisco sempre all'uso della tecnica del raddoppio).
1) Qualunque sia il numero di lanci da 1 a infinito la vincita media è zero.
Questo però non significa che usando tale strategia alla lunga non vinco nulla, ma solo che se ripetessi per un numero sufficientemente alto di volte $N$ lanci, e calcolassi ogni volta la vincita alla fine degli $N$ lanci, la vincita media che otterrei sarebbe nulla.
2) Per calcolare effettivamente la media, intesa come vincita media per $N$ che va ad infinito, devo considerare che ad ogni lancio ho probabilità 0.5 di vincere 1 (se punto sempre su testa ogni volta che esce testa recupero tutto quello che ho perso dall'ultima volta che è uscita testa +1).
Quindi la media è $\sum_{n=1}^{N} 1* 0.5 = 0.5 * N$
che è infinita quando $N$ va a infinito...
Questo concorda pienamente con le simulazioni di "SnakePlinsky" mi sembra... e si capisce perchè è moolto rischioso usare questa tecnica: per vincere ogni volta una quantità pari a 1 metto a rischio un capitale enorme.
Per esempio quelli che giocano al lotto l'ambata e usano questa tecnica vanno facilmente in rovina! ...oltretutto lì il tempo medio di attesa per l'evento "buono" è piuttosto grande...
Scusate, al punto 1) ho fatto confusione con le virgole.
Riscrivo qua la frase con le virgole giuste (sperando che si capisca)...
Questo però non significa che usando tale strategia alla lunga non vinco nulla, ma solo che se ripetessi per un numero sufficientemente alto di volte N lanci e calcolassi ogni volta la vincita alla fine delgli N lanci, la vincita media che otterrei sarebbe nulla.
Riscrivo qua la frase con le virgole giuste (sperando che si capisca)...
Questo però non significa che usando tale strategia alla lunga non vinco nulla, ma solo che se ripetessi per un numero sufficientemente alto di volte N lanci e calcolassi ogni volta la vincita alla fine delgli N lanci, la vincita media che otterrei sarebbe nulla.
Riassumo il mio quesito, visto che non tutti avranno il tempo o la voglia di leggere dall'inizio:
- puntare del denaro sul lancio di una moneta non truccata, in assenza di costi per giocare, mi dà un valore atteso della vincita (definita ad un generico istante come la somma dei soldi guadagnati e persi) pari a zero.
-questa strategia di gioco ha valore atteso zero, come detto sopra, e varianza infinita: ciò significa che giocandoci un'infinità di volte posso guadagnare o perdere una somma infinita di denaro; tuttavia le mie aspettative sono di non guadagnare nulla e perdere nulla.
- siccome il valore atteso della mia vincita è zero in ogni sitante, uno stimatore di tale grandezza, la media su di un campione abbastanza numeroso di queste strategie ha valore atteso pari a zero. La realizzazione di tale stimatore si avvicinerà a zero tanto più cresce il numero del campione. Ecco un esempio: l'andamento della media di un campione di 1000 strategie "punto 1, croce vinco 1 e testa perdo 1" (è la media delle 1000 catene di markov della foto precedente).
Come si vede è sempre intorno a zero senza sbalzi significativi.
-il problema è che se io raddoppio ogni volta che perdo, mentre punto 1 quando vinco succede questo: (vettore delle medie della strategia con raddoppio):
La media campionaria si allontana sempre più da zero.
Come si spiega questo fatto?
Non è necessario soltanto raddoppiare, si può anche triplicare, quadruplicare, etc. (1000 simulazioni lunghe 1000 con strategia: se perdo punto 3 volte tanto la puntata precedente, se vinco punto 1):
Vettore media del strategia triplicare:
Le mie domande sono: qualcuno conosce in che modo l'inserimento di una dipendenza falsa il modello della catena di Markov? Poichè io raddoppio (o triplico, etc.) ad ogni perdita consecutiva inserisco una dipendenza temporale lunga quanto sono lunghe le perdite ininterrotte successive. Questa dipendenza sparisce appena io ottengo una vincita, per ricomparire ogni qualvolta ottengo una perdita.
So che Levy studiando appunto questo modello (chiamato martingala) dimostrò che questa strategia (la martingala, ovvero il raddoppio della posta dopo ogni perdite) non era funzionante (e così facendo creò le basi del calcolo delle probabilità). Qualcuno mi saprebbe dire dove trovare questa dimostrazione?
Potresti spiegarmi questa affermazione? Che modello hai utilizzato per ricavare la probabilità? Attualmente non riesco a fare simulazioni 10.000 * 10.000 o 100.000 * 1.000 perchè non ho abbastanza memoria per Matlab.
è quello che appare dalle simulazioni, la vincita media cresce circa con coefficente 1/2
Certo, l'applicazione pratica è pericolosissima, inpraticabile, poichè raddoppiando la perdita cresce esponenzialmente ( 2^t).
Quello che mi interessa è capire l'aspetto teorico, e trovare un modello formale.
Un saluto a tutti
- puntare del denaro sul lancio di una moneta non truccata, in assenza di costi per giocare, mi dà un valore atteso della vincita (definita ad un generico istante come la somma dei soldi guadagnati e persi) pari a zero.
