Autobus e passeggeri.....
Salve a tutti sono nuovo e vi scrivo perchè ho un esercizio al quale non sono riuscito a trovare soluzione che è :
Al capolinea salgono sull'autobus 6 persone. Se nelle successive fermate sull'autobus non salgono altri passeggeri e ogni persona sceglie a caso di scendere in una delle 5 fermate, indipendentemente dagli altri passeggeri, quale è la probabilita che l'autobus arrivi vuoto alla quinta fermata? Quale è la probabilita che si svuoti esattamente alla quarta fermata?
La soluzione richiede l'utilizzo della binomiale ma non ho ben capito come.
Grazie.
Al capolinea salgono sull'autobus 6 persone. Se nelle successive fermate sull'autobus non salgono altri passeggeri e ogni persona sceglie a caso di scendere in una delle 5 fermate, indipendentemente dagli altri passeggeri, quale è la probabilita che l'autobus arrivi vuoto alla quinta fermata? Quale è la probabilita che si svuoti esattamente alla quarta fermata?
La soluzione richiede l'utilizzo della binomiale ma non ho ben capito come.
Grazie.
Risposte
benvenuto nel forum.
la probabilità di scegliere a caso una fermata è 1/5, dunque la probabilità di non sceglierla e quindi di scegliere una qualsiasi delle altre è 4/5.
la probabilità che l'autobus arrivi vuoto alla quinta fermata è la probabilità che ciascun passeggero scelga di scendere nelle prime quattro fermate, ed è dunque:
$(4/5)^6$
se si svuota esattamente alla quarta fermata vuol dire che va escluso dal caso precedente il caso che ciascun passeggero scenda nelle prime tre fermate, ciascuno con probabilità 3/5. dunque la probabilità richiesta è:
$(4/5)^6-(3/5)^6$
spero di non avere scritto sciocchezze e di essere stata chiara. ciao.
la probabilità di scegliere a caso una fermata è 1/5, dunque la probabilità di non sceglierla e quindi di scegliere una qualsiasi delle altre è 4/5.
la probabilità che l'autobus arrivi vuoto alla quinta fermata è la probabilità che ciascun passeggero scelga di scendere nelle prime quattro fermate, ed è dunque:
$(4/5)^6$
se si svuota esattamente alla quarta fermata vuol dire che va escluso dal caso precedente il caso che ciascun passeggero scenda nelle prime tre fermate, ciascuno con probabilità 3/5. dunque la probabilità richiesta è:
$(4/5)^6-(3/5)^6$
spero di non avere scritto sciocchezze e di essere stata chiara. ciao.
ok ti ringrazio per la soluzione
prego.
"adaBTTLS":
benvenuto nel forum.
la probabilità di scegliere a caso una fermata è 1/5, dunque la probabilità di non sceglierla e quindi di scegliere una qualsiasi delle altre è 4/5.
la probabilità che l'autobus arrivi vuoto alla quinta fermata è la probabilità che ciascun passeggero scelga di scendere nelle prime quattro fermate, ed è dunque:
$(4/5)^6$
ma allora la probabilità che invece arriva vuoto alla quarta/terza/seconda/prima fermata è uguale alla probabilità che arriva vuoto alla quinta? o no? perchè?
"Nicos87":
[quote="adaBTTLS"]benvenuto nel forum.
la probabilità di scegliere a caso una fermata è 1/5, dunque la probabilità di non sceglierla e quindi di scegliere una qualsiasi delle altre è 4/5.
la probabilità che l'autobus arrivi vuoto alla quinta fermata è la probabilità che ciascun passeggero scelga di scendere nelle prime quattro fermate, ed è dunque:
$(4/5)^6$
ma allora la probabilità che invece arriva vuoto alla quarta/terza/seconda/prima fermata è uguale alla probabilità che arriva vuoto alla quinta? o no? perchè?[/quote]
assolutamento NO.
