Catena di markov (facile) ma con identità di Wald?
Consideriamo due persons che giocano alla roulette. Sia $A=5$ il capitale del primo giocatore e $B=10$ il capitale del secondo. Se esce rosso il primo riceve dal secondo $1$. Se esce nero il primo paga $1$ al secondo. Se esce zero (verde) si ripete la stessa scommessa. Calcolare con catena di markov e identità di Wald (prima e seconda) che il giocatore col capitale minore vinca e il tempo atteso di gioco.
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Non avendo mai giocato alle roulette sono andato a vedere le prob:
rosso: $18/37$ verde: $1/37$ nero: $18/37$
Ho capito che si tratta di una passeggiata casuale simmetrica. Forse le barriere sono: $a=0$ (perché vuol dire che il primo ha perso tutto e fine del gioco) e $b=15$ (quando il primo giocatore vince tutto e fine del gioco).
Le identità di Wald le ho viste ma non le ho capite.
Potete aiutarmi?
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Non avendo mai giocato alle roulette sono andato a vedere le prob:
rosso: $18/37$ verde: $1/37$ nero: $18/37$
Ho capito che si tratta di una passeggiata casuale simmetrica. Forse le barriere sono: $a=0$ (perché vuol dire che il primo ha perso tutto e fine del gioco) e $b=15$ (quando il primo giocatore vince tutto e fine del gioco).
Le identità di Wald le ho viste ma non le ho capite.
Potete aiutarmi?
Risposte
Scusa avevo modificato in contemporanea
Va bene, ti puoi dimenticare della matrice.
A questo punto è facile calcolare $ET$...
A questo punto è facile calcolare $ET$...
"Piera":
Vediamo una procedura per calcolare $P(S_T=15)$.
Sia $pi_(i,j)$ la probabilità che partendo dallo stato transitorio i si entri nello stato permanente j, allora si dimostra che
$Pi=(I-Q)^(-1)S$,
dove $Pi$ è la matrice avente per elementi $pi_(i,j)$,
$I$ matrice identità,
$Q$ matrice che raccoglie le probabilità di transizione tra stati transitori,
$S$ matrice che raccoglie le probabilità di transizione da stati transitori a stati ricorrenti.
A noi ci interesserà $pi_(5,15)=P(S_T=15)$, siamo partiti da un capitale di 5 e si vuole arrivare ad uno di 15.
Questa parte che mi spaventava moltissimo (visto che non la so ancora fare) non serve giusto?
Non ti preoccupare, non serve più...
E' una procedura standard che molto probabilmente il tuo libro non tratta.
E' una procedura standard che molto probabilmente il tuo libro non tratta.
"Piera":
X=1 con p=18/37
X=-1 con p=18/37
X=0 con p=1/37
la varianza (in questo modo rispondo anche alla seconda domanda) è data dalla differenza tra il momento di ordine 2 e la media: EX^2-EX, quindi
$VarX= 1^2* 18/37+(-1)^2*18/37=2*18/37$.
Scusa ma la formula della varianza cambia a seconda delle situazioni?
Io la sapevo $Var(X) = E(X-media)^2$
Lo so che è una domanda da principiante...
Intanto un post sopra ho risposto all'altra tua domanda.
$VarX=E(X-media)^2=EX^2-EX$ è una formula per calcolare la varianza e mi rifiuto di credere che nel tuo libro non ci sia.
$VarX=E(X-media)^2=EX^2-EX$ è una formula per calcolare la varianza e mi rifiuto di credere che nel tuo libro non ci sia.
Ci sono così tante formule che c'é da rinchiudersi con la camicia di forza!
Ma per $E(t)$ mi manca da sapere la $Var (S_t)$ Ci risiamo...
Ma per $E(t)$ mi manca da sapere la $Var (S_t)$ Ci risiamo...
Allora
$VarS_T=ES_T^2-ES_T$ per quello or ora detto
$ES_T=5$ prima identità di Wald
$ES_T^2=15^2*P(S_T=15)+0*(1-P(S_T=15))=15^2/3$.
