Staffetta matematica (ex-Maratona)
Salve a tutti.
Anche se non sapevo risolverne uno (
) mi ero molto appassionato alla maratona di problemi che TomSawyer aveva iniziato molto tempo fa, ormai abbandonata e scivolata in pagine vecchie. Che ne dite di riprenderla in questa discussione?
Se l'idea vi va, qualcuno posti un problema in questa discussione. Le regole sono le stesse: chi risolve per primo il problema "in concorso" ha diritto a postare un altro problema a propria scelta, oppure può incaricare un altro utente di postare al proprio posto. Chi vuole cominciare?
P.S.: si ringraziano ovviamente per l'idea TomSawyer e gli utenti che hanno partecipato alla vecchia maratona!
Salve e buon problema a tutti!
andrew.cgs
Anche se non sapevo risolverne uno (
) mi ero molto appassionato alla maratona di problemi che TomSawyer aveva iniziato molto tempo fa, ormai abbandonata e scivolata in pagine vecchie. Che ne dite di riprenderla in questa discussione?Se l'idea vi va, qualcuno posti un problema in questa discussione. Le regole sono le stesse: chi risolve per primo il problema "in concorso" ha diritto a postare un altro problema a propria scelta, oppure può incaricare un altro utente di postare al proprio posto. Chi vuole cominciare?
P.S.: si ringraziano ovviamente per l'idea TomSawyer e gli utenti che hanno partecipato alla vecchia maratona!
Salve e buon problema a tutti!
andrew.cgs
Risposte
Giusta precisazione...
Per accontentare anche coloro che odiano teoria dei numeri e le disugualianze..
Siano dati cinque punti su una sfera, allora esiste un emisfero (compreso l'equatore) che contiene almeno quattro di questi.
Buon lavoro!!
Per accontentare anche coloro che odiano teoria dei numeri e le disugualianze..
Siano dati cinque punti su una sfera, allora esiste un emisfero (compreso l'equatore) che contiene almeno quattro di questi.
Buon lavoro!!
teniamo sott'occhio una figuar ben fatta per fissare le idee:
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Mi ... odet29.gif
siano $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ questi punti. Allora prendiamo tre di essi e facciamo passare una circonferenza per essi, essa esiste ed è unica. Come si vede nella figuara, una sfera può essere generata da una parametrizzazione di circonferenze che variano di raggio, oppure semplicemente con coordiante sferiche. Possiamo fissare quindi una sua equatore.
Allora a meno di una rotazione la circonferenza che passa per i nostri tre punti ($S^1$), si trova parallela alla circonferenza passante per l'equatore ($S^(1^1)$). allora mettiamo che i tre punti considerati siano $x_2,x_3,x_4$. Quando scegliamo questi tre punti lo dobbiamo fare in modo tale che $x_1$ e $x_5$ siano divisi da questa circonferenza $S^1$ (Questo è sempre possibile a meno di una reindicizzazione dei punti).
Siano quindi $d(x_1,S^1)=r_1$ e $d(x_5,S^1)=r_2$ e consideriamo $r=min{r_1,r_2}$, mettiamo che sia $r_1=r$. Utilizziamolo come altezza per costruire una linea curvilinea che collega due punti che si trovano su $S_1$ a $x_1$ . Ovviamente la figura creata è quella che ha il volume più piccolo tra le due possibili che si potevano creare. Inoltre $r_1<=h$ con h la distanza tra $S_1$ e il polo più vicino ad essa. inoltre $h<=z$ con z il raggio della sfera.
Allora Il volume della nostra figura è minore o uguale al volume di un emisfero. Quindi, essendo $S^1$//$S^(1^1)$, la nostra figuara è contenuta nell'emisfero, cvd.
Nota: se $d(x_1,x_5)<=z$ allora nell'emisfero è possibile inglobare tutti e cinque i punti.
spero si capiscan bene tutti i passaggi della dimostrazione molto costruttiva
notte
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Mi ... odet29.gif
siano $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ questi punti. Allora prendiamo tre di essi e facciamo passare una circonferenza per essi, essa esiste ed è unica. Come si vede nella figuara, una sfera può essere generata da una parametrizzazione di circonferenze che variano di raggio, oppure semplicemente con coordiante sferiche. Possiamo fissare quindi una sua equatore.
Allora a meno di una rotazione la circonferenza che passa per i nostri tre punti ($S^1$), si trova parallela alla circonferenza passante per l'equatore ($S^(1^1)$). allora mettiamo che i tre punti considerati siano $x_2,x_3,x_4$. Quando scegliamo questi tre punti lo dobbiamo fare in modo tale che $x_1$ e $x_5$ siano divisi da questa circonferenza $S^1$ (Questo è sempre possibile a meno di una reindicizzazione dei punti).
Siano quindi $d(x_1,S^1)=r_1$ e $d(x_5,S^1)=r_2$ e consideriamo $r=min{r_1,r_2}$, mettiamo che sia $r_1=r$. Utilizziamolo come altezza per costruire una linea curvilinea che collega due punti che si trovano su $S_1$ a $x_1$ . Ovviamente la figura creata è quella che ha il volume più piccolo tra le due possibili che si potevano creare. Inoltre $r_1<=h$ con h la distanza tra $S_1$ e il polo più vicino ad essa. inoltre $h<=z$ con z il raggio della sfera.