Una cosa è dire che ogni passeggero possa scendere equamente in una delle fermate, altra cosa è quello che hai scritto !
cito Nycos87
ma allora la probabilità che invece arriva vuoto alla quarta/terza/seconda/prima fermata è uguale alla probabilità che arriva vuoto alla quinta? o no? perchè?
================================
Dato che Umby ha risposto senza però fornire spiegazioni, provo a rispondere io.
La differenza fra arrivare vuoto alla 5.a fermata e arrivare vuoto alla 3.a fermata è che, mentre nel primo caso i passeggeri hanno tutti potuto scegliere fra 4 delle 5 fermate, nel secondo caso hanno potuto scegliere solo fra 2.
Quindi nel primo caso la prob. è $(4/5)^6$, mentre nel secondo $(2/5)^6$. E così via per gli altri casi analoghi.
Se invece tu chiedessi :
qual é la probabilità che scendano tutti esattamente a una certa fermata?
allora sì che la probabilità non dipenderebbe da quale fermata sia quella dove tutti scendono,
e la probabilità in questiione sarebbe $(1/5)^6.$
Infine, lasciatemi porre un altro quesito.
Qual è la probabilità che durante il tragitto ci sia almeno una fermata dove non scende nessuno?
Ricordo che tutti i passeggeri che arrivano al capolinea (5.a fermata) devono scendere per forza.
Si noti che se il numero N di fermate supera quello dei passeggeri, P, allora tale probabilità è 1.
(principio dei cassetti, o dei piccioni, di Dirichlet)
Quindi ha interesse solo il caso (come quello sopra prospettato) in cui risulti: $P >= N$.
ma allora la probabilità che invece arriva vuoto alla quarta/terza/seconda/prima fermata è uguale alla probabilità che arriva vuoto alla quinta? o no? perchè?
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Dato che Umby ha risposto senza però fornire spiegazioni, provo a rispondere io.
La differenza fra arrivare vuoto alla 5.a fermata e arrivare vuoto alla 3.a fermata è che, mentre nel primo caso i passeggeri hanno tutti potuto scegliere fra 4 delle 5 fermate, nel secondo caso hanno potuto scegliere solo fra 2.
Quindi nel primo caso la prob. è $(4/5)^6$, mentre nel secondo $(2/5)^6$. E così via per gli altri casi analoghi.
Se invece tu chiedessi :
qual é la probabilità che scendano tutti esattamente a una certa fermata?
allora sì che la probabilità non dipenderebbe da quale fermata sia quella dove tutti scendono,
e la probabilità in questiione sarebbe $(1/5)^6.$
Infine, lasciatemi porre un altro quesito.
Qual è la probabilità che durante il tragitto ci sia almeno una fermata dove non scende nessuno?
Ricordo che tutti i passeggeri che arrivano al capolinea (5.a fermata) devono scendere per forza.
Si noti che se il numero N di fermate supera quello dei passeggeri, P, allora tale probabilità è 1.
(principio dei cassetti, o dei piccioni, di Dirichlet)
Quindi ha interesse solo il caso (come quello sopra prospettato) in cui risulti: $P >= N$.
Come matricola appena arrivata, ho due domande da porre, per favore.
1) Che principio è quello dei cassetti (o dei piccioni) di Dirichlet?
2) C'è un modo semplice per rispondere al quesito che esista almeno una fermata dove non scende nessuno?
Grazie
1) Che principio è quello dei cassetti (o dei piccioni) di Dirichlet?
2) C'è un modo semplice per rispondere al quesito che esista almeno una fermata dove non scende nessuno?
Grazie
per quanto riguarda 1) ti segnalo il primo link che google mi ha presentato:
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... erardo.pdf
per 2) la risposta non è elementare, ma è riconducibile a forma semplice:
c'è almeno una fermata dove non scende nessuno
è l'evento contrario a
per ogni fermata c'è almeno un passeggero che scende
allora la probabilità richiesta può essere espressa come 1 - probabilità di questo secondo evento.
se consideri questo secondo evento,
l'insieme dei casi possibili è rappresentato dall'insieme delle funzioni dall'insieme dei passeggeri all'insieme delle fermate (e tali funzioni sono $N^P$),
l'insieme dei casi favorevoli è rappresentato dall'insieme delle funzioni suriettive tra i due insiemi citati (e tali funzioni sono $N!*S(P,N)$, dove S(P,N) sono i numeri di Stirling di seconda specie).
ti consiglio di dare un'ochiata qui: https://www.matematicamente.it/forum/fun ... 30986.html
ciao.