-questa strategia di gioco ha valore atteso zero, come detto sopra, e varianza infinita: ciò significa che giocandoci un'infinità di volte posso guadagnare o perdere una somma infinita di denaro; tuttavia le mie aspettative sono di non guadagnare nulla e perdere nulla.
- siccome il valore atteso della mia vincita è zero in ogni sitante, uno stimatore di tale grandezza, la media su di un campione abbastanza numeroso di queste strategie ha valore atteso pari a zero. La realizzazione di tale stimatore si avvicinerà a zero tanto più cresce il numero del campione. Ecco un esempio: l'andamento della media di un campione di 1000 strategie "punto 1, croce vinco 1 e testa perdo 1" (è la media delle 1000 catene di markov della foto precedente).
Come si vede è sempre intorno a zero senza sbalzi significativi.
-il problema è che se io raddoppio ogni volta che perdo, mentre punto 1 quando vinco succede questo: (vettore delle medie della strategia con raddoppio):
La media campionaria si allontana sempre più da zero.
Come si spiega questo fatto?
Non è necessario soltanto raddoppiare, si può anche triplicare, quadruplicare, etc. (1000 simulazioni lunghe 1000 con strategia: se perdo punto 3 volte tanto la puntata precedente, se vinco punto 1):
Vettore media del strategia triplicare:
Le mie domande sono: qualcuno conosce in che modo l'inserimento di una dipendenza falsa il modello della catena di Markov? Poichè io raddoppio (o triplico, etc.) ad ogni perdita consecutiva inserisco una dipendenza temporale lunga quanto sono lunghe le perdite ininterrotte successive. Questa dipendenza sparisce appena io ottengo una vincita, per ricomparire ogni qualvolta ottengo una perdita.
So che Levy studiando appunto questo modello (chiamato martingala) dimostrò che questa strategia (la martingala, ovvero il raddoppio della posta dopo ogni perdite) non era funzionante (e così facendo creò le basi del calcolo delle probabilità). Qualcuno mi saprebbe dire dove trovare questa dimostrazione?
one.side.strip
Hai semplicemente fatto troppe poche simulazioni... con 1000 lanci hai circa il 99,8% di probabilità di avere una vincita positiva. Quindi 10000 simulazioni son decisamente pochine...
Potresti spiegarmi questa affermazione? Che modello hai utilizzato per ricavare la probabilità? Attualmente non riesco a fare simulazioni 10.000 * 10.000 o 100.000 * 1.000 perchè non ho abbastanza memoria per Matlab.
2) Per calcolare effettivamente la media, intesa come vincita media per N che va ad infinito, devo considerare che ad ogni lancio ho probabilità 0.5 di vincere 1 (se punto sempre su testa ogni volta che esce testa recupero tutto quello che ho perso dall'ultima volta che è uscita testa +1).
Quindi la media è ∑n=1N1⋅0.5=0.5⋅N
che è infinita quando N va a infinito...
è quello che appare dalle simulazioni, la vincita media cresce circa con coefficente 1/2
Questo concorda pienamente con le simulazioni di "SnakePlinsky" mi sembra... e si capisce perchè è moolto rischioso usare questa tecnica: per vincere ogni volta una quantità pari a 1 metto a rischio un capitale enorme.
Per esempio quelli che giocano al lotto l'ambata e usano questa tecnica vanno facilmente in rovina! ...oltretutto lì il tempo medio di attesa per l'evento "buono" è piuttosto grande...
Certo, l'applicazione pratica è pericolosissima, inpraticabile, poichè raddoppiando la perdita cresce esponenzialmente ( 2^t).
Quello che mi interessa è capire l'aspetto teorico, e trovare un modello formale.
Un saluto a tutti
"SnakePlinsky":
one.side.strip
Hai semplicemente fatto troppe poche simulazioni... con 1000 lanci hai circa il 99,8% di probabilità di avere una vincita positiva. Quindi 10000 simulazioni son decisamente pochine...
Potresti spiegarmi questa affermazione? Che modello hai utilizzato per ricavare la probabilità? Attualmente non riesco a fare simulazioni 10.000 * 10.000 o 100.000 * 1.000 perchè non ho abbastanza memoria per Matlab.
Direi che 'è poco da spiegare... ho semplicemente calcolato la probabilità di avere una vincita positiva dopo n lanci... Hai una vincita positiva solo se, chiamato t l'instante dell'ultima vincita e V quanto hai vinto sino ad allora (che poi è il numero di vittorie sino a quel momento), risulta V>2^(n-t)... Semplice calcolo combinatorio e schema delle prove indipendenti (perchè ad ogni lancio la monetina, qualsiasi cosa io punti, cade dal lato testa con probabilità 1/2: tutto il discorso sulla non indipendenza degli eventi fatto da una persona "qualificata" mi fa solo pensare che non sia poi così "qualificata"...).
E' ovvio che se hai molte vincite, ti serviranno mooooolte simulazioni perchè le perdite "compensino" le vincite...
Dopotutto anche dai grafici da te riportati si nota che se aumenti il numero di simulazioni, la "media" su un numero di lanci "piccolo" rispetto al numero di simulazioni va praticamente a 0...
