ASSIOMA Probabilità... questa è bella
Sia A un evento di un certo esperimento. Usando gli assiomi del calcolo delle probabilità dimostrare che:
P(non A) = 1 - P(A)
Vorrei ricordare innanzi tutto che anche l'uguaglianza data è un assioma... detto questo...
Credendo di sbagliarmi sulla definizione di assioma sono andato a riercarmela su internet... e cito wikipedia:
[...] un assioma è una proposizione o un principio che viene assunto come vero perché ritenuto evidente o perché fornisce il punto di partenza di un quadro teorico di riferimento. [...]
Vista l'evidenza della definizione.... come faccio a dimostrare una cosa che mi viene detto che è così per sua definizione?
P(non A) = 1 - P(A)
Vorrei ricordare innanzi tutto che anche l'uguaglianza data è un assioma... detto questo...
Credendo di sbagliarmi sulla definizione di assioma sono andato a riercarmela su internet... e cito wikipedia:
[...] un assioma è una proposizione o un principio che viene assunto come vero perché ritenuto evidente o perché fornisce il punto di partenza di un quadro teorico di riferimento. [...]
Vista l'evidenza della definizione.... come faccio a dimostrare una cosa che mi viene detto che è così per sua definizione?
Risposte
Dato lo spazio di probabilità $(\Omega, f, P)$, io come assiomi utilizzo:
$i$: $P(\Omega)=1$
$ii$: $P(A uuu B)=P(A)+P(B)$ $AA A,B in \Omega$ disgiunti.
Ha quindi un minimo di senso chiedere di dimostrare che $P(\barA)=1-P(A)$, è infatti un corollario immediato basato sul fatto che $A$ e $\barA$ sono disgiunti e la loro intersezione è tutto $\Omega$. Quindi si ha $1=P(\Omega)=P(Auuu\barA)=P(A)+P(\barA)$.
$i$: $P(\Omega)=1$
$ii$: $P(A uuu B)=P(A)+P(B)$ $AA A,B in \Omega$ disgiunti.
Ha quindi un minimo di senso chiedere di dimostrare che $P(\barA)=1-P(A)$, è infatti un corollario immediato basato sul fatto che $A$ e $\barA$ sono disgiunti e la loro intersezione è tutto $\Omega$. Quindi si ha $1=P(\Omega)=P(Auuu\barA)=P(A)+P(\barA)$.
Be' che dire grazie...si trattava allora solamnete di concatenare un po di assiomi riguardandi le probabilità... ma non ci sarei mai arrivato... visto che nn l'ho mai letta da nessuna parte sta cosa!
grazie di nuovo
grazie di nuovo
A quanto ricordo gli "assiomi della probabilità" sono tre:
1) [tex]$\forall E\in \mathfrak{F} ,\ P(E)\geq 0$[/tex] (positività)
2) [tex]$P(\Omega )=1$[/tex] (normalizzazione)
3) [tex]$\forall (E_n)_n \subseteq \mathfrak{F} \text{ disgiunta},\ P\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty} E_n \right) =\sum_{n=1}^{+\infty} P(E_n)$[/tex] (additività numerabile sui disgiunti)
(qui [tex]$\Omega \neq \emptyset$[/tex], [tex]$\mathfrak{F}$[/tex] è una [tex]$\sigma$[/tex]-algebra su [tex]$\Omega$[/tex] e [tex]$P:\mathfrak{F} \to \mathbb{R}$[/tex]).
Quindi non v'è traccia della relazione di complemento [tex]$P(\Omega \setminus E) =1-P(E)$[/tex] tra gli assiomi.
Per esercizio potresti provare che vale anche l'additività finita sui disgiunti, ossia che risulta:
[tex]$\forall E_1,\ldots ,E_N \in \mathfrak{F} \text{ a due a due disgiunti},\ P\left( \bigcup_{n=1}^N E_n\right) =\sum_{n=1}^N P(E_n)$[/tex];
si tratta sempre, come dici tu, di "concatenare un po' di assiomi".
