Calcolo combinatorio, piccolo aiuto!
Un saluto a tutti.
Premesso che conosco una solo formula di calcolo combinatorio e cioè C n,k = n! / k! (n-k)!, volevo sapere come fare per risolvere un piccolo calcoletto
:
Prendiamo a prestito il classico superenalotto, vorrei sapere quante combinazioni esistono di una cifra di 6 numeri prendendo 2 numeri per ogni decina fino a 90 e combinandole tra loro, ovvero quanti 6 ci sono in 90 numeri che siano formati da 1 o al massimo 2 numeri per ogni decina?, in realtà non voglio giocare al superenalotto ma ad una domanda di un amico, io che mastico un pò la matematica sono rimasto bloccato. L'unica cosa che mi è venuta in mente è stato sostituire n al numeratore con 45 (numero di coppie possibili in 10 numeri) moltiplicato 9 volte. Mi sono spiegato?
Premesso che conosco una solo formula di calcolo combinatorio e cioè C n,k = n! / k! (n-k)!, volevo sapere come fare per risolvere un piccolo calcoletto
:Prendiamo a prestito il classico superenalotto, vorrei sapere quante combinazioni esistono di una cifra di 6 numeri prendendo 2 numeri per ogni decina fino a 90 e combinandole tra loro, ovvero quanti 6 ci sono in 90 numeri che siano formati da 1 o al massimo 2 numeri per ogni decina?, in realtà non voglio giocare al superenalotto ma ad una domanda di un amico, io che mastico un pò la matematica sono rimasto bloccato. L'unica cosa che mi è venuta in mente è stato sostituire n al numeratore con 45 (numero di coppie possibili in 10 numeri) moltiplicato 9 volte. Mi sono spiegato?
Risposte
Ehm... non molto. 
Vediamo se ho capito qualcosa: vuoi sapere quante sono le combinazioni di sestine di numeri, da 1 a 90, che non hanno più di tre numeri per ogni decina (le decine sono 1..10, 11..20, ..., 81..90)? Per esempio una sestina "non valida" è 1-2-3-89-90 oppure 11-15-19-20-45?
Se ho capito: devi calcolare il numero di queste sestine e toglierlo dal totale, ottenendo quelle che ti interessano, formate da 1 o al massimo 2 numeri per ogni decina.
Vediamo se ho capito qualcosa: vuoi sapere quante sono le combinazioni di sestine di numeri, da 1 a 90, che non hanno più di tre numeri per ogni decina (le decine sono 1..10, 11..20, ..., 81..90)? Per esempio una sestina "non valida" è 1-2-3-89-90 oppure 11-15-19-20-45?
Se ho capito: devi calcolare il numero di queste sestine e toglierlo dal totale, ottenendo quelle che ti interessano, formate da 1 o al massimo 2 numeri per ogni decina.
esatto... , massimo 1 o 2 numeri per ogni decina....
1 3 15 26 56 78 valida
5 16 17 48 67 69 valida
1 2 3 45 67 78 89 non valida
13 34 37 39 45 79 non valida
quindi come si calcolano le combinazioni possibili di sestine con non più di 2 numeri per ogni decina?
, massimo 1 o 2 numeri per ogni decina....1 3 15 26 56 78 valida
5 16 17 48 67 69 valida
1 2 3 45 67 78 89 non valida
13 34 37 39 45 79 non valida
quindi come si calcolano le combinazioni possibili di sestine con non più di 2 numeri per ogni decina?
Proviamo a contare.
Inizio io, metodo 1: le combinazioni totali sono tutte le possibili meno quelle con 3, 4 o 5 numeri per decina;
ci sono 9 decine (1..10, 11..20...);
con la prima decina puoi fare
- 1-2-3-*-*-* con le combinazioni dei restanti 87 numeri
- 1-2-4-*-*-* come sopra (restano 86 numeri)
e prosegui fino a
- 8-9-10-*-*-* con le combinazioni di 80 numeri;
Con la seconda decina puoi fare
- 11-12-13-*-*-* con le combinazioni di 77 numeri
eccetera. Prova a continuare.
"A naso" credo ci sia anche un metodo più semplice, ora non mi viene ma sono abituato ad affrontare questi problemi in maniera "stupida" (od ingenuna, se preferisci). E poi non è detto che sia così terribile il metodo da me descritto, né tantomeno che non porti ad una formula elegante, semplificandolo.