Sinceramente non ho mai fatto statistica (e sinceramente non ne sento la mancanza) quindi non so dirti come fare simulazioni più grandi (avendo usato anche pochissimo matlab, altra cosa che non mi dispiace affatto), però anche senza vedere grafici di 100000 simulazioni per 1000 lanci, credo proprio di aver ragione.
Se poi hai altre domande sono qua (dato che mi sembra di aver risposto a tutte le precedenti, più o meno direttamente).
one.side.strip ti ringrazio per la spiegazione sulla percentuale.
Ovviamente l'evento testa o croce è indipendente, ciò che non è indipendente è l'evento puntata, poichè dipende da n-t (utilizzando la tua notazione). Come pensi che questo possa influire sull'evento "vincita"? Perchè l'evento moneta è indipendente, l'evento puntata non è indipendente, mentre l'evento vincita è una combinazione di entrambi. Ogni tua idea e suggerimento o critica è gradita.
Non ho capito questa affermazione, potresti spiegarmi più in dettaglio (scusami, ma sono un pò "tardo").
"E' ovvio che se hai molte vincite, ti serviranno mooooolte simulazioni perchè le perdite "compensino" le vincite... "
Se il valore atteso è pari a zero non dovrebbe essere così, perchè l'evento raro di perdite ininterrotte consecutive, anche se si manifesta poche volte, dovrebbe darmi una perdita così grande da pareggiare.
Comunque ho appena fatto una simulazione con popolazione 100.000 e lunghezza 100 (ho dovuto ridurre la lunghezza, se no matlab non ce la fa), questo è il vettore delle medie (la media ad ogni istante da 1 a 100 delle 100.000 simulazioni):
Conferma l'allontanamento da zero ( e una diminuzione della varianza della media).
Interpretazioni?
Semplice calcolo combinatorio e schema delle prove indipendenti (perchè ad ogni lancio la monetina, qualsiasi cosa io punti, cade dal lato testa con probabilità 1/2: tutto il discorso sulla non indipendenza degli eventi fatto da una persona "qualificata" mi fa solo pensare che non sia poi così "qualificata"...).
Ovviamente l'evento testa o croce è indipendente, ciò che non è indipendente è l'evento puntata, poichè dipende da n-t (utilizzando la tua notazione). Come pensi che questo possa influire sull'evento "vincita"? Perchè l'evento moneta è indipendente, l'evento puntata non è indipendente, mentre l'evento vincita è una combinazione di entrambi. Ogni tua idea e suggerimento o critica è gradita.
Dopotutto anche dai grafici da te riportati si nota che se aumenti il numero di simulazioni, la "media" su un numero di lanci "piccolo" rispetto al numero di simulazioni va praticamente a 0...
Non ho capito questa affermazione, potresti spiegarmi più in dettaglio (scusami, ma sono un pò "tardo").
"E' ovvio che se hai molte vincite, ti serviranno mooooolte simulazioni perchè le perdite "compensino" le vincite... "
Se il valore atteso è pari a zero non dovrebbe essere così, perchè l'evento raro di perdite ininterrotte consecutive, anche se si manifesta poche volte, dovrebbe darmi una perdita così grande da pareggiare.
Comunque ho appena fatto una simulazione con popolazione 100.000 e lunghezza 100 (ho dovuto ridurre la lunghezza, se no matlab non ce la fa), questo è il vettore delle medie (la media ad ogni istante da 1 a 100 delle 100.000 simulazioni):
Conferma l'allontanamento da zero ( e una diminuzione della varianza della media).
Interpretazioni?
Ho provato a fare anch'io qualche esperimento e mi sembra tutto torni.
Come già verificato da SnakePlinsky si vede subito che la vincita cresce come $\frac{1}{2} N$ con $N$ numero di lanci della moneta ...mi sembra che ormai è chiaro il perchè...
Poi ho provato a verificare che ripetendo $NT$ volte $N$ lanci la vincita media fosse zero.
Con $N=10$ e $NT=10000$ ottengo questo:
Con $N=100$ e $NT=10^6$ ottengo questo:
Mi sembra evidente che come già sottolineato occorre salire con $NT$ quando aumenta $N$, se si vuole avere una media realistica: l'evento perdita è infatti sempre più raro al crescere di $N$ (anche se molto più costoso!).
A proposito è interessante dire che nel primo caso ho notato che arrivo a perdere fino a 1023 mentre nel secondo caso fino a 268435453 !!!
Tanto per non invitare nessuno a provare...
Ho usato un programmino in c e per il generatore random ho scritto una routine usando l'algoritmo di L'Ecuyer (si trova su "numerical recipes") che assicura effettivamente una successione random in $(0,1)$ uniforme e per un periodo sufficientemente lungo, quindi adatta per analisi statistiche (non so cosa usi di default matlab, ma ho preferito non fidarmi); inoltre l'occupazione di memoria è abbastanza contenuta.
Fabrizio.
Come già verificato da SnakePlinsky si vede subito che la vincita cresce come $\frac{1}{2} N$ con $N$ numero di lanci della moneta ...mi sembra che ormai è chiaro il perchè...
Poi ho provato a verificare che ripetendo $NT$ volte $N$ lanci la vincita media fosse zero.
Con $N=10$ e $NT=10000$ ottengo questo:
Con $N=100$ e $NT=10^6$ ottengo questo:
Mi sembra evidente che come già sottolineato occorre salire con $NT$ quando aumenta $N$, se si vuole avere una media realistica: l'evento perdita è infatti sempre più raro al crescere di $N$ (anche se molto più costoso!).