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... erardo.pdf
per 2) la risposta non è elementare, ma è riconducibile a forma semplice:
c'è almeno una fermata dove non scende nessuno
è l'evento contrario a
per ogni fermata c'è almeno un passeggero che scende
allora la probabilità richiesta può essere espressa come 1 - probabilità di questo secondo evento.
se consideri questo secondo evento,
l'insieme dei casi possibili è rappresentato dall'insieme delle funzioni dall'insieme dei passeggeri all'insieme delle fermate (e tali funzioni sono $N^P$),
l'insieme dei casi favorevoli è rappresentato dall'insieme delle funzioni suriettive tra i due insiemi citati (e tali funzioni sono $N!*S(P,N)$, dove S(P,N) sono i numeri di Stirling di seconda specie).
ti consiglio di dare un'ochiata qui: https://www.matematicamente.it/forum/fun ... 30986.html
ciao.
per essere un po' meno "ermetica", desidero aggiungere la soluzione, in maniera più esplicita, del caso particolare che avevamo inizialmente con 5 fermate e 6 passeggeri.
premetto che $S(6,5)=15$, e quindi la risposta è:
Probabilità che in ciascuna fermata scenda almeno un passeggero = $(15*5!)/(5^6)=1800/15625$
probabilità che esista almeno una fermata dove non scende nessuno = $1-1800/15625=13825/15625=88.48%$
per vedere da dove viene il numero 15, e quindi anche il numero 1800, dobbiamo pensare a come suddividere l'insieme dei passeggeri in 5 parti non vuote.
poiché i passeggeri sono 6, il calcolo particolare si semplifica molto, in quanto per fare 5 gruppi non vuoti solo un gruppo può e deve essere formato da due elementi e gli altri quattro devono essere formati da un solo elemento. dunque il numero delle scelte possibili è uguale al numero dei sottoinsiemi di due elementi dell'insieme dei sei passeggeri, perché significa scegliere come abbinare i due passeggeri che devono scendere alla stessa fermata, quindi è dato dalle combinazioni a due a due di un insieme di sei elementi, $((6),(2))=(6*5)/(1*2)=15$. questo metodo semplice si può applicare perché $P=N+1$.
inoltre $5!$ deriva dalla scelta dei "cinque gruppi" sulle "cinque fermate". cioè, una volta deciso il gruppo, $5! =120$ rappresenta il numero delle funzioni biiettive dall'insieme dei gruppi all'insieme delle fermate. spero di essere stata chiara ed esauriente.
ciao.
premetto che $S(6,5)=15$, e quindi la risposta è:
Probabilità che in ciascuna fermata scenda almeno un passeggero = $(15*5!)/(5^6)=1800/15625$
probabilità che esista almeno una fermata dove non scende nessuno = $1-1800/15625=13825/15625=88.48%$
per vedere da dove viene il numero 15, e quindi anche il numero 1800, dobbiamo pensare a come suddividere l'insieme dei passeggeri in 5 parti non vuote.
poiché i passeggeri sono 6, il calcolo particolare si semplifica molto, in quanto per fare 5 gruppi non vuoti solo un gruppo può e deve essere formato da due elementi e gli altri quattro devono essere formati da un solo elemento. dunque il numero delle scelte possibili è uguale al numero dei sottoinsiemi di due elementi dell'insieme dei sei passeggeri, perché significa scegliere come abbinare i due passeggeri che devono scendere alla stessa fermata, quindi è dato dalle combinazioni a due a due di un insieme di sei elementi, $((6),(2))=(6*5)/(1*2)=15$. questo metodo semplice si può applicare perché $P=N+1$.
inoltre $5!$ deriva dalla scelta dei "cinque gruppi" sulle "cinque fermate". cioè, una volta deciso il gruppo, $5! =120$ rappresenta il numero delle funzioni biiettive dall'insieme dei gruppi all'insieme delle fermate. spero di essere stata chiara ed esauriente.
ciao.