Allora Il volume della nostra figura è minore o uguale al volume di un emisfero. Quindi, essendo $S^1$//$S^(1^1)$, la nostra figuara è contenuta nell'emisfero, cvd.
Nota: se $d(x_1,x_5)<=z$ allora nell'emisfero è possibile inglobare tutti e cinque i punti.
spero si capiscan bene tutti i passaggi della dimostrazione molto costruttiva
notte
Quando scegliamo questi tre punti lo dobbiamo fare in modo tale che x1 e x5 siano divisi da questa circonferenza S1 (Questo è sempre possibile a meno di una reindicizzazione dei punti).Cosa intendi con questo passaggio? In che senso divisi?
Io ho pensato a questo (per spiegarmi meglio prendo in prestito dei concetti dalla geografia...): siano dati 4 punti su una sfera. La disposizione polo sud - polo nord - polo est - polo ovest (tutti i punti stanno su un meridiano - cerchio massimo) fa in modo che la distanza tra i punti sia massima. L'emisfero boreale o l'emisfero australe inglobano 3 dei 4 punti. Per pigeonhole un quinto punto deve trovarsi in uno dei due emisferi. Fatto.
La prima parte non è proprio convincente, dacchè si basa più che altro sull'intuizione.
La prima parte non è proprio convincente, dacchè si basa più che altro sull'intuizione.
Il problema è più semplice di quel che sembra, vorrei poi sottolineare quel "compreso l'equatore"
@elgiovo
Forse non capisco bene, però il quinto punto non deve trovarsi per forza nell'emisfero che contiene i tre punti. Si trova sicuramente in uno dei due ma non certamente in quello con 3 punti.
Il pigenhole centra..
@elgiovo
L'emisfero boreale o l'emisfero australe inglobano 3 dei 4 punti. Per pigeonhole un quinto punto deve trovarsi in uno dei due emisferi.
Forse non capisco bene, però il quinto punto non deve trovarsi per forza nell'emisfero che contiene i tre punti. Si trova sicuramente in uno dei due ma non certamente in quello con 3 punti.
Il pigenhole centra..
Si trova sicuramente in uno dei due ma non certamente in quello con 3 punti.
Il fatto è che se vale quello che ho detto prima, e cioè che la configurazione che massimizza la distanza tra i punti è quella sopra, allora un punto si trova sul polo sud, uno sul polo nord, gli altri due si trovano sull'equatore. Proprio perchè un emisfero comprende l'equatore esso conterrà certamente 3 dei quattro punti. A questo punto la sfera è divisa in due emisferi contenenti ciascuno 3 punti (due sono in comune, quelli sull'equatore). Un quinto punto (piccione) si deve trovare necessariamente su uno dei due emisferi (buche) $to$ uno dei due emisferi contiene 4 punti. Spero di essermi spiegato meglio.
Ora mi è chiaro cosa intendevi fare nella prima parte!!!! Però la prima parte andrebbe giustficata...altrimenti pensa ad una soluzione che non coinvolga le distanze..
Però la prima parte andrebbe giustficata...altrimenti pensa ad una soluzione che non coinvolga le distanze..
@ albe:
divisi nel senso che se la circonferenza $S^1$ contiene solo tre di questi punti, allora essa la possiamo sottrarre alla sfera e in questo modo $S^2$ \ $S^1$ è disconnessa, $x_1$ appartiene a una sua componente connessa di $S^2$ \ $S^1$ e $x_5$ all'altra.
è più chiaro ora? va bene?
(ovviamente se 4 o più punti son sulla stessa circonferenza è il caso banale)
divisi nel senso che se la circonferenza $S^1$ contiene solo tre di questi punti, allora essa la possiamo sottrarre alla sfera e in questo modo $S^2$ \ $S^1$ è disconnessa, $x_1$ appartiene a una sua componente connessa di $S^2$ \ $S^1$ e $x_5$ all'altra.
è più chiaro ora? va bene?
(ovviamente se 4 o più punti son sulla stessa circonferenza è il caso banale)
come fai a giustificare che è sempre possibile reindicizzare in modo che si verifichi una tale situazione?
Cioè (magari sono io che non capisco (molto probabile!)) sappiamo che $S^1$ è parallelo all'equatore $(S^1)^1$ dunque i punti $x_2,x_3,x_4$ sono tutti in uno dei due emisferi che sono definiti dall'equatore $(S^1)^1$.
Tu dici che a meno di reindicizzazioni $x_1$ sta sotto $S^1$ e $x_5$ sta sopra. Ovvero dici che a meno di reindicizzazioni ci sono quattro punti in un emisfero. Questo andrebbe giustificato visto che è il problema...o sbaglio?
Cioè (magari sono io che non capisco (molto probabile!)) sappiamo che $S^1$ è parallelo all'equatore $(S^1)^1$ dunque i punti $x_2,x_3,x_4$ sono tutti in uno dei due emisferi che sono definiti dall'equatore $(S^1)^1$.