A proposito è interessante dire che nel primo caso ho notato che arrivo a perdere fino a 1023 mentre nel secondo caso fino a 268435453 !!!
Tanto per non invitare nessuno a provare...
Ho usato un programmino in c e per il generatore random ho scritto una routine usando l'algoritmo di L'Ecuyer (si trova su "numerical recipes") che assicura effettivamente una successione random in $(0,1)$ uniforme e per un periodo sufficientemente lungo, quindi adatta per analisi statistiche (non so cosa usi di default matlab, ma ho preferito non fidarmi); inoltre l'occupazione di memoria è abbastanza contenuta.
Fabrizio.
Grazie Fabrizio.
Ora il problema è: come si spiega matematicamente?
Qualche idea su di un modello?
Nel caso del raddoppio il risultato sembra convergere a 1/2 ad ogni lancio, ma nel caso del triplicamento non si nota una convergenza apparente.
Aspetto qualche lume.
Ora il problema è: come si spiega matematicamente?
Qualche idea su di un modello?
Nel caso del raddoppio il risultato sembra convergere a 1/2 ad ogni lancio, ma nel caso del triplicamento non si nota una convergenza apparente.
Aspetto qualche lume.
Sinceramente non capisco quello che dici...
O meglio non capisco le domande che fai se dici di aver compreso quanto scritto da me e da Fabrizio...
Cosa sembra convergere a 1/2?
Quello che diceva anche Fabrizio e che se fai tantissime simulazioni (rispetto al numero di volte in cui tiri la moneta), ottieni una media sulle vincite praticamente nulla. Basta solo farne "tante". Quante? Il fatto è che aumentando il numero di lanci la probabilità di guadagnare (poco o tanto) è praticamente del 100% (già con 1000 è del 99,8% abbondante)...
Quindi, poichè la simulazione non produce uniformemente tutte le sequenze possibili, è moooolto più probabile che salti una sequenza perdente che una vincente.
L'unica cosa in cui compare $1/2$ è la vincita attesa dopo $N$ lanci che è $1/2 N$, ma che non è il valore atteso della strategia!
Non ci trovo niente di più da spiegare matematicamente.
Il modello? Schema delle prove indipendenti. Gli eventi sono Testa o Croce che sono indipendendi. Le puntate sono dipendenti da T e C, ma anche ammesso di usare loro come eventi, sono tra di loro indipendenti!
Se per convergere intendi quello che ho detto io, allora se triplichi il tutto "convergerà" nuovamente a $1/2$.
O meglio non capisco le domande che fai se dici di aver compreso quanto scritto da me e da Fabrizio...
Cosa sembra convergere a 1/2?
Quello che diceva anche Fabrizio e che se fai tantissime simulazioni (rispetto al numero di volte in cui tiri la moneta), ottieni una media sulle vincite praticamente nulla. Basta solo farne "tante". Quante? Il fatto è che aumentando il numero di lanci la probabilità di guadagnare (poco o tanto) è praticamente del 100% (già con 1000 è del 99,8% abbondante)...
Quindi, poichè la simulazione non produce uniformemente tutte le sequenze possibili, è moooolto più probabile che salti una sequenza perdente che una vincente.
L'unica cosa in cui compare $1/2$ è la vincita attesa dopo $N$ lanci che è $1/2 N$, ma che non è il valore atteso della strategia!
Non ci trovo niente di più da spiegare matematicamente.
Il modello? Schema delle prove indipendenti. Gli eventi sono Testa o Croce che sono indipendendi. Le puntate sono dipendenti da T e C, ma anche ammesso di usare loro come eventi, sono tra di loro indipendenti!
Se per convergere intendi quello che ho detto io, allora se triplichi il tutto "convergerà" nuovamente a $1/2$.
Sinceramente non capisco quello che dici...
Nemmeno io capisco quello che dico
.A parte gli scherzi
O meglio non capisco le domande che fai se dici di aver compreso quanto scritto da me e da Fabrizio...
Cosa sembra convergere a 1/2?
Perdonami l'uso del termine convergenza, che in questo ambito è forse inappropriato, ma io sono un tecnico e non un matematico teorico. Per convergenza intendevo che la media delle vincite sembra salire in ragione 1/2 all'aumentare degli N lanci.
Quello che diceva anche Fabrizio e che se fai tantissime simulazioni (rispetto al numero di volte in cui tiri la moneta), ottieni una media sulle vincite praticamente nulla.
Se ho ben capito la notazione di Fabrizio, nel primo grafico si vede l'andamento della vincita media (ordinate) della strategia effettuata con 10 lanci di moneta (N), all'aumentare delle simulazioni (NT in ascissa). Dal grafico si vede che va verso zero all'aumentare del numero di simulazioni.
Nel secondo grafico si fa uguale ma con 100 lanci di moneta e 1.000.000 NT. Qui però il grafico pur mostrando una tendenzaiale "decrescenza" non va certo a zero. Ma sospendo un attimo la questione...
Il fatto è che aumentando il numero di lanci la probabilità di guadagnare (poco o tanto) è praticamente del 100% (già con 1000 è del 99,8% abbondante)...
