Staffetta matematica (ex-Maratona)
Salve a tutti.
Anche se non sapevo risolverne uno (
) mi ero molto appassionato alla maratona di problemi che TomSawyer aveva iniziato molto tempo fa, ormai abbandonata e scivolata in pagine vecchie. Che ne dite di riprenderla in questa discussione?
Se l'idea vi va, qualcuno posti un problema in questa discussione. Le regole sono le stesse: chi risolve per primo il problema "in concorso" ha diritto a postare un altro problema a propria scelta, oppure può incaricare un altro utente di postare al proprio posto. Chi vuole cominciare?
P.S.: si ringraziano ovviamente per l'idea TomSawyer e gli utenti che hanno partecipato alla vecchia maratona!
Salve e buon problema a tutti!
andrew.cgs
Anche se non sapevo risolverne uno (
) mi ero molto appassionato alla maratona di problemi che TomSawyer aveva iniziato molto tempo fa, ormai abbandonata e scivolata in pagine vecchie. Che ne dite di riprenderla in questa discussione?Se l'idea vi va, qualcuno posti un problema in questa discussione. Le regole sono le stesse: chi risolve per primo il problema "in concorso" ha diritto a postare un altro problema a propria scelta, oppure può incaricare un altro utente di postare al proprio posto. Chi vuole cominciare?
P.S.: si ringraziano ovviamente per l'idea TomSawyer e gli utenti che hanno partecipato alla vecchia maratona!
Salve e buon problema a tutti!
andrew.cgs
Risposte
Siano $n,m\in NN$. Se $24|mn+1$, allora $24|m+n$.
Simpatico
Quando mn+1 è divisibile per 3?
Riferendo m e n ai multipli di 6 (tenuto
conto che, necessariamente, sono
entrambi dispari e primi con 3), poiché:
(6a±1)(6b±1) = 6c+1 ,
bisognerà che il prodotto mn sia del tipo
(6a+1)(6b-1) oppure (6a-1)(6b+1).
Quindi possiamo senz'altro considerare:
mn+1 = (6h-1)(6j+1)+1 = 6·(6hj+h-j)
e
m+n = 6·(h+j).
Quando un numero del tipo 6hj+h-j è
divisibile per 4?
Sicuramente è pari solo se possiamo porre
h = r+s e j = r-s (per certi r ed s),
cioè:
6hj+h-j = 2·[3·r²-s(3s-1)]
ma risulta divisibile per 4 solo se r = 2t:
6hj+h-j = 4·[3·t²-½·s(3s-1)].
Perciò abbiamo: h = 2t+s, j = 2t-s.
Dunque, se:
mn+1 = 6·(6hj+h-j) = 24·[3·t²-½·s(3s-1)]
allora:
m+n = 6·(h+j) = 24·t.
(Salvo sviste.)
Ciao a tutti!
Quando mn+1 è divisibile per 3?
Riferendo m e n ai multipli di 6 (tenuto
conto che, necessariamente, sono
entrambi dispari e primi con 3), poiché:
(6a±1)(6b±1) = 6c+1 ,
bisognerà che il prodotto mn sia del tipo
(6a+1)(6b-1) oppure (6a-1)(6b+1).
Quindi possiamo senz'altro considerare:
mn+1 = (6h-1)(6j+1)+1 = 6·(6hj+h-j)
e
m+n = 6·(h+j).
Quando un numero del tipo 6hj+h-j è
divisibile per 4?
Sicuramente è pari solo se possiamo porre
h = r+s e j = r-s (per certi r ed s),
cioè:
6hj+h-j = 2·[3·r²-s(3s-1)]
ma risulta divisibile per 4 solo se r = 2t:
6hj+h-j = 4·[3·t²-½·s(3s-1)].
Perciò abbiamo: h = 2t+s, j = 2t-s.
Dunque, se:
mn+1 = 6·(6hj+h-j) = 24·[3·t²-½·s(3s-1)]
allora:
m+n = 6·(h+j) = 24·t.
(Salvo sviste.)
Ciao a tutti!
altra soluzione usando le congruenze. (ovviamente il diritto di postare il prossimo problema spetta a Bruno)
$mn+1\equiv_3 0 \leftrightarrow mn\equiv_3 2$ La sola possibilità è che sia (a meno di simmetriche) $m\equiv_3 2$ e $n\equiv_3 1$. Allora è chiaro che $3|m+n$. Andiamo avanti: $mn+1\equiv_8 0 \leftrightarrow mn\equiv_8 7$. Le possibilità per $m$ e $n$ sono: $m\equiv_8 1$ e $n\equiv_8 7$ oppure $m\equiv_8 3$ e $n\equiv_8 5$ (e simmetriche). Allora è chiaro che $8|m+n$. Dunque $24|m+n$
$mn+1\equiv_3 0 \leftrightarrow mn\equiv_3 2$ La sola possibilità è che sia (a meno di simmetriche) $m\equiv_3 2$ e $n\equiv_3 1$. Allora è chiaro che $3|m+n$. Andiamo avanti: $mn+1\equiv_8 0 \leftrightarrow mn\equiv_8 7$. Le possibilità per $m$ e $n$ sono: $m\equiv_8 1$ e $n\equiv_8 7$ oppure $m\equiv_8 3$ e $n\equiv_8 5$ (e simmetriche). Allora è chiaro che $8|m+n$. Dunque $24|m+n$
OK, il turno passa a Bruno.
