Aiuto ragionamento risoluzione esercizio v.a. gaussiane
Buongiorno e buona domanica a tutti 
Ho un esercizio che mi ha un attimo confuso e non so come procedere, vi scrivo la traccia di seguito e spero che qualcuno mi possa illuminare.
In un frigorifero sono conservate 5 provette sella sostanza A e 15 della sostanza B. La temperatura della sostanza A è modellata dalla v.a. gaussiana $T_A ~ N(0, 3)$ mentre quella della sostanza B è modellata da un'altra v.a. gaussiana $T_B ~ N(1, 2)$. Avendo misurato una temperatura minore di zero in una provetta scelta a caso, calcolare la probabilità di aver scelto la provetta con la sostanza A.
Sono partito col calcolarmi $P(A)=1/4$ e $P(B)=3/4$ poi, per quanto riguarda la probabilità di scelta in base alla temperatura, ho ipotizzato l'utilizzo della Q function però mi è venuto il dubbio sul come scrivere la temperatura minore di zero e stavo pensando di utilizzare una sua proprietà e cioè $1-Q((T_A - 0)/sqrt(3))$ ponendo $T_A=0$ ma non so se questo discorso sia effettivamente valido (cioè non so se quella scrittura mi descrive effettivamente una temperatura negativa) inoltre non ho capito quale sia il metodo per correlare la temperatura e la scelta di una provetta
Attendo vostre illuminazioni come sempre, grazie in anticipo
Ho un esercizio che mi ha un attimo confuso e non so come procedere, vi scrivo la traccia di seguito e spero che qualcuno mi possa illuminare.In un frigorifero sono conservate 5 provette sella sostanza A e 15 della sostanza B. La temperatura della sostanza A è modellata dalla v.a. gaussiana $T_A ~ N(0, 3)$ mentre quella della sostanza B è modellata da un'altra v.a. gaussiana $T_B ~ N(1, 2)$. Avendo misurato una temperatura minore di zero in una provetta scelta a caso, calcolare la probabilità di aver scelto la provetta con la sostanza A.
Sono partito col calcolarmi $P(A)=1/4$ e $P(B)=3/4$ poi, per quanto riguarda la probabilità di scelta in base alla temperatura, ho ipotizzato l'utilizzo della Q function però mi è venuto il dubbio sul come scrivere la temperatura minore di zero e stavo pensando di utilizzare una sua proprietà e cioè $1-Q((T_A - 0)/sqrt(3))$ ponendo $T_A=0$ ma non so se questo discorso sia effettivamente valido (cioè non so se quella scrittura mi descrive effettivamente una temperatura negativa) inoltre non ho capito quale sia il metodo per correlare la temperatura e la scelta di una provetta
Attendo vostre illuminazioni come sempre, grazie in anticipo
Risposte
"Marco Beta2":
In un frigorifero sono conservate 5 provette sella sostanza A e 15 della sostanza B. La temperatura della sostanza A è modellata dalla v.a. gaussiana $T_A ~ N(0, 3)$ mentre quella della sostanza B è modellata da un'altra v.a. gaussiana $T_B ~ N(1, 2)$.
Mentre sono conservate nello stesso frigo, queste sostanze hanno temperature casuali. Diverse. Mi sembra un po' strano ma ok.
"Marco Beta2":
Avendo misurato una temperatura minore di zero in una provetta scelta a caso, calcolare la probabilità di aver scelto la provetta con la sostanza A.
Sono partito col calcolarmi $P(A)=1/4$ e $P(B)=3/4$ poi, per quanto riguarda la probabilità di scelta in base alla temperatura, ho ipotizzato l'utilizzo della Q function però mi è venuto il dubbio sul come scrivere la temperatura minore di zero e stavo pensando di utilizzare una sua proprietà e cioè $1-Q((T_A - 0)/sqrt(3))$ ponendo $T_A=0$ ma non so se questo discorso sia effettivamente valido (cioè non so se quella scrittura mi descrive effettivamente una temperatura negativa) inoltre non ho capito quale sia il metodo per correlare la temperatura e la scelta di una provetta
Qual è la probabilità che una provetta A abbia una temperatura minore di 0? 0,5. Questo è facile.