Inizio io, metodo 1: le combinazioni totali sono tutte le possibili meno quelle con 3, 4 o 5 numeri per decina;
ci sono 9 decine (1..10, 11..20...);
con la prima decina puoi fare
- 1-2-3-*-*-* con le combinazioni dei restanti 87 numeri
- 1-2-4-*-*-* come sopra (restano 86 numeri)
e prosegui fino a
- 8-9-10-*-*-* con le combinazioni di 80 numeri;
Con la seconda decina puoi fare
- 11-12-13-*-*-* con le combinazioni di 77 numeri
eccetera. Prova a continuare.
"A naso" credo ci sia anche un metodo più semplice, ora non mi viene ma sono abituato ad affrontare questi problemi in maniera "stupida" (od ingenuna, se preferisci). E poi non è detto che sia così terribile il metodo da me descritto, né tantomeno che non porti ad una formula elegante, semplificandolo.
aspetta non ti seguo...allora le combinazioni totali sono tutte meno quelle con 3 4 5 ma anche 6 numeri per decina, cioè 1 2 3 4 5 6 non è valida, 1 2 3 4 5 7 ecc..manco.
poi abbiamo detto massimo 2 numeri per decina quindi verrà: 1 -2 con la combinazione dei restanti numeri, ma neanche questo è vero, perchè abbiamo detto massimo due numeri, quindi in realtà bisognerebbe iniziare con:
1-2-11-12-21-22 poi
1-2-11-12-21-23 con i restanti numeri
ma ci sarà una formula ......aiutoooooooooooooooooooooo
poi abbiamo detto massimo 2 numeri per decina quindi verrà: 1 -2 con la combinazione dei restanti numeri, ma neanche questo è vero, perchè abbiamo detto massimo due numeri, quindi in realtà bisognerebbe iniziare con:
1-2-11-12-21-22 poi
1-2-11-12-21-23 con i restanti numeri
ma ci sarà una formula ......aiutoooooooooooooooooooooo
Viene 72090.
A meno
che io non abbia sbagliato.
Ho fatto così:
10*9=90 numero di coppie in una decina di numeri
90*89 = 8010 numero di coppie papabili in ogni decina
8010*9 = 72090 numero di coppie papabili in 9 decine ( da 1 a 90)
correggetemi se ho sbagliato.
saluti
A meno
che io non abbia sbagliato.
Ho fatto così:
10*9=90 numero di coppie in una decina di numeri
90*89 = 8010 numero di coppie papabili in ogni decina
8010*9 = 72090 numero di coppie papabili in 9 decine ( da 1 a 90)
correggetemi se ho sbagliato.
saluti
trovata la soluzione!!!
Allora, primo calcolo: quanti ambi ci sono in 10 numeri? 45
secondo calcolo: quante decine ci sono? 9 (1...10, 11...20, 21...30, ecc..)
terzo calcolo: quante combinazioni di 3 decine si possono fare (es. 1a, 2a, 3a, poi 1a, 2a, 4a, ecc..): (ogni combinazione di 3 decine contiene una sestina) 84
quarto calcolo: quante sestine ci sono in una combinazione di 3 decine: 45*45*45 =91.125
per concludere 91.125 * 84= 7.654.500 che è il risultato finale
Ho provato a vedere le uscite del superenalotto: nelle ultime 33 estrazioni questo metodo sarebbe risultato vincente 31 volte!!!
Allora, primo calcolo: quanti ambi ci sono in 10 numeri? 45
secondo calcolo: quante decine ci sono? 9 (1...10, 11...20, 21...30, ecc..)
terzo calcolo: quante combinazioni di 3 decine si possono fare (es. 1a, 2a, 3a, poi 1a, 2a, 4a, ecc..): (ogni combinazione di 3 decine contiene una sestina) 84
quarto calcolo: quante sestine ci sono in una combinazione di 3 decine: 45*45*45 =91.125
per concludere 91.125 * 84= 7.654.500 che è il risultato finale
Ho provato a vedere le uscite del superenalotto: nelle ultime 33 estrazioni questo metodo sarebbe risultato vincente 31 volte!!!
"Joe Foker":
Ho provato a vedere le uscite del superenalotto: nelle ultime 33 estrazioni questo metodo sarebbe risultato vincente 31 volte!!!
Di superenalotto, troverai altri topic in merito.
Senza entrare nel merito del calcolo puro, ma secondo te, è possibile che giocando circa l' 1% delle colonne (7M / 622M), risulti essere vincitore 31 volte su 33 ?
Anche a me c'è qualcosa che non torna, ora provo a calcolare con il metodo che ho indicato, che mi sembra corretto.
EDIT. Aggiornamento con calcoli.
