Catena di markov (facile) ma con identità di Wald?
Consideriamo due persons che giocano alla roulette. Sia $A=5$ il capitale del primo giocatore e $B=10$ il capitale del secondo. Se esce rosso il primo riceve dal secondo $1$. Se esce nero il primo paga $1$ al secondo. Se esce zero (verde) si ripete la stessa scommessa. Calcolare con catena di markov e identità di Wald (prima e seconda) che il giocatore col capitale minore vinca e il tempo atteso di gioco.
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Non avendo mai giocato alle roulette sono andato a vedere le prob:
rosso: $18/37$ verde: $1/37$ nero: $18/37$
Ho capito che si tratta di una passeggiata casuale simmetrica. Forse le barriere sono: $a=0$ (perché vuol dire che il primo ha perso tutto e fine del gioco) e $b=15$ (quando il primo giocatore vince tutto e fine del gioco).
Le identità di Wald le ho viste ma non le ho capite.
Potete aiutarmi?
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Non avendo mai giocato alle roulette sono andato a vedere le prob:
rosso: $18/37$ verde: $1/37$ nero: $18/37$
Ho capito che si tratta di una passeggiata casuale simmetrica. Forse le barriere sono: $a=0$ (perché vuol dire che il primo ha perso tutto e fine del gioco) e $b=15$ (quando il primo giocatore vince tutto e fine del gioco).
Le identità di Wald le ho viste ma non le ho capite.
Potete aiutarmi?
Risposte
L'avrò vista sotto un altro nome, mi rinfreschi cosa dice Wald?
EI!
Ecco tutto ciò che ho su queste identità. Niente di più.
Media e varianza so (+ o meno) calcolarle, ma non riesco a connettere il tutto con la catena di markov.
Ecco tutto ciò che ho su queste identità. Niente di più.
Media e varianza so (+ o meno) calcolarle, ma non riesco a connettere il tutto con la catena di markov.
La notazione mi è un po' anonima, $S_n$ sarebbe? x, X? ecc..?
$S_n$ dovrebbe essere la catena di Markov
$S_n = x + X_1 + ... + X_n$ con $n>=1$
Considerando un sistema di prove ripetute che possono essere rappresentate da una successione di variabili aleatorie discrete $X_n$ indipendenti ed equidistribuite.
$x$ dovrebbe essere un numero (€ R) che sarebbe la condizione iniziale del sistema, quindi $S_0 = x$
Per me quella notazione è un po' troppo difficile...
$S_n = x + X_1 + ... + X_n$ con $n>=1$
Considerando un sistema di prove ripetute che possono essere rappresentate da una successione di variabili aleatorie discrete $X_n$ indipendenti ed equidistribuite.
$x$ dovrebbe essere un numero (€ R) che sarebbe la condizione iniziale del sistema, quindi $S_0 = x$
Per me quella notazione è un po' troppo difficile...
la catena va bene, anche le barriere. $A$ parte da $S_0=5$ e deve arrivare a $S_T=15$.
Comincia a calcolare la distribuz asintotica della catena, in particolare $x_15$
Comincia a calcolare la distribuz asintotica della catena, in particolare $x_15$
"luca.barletta":Scusa ancora non sono entrato nella "terminologia appropriata". Che devo fare?
Comincia a calcolare la distribuz asintotica della catena, in particolare $x_15$
Ancora la catena non l'ho fatta. Mi sembra grandina. Le barriere le ho capite.
Riesci a calcolare la prob che si finisca in $X_15$, cioé che vinca il giocatore $A$?
A mente direi $1/3$. Lo dico in base alla pecunia che ha rispetto al totale che c'è.
Aprimi la mente (come hai sempre fatto) ma su ste cose....
Aprimi la mente (come hai sempre fatto) ma su ste cose....