Quindi, poichè la simulazione non produce uniformemente tutte le sequenze possibili, è moooolto più probabile che salti una sequenza perdente che una vincente.
L'unica cosa in cui compare 12 è la vincita attesa dopo N lanci che è 12N, ma che non è il valore atteso della strategia!
Sostanzialmente vuoi dire che poichè la probabilità di n lanci consecutivi testa ( croce) è bassa (1/2^n), la vincita attesa dopo N lanci è circa 1/2N, ma nel lungo periodo si verificherà l'evento n teste consecutive che mi porterà una perdita così forte da ribilanciare e portarmi il valore atteso a zero.
In questo senso starebbe la contradditorietà vincita attesa dopo N lanci 1/2 N e valore atteso 0?
Ma in ogni caso se il valore atteso di tale strategia è zero dovrebbe essere indipendente dalla lunghezza e dal numero di simulazioni? O in questo ragionamento c'è un errore?
Attendo delucidazioni. Un saluto
Un po' di ordine...
Per quanto riguarda le simulazioni, ti posso assicurare che se le aumenti la media delle vincite andrà a 0.
Secondo me tu fai un pò di confusione tra due cose che hanno ben poco in comune.
1) Valore atteso della strategia della "c"-uplicazione:
Fissato un numero di lanci, questo è la media pesata dei possibli guadagni/perdite sino a quel lancio. Questo è 0.
2) Valore atteso di eventi favorevoli:
Fissato un numero N di lanci, questo è quanto mi aspetto di vincere dopo N lanci. Poichè ad ogni lancio ho sempre probabilità 1/2 di vincere 1 moneta, questo è 1/2 N.
Cosa hanno in comune queste due cose? Praticamente niente!
Il fatto che (1) sia 0, non significa assolutamente che all'aumentare del numero di lanci ci si deve aspettare di avere una vincita nulla. Infatti (2) ti dice che devi aspettarti di vincere 1/2N dopo N lanci.
Fissiamo il numero di lanci N (e supponiamo per semplicità che siano pari).
Il fatto che (1) sia 0 significa semplicemente che giocare non è ne vantaggioso ne svantaggioso per un eventuale "banco". Infatti il banco che gioca in successione contro moltissimi giocatori (moltissime simulazioni), si aspetta di non guadagnare ne perdere assolutamente nulla a fine giornata.
Il fatto che (2) sia 1/2N significa che la maggior parte dei giocatori vincerà 1/2N (la maggioranza relativa in generale e comunque con una probabilità che è $1/2^{N+1} ((N-1),(N/2-1))$) e gli altri perderanno anche per loro.
In pratica (1) ti dice che il gioco è equo. La mia ultima considerazione ti dice che non ti conviene giocare!
Infine, se proprio vuoi fare una simulazione che ti convica per 100 lanci ti auguro di avere un po' di tempo per far macinare il computer... Ci sono $2^100$ configurazioni possibili per 100 lanci... che sono, fatto un calcolo approssimativo circa $10^30$ configurazioni... ecco con $10^30$ simulazioni e un buon generatore random dovresti vedere qualcosa.
Per 10 lanci è molto più praticabile, infatti se noti già con 1000 simulazioni ($2^10$) si evidenzia l'andamento a 0 del valore atteso.
Magari prova con 20 lanci, dovresti vedere qualcosa intorno al milione di simulazioni.
Ciao!
Per quanto riguarda le simulazioni, ti posso assicurare che se le aumenti la media delle vincite andrà a 0.
Secondo me tu fai un pò di confusione tra due cose che hanno ben poco in comune.
1) Valore atteso della strategia della "c"-uplicazione:
Fissato un numero di lanci, questo è la media pesata dei possibli guadagni/perdite sino a quel lancio. Questo è 0.
2) Valore atteso di eventi favorevoli:
Fissato un numero N di lanci, questo è quanto mi aspetto di vincere dopo N lanci. Poichè ad ogni lancio ho sempre probabilità 1/2 di vincere 1 moneta, questo è 1/2 N.
Cosa hanno in comune queste due cose? Praticamente niente!
Il fatto che (1) sia 0, non significa assolutamente che all'aumentare del numero di lanci ci si deve aspettare di avere una vincita nulla. Infatti (2) ti dice che devi aspettarti di vincere 1/2N dopo N lanci.
Fissiamo il numero di lanci N (e supponiamo per semplicità che siano pari).
Il fatto che (1) sia 0 significa semplicemente che giocare non è ne vantaggioso ne svantaggioso per un eventuale "banco". Infatti il banco che gioca in successione contro moltissimi giocatori (moltissime simulazioni), si aspetta di non guadagnare ne perdere assolutamente nulla a fine giornata.
Il fatto che (2) sia 1/2N significa che la maggior parte dei giocatori vincerà 1/2N (la maggioranza relativa in generale e comunque con una probabilità che è $1/2^{N+1} ((N-1),(N/2-1))$) e gli altri perderanno anche per loro.
In pratica (1) ti dice che il gioco è equo. La mia ultima considerazione ti dice che non ti conviene giocare!