@ Bruno
Posti un problema oppure vuoi incaricare qualcuno al tuo posto?
@ Bruno
Posti un problema oppure vuoi incaricare qualcuno al tuo posto?
Passo la palla, Andrew, adesso sono piuttosto
impegnato per cercare un quiz da proporre.
Ciao
impegnato per cercare un quiz da proporre.
Ciao
Ok.
Albe, vuoi proporre tu un quesito, visto che hai dato anche tu una risposta?
Albe, vuoi proporre tu un quesito, visto che hai dato anche tu una risposta?
Qua si passa la patata bollente...
Vada per questo. (Qualcuno potrebbe averlo già visto)
Dimostrare che se $x,y,z$ sono reali maggiori o uguali di uno tali che
$1/x+1/y+1/z=2$
allora vale la seguente disuguaglianza:
$\sqrt(x+y+z)\geq\sqrt(x-1)+\sqrt(y-1)+\sqrt(z-1)$
Buon lavoro
Vada per questo. (Qualcuno potrebbe averlo già visto)
Dimostrare che se $x,y,z$ sono reali maggiori o uguali di uno tali che
$1/x+1/y+1/z=2$
allora vale la seguente disuguaglianza:
$\sqrt(x+y+z)\geq\sqrt(x-1)+\sqrt(y-1)+\sqrt(z-1)$
Buon lavoro
Ho un imbarazzante inconveniente.
Il risultato a cui giungo alla fine mi nega la tesi, non la convalida, anche se sicuramente è vera (ho fatto delle prove).
Posto il ragionamento, sperando che qualcuno mi corregga.
$\sqrt(x+y+z)\geq\sqrt(x-1)+\sqrt(y-1)+\sqrt(z-1)$
L'uguaglianza si ha per $x=y=z=3/2$
Considero la diseguaglianza da verificare e la quadro. Ottengo
$x+y+z>=(x-1)+(y-1)+(z-1)+2sqrt((x-1)(y-1))+2sqrt((y-1)(z-1))+2sqrt((x-1)(z-1))$
ovvero, più semplicemente
$sqrt((x-1)(y-1))+sqrt((y-1)(z-1))+sqrt((x-1)(z-1))<=3/2$
ma d'altra parte, per AM-GM (applicata a x-1 e y-1, poi y-1 e z-1 infine x-1 e z-1)
$(x+y-2)/2+(x+z-2)/2+(y+z-2)/2>=sqrt((x-1)(y-1))+sqrt((y-1)(z-1))+sqrt((x-1)(z-1))$
Quindi, se risultasse AM<3/2, avrei anche GM<3/2, ovvero la tesi
$(x+y-2)/2+(x+z-2)/2+(y+z-2)/2<3/2$ ovvero
$x+y+z<=9/2$
Praticamente se questa è vera, ho la tesi. Vedo che l'uguaglianza continua ad esserci per $x=y=z=3/2$
Si ha
$\frac{x+y+z}{3}>=\frac{3}{1/x+1/y+1/z}=3/2$ HM-AM
da cui
$x+y+z>=9/2$
ovvero l'esatto opposto di quello che dovevo mostrare!
Grazie a chi voglia dirmi l'errore che c'è dietro
Il risultato a cui giungo alla fine mi nega la tesi, non la convalida, anche se sicuramente è vera (ho fatto delle prove).
Posto il ragionamento, sperando che qualcuno mi corregga.
$\sqrt(x+y+z)\geq\sqrt(x-1)+\sqrt(y-1)+\sqrt(z-1)$
L'uguaglianza si ha per $x=y=z=3/2$
Considero la diseguaglianza da verificare e la quadro. Ottengo
$x+y+z>=(x-1)+(y-1)+(z-1)+2sqrt((x-1)(y-1))+2sqrt((y-1)(z-1))+2sqrt((x-1)(z-1))$
ovvero, più semplicemente
$sqrt((x-1)(y-1))+sqrt((y-1)(z-1))+sqrt((x-1)(z-1))<=3/2$
ma d'altra parte, per AM-GM (applicata a x-1 e y-1, poi y-1 e z-1 infine x-1 e z-1)
$(x+y-2)/2+(x+z-2)/2+(y+z-2)/2>=sqrt((x-1)(y-1))+sqrt((y-1)(z-1))+sqrt((x-1)(z-1))$
Quindi, se risultasse AM<3/2, avrei anche GM<3/2, ovvero la tesi
$(x+y-2)/2+(x+z-2)/2+(y+z-2)/2<3/2$ ovvero
$x+y+z<=9/2$
Praticamente se questa è vera, ho la tesi. Vedo che l'uguaglianza continua ad esserci per $x=y=z=3/2$
Si ha
$\frac{x+y+z}{3}>=\frac{3}{1/x+1/y+1/z}=3/2$ HM-AM
da cui
$x+y+z>=9/2$
ovvero l'esatto opposto di quello che dovevo mostrare!