Devo provare a fare la catena e poi la posto. Le informazioni dovrei averle per poterla "disegnare"
in questo caso sei anche fortunato perchè la prob di salire è uguale alla prob di scendere p=q (prob di vincere e perdere in una singola puntata). Scrivere e risolvere le equazioni non dovrebbe essere difficile.
Ma avrò una matrice 10X10? Ma poi una volta fatta che ci servono le identità di Wald secondo te?
Sulla diagonale principale inizio con 1 (in alto a sx) e finisco con 1 (in basso a dx) in mezzo tutti 0 (quando esce il verde non succede nulla).
Il punto in alto a sx sulla diagonale, diciamo $a_0$ dice che A ha zero soldi e finisce.
Il punto in basso a dx sulla diagonale, diciamo $a_("non so")$ dice che A ha vinto tutti i soldi e finisce.
Poi scendendo dall'alto a sx verso il basso a dx (con riferimento ai lati della diagonale) ho q alla sx (0 in mezzo come già detto) e p a dx. Dove q vuol dire che perde e p vince: ossia $p=q=18/37$
Sulla diagonale principale inizio con 1 (in alto a sx) e finisco con 1 (in basso a dx) in mezzo tutti 0 (quando esce il verde non succede nulla).
Il punto in alto a sx sulla diagonale, diciamo $a_0$ dice che A ha zero soldi e finisce.
Il punto in basso a dx sulla diagonale, diciamo $a_("non so")$ dice che A ha vinto tutti i soldi e finisce.
Poi scendendo dall'alto a sx verso il basso a dx (con riferimento ai lati della diagonale) ho q alla sx (0 in mezzo come già detto) e p a dx. Dove q vuol dire che perde e p vince: ossia $p=q=18/37$
Anzi mi sbagliavo sulla diagonale!
Non so quante righe e colonne adottare... Ma la struttura penso sia questa:
$P= ((1, 0, 0, 0,0), (18/37, 1/37, 18/37, 0,0), (0, 18/37, 1/37, 18/37,0), (0,0, 18/37, 1/37, 18/37), (0,0, 0, 0, 1))$
Non so quante righe e colonne adottare... Ma la struttura penso sia questa:
$P= ((1, 0, 0, 0,0), (18/37, 1/37, 18/37, 0,0), (0, 18/37, 1/37, 18/37,0), (0,0, 18/37, 1/37, 18/37), (0,0, 0, 0, 1))$
Forse è una matrice 15X15. Ma, a prescindere dalla matrice, dovrei con la prima identità di Wald arrivare a quel $1/3$ + o meno intuitivo. Poi, con la seconda identità, dovrei trovare il tempo medio di gioco. Quindi forse la matrice non mi serve.
La matrice dovrebbe essere 16x16:
da 0, quando perdo il capitale
a 15, quando vinco tutto il capitale.
$T$, se ho ben capito, dovrebbe essere la variabile casuale tempo d'arresto. Pertanto $S_T$ è il capitale quando il gioco termina:
$S_T=5+10=15$ oppure $S_T=0$ per definizione.
Quello che ci interessa è calcolare $ET$, il tempo atteso di gioco:
$ET=(VarS_t)/(VarX)$ per la seconda identità di Wald.
Il calcolo di $VarX$ è facile.
$VarS_T=ES_T^2-ES_T$
$ES_T=5$ per la prima identità di Wald ($x=5$, $EX=0$).
Per trovare $ES_T^2$ occorre conoscere la distribuzione di $S_T$.
Tramite la catena di Markov devi calcolare la probabilità di vincita di A:
$P(S_T=15)$ e da qui ottieni
$ES_T^2=15^2*P(S_T=15)+0*(1-P(S_T=15))$.
Vediamo una procedura per calcolare $P(S_T=15)$.
Sia $pi_(i,j)$ la probabilità che partendo dallo stato transitorio i si entri nello stato permanente j, allora si dimostra che
$Pi=(I-Q)^(-1)S$,
dove $Pi$ è la matrice avente per elementi $pi_(i,j)$,
$I$ matrice identità,
$Q$ matrice che raccoglie le probabilità di transizione tra stati transitori,
$S$ matrice che raccoglie le probabilità di transizione da stati transitori a stati ricorrenti.