Infine, se proprio vuoi fare una simulazione che ti convica per 100 lanci ti auguro di avere un po' di tempo per far macinare il computer... Ci sono $2^100$ configurazioni possibili per 100 lanci... che sono, fatto un calcolo approssimativo circa $10^30$ configurazioni... ecco con $10^30$ simulazioni e un buon generatore random dovresti vedere qualcosa.
Per 10 lanci è molto più praticabile, infatti se noti già con 1000 simulazioni ($2^10$) si evidenzia l'andamento a 0 del valore atteso.
Magari prova con 20 lanci, dovresti vedere qualcosa intorno al milione di simulazioni.
Ciao!
one.side.strip seguo il tutto il tuo discorso; piccola digressione : i punti 1) e 2) da te elencati sono in contraddizzione, contraddizzione che si risolve quando specifichi:
Quindi avremo molti giocatori che guadanano 1/2N, e pochi altri che perdono molto. Il banco rimane a zero.
(Se è vero il punto 1) (valore atteso = 0), permettimi di corregere la frase "e gli altri perderanno anche per loro." in "gli altri perderanno per loro".)
Il problema centrale è infatti nel punto 1) da te esposto: il valore atteso della strategia raddoppio è zero?
Dal secondo grafico di Fabrizio non sembra.
Ora eplicito i passi dell'analisi statistica che rifaccio ora.
Con un campione sufficentemente grande, in accordo con l'ipotesi di valore atteso pari a zero, la media di tutte le vincite e tutte le perdite FINO AD un momento N (e non la media delle vincite AL momento N) dovrebbe essere zero.
Questo perchè la media è uno stimatore del valore atteso.
Quindi faccio partire N simulazioni, lunghe n (ogni simulazione è fatta su n lanci di moneta), sommo tutte le n*N vincite, divido per n*N, ottengo il valore medio della vincita, stimatore del valore atteso: dovrebbe venirmi fuori un numero significativamente non diverso da zero nel caso il valore atteso sia zero.
L'ho fatto, il mio computer mi permette al massimo, con matlab, n*N=10.000.000.
Quindi ho fatto 100.000(N) simulazioni lunghe 100(n), 10.000(N) lunghe 1000(n) e 1000(N) lunghe 10.000(n).
Il valore medio mi viene significativamente diverso da zero, ma avendo provato più volte la simulazione ho notato una variabilità che non mi convince. Nell'ultimo caso mi viene (1000(N) simulazioni lunghe 10.000(n)) un valore medio pari 4.998 (circa 5000 ovvero 1/2N). A proposito Fabrizio dice:
Ma non capisco la ragione: essendo i fenomeni (le simulazioni delle giocate) indipendenti, l'importante è avere solo un numero di simulazioni elevate, indipendentemente dalla lunghezza della simulazione.
IN CONCLUSIONE LA VERA QUESTIONE è (ed è questo il mio dilemma):
Il valore atteso di questa strategia (il raddoppio) è zero si o no ? A me è sempre venuto da dire sì, come ad altri.Il problema è: perchè allora le simulazioni non mostrano questo? Ci sono 2 possibilità:
1) errore nella simulazione dovuto a numero insufficente di simulazioni;
2) errore nell'ipotesi valore atteso pari a zero;
Un saluto
Il fatto che (1) sia 0 significa semplicemente che giocare non è ne vantaggioso ne svantaggioso per un eventuale "banco". Infatti il banco che gioca in successione contro moltissimi giocatori (moltissime simulazioni), si aspetta di non guadagnare ne perdere assolutamente nulla a fine giornata.
Il fatto che (2) sia 1/2N significa che la maggior parte dei giocatori vincerà 1/2N (la maggioranza relativa in generale e comunque con una probabilità che è 12N+1(N-1N2-1)) e gli altri perderanno anche per loro.
In pratica (1) ti dice che il gioco è equo.
Quindi avremo molti giocatori che guadanano 1/2N, e pochi altri che perdono molto. Il banco rimane a zero.
(Se è vero il punto 1) (valore atteso = 0), permettimi di corregere la frase "e gli altri perderanno anche per loro." in "gli altri perderanno per loro".)
Il problema centrale è infatti nel punto 1) da te esposto: il valore atteso della strategia raddoppio è zero?
Dal secondo grafico di Fabrizio non sembra.
Ora eplicito i passi dell'analisi statistica che rifaccio ora.
Con un campione sufficentemente grande, in accordo con l'ipotesi di valore atteso pari a zero, la media di tutte le vincite e tutte le perdite FINO AD un momento N (e non la media delle vincite AL momento N) dovrebbe essere zero.
Questo perchè la media è uno stimatore del valore atteso.
Quindi faccio partire N simulazioni, lunghe n (ogni simulazione è fatta su n lanci di moneta), sommo tutte le n*N vincite, divido per n*N, ottengo il valore medio della vincita, stimatore del valore atteso: dovrebbe venirmi fuori un numero significativamente non diverso da zero nel caso il valore atteso sia zero.
L'ho fatto, il mio computer mi permette al massimo, con matlab, n*N=10.000.000.
Quindi ho fatto 100.000(N) simulazioni lunghe 100(n), 10.000(N) lunghe 1000(n) e 1000(N) lunghe 10.000(n).