Le combinazioni di cui parlavo - se non ho sbagliato a calcolare - sono circa 27 milioni, ovvero il 4.3% circa del totale. Quindi la possibilità che NON vengano queste combinazioni è di circa il 95,7%; questo dato è perfettamente in linea con il fatto che 31 volte su 33 la sestina estratta fosse del tipo "ci sono al massimo due numeri per decina".
Ovviamente, attendo conferme o smentite.
EDIT. Aggiornamento con calcoli.
Le combinazioni di cui parlavo - se non ho sbagliato a calcolare - sono circa 27 milioni, ovvero il 4.3% circa del totale. Quindi la possibilità che NON vengano queste combinazioni è di circa il 95,7%; questo dato è perfettamente in linea con il fatto che 31 volte su 33 la sestina estratta fosse del tipo "ci sono al massimo due numeri per decina".
Ovviamente, attendo conferme o smentite.
allora aggiungo anche io un edit:
il calcolo che ho fatto è si giusto ma è parziale: cioè ho calcolato soltanto le possibilità che le sestine abbiano 3 coppie di numeri per ogni decina, del tipo:
1-2-12-13-23-24 oppure
4-5-14-16-45-46 ecc..
a questo calcolo parziale si devono aggiungere tutte le sestine formate da
1 numero solo di una decina con
1 numero solo di un'altra decina e con
2 numeri di una terza decina e con
2 numeri di un'altra decina ancora
oppure con
1 numero di 6 decione differenti
oppure ancora con
4 numeri di 4 decine differenti e
2 numeri di una sola decina
quindi ci sono ancora altre milioni di possibilità, ora provo a calcolarle con lo stesso metodo ma il numero effettivamente aumenta di parecchio...
il calcolo che ho fatto è si giusto ma è parziale: cioè ho calcolato soltanto le possibilità che le sestine abbiano 3 coppie di numeri per ogni decina, del tipo:
1-2-12-13-23-24 oppure
4-5-14-16-45-46 ecc..
a questo calcolo parziale si devono aggiungere tutte le sestine formate da
1 numero solo di una decina con
1 numero solo di un'altra decina e con
2 numeri di una terza decina e con
2 numeri di un'altra decina ancora
oppure con
1 numero di 6 decione differenti
oppure ancora con
4 numeri di 4 decine differenti e
2 numeri di una sola decina
quindi ci sono ancora altre milioni di possibilità, ora provo a calcolarle con lo stesso metodo ma il numero effettivamente aumenta di parecchio...
"Rggb":
Ovviamente, attendo conferme o smentite.
Anche il mio calcolo andrebbe verificato:
Ho calcolato le combinazioni con frequenza 1 decina (ovvero 6 numeri della stessa decina): 1.890
Poi quella con 5 in una decina: 181.440
Quelle con 4: 5.972.400
Quelle con 3: 88.214.400
Le restanti son quelle buone.
Non buone: 94.370.130 (circa 15%)
Strana questa differenza, che indica che il mio calcolo (o il tuo, o entrambi 
insomma almeno uno) è errato.
Il calcolo indicato da me è una semplice - si fa per dire - sommatoria, io l'ho riportato su un foglio elettronico ed effettivamente non ho fatto molte verifiche, ma mi sembrava corretto. Associo ad ogni combinazione di tre numeri per decina le combinazioni dei rimanenti numeri possibili.
Che formula/e hai associato alle combinazioni di cui parli?
insomma almeno uno) è errato.Il calcolo indicato da me è una semplice - si fa per dire - sommatoria, io l'ho riportato su un foglio elettronico ed effettivamente non ho fatto molte verifiche, ma mi sembrava corretto. Associo ad ogni combinazione di tre numeri per decina le combinazioni dei rimanenti numeri possibili.
Che formula/e hai associato alle combinazioni di cui parli?
Potrebbe aver fatto questo calcolo:
6 numeri in una decina: $9*((10),(6))=1.890$
5 numeri in una decina: $9*((10),(5))*((80),(1))=181.440$
4 numeri in una decina: $9*((10),(4))*((80),(2))=5.972.400$
3 numeri in una decina: $9*((10),(3))*((80),(3))-((9),(2))*((10),(3))*((10),(3))=88.214.400$
Giusto?
Mi sorge una curiosità, ma il numero 10 -ad esempio- è da considerare nella prima "decina" 1..10 o nella seconda 10..19 ?
6 numeri in una decina: $9*((10),(6))=1.890$
5 numeri in una decina: $9*((10),(5))*((80),(1))=181.440$
4 numeri in una decina: $9*((10),(4))*((80),(2))=5.972.400$
3 numeri in una decina: $9*((10),(3))*((80),(3))-((9),(2))*((10),(3))*((10),(3))=88.214.400$
Giusto?