$VarS_T=ES_T^2-ES_T$ per quello or ora detto
$ES_T=5$ prima identità di Wald
$ES_T^2=15^2*P(S_T=15)+0*(1-P(S_T=15))=15^2/3$.
$E(T) =70 /(36/37)= 71.9$ tempo medio.
Dopo tutta questa fatica, almeno torna con il risultato del libro?
Aspetta. Non è un esercizio del libro ma uno proposto dal prof. La formula della varianza ancora non la trovo! Assurdo. Mo tiro il libro!
Ho trovato questa: $Var(X) = E(X^2)- (E(X))^2$
Ho trovato questa: $Var(X) = E(X^2)- (E(X))^2$
E' quella...
Devo essermi rincoglionito!!
Devo essermi rincoglionito!!
Quindi le cose cambiano:
$Var_ST = (15^2)/3 - 5^2 = 50 $
$Var_ST = (15^2)/3 - 5^2 = 50 $
$50/(36/37) = 51$ tempo atteso del gioco. Inizio a mettermi la camicia...
Certo, il tempo atteso per terminare il gioco dovrebbe essere intorno a 51 giocate.
Se la media non era = a 0 però erano C***i amari!
Pie' tu e LucaB siete grandiosi!
G R A Z I E !
Curiosità:
se la media non era zero potevo trovare il vettore fisso delle probabilità da quella matrice 16X16? Lo so che è difficilissimo fare quel sistemone, ma in linea di principio?
G R A Z I E !
Curiosità:
se la media non era zero potevo trovare il vettore fisso delle probabilità da quella matrice 16X16? Lo so che è difficilissimo fare quel sistemone, ma in linea di principio?
Se la media non è zero devi calcolarti $P(S_T=15)$, ad esempio con la procedura che ho descritto.
Inoltre in questo caso la seconda identità di Wald assume la forma:
$VarS_T=ET*VarX+(EX)^2*VarT$.
Inoltre in questo caso la seconda identità di Wald assume la forma:
$VarS_T=ET*VarX+(EX)^2*VarT$.
Ok, ci sono + (e molto) -
Grazie!
Vabbé che già quest'esame "esula" dalle capacità della mia mentolina... Il caso della media diversa da zero "esula" dagli scopi di questo esame. Quindi, per la transitiva, il caso della media diversa da zero "esula" e basta... Quando leggo sta parola faccio festa!
Grazie!
Vabbé che già quest'esame "esula" dalle capacità della mia mentolina... Il caso della media diversa da zero "esula" dagli scopi di questo esame. Quindi, per la transitiva, il caso della media diversa da zero "esula" e basta... Quando leggo sta parola faccio festa!
Cosi' per curiosità, sperando che risulti interessante.
L'identità di Wald è molto utile per le compagnie assicurative. Supponiamo che un'impresa di assicurazioni preveda in un esercizio di far fronte ad un numero aleatorio di sinistri $T$ ripartito secondo una distribuzione di Poisson. e che ogni sinistro comporti un risarcimento aleatorio $X$ esponenzialmente distribuito. Assunta l'indipendenza stocastica di tali risarcimenti tra loro e con il numero dei sinistri, il valore medio dell'impegno finanziario dell'impresa è dato da:
$ES_T=ET*EX_1$
dove $S_T=X_1+X_2+...+X_T$ è il risarcimento totale aleatorio con $X_i$ importo aleatorio pagato per l'i-esimo sinistro.
L'identità di Wald è molto utile per le compagnie assicurative. Supponiamo che un'impresa di assicurazioni preveda in un esercizio di far fronte ad un numero aleatorio di sinistri $T$ ripartito secondo una distribuzione di Poisson. e che ogni sinistro comporti un risarcimento aleatorio $X$ esponenzialmente distribuito. Assunta l'indipendenza stocastica di tali risarcimenti tra loro e con il numero dei sinistri, il valore medio dell'impegno finanziario dell'impresa è dato da:
$ES_T=ET*EX_1$
dove $S_T=X_1+X_2+...+X_T$ è il risarcimento totale aleatorio con $X_i$ importo aleatorio pagato per l'i-esimo sinistro.
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