Grazie a chi voglia dirmi l'errore che c'è dietro
l'errore sta nel fatto che non è detto che $AM<3/2$.
E' vero che se è $AM<3/2$ hai la disuguglianza, ma non è detto che se vale la disuguaglianza $AM<3/2$
E' vero che se è $AM<3/2$ hai la disuguglianza, ma non è detto che se vale la disuguaglianza $AM<3/2$
Va bene, grazie per il chiarimento 
un piccolo suggerimento...
Ringrazio Albe per il suggerimento (mi ero impelagato con $sqrt(x-1)=sqrt(x(x-1))sqrt(1/x)$, a volte la soluzione è proprio dietro l'angolo...).
$sqrt(x-1)+sqrt(y-1)+sqrt(z-1)=sqrt(x)sqrt(1-1/x)+sqrt(y)sqrt(1-1/y)+sqrt(z)sqrt(1-1/z)stackrel("Cauchy-Schwarz")(<=)sqrt(x+y+z)sqrt(1-1/x+1-1/y+1-1/z)=sqrt(x+y+z)$.
$sqrt(x-1)+sqrt(y-1)+sqrt(z-1)=sqrt(x)sqrt(1-1/x)+sqrt(y)sqrt(1-1/y)+sqrt(z)sqrt(1-1/z)stackrel("Cauchy-Schwarz")(<=)sqrt(x+y+z)sqrt(1-1/x+1-1/y+1-1/z)=sqrt(x+y+z)$.
Sia $n$ un intero positivo. Quante coppie ordinate di interi positivi $(x,y)$ soddisfano l'equazione $(xy)/(x+y)=n$ ?
Domanda: x, y e n devono essere distinti o no? perchè altrimenti basta che sia $x=y=2k$ e si ha $(4k^2)/(4k)=k=n$
e le coppie sono infinite..
e le coppie sono infinite..
"Benny":
Domanda: x, y e n devono essere distinti o no? perchè altrimenti basta che sia $x=y=2k$ e si ha $(4k^2)/(4k)=k=n$
e le coppie sono infinite..
Al più puoi dire di aver trovato una soluzione, e precisamente $(2n,2n)$. $n$ è fissato, non è vero in generale che $k=n$.
ecco xk non mi piaceva la maratona... xk invece che giochi matematici, erano sl problemi di teoria dei numeri tipo dimostrare disuguaglianze o calcolare delle serie.
Ah quindi bisogna trovare il numero di coppie per un dato $n$. Non saprei dimostrarlo, ma sperimentalmente mi pare si abbia che il numero di coppie $(x,y)$ corrisponda al numero delle coppie di fattori di $n$.
Si può riscrivere la formula ponendo $x=a*(a+b)$ e $y=b*(a+b)$ per cui
$(a*b*(a+b)^2)/((a+b)^2)=ab$
A qualcuno più bravo di me la dimostrazione (sempre premesso che non abbia sbagliato)...
P.S. Mi scuso se non ho messo il testo nascosto, non ho trovato il comando tra le istruzioni del forum
Si può riscrivere la formula ponendo $x=a*(a+b)$ e $y=b*(a+b)$ per cui
$(a*b*(a+b)^2)/((a+b)^2)=ab$
A qualcuno più bravo di me la dimostrazione (sempre premesso che non abbia sbagliato)...
P.S. Mi scuso se non ho messo il testo nascosto, non ho trovato il comando tra le istruzioni del forum
"Benny":
mi pare si abbia che il numero di coppie $(x,y)$ corrisponda al numero delle coppie di fattori di $n$.
E' sbagliato, ma non sei troppo lontana dalla soluzione.
Allora..intanto riscriverei la cosa.
Devo trovare $(x,y)$ tali che $(xy)/(x+y)=n$ cioè $xy-nx-ny+n^2=n^2$ ovvero $(x-n)(y-n)=n^2$ dunque le coppie ordinate $(x,y)$ sono il numero di divisori di $n^2$.
Ehm funziona?..
Devo trovare $(x,y)$ tali che $(xy)/(x+y)=n$ cioè $xy-nx-ny+n^2=n^2$ ovvero $(x-n)(y-n)=n^2$ dunque le coppie ordinate $(x,y)$ sono il numero di divisori di $n^2$.
Ehm funziona?..
"Albe":
le coppie ordinate $(x,y)$ sono il numero di divisori di $n^2$.
Ehm funziona?..
Funziona. Per inciso: se $n=prod_(j=1)^k p_j^(a_j)$ il numero di divisori di $n^2$ è $prod_(j=1)^k(2a_j+1)$. A te.
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