1) [tex]$\forall E\in \mathfrak{F} ,\ P(E)\geq 0$[/tex] (positività)
2) [tex]$P(\Omega )=1$[/tex] (normalizzazione)
3) [tex]$\forall (E_n)_n \subseteq \mathfrak{F} \text{ disgiunta},\ P\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty} E_n \right) =\sum_{n=1}^{+\infty} P(E_n)$[/tex] (additività numerabile sui disgiunti)
(qui [tex]$\Omega \neq \emptyset$[/tex], [tex]$\mathfrak{F}$[/tex] è una [tex]$\sigma$[/tex]-algebra su [tex]$\Omega$[/tex] e [tex]$P:\mathfrak{F} \to \mathbb{R}$[/tex]).
Quindi non v'è traccia della relazione di complemento [tex]$P(\Omega \setminus E) =1-P(E)$[/tex] tra gli assiomi.
Per esercizio potresti provare che vale anche l'additività finita sui disgiunti, ossia che risulta:
[tex]$\forall E_1,\ldots ,E_N \in \mathfrak{F} \text{ a due a due disgiunti},\ P\left( \bigcup_{n=1}^N E_n\right) =\sum_{n=1}^N P(E_n)$[/tex];
si tratta sempre, come dici tu, di "concatenare un po' di assiomi".
E di che, figurati !
Con argomenti analoghi puoi provare a dimostrare che $P(\emptyset)=0$ oppure che dati $E,F in \Omega$ con
$E sub F$ allora $P(F-E)=P(F)-P(E)$ o ancora che dati $A,B in \Omega$
$P(A uuu B)=P(A)+P(B)-P(A nnn B)$. ( Per farlo bisogna osservare che si può estendere l'assioma $ii$ ad un'unione finita di eventi disgiunti e utilizzare la proposizione precedente ).
Con argomenti analoghi puoi provare a dimostrare che $P(\emptyset)=0$ oppure che dati $E,F in \Omega$ con
$E sub F$ allora $P(F-E)=P(F)-P(E)$ o ancora che dati $A,B in \Omega$
$P(A uuu B)=P(A)+P(B)-P(A nnn B)$. ( Per farlo bisogna osservare che si può estendere l'assioma $ii$ ad un'unione finita di eventi disgiunti e utilizzare la proposizione precedente ).
@ Relegal: È la prima volta che vedo qualcuno usare come assioma della probabilità la sola additività finita sui disgiunti. Come nasce questa impostazione?
A quanto ne so richiedere la sola additività finita rende difficili (o del tutto impossibili) alcuni risultati basilari, quindi mi nasce la curiosità di sapere come mai usi questa impostazione piuttosto che quella classica.
A quanto ne so richiedere la sola additività finita rende difficili (o del tutto impossibili) alcuni risultati basilari, quindi mi nasce la curiosità di sapere come mai usi questa impostazione piuttosto che quella classica.
@ Gugo: Mi sono stati inizialmente presentati i due "assiomi base" della probabilità, quelli che ho riportato sopra.
Dopo aver analizzato le prime proprietà, è stato introdotto il modello di Kolmogorov che, a questi due assiomi, aggiunge quello che tu hai riportato relativo all'additività finita sui disguinti. In questo modello sono quindi tre gli assiomi.
Mi sembra di ricordare, ma potrei confondermi, che questo terzo assioma fece storcere il naso all'epoca a qualcuno che non riusciva a convincersi della sua validità. Durante il corso che ho seguito, si è poi sempre fatto riferimento a questo modello, rivisitando quindi in questa chiave i vari teoremi.
Dopo aver analizzato le prime proprietà, è stato introdotto il modello di Kolmogorov che, a questi due assiomi, aggiunge quello che tu hai riportato relativo all'additività finita sui disguinti. In questo modello sono quindi tre gli assiomi.
