Calcolo delle probabilità - Vettori aleatori continui
Come vedete dal titolo sono ancora immerso nello studio di calcolo delle probabilità, ma sono molto vicino alla fine degli argomenti del corso 
Sulla scia dell'ultimo mio thread, questa volta chiedo il vostro aiuto sui vettori aleatori continui e sul calcolo di densità e funzioni di ripartizioni congiunte e marginali.
Con i vettori aleatori discreti non credo di aver problemi mentre ho difficoltà nel capire il legame tra densità/fdr congiunte e marginali, non tanto in linea teorica ma matematica.
Veniamo al dunque: se mi viene data la densità congiunta come ricavo le densità marginali? Specifico che nella teoria si parla in generale di vettori di n elementi, mentre negli esercizi non si superano i due elementi, quindi mi focalizzerei in primis su quelli.
Secondo la teoria che ho studiato:
Se $f_X$ è la desità di un vettore aleatorio n-dimensionale assolutamente continuo $X=(X_i,...,X_n)$ allora $X_i$ è una variabile aleatoria assolutamente continua e la sua densità è
$f_(X i)(x_i)=\int_{RR^(n-1)}^{} f_X(s_1, ..., s_(i-1), x_i, s_(i+1), ..., s_n)...ds_n$
Quindi nel caso di un vettore bidimensionale il tutto si riduce ad un integrale su $RR$, il mio dubbio è però: come faccio a capire i limiti d'integrazione per le varie fdr congiunte?
Prendo un esempio
$f_(X,Y)(x,y)={(\lambda^2e^(-lambday),if 0
Come limiti d'integrazione prenderei 0 e y, quindi per calcolare le densità marginali farei
$f_Y(y)=\int_{0}^{y} \lambda^2e^(-lambday) dx$
$f_X(x)=\int_{0}^{y} \lambda^2e^(-lambday) dy$
Ma i risultati non combaciano con quelli forniti.
Help
Grazie in anticipo
Sulla scia dell'ultimo mio thread, questa volta chiedo il vostro aiuto sui vettori aleatori continui e sul calcolo di densità e funzioni di ripartizioni congiunte e marginali.
Con i vettori aleatori discreti non credo di aver problemi mentre ho difficoltà nel capire il legame tra densità/fdr congiunte e marginali, non tanto in linea teorica ma matematica.
Veniamo al dunque: se mi viene data la densità congiunta come ricavo le densità marginali? Specifico che nella teoria si parla in generale di vettori di n elementi, mentre negli esercizi non si superano i due elementi, quindi mi focalizzerei in primis su quelli.
Secondo la teoria che ho studiato:
Se $f_X$ è la desità di un vettore aleatorio n-dimensionale assolutamente continuo $X=(X_i,...,X_n)$ allora $X_i$ è una variabile aleatoria assolutamente continua e la sua densità è
$f_(X i)(x_i)=\int_{RR^(n-1)}^{} f_X(s_1, ..., s_(i-1), x_i, s_(i+1), ..., s_n)...ds_n$
Quindi nel caso di un vettore bidimensionale il tutto si riduce ad un integrale su $RR$, il mio dubbio è però: come faccio a capire i limiti d'integrazione per le varie fdr congiunte?
Prendo un esempio
$f_(X,Y)(x,y)={(\lambda^2e^(-lambday),if 0
Come limiti d'integrazione prenderei 0 e y, quindi per calcolare le densità marginali farei
$f_Y(y)=\int_{0}^{y} \lambda^2e^(-lambday) dx$
$f_X(x)=\int_{0}^{y} \lambda^2e^(-lambday) dy$
Ma i risultati non combaciano con quelli forniti.
Help
Grazie in anticipo
Risposte
Dal testo non era chiaro dove fosse posizionato il trapezio: io l'avevo inteso simmetrico rispetto all'asse $y$, invece sta tutto sul primo quadrante; questo conta poco, il metodo è sempre lo stesso: saturando rispetto a $y$ si trova $f_X(x)={(int_0^x 4/3 "d"y, 0
Grazie ancora elgiovo, davvero molto gentile .