Il valore medio mi viene significativamente diverso da zero, ma avendo provato più volte la simulazione ho notato una variabilità che non mi convince. Nell'ultimo caso mi viene (1000(N) simulazioni lunghe 10.000(n)) un valore medio pari 4.998 (circa 5000 ovvero 1/2N). A proposito Fabrizio dice:
Mi sembra evidente che come già sottolineato occorre salire con NT quando aumenta N, se si vuole avere una media realistica: l'evento perdita è infatti sempre più raro al crescere di N (anche se molto più costoso!).
Ma non capisco la ragione: essendo i fenomeni (le simulazioni delle giocate) indipendenti, l'importante è avere solo un numero di simulazioni elevate, indipendentemente dalla lunghezza della simulazione.
IN CONCLUSIONE LA VERA QUESTIONE è (ed è questo il mio dilemma):
Il valore atteso di questa strategia (il raddoppio) è zero si o no ? A me è sempre venuto da dire sì, come ad altri.Il problema è: perchè allora le simulazioni non mostrano questo? Ci sono 2 possibilità:
1) errore nella simulazione dovuto a numero insufficente di simulazioni;
2) errore nell'ipotesi valore atteso pari a zero;
Un saluto
io credo che l'impostazione data da Fioravante nel suo post https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 694#163694 metta fine a questo dubbio, e consente di affermare che il valore atteso è zero.
L'unica obiezione che si potrebbe sollevare, se si vuol fare i puristi (ma io non lo sono), è che la conclusione che il valore atteso sia nullo si basa, nel caso suo, sul'analisi di un numero limitato di casi, e non si riferisca ad un qualunque numero di lanci, dando all'affermazione più carattere di congettura che di dimostrazione. Penso quindi che volendo proprio spendere energie su questo problema si potrebbe cercare di generalizzare la sua conclusione, dimostrando che il valore atteso è nullo per qualunque numero di lanci. La simulazione, lo sappiamo anche noi "impuri", non potrà mai dimostrare nulla (da un punto di vista matematico), perché ripercorre sempre una sola diramazione dell'albero degli eventi che Fioravante ha impostato. Io ho commesso, nel trarre le mie conclusioni in un precedente post, lo stesso errore, ovvero quello di considerare solo una particolare sequenza di lanci. Poiché le sequenze che terminano con un risultato netto positivo sono più numerose delle altre (per un numero limitato di lanci mi sembra si attesti intorno ai 3/4 del totale), è facile cadere nell'errore di credere che il gioco abbia mediamente esito positivo. Il problema sta nel fatto che se è vero che le diramazioni a saldo netto negativo sono in numero minoritario, è anche vero che portano mediamente a perdite considerevoli, al punto tale da annullare il contributo positivo delle altre.
L'unica obiezione che si potrebbe sollevare, se si vuol fare i puristi (ma io non lo sono), è che la conclusione che il valore atteso sia nullo si basa, nel caso suo, sul'analisi di un numero limitato di casi, e non si riferisca ad un qualunque numero di lanci, dando all'affermazione più carattere di congettura che di dimostrazione. Penso quindi che volendo proprio spendere energie su questo problema si potrebbe cercare di generalizzare la sua conclusione, dimostrando che il valore atteso è nullo per qualunque numero di lanci. La simulazione, lo sappiamo anche noi "impuri", non potrà mai dimostrare nulla (da un punto di vista matematico), perché ripercorre sempre una sola diramazione dell'albero degli eventi che Fioravante ha impostato. Io ho commesso, nel trarre le mie conclusioni in un precedente post, lo stesso errore, ovvero quello di considerare solo una particolare sequenza di lanci. Poiché le sequenze che terminano con un risultato netto positivo sono più numerose delle altre (per un numero limitato di lanci mi sembra si attesti intorno ai 3/4 del totale), è facile cadere nell'errore di credere che il gioco abbia mediamente esito positivo. Il problema sta nel fatto che se è vero che le diramazioni a saldo netto negativo sono in numero minoritario, è anche vero che portano mediamente a perdite considerevoli, al punto tale da annullare il contributo positivo delle altre.
volevo completare il mio discorso spiegando perché, secondo me, la simulazione trova grossi limiti nello studio di questo caso.
Supponiamo che io voglia, per esempio col metodo Montecarlo, stimare il valore atteso di una sequenza di 50 lanci.
Sappiamo che l'albero degli eventi avrebbe, in questo caso, $2^50$ diramazioni, equiprobabili. Per fare una simulazione credibile dovrei allora generare un numero di sequenze (generate casualmente) di 50 lanci, di ordine di grandezza prossimo ad almeno qualche permille di $2^50$. Questo è, evidentemente, un numero molto elevato e difficilmente realizzabile. Ciò consente di conlcudere che le simulazioni fatte molto difficilmente rappresenteranno un campione statisticamente rappresentativo della popolazione costituita dalle foglie dell'albero. Non si potranno, quindi, trarre conclusioni.
Supponiamo che io voglia, per esempio col metodo Montecarlo, stimare il valore atteso di una sequenza di 50 lanci.
Sappiamo che l'albero degli eventi avrebbe, in questo caso, $2^50$ diramazioni, equiprobabili. Per fare una simulazione credibile dovrei allora generare un numero di sequenze (generate casualmente) di 50 lanci, di ordine di grandezza prossimo ad almeno qualche permille di $2^50$. Questo è, evidentemente, un numero molto elevato e difficilmente realizzabile. Ciò consente di conlcudere che le simulazioni fatte molto difficilmente rappresenteranno un campione statisticamente rappresentativo della popolazione costituita dalle foglie dell'albero. Non si potranno, quindi, trarre conclusioni.