Mi sembra di ricordare, ma potrei confondermi, che questo terzo assioma fece storcere il naso all'epoca a qualcuno che non riusciva a convincersi della sua validità. Durante il corso che ho seguito, si è poi sempre fatto riferimento a questo modello, rivisitando quindi in questa chiave i vari teoremi.
Il problema, Relegal, è che le misure finitamente additive sono scomodissime; certo, a meno di non trovarsi in spazi di probabilità con sostegno [tex]$\Omega$[/tex] finito (in tal caso dire finitamente additiva o dire numerabilmente additiva è lo stesso) o su [tex]$\sigma$[/tex]-algebre particolari (ad esempio in [tex]$\sigma$[/tex]-algebre in cui le unioni disgiunte sono possibili solo per famiglie finite e non per quelle numerabili).
Per curiosità: che libro usavate?
P.S.: Non è che "non riesco a convincermi" della validità dell'impostazione; un assioma è un assioma e va giudicato in base alle conseguenze che produce, non a quanto sia facile convincersi della sua validità.
Visto che la sola finita additività rende tutto il CdP molto rognoso, mi domandavo chi potesse insegnarlo così; ecco tutto.
Per curiosità: che libro usavate?
P.S.: Non è che "non riesco a convincermi" della validità dell'impostazione; un assioma è un assioma e va giudicato in base alle conseguenze che produce, non a quanto sia facile convincersi della sua validità.
Visto che la sola finita additività rende tutto il CdP molto rognoso, mi domandavo chi potesse insegnarlo così; ecco tutto.
ma che studiate aoh??? da che pianeta venite= programmate navicelle spaziali?
"angelo1985":
ma che studiate aoh??? da che pianeta venite= programmate navicelle spaziali?
Noi veniamo dalla Terra; tu piuttosto, con quella strana visiera sugli occhi, da quale mondo interstellare provieni?
Sembrerà strano, ma a questo mondo c'è chi studia Matematica con passione e non solo perchè è obbligato a saper recitare una filastrocca a memoria all'esame...
l'ho sempre sostenuto che fosse questo il probelma... noi economisti siamo "obbligati" a studiare cose (non dico inutili) ma meno utili piuttosto che altre che potrebbeero essere utili (come statistica)... mentre voi non siete obbligati a studiare l'economia...
Beh, ogni corso di laurea ha le sue specificità; se io studiassi anche economia dovrei farlo, necessariamente, ad un livello superficiale, come voi studiate (quel poco di) matematica (che vi serve).
Detto ciò, senza CdP non si capisce nulla di Statistica; Preferiresti studiare Statistica solo svolgendo conti (che può fare benissimo anche un software) o sapendo il perchè quei conti funzionino?
Ecco, a voi studenti di Economia la Matematica serve a questo: a spiegare perchè i conti funzionino.
Infine, noto che la Matematica e l'Economia sono legate da fili molto più doppi di quanto non sembri ad uno studentello.
Quando frequenterai master o convegni di alta finanza, prova a guardarti intorno: probabilmente c'è più gente che capisce di Matematica lì che nei dipartimenti di Economia di qualunque università italiana.
Detto ciò, senza CdP non si capisce nulla di Statistica; Preferiresti studiare Statistica solo svolgendo conti (che può fare benissimo anche un software) o sapendo il perchè quei conti funzionino?
Ecco, a voi studenti di Economia la Matematica serve a questo: a spiegare perchè i conti funzionino.
Infine, noto che la Matematica e l'Economia sono legate da fili molto più doppi di quanto non sembri ad uno studentello.
Quando frequenterai master o convegni di alta finanza, prova a guardarti intorno: probabilmente c'è più gente che capisce di Matematica lì che nei dipartimenti di Economia di qualunque università italiana.
Su matematica non ho nulla da ridire e credo sia veramente importante per l'economia, per la statistica invece credo invece che potrebbe essere affrontata in modo più "tranquillo"... visto che non la ritengo materia FONDAMENTALE...soprattutto in una laurea generale TRIENNALE, ovvio che se poi uno voglia approfondire aspetti di FINANZIARI o puramente MATEMATICI riferiti all'ìeconomia potrebbe tranquillamente farlo in una specialistica o in un master...... no?