Mi sorge una curiosità, ma il numero 10 -ad esempio- è da considerare nella prima "decina" 1..10 o nella seconda 10..19 ?
"cenzo":
Mi sorge una curiosità, ma il numero 10 -ad esempio- è da considerare nella prima "decina" 1..10 o nella seconda 10..19 ?
"cenzo":
Potrebbe aver fatto questo calcolo:
E' esattamente il calcolo che ho fatto.
La cosa meno intuitiva da fare era la correzione delle terzine.
La spiego:
Per le sestine, quintine, e quadruple, NON ci posso essere "doppie". Per le terzine SI. (3+3=6).
Significa che se contiamo le terzine di ogni combinazione, alcune le conteggiamo due volte.
Esempio: 11-12-13-21-22-23
Contiamo una volta la 11-12-13 ed una seconda volta la 21-22-23, quindi una delle due va detratta.
La correzione scritta correttamente da cenzo, conta proprio quante sono le combinazioni (vedi esempio).
@Cenzo
Ma hai solo spiegato il mio possibile calcolo ? Oppure concordi con me ?
"Umby":
[quote="cenzo"]
Mi sorge una curiosità, ma il numero 10 -ad esempio- è da considerare nella prima "decina" 1..10 o nella seconda 10..19 ?
[/quote]Ma LOL! ... la mia era più una battuta.. il fatto è che considerare la sequenza 20-21-22 non appartenente alla stessa decina mi fa un po' strano. E' che nella tombola i numeri partono da 1 e non da 0...
"Umby":
Ma hai solo spiegato il mio possibile calcolo ? Oppure concordi con me ?
Concordo.
Aggiungo che:
1 numero in una decina: $((9),(6))*((10),(1))^6=84.000.000$
mentre è un po' più complesso contare direttamente le sestine con 2 numeri in una decina..
"cenzo":
mentre è un po' più complesso contare direttamente le sestine con 2 numeri in una decina..
Forse ci sono riuscito:
caso (2;1;1;1;1): $((9),(1))*((8),(4))*((10),(2))*((10),(1))^4=283.500.000$
caso (2;2;1;1): $((9),(2))*((7),(2))*((10),(2))^2*((10),(1))^2=153.090.000$
caso (2;2;2): $((9),(3))*((10),(2))^3=7.654.500$
Totale: $444.244.500$
Sommando i 6 casi si ottiene proprio $622.614.630=((90),(6))$
Perfetto.
Con la quadratura direi che siamo certi della assenza di errori.
Per 1 numero in ogni decina, avevo usato:
Il primo numero puo' essere uno dei 90, il secondo uno degli 80 (delle altre decine) ...etc etc.... Poi ho trasformato le disposizioni in combinazioni con $n!$
$(90*80*70*60*50*40)/(6!)$
Con la quadratura direi che siamo certi della assenza di errori.
Per 1 numero in ogni decina, avevo usato:
Il primo numero puo' essere uno dei 90, il secondo uno degli 80 (delle altre decine) ...etc etc.... Poi ho trasformato le disposizioni in combinazioni con $n!$
$(90*80*70*60*50*40)/(6!)$
Guardando la tombola per colonne, mi rendo conto che i conteggi fatti si adattano a qualunque partizione dei 90 numeri in 9 sottoinsiemi di 10 numeri, ad esempio: (numeri che terminano con 0), (numeri che terminano con 1), ecc..
Purtroppo credo sia una convinzione abbastanza diffusa che esistano sestine (es. quelle con non più di 2 numeri per decina) che possano dare dei vantaggi nel gioco...
Purtroppo credo sia una convinzione abbastanza diffusa che esistano sestine (es. quelle con non più di 2 numeri per decina) che possano dare dei vantaggi nel gioco...
Continua a non tornarmi il vostro calcolo, potete spiegare meglio alcuni passaggi?
EDIT: ho trovato il mio errore! Ho scordato di contare i 2-gruppi e 1-gruppi
EDIT: ho trovato il mio errore! Ho scordato di contare i 2-gruppi e 1-gruppi
"cenzo":
Guardando la tombola per colonne, mi rendo conto che i conteggi fatti si adattano a qualunque partizione dei 90 numeri in 9 sottoinsiemi di 10 numeri, ad esempio: (numeri che terminano con 0), (numeri che terminano con 1), ecc..
Non è proprio così:
Se guardi le colonne ( e non le righe, come prima ), ottieni 10 gruppi in cui ogni gruppo si compone di 9 elementi. Mentre prima avevamo 9 gruppi di 10 elementi.
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