Tu dici che a meno di reindicizzazioni $x_1$ sta sotto $S^1$ e $x_5$ sta sopra. Ovvero dici che a meno di reindicizzazioni ci sono quattro punti in un emisfero. Questo andrebbe giustificato visto che è il problema...o sbaglio?
Il piano determinato da due dei punti sulla sfera e dal centro della sfera definisce su di essa due emisferi. Per pigeonhole due dei tre punti rimanenti sono in uno dei due emisferi. Fatto.
Ottimo!!!
Considero 2 punti $x_1$ e $x_2$ e la circonferenza di raggio massimo che li contiene (è un equatore), gli altri 3 punti possono stare
a) tutti e 3 dalla stessa parte dell'equatore, allora è questo l'emisfero che risove il problema;
b) 2 da una parte e 1 dall'altra, l'emisfero che risolve il problema è quello che contiene i 2 punti;
c) i punti sull'equatore sono 3, e i restanti sono 1 da una parte e 1 dall'altra, entrambi gli emisferi soddisfano la condizione
d) i punti sull'equatore sono 3, e i restanti sono entrambi dalla stessa parte che individua l'emisfero che risove il problema,
e) i punti sull'equatore sono 4, entrambi gli emisferi soddisfano il problema
f) i punti sull'equatore sono 5, entrambi gli emisferi soddisfano il problema
a) tutti e 3 dalla stessa parte dell'equatore, allora è questo l'emisfero che risove il problema;
b) 2 da una parte e 1 dall'altra, l'emisfero che risolve il problema è quello che contiene i 2 punti;
c) i punti sull'equatore sono 3, e i restanti sono 1 da una parte e 1 dall'altra, entrambi gli emisferi soddisfano la condizione
d) i punti sull'equatore sono 3, e i restanti sono entrambi dalla stessa parte che individua l'emisfero che risove il problema,
e) i punti sull'equatore sono 4, entrambi gli emisferi soddisfano il problema
f) i punti sull'equatore sono 5, entrambi gli emisferi soddisfano il problema
Peccato per Amelia che ha postato 5 minuti più tardi..
scusate, ma che cos'è "pigeonhole" che è la parola chiave della dimostrazione di elgiovo?
comunque il mio reidiczzare intendevo che se prendo tre punti, per essi ci passa una e una sola circonferenza della sfera, gli altri due punti si possono trovare quindi o uno sotto e uno sopra, o tutti e due da un lato, se si verifica questo caso, allora non considero più la circonferenza passante per i tre punti di prima, ma un altra per altri tre punti, a questo punto mi rifaccio la stessa domanda.
Se non la riuscissi a trovare, vorrebbe dire che la sfera è uno spazio in cui, per ogni circonferenza tolta dalla sfera, rimangono connessi per archi sempre cioè esiste una parte della sfera che non può essere mai separata dal resto, che è assurdo, o no?
comunque il mio reidiczzare intendevo che se prendo tre punti, per essi ci passa una e una sola circonferenza della sfera, gli altri due punti si possono trovare quindi o uno sotto e uno sopra, o tutti e due da un lato, se si verifica questo caso, allora non considero più la circonferenza passante per i tre punti di prima, ma un altra per altri tre punti, a questo punto mi rifaccio la stessa domanda.
Se non la riuscissi a trovare, vorrebbe dire che la sfera è uno spazio in cui, per ogni circonferenza tolta dalla sfera, rimangono connessi per archi sempre cioè esiste una parte della sfera che non può essere mai separata dal resto, che è assurdo, o no?
"Albe":
Peccato per Amelia che ha postato 5 minuti più tardi..
Se Amelia vuol postare un problema è comunque benvenuta. Altrimenti provvederò io.
"fu^2":
scusate, ma che cos'è "pigeonhole" che è la parola chiave della dimostrazione di elgiovo?
http://en.wikipedia.org/wiki/Pigeonhole_principle
Caro elgiovo, fai pure
Mi diverte di più cercare di risolvere i problemi che pensarli.
Comunque, grazie per la cavalleria
Mi diverte di più cercare di risolvere i problemi che pensarli.
Comunque, grazie per la cavalleria
"amelia":
Mi diverte di più cercare di risolvere i problemi che pensarli.
Mi pare giusto. Mostrare che $(n+2)| sum_(k=0)^n(k+1)((n),(k))$.
"elgiovo":
Mostrare che $(n+2)| sum_(k=0)^n(k+1)((n),(k))$.
Innanzitutto $sum_(k=0)^n ((n),(k))=2^n$.
Poiché $k((n),(k))=n((n-1),(k-1))$ si ha che
$sum_(k=0)^n k((n),(k))=sum_(k=1)^n n((n-1),(k-1))=nsum_(t=0)^(n-1)((n-1),(t))=n2^(n-1)$.
Sommando i 2 contributi:
$sum_(k=0)^n(k+1)((n),(k))=2^n+n2^(n-1)=2^(n-1)(n+2)$
da cui l'asserto.
La parola a chi la prende per primo.
Dire qual è il maggiore tra $2001!$ e $1001^2001$. La soluzione di questo è carinissima. A voi
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