A noi ci interesserà $pi_(5,15)=P(S_T=15)$, siamo partiti da un capitale di 5 e si vuole arrivare ad uno di 15.
da 0, quando perdo il capitale
a 15, quando vinco tutto il capitale.
$T$, se ho ben capito, dovrebbe essere la variabile casuale tempo d'arresto. Pertanto $S_T$ è il capitale quando il gioco termina:
$S_T=5+10=15$ oppure $S_T=0$ per definizione.
Quello che ci interessa è calcolare $ET$, il tempo atteso di gioco:
$ET=(VarS_t)/(VarX)$ per la seconda identità di Wald.
Il calcolo di $VarX$ è facile.
$VarS_T=ES_T^2-ES_T$
$ES_T=5$ per la prima identità di Wald ($x=5$, $EX=0$).
Per trovare $ES_T^2$ occorre conoscere la distribuzione di $S_T$.
Tramite la catena di Markov devi calcolare la probabilità di vincita di A:
$P(S_T=15)$ e da qui ottieni
$ES_T^2=15^2*P(S_T=15)+0*(1-P(S_T=15))$.
Vediamo una procedura per calcolare $P(S_T=15)$.
Sia $pi_(i,j)$ la probabilità che partendo dallo stato transitorio i si entri nello stato permanente j, allora si dimostra che
$Pi=(I-Q)^(-1)S$,
dove $Pi$ è la matrice avente per elementi $pi_(i,j)$,
$I$ matrice identità,
$Q$ matrice che raccoglie le probabilità di transizione tra stati transitori,
$S$ matrice che raccoglie le probabilità di transizione da stati transitori a stati ricorrenti.
A noi ci interesserà $pi_(5,15)=P(S_T=15)$, siamo partiti da un capitale di 5 e si vuole arrivare ad uno di 15.
Un po' veloce per me. 
Ok il primo pezzo. Capito.
Ma con la media che è zero la varianza risulta $(18/37)^2$?
Ok il primo pezzo. Capito.
"Piera":
Il calcolo di $VarX$ è facile.
Ma con la media che è zero la varianza risulta $(18/37)^2$?
"Piera":Questa da dove la prendi?
$VarS_T=ES_T^2-ES_T$
X=1 con p=18/37
X=-1 con p=18/37
X=0 con p=1/37
la varianza (in questo modo rispondo anche alla seconda domanda) è data dalla differenza tra il momento di ordine 2 e la media: EX^2-EX, quindi
$VarX= 1^2* 18/37+(-1)^2*18/37=2*18/37$.
X=-1 con p=18/37
X=0 con p=1/37
la varianza (in questo modo rispondo anche alla seconda domanda) è data dalla differenza tra il momento di ordine 2 e la media: EX^2-EX, quindi
$VarX= 1^2* 18/37+(-1)^2*18/37=2*18/37$.
"Piera":
$ES_T^2=15^2*P(S_T=15)+0*(1-P(S_T=15))$.
$ES_T^n = x$ (dalla prima identità di W) Giusto?
quindi si potrebbe dire: $x= 15^2⋅P(S_T=15)$?
$ES_T=x$, ma non il momento doi ordine due, $ES_T^2$.
Ah ok. Quindi con x che è 5 mi da:
$5=15*P(S_t=15)$
$P(S_t=15)=5/15=1/3$ senza fare la matrice
$5=15*P(S_t=15)$
$P(S_t=15)=5/15=1/3$ senza fare la matrice
Bella idea Giova411!
$x=ES_T=15*P(S_T=15)$
$P(S_T=15)=x/15=1/3$.
$x=ES_T=15*P(S_T=15)$
$P(S_T=15)=x/15=1/3$.
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