L'unica cosa che non capisco è cosa significhi saturare. In particolare, come hai fatto a prendere proprio quegli estremi di integrazione?
.L'unica cosa che non capisco è cosa significhi saturare. In particolare, come hai fatto a prendere proprio quegli estremi di integrazione?
Data la distribuzione congiunta $f_(XY)(x,y)$, le marginali si ottengono per "saturazione" rispetto all'altra variabile: $f_X(x)=int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,y)"d"y$ e $f_Y(y)=int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,y)"d"y$. Nel tuo caso, per ottenere $f_X(x)$, devi saturare sul trapezio rispetto a $y$. Se $0
Credo di aver capito 
.
Gli estremi di integrazione, sia nel caso di $ f_X(x)$ sia in quello di $f_Y(y)$, altro non sono che le equazioni che "delimitano" i confini del trapezio. Mi spiego meglio.
Nel caso di $ f_X(x)$ abbiamo che se $0
Ora, c'è per caso un modo più rapido per ottenere simili estremi senza ricorrere al grafico?
Infine, non so perché ma l'esercizio come risultato da che la funzione di ripartizione è $F_Y(y)=(4/3)*(2-y)*y$, solo che svolgendo l''integrale che mi hai segnalato mi viene $f_Y(y)=(4/3)*(2-2y)$.
Grazie ancora .
EDIT: Chiedo scusa, ma l'integrale che mi ha segnalato (e che ho risolto) è $f_Y(y)$, non $F_Y(y)$. Tuttavia non riesco a svolgere, per la presenza dell'infinito come estremo, l'integrale $\int_-infty^y(4/3)*(2-2y)dω$.
.Gli estremi di integrazione, sia nel caso di $ f_X(x)$ sia in quello di $f_Y(y)$, altro non sono che le equazioni che "delimitano" i confini del trapezio. Mi spiego meglio.
Nel caso di $ f_X(x)$ abbiamo che se $0
Ora, c'è per caso un modo più rapido per ottenere simili estremi senza ricorrere al grafico?
Infine, non so perché ma l'esercizio come risultato da che la funzione di ripartizione è $F_Y(y)=(4/3)*(2-y)*y$, solo che svolgendo l''integrale che mi hai segnalato mi viene $f_Y(y)=(4/3)*(2-2y)$.
Grazie ancora
.EDIT: Chiedo scusa, ma l'integrale che mi ha segnalato (e che ho risolto) è $f_Y(y)$, non $F_Y(y)$. Tuttavia non riesco a svolgere, per la presenza dell'infinito come estremo, l'integrale $\int_-infty^y(4/3)*(2-2y)dω$.
Ok, direi che ci sei. Mantengo ancora qualche sorta di potere comunicativo. 
"Delimitato" e "saturato" però non si somigliano nemmeno da lontano.. Da definizione, $F_(XY)(x,y)=P[X<=x,Y<=y]=int_(-oo)^x int_(-oo)^y f_(XY)(x,y)"d"x"d"y$. Ora, se $y to oo$, $F_(XY)(x,oo)=P[X<=x,Y<=oo]=P[X<=x]=F_X(x)=int_(-oo)^x int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,y)"d"y"d"x$. Derivando (applicando l'operatore $(del)/(delx)$ agli ultimi due membri), si ha $f_X(x)=int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,y)"d"y$. Per "saturazione" della d.d.p. congiunta si intende proprio questo; l'evento $Y<=oo$ è certo.
Non ti devi preoccupare dell'$oo$: infatti in questo caso la $f_Y(y)$ è nulla per $y<=0$, quindi $F_Y(y)=int_(-oo)^y f_Y(omega)"d"omega=int_0^y f_Y(omega)"d"omega$.