Il professore aveva indicato come libro "Calcolo delle Probabilità" di Paolo Baldi, anche se il corso era interamente coperto da dispense.
Sono perfettamente d'accordo con te sul problema delle misure finitamente additive, sono "leggermente" scomode
Ho dato un occhio al mio quaderno di appunti:
Nella prima lezione ha definito spazi di probabilità e i due assiomi. Nella seconda ha dimostrato alcuni corollari immediati tra cui quello richiesto dall'utente in precedenza e ha dimostrato che la probabilità condizionata è una misura di probabilità, cioè che soddisfa i due assiomi precedenti.
Subito dopo, durante la terza lezione quindi, ha aggiunto il terzo assioma.
Il professore ha sempre rilevato come il modello matematico della probabilità confermi l'intuizione, come per la legge dei grandi numeri o per l'approccio frequentista. Facendo ipotesi, può darsi che anche per questo abbia preferito separare i 3 assiomi.
C'è da dire anche che questo corso è fatto per studenti del primo semestre del secondo anno, quando non si è ancora sentito parlare di misura, anche questo può avere influito.
Quando ho visto primi cenni di teoria della misura ho visto come elementi apparentemente sconnessi di questo corso di probabilità si collegavano invece alla perfezione
Ah, per il fatto del "riuscire a convincersi" non mi riferivo a te, ci mancherebbe, era un'altra ipotesi sul perchè il professore ce li avesse citati distinti! Mi sembra di ricordare che fosse un italiano a muovere obiezioni al modello proposto da Kolmogorov; ho provato a cercare qualcosa ma non ho ancora trovato nulla.
Quanto mi hai detto mi ha ora incuriosito e sto cercando di capire il motivo di questa separazione tra i primi due assiomi ed il terzo, perchè effetivamente è strana!
Sono perfettamente d'accordo con te sul problema delle misure finitamente additive, sono "leggermente" scomode
Ho dato un occhio al mio quaderno di appunti:
Nella prima lezione ha definito spazi di probabilità e i due assiomi. Nella seconda ha dimostrato alcuni corollari immediati tra cui quello richiesto dall'utente in precedenza e ha dimostrato che la probabilità condizionata è una misura di probabilità, cioè che soddisfa i due assiomi precedenti.
Subito dopo, durante la terza lezione quindi, ha aggiunto il terzo assioma.
Il professore ha sempre rilevato come il modello matematico della probabilità confermi l'intuizione, come per la legge dei grandi numeri o per l'approccio frequentista. Facendo ipotesi, può darsi che anche per questo abbia preferito separare i 3 assiomi.
C'è da dire anche che questo corso è fatto per studenti del primo semestre del secondo anno, quando non si è ancora sentito parlare di misura, anche questo può avere influito.
Quando ho visto primi cenni di teoria della misura ho visto come elementi apparentemente sconnessi di questo corso di probabilità si collegavano invece alla perfezione
Ah, per il fatto del "riuscire a convincersi" non mi riferivo a te, ci mancherebbe, era un'altra ipotesi sul perchè il professore ce li avesse citati distinti! Mi sembra di ricordare che fosse un italiano a muovere obiezioni al modello proposto da Kolmogorov; ho provato a cercare qualcosa ma non ho ancora trovato nulla.
Quanto mi hai detto mi ha ora incuriosito e sto cercando di capire il motivo di questa separazione tra i primi due assiomi ed il terzo, perchè effetivamente è strana!
@ Relegal: Probabilmente era de Finetti il matematico cui ti riferisci (quello che aveva obiezioni circa l'assiomatizzazione di Kolmogorov).
Quindi, riassumendo: i tuoi assiomi erano? Positività, normalizzazione e finita addititvità?
Quindi, riassumendo: i tuoi assiomi erano? Positività, normalizzazione e finita addititvità?
