Calcolo delle probabilità - Vettori aleatori continui

[Falcon2]

Come vedete dal titolo sono ancora immerso nello studio di calcolo delle probabilità, ma sono molto vicino alla fine degli argomenti del corso
Sulla scia dell'ultimo mio thread, questa volta chiedo il vostro aiuto sui vettori aleatori continui e sul calcolo di densità e funzioni di ripartizioni congiunte e marginali.
Con i vettori aleatori discreti non credo di aver problemi mentre ho difficoltà nel capire il legame tra densità/fdr congiunte e marginali, non tanto in linea teorica ma matematica.
Veniamo al dunque: se mi viene data la densità congiunta come ricavo le densità marginali? Specifico che nella teoria si parla in generale di vettori di n elementi, mentre negli esercizi non si superano i due elementi, quindi mi focalizzerei in primis su quelli.
Secondo la teoria che ho studiato:

Se $f_X$ è la desità di un vettore aleatorio n-dimensionale assolutamente continuo $X=(X_i,...,X_n)$ allora $X_i$ è una variabile aleatoria assolutamente continua e la sua densità è
$f_(X i)(x_i)=\int_{RR^(n-1)}^{} f_X(s_1, ..., s_(i-1), x_i, s_(i+1), ..., s_n)...ds_n$

Quindi nel caso di un vettore bidimensionale il tutto si riduce ad un integrale su $RR$, il mio dubbio è però: come faccio a capire i limiti d'integrazione per le varie fdr congiunte?

Prendo un esempio

$f_(X,Y)(x,y)={(\lambda^2e^(-lambday),if 0
Come limiti d'integrazione prenderei 0 e y, quindi per calcolare le densità marginali farei

$f_Y(y)=\int_{0}^{y} \lambda^2e^(-lambday) dx$
$f_X(x)=\int_{0}^{y} \lambda^2e^(-lambday) dy$

Ma i risultati non combaciano con quelli forniti.
Help
Grazie in anticipo

[antrope]

E' ovvio che non combaciano perchè per ottenere una marginale da una densità congiunta bisogna "saturare" l'integrale nell'altra variabile (nel caso di una densità bidimensionale). In parole povere se vogliamo ottenere $ f_x $ da $f_x,y$ basta integrare in $dy$ da meno infinito a piu infinito..

[Falcon2]

Grazie per la risposta
Effettivamente è logico integrare da $-\infty$ a $\infty$ visto che nella teoria si parlava di integrazione su $RR$, solo che non mi quadra come possano risultare (dall'eserciziario) le seguenti densità marginali
$f_X(x)=\lambdae^(-\lambdax)$
e
$f_Y(y)=\lambda^2ye^(-\lambday)$


P.S: Grazie per aver spostato il thread, non avevo visto questa sezione

[_luca.barletta]

Si ha
$f_X(x)=int_x^(+infty) lambda^2e^(-lambday)dy=lambdae^(-lambdax)$
e
$f_Y(y)=int_0^y lambda^2e^(-lambday)dx=lambda^2ye^(-lambday)$

[Falcon2]

Grazie Luca, potresti anche spiegarmi il perché? Cioè come faccio a capire i limiti d'integrazione?

[_luca.barletta]

innanzitutto devi capire qual è la regione in cui integri. Quando calcoli l'integrale in $x$ (per $f_Y$) sai che $0

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[codino75]

"Falcon":Grazie Luca, potresti anche spiegarmi il perché? Cioè come faccio a capire i limiti d'integrazione?

grafiacmente, sul piano xy classico, la zona in cui la prob e' diversa da 0 e' la regione compresa tra la retta y=x e il semiasse positivo delle ordinate.

[Falcon2]

"luca.barletta":innanzitutto devi capire qual è la regione in cui integri. Quando calcoli l'integrale in $x$ (per $f_Y$) sai che $0

Perfetto, credo di aver capito, quindi per esempio se ho densità congiunta
$f_(X,Y)(x,y)={(6/5(x^2+y),text{se 0 allora calcolo le densità marginali con
$f_X(x)=\int_{0}^{1} f_(X,Y)(x,y) dy$
e
$f_Y(y)=\int_{0}^{1} f_(X,Y)(x,y) dx$

Mentre se ho la funzione di ripartizione congiunta ne devo calcolare il limite per estrarre le parziali, per esempio
$F_(X,Y)(x,y)={(0,text{se x<=0 o y<=0}),(1-\lambdaxe^(-\lambday)-e^(-\lambdax),text{se 0 calcolo le fdr parziali con
$F_Y(y)=\lim_{x \to \infty}(1-e^(-\lambday)-\lambdaye^(-\lambday))=1-e^(-\lambday)-\lambdaye^(-\lambday)$
e
$F_X(x)=\lim_{y \to \infty}(1-\lambdaxe^(-\lambday)-e^(-\lambdax))=1-e^(-\lambdax)$