"Delimitato" e "saturato" però non si somigliano nemmeno da lontano.. Da definizione, $F_(XY)(x,y)=P[X<=x,Y<=y]=int_(-oo)^x int_(-oo)^y f_(XY)(x,y)"d"x"d"y$. Ora, se $y to oo$, $F_(XY)(x,oo)=P[X<=x,Y<=oo]=P[X<=x]=F_X(x)=int_(-oo)^x int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,y)"d"y"d"x$. Derivando (applicando l'operatore $(del)/(delx)$ agli ultimi due membri), si ha $f_X(x)=int_(-oo)^(oo)f_(XY)(x,y)"d"y$. Per "saturazione" della d.d.p. congiunta si intende proprio questo; l'evento $Y<=oo$ è certo.
Non ti devi preoccupare dell'$oo$: infatti in questo caso la $f_Y(y)$ è nulla per $y<=0$, quindi $F_Y(y)=int_(-oo)^y f_Y(omega)"d"omega=int_0^y f_Y(omega)"d"omega$.
Grazie per la spiegazione davvero esauriente .
Ti chiedo ancora un po' di pazienza, ma purtroppo ho pochi giorni per prepararmi sui numeri aleatori e tra un ripasso e un altro non è facile affrontare un argomento simile. C'è un altro esercizio che non riesco a risolvere :
Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio con densità congiunta:
${(kxy, (x,y) in A),(text{0, altrove}, ):}$
essendo $A={(x,y): 2<=x<=4,2<=y<=4}$. Determinare la costante $k$ e la previsione di $Z=1/(X*Y)$.
La costante non riesco a trovarla, a causa della presenza di x e y nella densità congiunta, mentre non ho ancora affrontato la previsione.
.Ti chiedo ancora un po' di pazienza, ma purtroppo ho pochi giorni per prepararmi sui numeri aleatori e tra un ripasso e un altro non è facile affrontare un argomento simile. C'è un altro esercizio che non riesco a risolvere
:Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio con densità congiunta:
${(kxy, (x,y) in A),(text{0, altrove}, ):}$
essendo $A={(x,y): 2<=x<=4,2<=y<=4}$. Determinare la costante $k$ e la previsione di $Z=1/(X*Y)$.
La costante non riesco a trovarla, a causa della presenza di x e y nella densità congiunta, mentre non ho ancora affrontato la previsione.
Per quanto riguarda $k$, si trova così: $int int_(RR^2) f_(XY)(x,y)"d"x"d"y=int int_(A) f_(XY)(x,y)"d"x"d"y=1$ (a proposito, sai perchè quell'integrale vale $1$, vero??).
Non so cosa intendi per "previsione". Probabilmente si tratta del valore atteso; se è così, allora l'esercizio si risolve in $4+4=8$ dal momento che $E[1/(X*Y)]=int int_(RR^2) 1/(xy)* f_(XY)(x,y)"d"x"d"y=int int_A k "d"x"d"y=k*|A|$.
Non so cosa intendi per "previsione". Probabilmente si tratta del valore atteso; se è così, allora l'esercizio si risolve in $4+4=8$ dal momento che $E[1/(X*Y)]=int int_(RR^2) 1/(xy)* f_(XY)(x,y)"d"x"d"y=int int_A k "d"x"d"y=k*|A|$.
Riguardo l'integrale della funzione $f_(XY)(x,y)$, non è uguale ad $1$ perché l'integrale di qualunque densità sul suo intervallo di definizione (l'area del quadrato, in questo caso) deve fare sempre $1$?
Tuttavia non capisco gli estremi dell'integrale che mi hai segnalato; c'è solo $ A$. Avevo già provato a trovare $ k$ con questo metodo, facendo:
$\int_{2}^{4}int_{2}^{4}(kxy) dxdy$ . Ma il risultato non è esatto. Perché la matematica non può modificarsi in base alle mie esigenze? Non è giusto
.
Sulla previsione hai perfettamente ragione: il risultato è identico a quello della soluzione.
Tuttavia non capisco gli estremi dell'integrale che mi hai segnalato; c'è solo $ A$. Avevo già provato a trovare $ k$ con questo metodo, facendo:
$\int_{2}^{4}int_{2}^{4}(kxy) dxdy$ . Ma il risultato non è esatto. Perché la matematica non può modificarsi in base alle mie esigenze? Non è giusto
.Sulla previsione hai perfettamente ragione: il risultato è identico a quello della soluzione.