Qual è la probabilità che una provetta B abbia una temperatura minore di 0?
Per il tuo ultimo commento: Il nome "Bayes" ti dice qualcosa?
"ghira":
Per il tuo ultimo commento: Il nome "Bayes" ti dice qualcosa?
Certo il teorema di Bayes $P(A|B)=(P(B|A)*P(A)) /(P(B))$
Adesso io conosco i seguentei eventi:
"Sostanza A con t<0 " = $1/2$
"Sostanza B con t<0" = $1/2$
e conosco un evento accaduto che è "Ho scelto la provetta A dato che aveva t<0"
Fin qui è corretto come ragionamento?
EDIT
dovrei anche avere però $P(t<0|"Scelta la provetta A")=1/5$ cioè la probabilità che venga scelta A dato che aveva t<0 idem anche per la B con valore $1/15$
"Marco Beta2":
"Sostanza B con t<0" = $1/2$
Questo no.
"ghira":
Questo no.
Forse ho capito il mio errore... dai un'occhiata adesso:
$P(t_B <0) = 1-Q((0-1)/sqrt 2) =1-Q((0-1)/ 1.41)= 1-Q(-0.70)=1-0.24=0.76$
"Marco Beta2":
dovrei anche avere però $P(t<0|"Scelta la provetta A")=1/5$ cioè la probabilità che venga scelta A dato che aveva t<0 idem anche per la B con valore $1/15$
$P(t<0|A) = 0,5$. Questo lo sappiamo.
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]
Questo no.
Forse ho capito il mio errore... dai un'occhiata adesso:
$P(t_B <0) = 1-Q((0-1)/sqrt 2) =1-Q((0-1)/ 1.41)= 1-Q(-0.70)=1-0.24=0.76$[/quote]
Non conoscevo $Q$. Forse è più comune, e anche più diretto in questo caso, usare $\Phi$.
"ghira":
Non conoscevo $Q$. Forse è più comune, e anche più diretto in questo caso, usare $\Phi$.
Ho notato spesso questo simbolo qui sul forum, qual è la differenza tra $\Phi$ e $Q$?
Adesso però, valutate per le due $t$ come si prosegue? Le sommo per farne una quantità unica?
Così su due piedi farei: $P("Sostanza A" | t_A <0)=(P(t_A<0|"Sostanza A")*P("Sostanza A"))/(P(t_A<0)) $
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]
Non conoscevo $Q$. Forse è più comune, e anche più diretto in questo caso, usare $\Phi$.
Ho notato spesso questo simbolo qui sul forum, qual è la differenza tra $\Phi$ e $Q$?
[/quote]
Dimmelo tu. O devo mandarti un link a https://it.lmgtfy.com/ ?
"Marco Beta2":
Adesso però, valutate per le due $t$ come si prosegue? Le sommo per farne una quantità unica?
Così su due piedi farei: $P("Sostanza A" | t_A <0)=(P(t_A<0|"Sostanza A")*P("Sostanza A"))/(P(t_A<0)) $
Sì. Edit: Non avevo visto subito $t_A$. Dovrebbe essere $t$, ma l'idea è quella, sì.
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]
Questo no.
$P(t_B <0) =0.76$[/quote]
Non può essere vero. La media di $B$ è maggiore di 0. Quindi $P(t_B <0)<0,5$.
"ghira":
Dimmelo tu. O devo mandarti un link a https://it.lmgtfy.com/ ?
Sarebbe la Q function per stabilire se $X
"ghira":
[quote="Marco Beta2"][quote="ghira"]
Questo no.
$P(t_B <0) =0.76$[/quote]
Non può essere vero. La media di $B$ è maggiore di 0. Quindi $P(t_B <0)<0,5$.[/quote]
Stavo scrivendo la risposta all'altro messaggio ma ho visto che avevi risposto e l'ho troncato... Come faccio ad ottenere $P(t_B <0)<0,5$? Non ci sono grandissimi calcoli da fare o sbaglio?
"Marco Beta2":
Come faccio ad ottenere $P(t_B <0)<0,5$? Non ci sono grandissimi calcoli da fare o sbaglio?