Spero di non aver scritto vaccate

Comunque c'è ancora una cosa che mi è un po' oscura, cioè come calcolare per esempio $f_(X+Y)(x+y)$ (o $f_(1/(X+Y))(1/(x+y))$) partendo da una densità congiunta come
$f_(X,Y)(x,y)={(1/2(x+y)e^(-(x+y)),text{se x,y>0}),(0,text{altrove}):}$

Grazie mille mi state dando un grande aiuto

[codino75]

"Falcon":

Comunque c'è ancora una cosa che mi è un po' oscura, cioè come calcolare per esempio $f_(X+Y)(x+y)$ (o $f_(1/(X+Y))(1/(x+y))$) partendo da una densità congiunta come
$f_(X,Y)(x,y)={(1/2(x+y)e^(-(x+y)),text{se x,y>0}),(0,text{altrove}):}$

Grazie mille mi state dando un grande aiuto

questo e' invero moooooooolto piu' complicato...
di solito la mia esperienza e' che dievi passare attraverso la funzione di ripartizione.

[Falcon2]

Uff non dirmi così che mi spavento
Sull'eserciziario indica
$f_(X+Y)(x+y)=f_(X+Y)(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_(X,Y)(z-y,y) dy = \int_{0}^{z} 1/2ze^(-z) du 1_((0,+\infty))(z) = z/2e^(-z)1_((0,+\infty))(z) \int_{0}^{z} du = z^2/2e^(-z)1_((0,+\infty))(z)

Solo che non ho ben capito che passaggi vengono fatti
Magari è una versione semplificata della teoria generale, o almeno spero
Grazie dell'aiuto

[Falcon2]

Nessuno sa darmi uno mano?

[codino75]

"Falcon":Nessuno sa darmi uno mano?

sono un quasi-ingegnere, non un matematico, quindi avanzo con difficolta' nelle soluzioni analitiche.
cmq, ti consiglio intanto di leggere gli altri 3d simili sulle var. aleatorie che stanno sempre in Statistica e Probabilita', in particolare qsto:
https://www.matematicamente.it/forum/cop ... 29286.html

[elgiovo]

La d.d.p. di una somma di v.a. (in generale dipendenti) è $int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,z-x)dx$. Breve dimostrazione:
$F_(X+Y)(z)=F_(Z)(z)=P{X+Y<=z}=P{Y<=z-X}=int int_(D_(XY)(z))f_(XY)(x,y)dxdy=int_(-oo)^(oo)int_(-oo)^(z-x)f_(XY)(x,y)dy dx$
Derivando, $f_Z(z)=d/(dz)F_Z(z)=int_(-oo)^(oo)d/(dz) int_(-oo)^(z-x)f_(XY)(x,y)dydx=int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,z-x)dx$ $square$

NB: se $X$ e $Y$ sono indipendenti $f_(XY)(x,z-x)=f_X(x)f_Y(z-x)$, dunque ci si riduce al caso arcinoto $f_Z(z)=(f_X ox f_Y)(z)$, dove $ox$ è il prodotto di convoluzione.

[elgiovo]

Per quanto riguarda $Z=1/(X+Y)$ si può procedere nel seguente modo: conosciamo la d.d.p. di $W=X+Y$ (vedi sopra), quindi basta trovare la densità di $Z=g(W)=1/W$.
L'equazione $z=1/w$ ammette l'unica soluzione inversa $w=1/z$. Dal momento che $g'(w)=-1/w^2=-z^2$, per un noto teorema si ha $f_Z(z)=1/z^2f_W(1/z)$.
Poichè $f_W(z)=f_(X+Y)(z)=int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,z-x)dx$, in definitiva [size=150]$f_Z(z)=1/z^2 int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,1/z-x)dx$[/size].