"KaranSjet":
Riguardo l'integrale della funzione $f_(XY)(x,y)$, non è uguale ad $1$ perché l'integrale di qualunque densità sul suo intervallo di definizione deve fare sempre $1$?
Immagino che tu sappia anche il perchè di questo, comunque è ok.
"KaranSjet":
Tuttavia non capisco gli estremi dell'integrale che mi hai segnalato; c'è solo $ A$. Avevo già provato a trovare $ k$ con questo metodo, facendo:
$\int_{2}^{4}int_{2}^{4}(kxy) dxdy$ . Ma il risultato non è esatto.
L'integrale è corretto. Ti anticipo che $k=1/36$.
Perché la matematica non può modificarsi in base alle mie esigenze? Non è giusto
Povera Matematica... Dopotutto è un pò la schiava delle nostre esigenze: le abbiamo imposto poco fa di dirci il valore esatto di $k$... Essendo schiava, però, è donna, e come tutte le donne va saputa trattare: nel tuo caso si è vendicata facendoti sbagliare i conti
Sulla previsione hai perfettamente ragione: il risultato è identico a quello della soluzione.
Bene! Che dite, aggiungiamo "previsione" sulla pagina di Wikipedia?
Grazie ancora per il tuo aiuto .
Guarda, sulla previsione ti sembrerà incredibile ma è il mio Prof. che usa questo termine. E continua ad usarlo, visto che negli ultimi appelli compare. Non sapevo fosse un termine così "strano"!
Ti chiedo il tuo pare su un ultimo (spero) esercizio:
Dato un vettore aleatorio $ (X,Y)$ con distribuzione uniforme sul cerchio unitario, calcolare la probabilità dell'evento $E={-1/3<=x<=1/3, -2/3<=y<=2/3}$ .
Non è difficile, ma ciò che non riesco a capire è il procedimento per calcolare la probabilità. Ho controllato sui miei appunti e sul libro, ma non sono riuscito a trovare chiare indicazioni. Eppure credo che sia molto importante, visto che la probabilità compare in molti altri esercizi sui vettori aleatori.
.Guarda, sulla previsione ti sembrerà incredibile ma è il mio Prof. che usa questo termine. E continua ad usarlo, visto che negli ultimi appelli compare. Non sapevo fosse un termine così "strano"!
Ti chiedo il tuo pare su un ultimo (spero) esercizio:
Dato un vettore aleatorio $ (X,Y)$ con distribuzione uniforme sul cerchio unitario, calcolare la probabilità dell'evento $E={-1/3<=x<=1/3, -2/3<=y<=2/3}$ .
Non è difficile, ma ciò che non riesco a capire è il procedimento per calcolare la probabilità. Ho controllato sui miei appunti e sul libro, ma non sono riuscito a trovare chiare indicazioni. Eppure credo che sia molto importante, visto che la probabilità compare in molti altri esercizi sui vettori aleatori.
Il solito integrale doppio: $P[E]=P[(X,Y) in D]=int int_Df_(XY)(x,y)"d"x"d"y$, dove $D={(x,y) in RR^2 : -1/3
Elgiovo, avrei un quesito da sottoporti:
Un vettore aleatorio $(X,Y)$ ha distribuzione uniforme su $C=[1,3]x[0,1]$. Calcolare le funzioni di ripartizione marginali $F_X$, $F_Y$ e la probabilità dell'evento condizionato $E|H$, con $E=(Y-X<0)$, $H=(X<2)$.
Mi interessa la parte in grassetto. Purtroppo non so come iniziare; la presenza della disequazione nei due eventi mi confonde non poco, visto che non è presente un dominio "identificabile" come nel caso precedente.
Inutile dirti che per la comprensione dei vettori aleatori, per me sei stato preziosissimo .
Un vettore aleatorio $(X,Y)$ ha distribuzione uniforme su $C=[1,3]x[0,1]$. Calcolare le funzioni di ripartizione marginali $F_X$, $F_Y$ e la probabilità dell'evento condizionato $E|H$, con $E=(Y-X<0)$, $H=(X<2)$.