Per quanto riguarda il principio dei "piccioni" di Dirichlet ho visto che si può enunciare in 2 righe duali:
Se 10 piccioni volano (e scompaiono) dentro meno di 10 buche, ci sarà almeno una buca con almeno 2 piccioni.
Se 10 piccioni volano (e scompaiono) dentro più di 10 buche, ci sarà almeno una buca vuota.
Tutto qui.
Se 10 piccioni volano (e scompaiono) dentro meno di 10 buche, ci sarà almeno una buca con almeno 2 piccioni.
Se 10 piccioni volano (e scompaiono) dentro più di 10 buche, ci sarà almeno una buca vuota.
Tutto qui.
"seascoli":
Per quanto riguarda il principio dei "piccioni" di Dirichlet ho visto che si può enunciare in 2 righe duali:
Se 10 piccioni volano (e scompaiono) dentro meno di 10 buche, ci sarà almeno una buca con almeno 2 piccioni.
Se 10 piccioni volano (e scompaiono) dentro più di 10 buche, ci sarà almeno una buca vuota.
Tutto qui.
Si, e mi sembra anche facilmente intuibile.
Nel caso delle fermate dell'autobus, non è che c'entri tanto...
Ah sì!? Se uno é abbastanza sveglio, se ne accorge subito che c'entra eccome!
Prova infatti a rispondere ai seguenti quesiti.
a)Ci sono 15 fermate e 10 passeggeri. Qual é la probabilità che ci sia almeno una fermata in cui non scende nessuno?
b)Ci sono 15 passeggeri e 10 fermate. Qual é la probabilità che ci sia almeno una fermata dove scendono due passeggeri?
La risposta ad entrambi è banale e vale 1, grazie al principio dei piccioni.
Se invece provi a scambiare, in ciascuno dei due esercizi, il numero di passeggeri e di fermate le risposte non sono più banali ...
Prova infatti a rispondere ai seguenti quesiti.
a)Ci sono 15 fermate e 10 passeggeri. Qual é la probabilità che ci sia almeno una fermata in cui non scende nessuno?
b)Ci sono 15 passeggeri e 10 fermate. Qual é la probabilità che ci sia almeno una fermata dove scendono due passeggeri?
La risposta ad entrambi è banale e vale 1, grazie al principio dei piccioni.
Se invece provi a scambiare, in ciascuno dei due esercizi, il numero di passeggeri e di fermate le risposte non sono più banali ...
visto che pare io abbia qualcosa da farmi perdonare da Umby, provo a risponderti io, per ora all'obiezione, e dopo pranzo (perché ancora devo mangiare) alle domande.
se uno dice che una cosa c'entra poco, è perché si aspetta che sia essenziale per la risoluzione dei casi non banali, e non vede il nesso.
effettivamente, nella risposta citata, è chiaro che il principio rende banale una cosa abbastanza evidente già di per sé, ma non spiega il motivo per cui è utile nella risoluzione dei casi non banali.
poiché anch'io, nella soluzione che ho in mente di postare, non farò menzione di tale principio, gradirei che si dicesse, in caso di risposta affermativa, quale ruolo svolge il "principio" in questione nelle risposte alle "domande modificate", cioè non banali.
approfitto per chiedere un ulteriore chiarimento, ed a lanciare un altro esercizio nell'esercizio:
ho evidenziato in rosso "due passeggeri", perché con il significato di "almeno due passeggeri" è vero che il quesito b) non trasformato è banale, mentre con il significato di "esattamente due passeggeri" la cosa non è altrettanto vera.
chiedo quindi, scambiando i numeri di fermate e passeggeri, in qual senso vada considerata la frase in rosso.
grazie.
ciao.