[Falcon2]

Grazie mille dell'estesa spiegazione, ora ho capito il procedimento
Solo un'ultima cosa mi è oscura: come mai nell'esempio che ho indicato l'integrale tra $-\infty$ e $+\infty$ diviene un integrale tra $0$ e $z$?
Capisco lo $0$ visto che nella densità congiunta si ha $x,y>0$ ma non capisco l'estremo superiore posto a $z$

"Falcon":
...
calcolare per esempio $f_(X+Y)(x+y)$ (o $f_(1/(X+Y))(1/(x+y))$) partendo da una densità congiunta come
$f_(X,Y)(x,y)={(1/2(x+y)e^(-(x+y)),text{se x,y>0}),(0,text{altrove}):}$

"Falcon":
Sull'eserciziario indica
$f_(X+Y)(x+y)=f_(X+Y)(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_(X,Y)(z-y,y) dy = \int_{0}^{z} 1/2ze^(-z) du 1_((0,+\infty))(z) = z/2e^(-z)1_((0,+\infty))(z) \int_{0}^{z} du = z^2/2e^(-z)1_((0,+\infty))(z)

Grazie ancora

[elgiovo]

Hai $f_(XY)(z-y,y)=1/2(z-y+y)e^(-(z-y+y))1_((0,+oo))(y) 1_((0,+oo))(z-y)=z/2 e^(-z) 1_((0,z))(y) 1_((0,+oo))(z)$.
Aiutati visualizzando graficamente il prodotto $1_((0,+oo))(y) cdot 1_((0,+oo))(z-y)$.

[Falcon2]

Scusa elgiovo mi sfugge proprio il passaggio da $1/2(z-y+y)e^(-(z-y+y))1_((0,+oo))(y)$ a $z/2 e^(-z) 1_((0,z))(y)$
Non tanto la semplificazione ma da $1_((0,+oo))(y)$ a $1_((0,z))(y)$.

[elgiovo]

Come ti ho detto sopra ti conviene visualizzare graficamente $1_((0,+oo))(y) cdot 1_((0,+oo))(z-y)$ in un piano dove $y$ è l'ascissa e $z$ è un parametro.
$1_((0,+oo))(y)$ è il cosiddetto "gradino unitario", che vale $0$ per $y<0$ e $1$ per $y>0$. Analogamente, $1_((0,+oo))(z-y)$ è un gradino unitario, ma ribaltato rispetto all'altro asse (per intenderci, non quello delle $y$), e "shiftato" a destra di $z$. In formule, $1_((0,+oo))(z-y)={(1,yz):}$. Il prodotto dei due gradini è un "rettangolo" esteso da $0$ a $z$, ovvero $1_((0,z))(y)$. Inoltre devi considerare che se $z<0$ questo rettangolo non c'è (i supporti dei gradini sono disgiunti), quindi il prodotto definitivo è $1_((0,z))(y)cdot1_((0,+oo))(z)$.

[KaranSjet]

Salve a tutti .
Riporto in auge questo topic per tentare di risolvere un esercizio (credo piuttosto banale) molto vicino al tema di questo thread e che mi sta facendo scervellare. Purtroppo mi sono trovato a dover preparare da solo l'esame di probabilità e quindi alcune cose mi sono oscure, specie sui vettori aleatori.
Posto il famigerato esercizio:

Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio con distribuzione uniforme $f(x,y)=k$ sul trapezio isoscele che ha la base maggiore, sull'asse x, di lunghezza 2, base minore di lunghezza 1 e altezza pari a $1/2$. Determinare $k$, la densità $ f_X(x)$ di $X$ e la funzione di ripartizione $F_Y(y)$ di $Y$.

Ho ricavato $ k$ facendo l'inverso dell'area del trapezio: $ (1/((a+c)/(2)*h)=4/3)$. Ho fatto l'inverso perché l'avevo visto in un esercizio precedentemente svolto, ma mi piacerebbe sapere perché è necessario farlo.

Disegnando il trapezio è facile ricavare quattro punti dell'asse x: $0$, $1/2$ (proiezione del primo lato obliquo sulla base maggiore), $3/2$ (proiezione della base minore sulla base maggiore) e $2$.
Dunque avremo i seguenti estremi: $\{(0

[elgiovo]

Deve essere $int int_T f_(XY)(x,y)"d"x"d"y=|T|*k=1$, da cui $k=1/(|T|)$, dove con $T$ intendo il trapezio, con $|T|$ la sua area (misura).
Per ottenere $f_X(x)$ devi compiere un'operazione di "saturazione" rispetto a $f_(XY)(x,y)$. Immagina di dover integrare $f_(XY)(x,y)$ sul trapezio: l'integrale è $int_0^(1/2)int_(y-1)^(1-y)4/3"d"x"d"y$. La marginale si ottiene togliendo l'intagrale rispetto a $x$: $f_(X)(x)={(int_0^(x+1)4/3 "d"y,-1

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[KaranSjet]

Grazie per la risposta .
Il problema è che il risultato dell'esercizio è il seguente:
$\{((4/3)*x, 0 I risultati sulla sinistra non so da dove ottenerli. Forse sbaglio ancora negli estremi degli integrali?