Mi interessa la parte in grassetto. Purtroppo non so come iniziare; la presenza della disequazione nei due eventi mi confonde non poco, visto che non è presente un dominio "identificabile" come nel caso precedente.
Inutile dirti che per la comprensione dei vettori aleatori, per me sei stato preziosissimo
.
Senza troppi conti direi che $P[E|H]=1$, visto che il dominio $C$ si trova interamente al di sotto della retta $y=x$. Il fatto che $X<2$ non influenza un granchè la probabilità, infatti ciò che si verifica è uno "spostarsi" della densità da $[2,3]times[0,1]$ a $[1,2]times[0,1]$.
Ok, grazie . Se avessi dovuto fare dei conti, come avrei dovuto procedere? A tuo avviso posso applicare il metodo intuitivo in tutti i casi?
EDIT: Potresti darmi le formule generali per trovare le funzioni di ripartizione marginali?
. Se avessi dovuto fare dei conti, come avrei dovuto procedere? A tuo avviso posso applicare il metodo intuitivo in tutti i casi?EDIT: Potresti darmi le formule generali per trovare le funzioni di ripartizione marginali?
Io avrei calcolato tramite intagrali doppi $P[E|H]=(P[E cap H])/(P[H])$. Il metodo intuitivo non può funzionare sempre, ad esempio se il dominio $C$ fosse stato intersecato dalla retta $y=x$ si sarebbe dovuto procedere per calcoli.
Venendo alla seconda domanda, cominci a stancarmi. Devi saturare!
$F_X(x)=F_(XY)(x,oo)=int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^x f_(XY)(xi,y)"d"xi"d"y$;
$F_Y(y)=F_(XY)(oo,y)=int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^y f_(XY)(x,omega)"d"omega "d"x$.
Venendo alla seconda domanda, cominci a stancarmi.
Devi saturare!$F_X(x)=F_(XY)(x,oo)=int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^x f_(XY)(xi,y)"d"xi"d"y$;
$F_Y(y)=F_(XY)(oo,y)=int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^y f_(XY)(x,omega)"d"omega "d"x$.
"elgiovo":
Venendo alla seconda domanda, cominci a stancarmi.
$F_X(x)=F_(XY)(x,oo)=int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^x f_(XY)(xi,y)"d"xi"d"y$;
$F_Y(y)=F_(XY)(oo,y)=int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^y f_(XY)(x,omega)"d"omega "d"x$.
Perdonami ancora Elgiovo, ma temo che il mio punto debole stia proprio qui. Il primo integrale tra $-oo$ e $+oo$, come faccio a risolverlo? Quali estremi vanno inseriti? Ti chiedo questo perché nel caso delle funzioni di ripartizione, non ho capito come va condotta la saturazione.
Grazie
.
Essendo il dominio $C$ rettangolare è facilissimo integrare:
$F_X(x)={(0,x<1),(int_(1)^x int_0^1 1/(|C|)"d"y "d"xi,13):}$
mentre
$F_Y(y)={(0,y<0),(int_0^y int_1^3 1/(|C|)"d"x"d"omega,01):}$
$F_X(x)={(0,x<1),(int_(1)^x int_0^1 1/(|C|)"d"y "d"xi,1
mentre
$F_Y(y)={(0,y<0),(int_0^y int_1^3 1/(|C|)"d"x"d"omega,0
Esame egregiamente superato .
Elgiovo, ti ringrazio per i tuoi aiuti; una parte del mio successo appartiene probabilmente a te .
.Elgiovo, ti ringrazio per i tuoi aiuti; una parte del mio successo appartiene probabilmente a te
.
"KaranSjet":
Esame egregiamente superato
Bene!
"KaranSjet":
una parte del mio successo appartiene probabilmente a te
In tal caso, calcola questa probabilità. Nel frattempo, io calcolo i dindini che mi devi... Se non paghi, sappi che invierò i miei cecchini.
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