"seascoli":
Ah sì!? Se uno é abbastanza sveglio, se ne accorge subito che c'entra eccome!
Prova infatti a rispondere ai seguenti quesiti.
a)Ci sono 15 fermate e 10 passeggeri. Qual é la probabilità che ci sia almeno una fermata in cui non scende nessuno?
b)Ci sono 15 passeggeri e 10 fermate. Qual é la probabilità che ci sia almeno una fermata dove scendono due passeggeri?
La risposta ad entrambi è banale e vale 1, grazie al principio dei piccioni.
Se invece provi a scambiare, in ciascuno dei due esercizi, il numero di passeggeri e di fermate le risposte non sono più banali ...
se uno dice che una cosa c'entra poco, è perché si aspetta che sia essenziale per la risoluzione dei casi non banali, e non vede il nesso.
effettivamente, nella risposta citata, è chiaro che il principio rende banale una cosa abbastanza evidente già di per sé, ma non spiega il motivo per cui è utile nella risoluzione dei casi non banali.
poiché anch'io, nella soluzione che ho in mente di postare, non farò menzione di tale principio, gradirei che si dicesse, in caso di risposta affermativa, quale ruolo svolge il "principio" in questione nelle risposte alle "domande modificate", cioè non banali.
approfitto per chiedere un ulteriore chiarimento, ed a lanciare un altro esercizio nell'esercizio:
ho evidenziato in rosso "due passeggeri", perché con il significato di "almeno due passeggeri" è vero che il quesito b) non trasformato è banale, mentre con il significato di "esattamente due passeggeri" la cosa non è altrettanto vera.
chiedo quindi, scambiando i numeri di fermate e passeggeri, in qual senso vada considerata la frase in rosso.
grazie.
ciao.
"seascoli":
Ah sì!? Se uno é abbastanza sveglio, se ne accorge subito che c'entra eccome!
Prova infatti a rispondere ai seguenti quesiti.
a)Ci sono 15 fermate e 10 passeggeri. Qual é la probabilità che ci sia almeno una fermata in cui non scende nessuno?
b)Ci sono 15 passeggeri e 10 fermate. Qual é la probabilità che ci sia almeno una fermata dove scendono due passeggeri?
La risposta ad entrambi è banale e vale 1, grazie al principio dei piccioni.
Se invece provi a scambiare, in ciascuno dei due esercizi, il numero di passeggeri e di fermate le risposte non sono più banali ...
In questi casi la risposta è 100%
nel caso a) le fermate (15) sono maggiori rispetto ai passeggeri (10). Quindi il quesito è diverso da quello iniziale dove le fermate (5) sono minori dei passeggeri (6)
nel caso b) rientriamo nel caso iniziale, ma il quesito è diverso, ovvero ti chiedi la probabilità che scendano 2 passeggeri.
Hai letto la risposta di Ada? 88,48% ?
"adaBTTLS":
chiedo quindi, scambiando i numeri di fermate e passeggeri, in qual senso vada considerata la frase in rosso.
grazie.
ciao.
Mi immagino ( almeno lo voglio sperare ) che chi ha posto il quesito intendesse "almeno 2 passeggeri"
Prima io stesso ho risp. che la percentuale è del 100%, perchè ho interpretato cosi' il quesito.
Sì, hai visto giusto, Ada, volevo dire "almeno 2 passeggeri", nel mio quesito (b).
Se no la risposta non è più banale.
Quanto al ruolo che svolge il principio dei piccioni nel caso dei miei quesiti a numeri rovesciati (che non sono più banali) la mia risposta è: NESSUNO.
L'utilità del principio è duplice: da un lato facilita e abbrevia la comunicazione fra esseri umani, perchè in casi come quelli citati, uno, senza dare altre spiegazioni, può semplicemente dire: "per il principio dei piccioni", invece che:
"dato che le fermate sono più dei passeggeri, è impossibile che in ogni fermata scenda qualche passeggero, perchè in tal caso il numero dei passeggeri dovrebbere essere non inferiore a quello delle fermate".
Insomma si risparmia "inchiostro".