Non so più come dirlo... fai troppe poche simulazioni!
Ti ho anche detto l'ordine di grandezza delle simulazioni chhe dovresti effettuare e ti ho spiegato il motivo... Prova e vedrai che tutto torna (nei limiti della macchina ovviamente...)
Vuoi una dimostrazione del fatto che il valore atteso è 0 nel caso della c-uplicazione della posta? Ok.
Per induzione sul numero di lanci n.
Abbiamo già fatto vedere che per 2 lanci il valore atteso è 0.
Supponiamo che il valore atteso per n lanci sia 0 e vediamo cosa succede per n+1 lanci.
L'albero che hai fatto per n lanci sarà esattamente uguale ai primi n livelli dell'albero che farai per n+1 lanci. Sai per ipotesi induttiva che la somma di tutti i nodi al livello n è 0 (poichè è il valore atteso).
A questo punto da ognuno di questi nodi partono due foglie.
Io voglio sommare tutte queste foglie. Chiamiamo K il valore in un nodo.
Mostriamo che la somma dei valori di due foglie che partono dallo stesso nodo è 2K.
Distinguiamo due casi (tanto per essere prolissi, ma oramai...):
(1) Il nodo da cui partono proviene da una vittoria. Allora le due foglie hanno valori K+1 e K-1, dunque la loro somma è 2K.
(2) Il nodo da cui partono proviene da t perdite successive. Allore le due foglie hanno valori K+c^t e K+c^t, dunque la loro somma è 2K.
Morale della favola abbiamo dimostrato che la somma delle foglie è il doppio della somma dei nodi al livello n (in realtà abbiamo dimostrato di più, ossia che ad ogni livello a partire dal secondo la somma dei nodi raddoppia). Ma la somma dei nodi al livello n era 0 per ipotesi induttiva, quindi è 0 anche al livello n+1.
Dunque il valore atteso è 0 per qualsiasi numero di lanci.
Ti ho anche detto l'ordine di grandezza delle simulazioni chhe dovresti effettuare e ti ho spiegato il motivo... Prova e vedrai che tutto torna (nei limiti della macchina ovviamente...)
Vuoi una dimostrazione del fatto che il valore atteso è 0 nel caso della c-uplicazione della posta? Ok.
Per induzione sul numero di lanci n.
Abbiamo già fatto vedere che per 2 lanci il valore atteso è 0.
Supponiamo che il valore atteso per n lanci sia 0 e vediamo cosa succede per n+1 lanci.
L'albero che hai fatto per n lanci sarà esattamente uguale ai primi n livelli dell'albero che farai per n+1 lanci. Sai per ipotesi induttiva che la somma di tutti i nodi al livello n è 0 (poichè è il valore atteso).
A questo punto da ognuno di questi nodi partono due foglie.
Io voglio sommare tutte queste foglie. Chiamiamo K il valore in un nodo.
Mostriamo che la somma dei valori di due foglie che partono dallo stesso nodo è 2K.
Distinguiamo due casi (tanto per essere prolissi, ma oramai...):
(1) Il nodo da cui partono proviene da una vittoria. Allora le due foglie hanno valori K+1 e K-1, dunque la loro somma è 2K.
(2) Il nodo da cui partono proviene da t perdite successive. Allore le due foglie hanno valori K+c^t e K+c^t, dunque la loro somma è 2K.
Morale della favola abbiamo dimostrato che la somma delle foglie è il doppio della somma dei nodi al livello n (in realtà abbiamo dimostrato di più, ossia che ad ogni livello a partire dal secondo la somma dei nodi raddoppia). Ma la somma dei nodi al livello n era 0 per ipotesi induttiva, quindi è 0 anche al livello n+1.
Dunque il valore atteso è 0 per qualsiasi numero di lanci.
Noto che kinder ha ridetto la stessa cosa che dicevo io prima...
Scusate ma a me sembra che il dubbio fosse sul fatto che la media su infinite giocate fosse zero, mentre invece la vincita media su una giocata fosse infinita, e questo non era stato chiarito molto, secondo me, dal post di Fioravante che ha fatto notare solo come la prima fosse zero appunto, ma non sottolineava la differenza tra le due quantità come fatto nel primo post di one.side.strip su questo argomento e poi ripetuto diverse volte.
Le simulazioni chiaramente riescono a far vedere bene come la giocata singola vinca con media $\frac{1}{2}N$. Mentre appunto come detto e ridetto occorre un numero di simulazioni elevatissimo per vedere che la vincita media va a zero, anche facendo solo 50 lanci.
Con meno lanci comunque si vede bene....
Ciao a tutti.
Fabrizio.
Le simulazioni chiaramente riescono a far vedere bene come la giocata singola vinca con media $\frac{1}{2}N$. Mentre appunto come detto e ridetto occorre un numero di simulazioni elevatissimo per vedere che la vincita media va a zero, anche facendo solo 50 lanci.
Con meno lanci comunque si vede bene....
Ciao a tutti.
Fabrizio.
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