@Gugo: Scusami per la lentezza nel rispondere ma la mia connessione a Internet mi sta tirando scherzi di pessimo gusto.
I miei assiomi chiamiamoli "di partenza" erano quelli che hai citatp ora tu: Positività, normalizzazione e finita additività. In un secondo momento, diciamo alla terza lezione del corso, l'assioma di finita additività si è esteso alla numerabile additività.
I miei assiomi chiamiamoli "di partenza" erano quelli che hai citatp ora tu: Positività, normalizzazione e finita additività. In un secondo momento, diciamo alla terza lezione del corso, l'assioma di finita additività si è esteso alla numerabile additività.
Aaaah... Vabbé allora avete fatto tutto in modo standard se il prof. ha usato l'additività numerabile.
Probabilmente l'idea di introdurre prima l'additività finita era dovuta ad esigenze "didattiche", nel senso che l'additività numerabile è un po' più difficile da digerire di quella finita all'inizio (soprattutto se non si conosce la teoria della misura); inoltre, una volta accettata quella finita, non si fanno più tante storie quando si passa alla numerabile.
Se, poi, nelle prime lezioni avete visto esempi con spazi finiti (tipo lancio di monete o di dadi ripetuti un numero finito di volte) è stato sicuramente più naturale introdurre l'additività finita.
Grazie per i chiarimenti, Relegal.
(Anche a me oggi la linea non è stata un gran che... Colpa della pioggia.)
Probabilmente l'idea di introdurre prima l'additività finita era dovuta ad esigenze "didattiche", nel senso che l'additività numerabile è un po' più difficile da digerire di quella finita all'inizio (soprattutto se non si conosce la teoria della misura); inoltre, una volta accettata quella finita, non si fanno più tante storie quando si passa alla numerabile.
Se, poi, nelle prime lezioni avete visto esempi con spazi finiti (tipo lancio di monete o di dadi ripetuti un numero finito di volte) è stato sicuramente più naturale introdurre l'additività finita.
Grazie per i chiarimenti, Relegal.
(Anche a me oggi la linea non è stata un gran che... Colpa della pioggia.)
Eh si, mi era pure andato in tilt il modem 
In effetti abbiamo visto un'infinità di esempi su dadi, monete truccate e non, mazzi di carte e . . . sulle famose urne con le palline colorate ! Grazie a te per i chiarimenti e per avermi citato de Finetti, senza il tuo intervento non sarei mai riuscito a risalire al suo nome. A risentrci, buona serata !
In effetti abbiamo visto un'infinità di esempi su dadi, monete truccate e non, mazzi di carte e . . . sulle famose urne con le palline colorate ! Grazie a te per i chiarimenti e per avermi citato de Finetti, senza il tuo intervento non sarei mai riuscito a risalire al suo nome. A risentrci, buona serata !
Ti ringrazio molto, è la prima volta che vedo quest'approccio: ora ci do un occhio !
Fantastico, qui ce n'è veramente per tutti i gusti. Deve essere molto interessante, ci darò una bella letta.
Molte grazie per queste perle !
Molte grazie per queste perle !
@ Sergio: Non vorrei ricordar male, ma la continuità dal basso (ossia la relazione [tex]$\forall (E_n) \subseteq \mathfrak{F} \text{ con } E_n\searrow E,\ \lim_n P(E_n)=P(E)$[/tex]) è equivalente all'additività numerabile.
D'altra parte, se non ricordo male, in ambito finitamente additivo tale proprietà si perde in generale.
Quindi l'approccio classico di Kolmogorov (positività, normalizzazione, continuità dal basso) e l'approccio tipo teoria della misura (positività, normalizzazione, additività numerabile) dovrebbero essere equivalenti.
D'altra parte, se non ricordo male, in ambito finitamente additivo tale proprietà si perde in generale.
Quindi l'approccio classico di Kolmogorov (positività, normalizzazione, continuità dal basso) e l'approccio tipo teoria della misura (positività, normalizzazione, additività numerabile) dovrebbero essere equivalenti.
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