Il secondo motivo è che non sempre l'applicazione del principio dei piccioni è banale (almeno per tutti), come illustrato dal seguente semplice problema.
Silvio, come ogni mattina, si risveglia in stato comatoso e, al buio, rovista nel cassetto dei calzini, dove ce ne sono di rossi, blu, verdi e grigi. Se ne pesca 5 a caso, qual è la probabilità che ne trovi almeno un paio da poter indossare?
E' banale? Secondo me non del tutto.
E perchè c'entra il principio dei piccioni? Dove sono i piccioni? e dove le buche?
A voi la risposta, sapientoni!
Se no la risposta non è più banale.
Quanto al ruolo che svolge il principio dei piccioni nel caso dei miei quesiti a numeri rovesciati (che non sono più banali) la mia risposta è: NESSUNO.
L'utilità del principio è duplice: da un lato facilita e abbrevia la comunicazione fra esseri umani, perchè in casi come quelli citati, uno, senza dare altre spiegazioni, può semplicemente dire: "per il principio dei piccioni", invece che:
"dato che le fermate sono più dei passeggeri, è impossibile che in ogni fermata scenda qualche passeggero, perchè in tal caso il numero dei passeggeri dovrebbere essere non inferiore a quello delle fermate".
Insomma si risparmia "inchiostro".
Il secondo motivo è che non sempre l'applicazione del principio dei piccioni è banale (almeno per tutti), come illustrato dal seguente semplice problema.
Silvio, come ogni mattina, si risveglia in stato comatoso e, al buio, rovista nel cassetto dei calzini, dove ce ne sono di rossi, blu, verdi e grigi. Se ne pesca 5 a caso, qual è la probabilità che ne trovi almeno un paio da poter indossare?
E' banale? Secondo me non del tutto.
E perchè c'entra il principio dei piccioni? Dove sono i piccioni? e dove le buche?
A voi la risposta, sapientoni!
Meglio sarebbe formulare il quesito come segue:
Silvio, come ogni mattina, si risveglia in stato comatoso e, al buio, rovista nel cassetto dei calzini, dove ce ne sono di rossi, blu, verdi e grigi.
Qual è il minimo numero di calzini che Silvio deve prendere (sempre al buio) dal cassetto per essere sicuro che fra essi ce ne sia (almeno) un paio da poter indossare?
Silvio, come ogni mattina, si risveglia in stato comatoso e, al buio, rovista nel cassetto dei calzini, dove ce ne sono di rossi, blu, verdi e grigi.
Qual è il minimo numero di calzini che Silvio deve prendere (sempre al buio) dal cassetto per essere sicuro che fra essi ce ne sia (almeno) un paio da poter indossare?
A voi la risposta, sapientoni!mi ricorda una mia compagna di scuola media che mi chiamava così per "invidia", ma il tempo della fanciullezza è passato da tanto!
risposta al quesito immediato: $5$.
non posso mettere il punto esclamativo perché intendo proprio 5 e non 120....
ora veniamo alle risposte ai quesiti "rovesciati":
a) 10 passeggeri e 15 fermate. probabilità che in almeno una fermata scendono almeno due passeggeri: 98.1%
b) 15 passeggeri e 10 fermate. probabilità che in almeno una fermata non scende nessun passeggero: 95.4%
calcoli "precisi":
a) rapporto tra funzioni non iniettive e funzioni da {1,2,...,10} a {1,2,...,15}: $(15^10-(15)_10)/(15^10)$
b) rapporto tra funzioni non suriettive e funzioni da {1,2,...,15} a {1,2,...,10}: $(10^15-10!*S(15,10))/(10^15)$
dove ho indicato con $(15)_10=(15!)/(5!)$ il fattoriale decrescente e con $S(15,10)=12662650$ il numero di Stirling di seconda specie.
ciao.
Esatto: 5, ma la risposta migliore è, in omaggio al principio dei piccioni, un calzino in più del numero dei colori.
naturalmente, 5 è solo il risultato!
e per gli altri?
e per gli altri?
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