No, non ci sono grossi calcoli da fare. Se mi dici che la somma di un elenco di numeri positivi è negativo, ti dico "Non è vero" senza fare calcoli. Siamo più o meno in una situazione così.
Ci sono problemi più evidenti. Una probabilità negativa. Una probabilità maggiore di uno. La somma delle probabilità di tutti gli eventi non è 1. Ma in questo problema "$P(t_B <0)>0,5$" dovrebbe provocare una reazione di "Un attimo. Non può essere vero. Cosa ho fatto?"
Dici che il problema è mal posto? Oppure che ho sbagliato io qualcosa? Perchè fino ad ora ho calcolato solo la $Phi$ delle temperature e onestamente non saprei dove ho sbagliato anche perchè il problema mi è stato tutto poco chiaro dall'inizio ed ho chiesto qui sul forum 
"Marco Beta2":
Dici che il problema è mal posto?
No.
"Marco Beta2":
Oppure che ho sbagliato io qualcosa?
Sì. Quella parte della tua soluzione non supera il "controllo sanità".
"ghira":
Sì. Quella parte della tua soluzione non supera il "controllo sanità".
Facciamo un attimo il punto... Dici questa? $P("Sostanza A" | t_A <0)=(P(t_A<0|"Sostanza A")*P("Sostanza A"))/(P(t_A<0)) $ Inoltre se non sbaglio anche $t_B$ aveva problemi no?
Ho detto:
In questo problema "$P(t_B<0)>0,5$" dovrebbe provocare una reazione di "Un attimo. Non può essere vero. Cosa ho fatto?"
In questo problema "$P(t_B<0)>0,5$" dovrebbe provocare una reazione di "Un attimo. Non può essere vero. Cosa ho fatto?"
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]
Sì. Quella parte della tua soluzione non supera il "controllo sanità".
Facciamo un attimo il punto... Dici questa? $P("Sostanza A" | t_A <0)=(P(t_A<0|"Sostanza A")*P("Sostanza A"))/(P(t_A<0)) $ [/quote]
Anche qui c'è un problema, in realtà. Dovresti dire $t<0$ non $t_A<0$.
Comunque, come so che $P(t_B<0)<0,5$? Cosa sappiamo di $t_B$? Ti ho anche detto come lo so, in realtà.
"ghira":
Comunque, come so che $P(t_B<0)<0,5$? Cosa sappiamo di $t_B$? Ti ho anche detto come lo so, in realtà.
Penso che $t_B$ dovrebbe essere al massimo $0,5$ perchè una volta fatta la somma (di $t_A + t_B$) la probabilità dovrebbe essere $1$ e non $1,26$ come adesso, inoltre, un altro problema potrebbe derivare da una cosa che tu prima hai scritto che cito di seguito:
"ghira":
... La media di $ B $ è maggiore di 0. Quindi $ P(t_B <0)<0,5 $.
e mi sfugge il perchè. Spero di aver beccato il punto della situazione.
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]
Comunque, come so che $P(t_B<0)<0,5$? Cosa sappiamo di $t_B$? Ti ho anche detto come lo so, in realtà.
Penso che $t_B$ dovrebbe essere al massimo $0,5$ perchè una volta fatta la somma (di $t_A + t_B$) la probabilità dovrebbe essere $1$ e non $1,26$ come adesso,
[/quote]
Cosa? $t_A$ è la temperatura di una provetta di tipo A e $t_B$ è la temperatura di una provetta B, no? Non sono probabilità. La loro somma può essere qualsiasi cosa. E non è utile conoscerla.
Mi hai detto tu la distribuzione di $t_B$. Non è vero che è al massimo $0,5$.
Parlami della distribuzione di $t_B$. Come mai con i miei poteri magici so che $P(t_B<0)<0,5$ solamente con le informazioni che tu mi hai dato?
"ghira":
Parlami della distribuzione di $t_B$. Come mai con i miei poteri magici so che $P(t_B<0)<0,5$ solamente con le informazioni che tu mi hai dato?
Hai fatto questo discorso?
$Z=((0-1)/sqrt2)=-0.5$
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