Staffetta matematica (ex-Maratona)
Salve a tutti.
Anche se non sapevo risolverne uno (
) mi ero molto appassionato alla maratona di problemi che TomSawyer aveva iniziato molto tempo fa, ormai abbandonata e scivolata in pagine vecchie. Che ne dite di riprenderla in questa discussione?
Se l'idea vi va, qualcuno posti un problema in questa discussione. Le regole sono le stesse: chi risolve per primo il problema "in concorso" ha diritto a postare un altro problema a propria scelta, oppure può incaricare un altro utente di postare al proprio posto. Chi vuole cominciare?
P.S.: si ringraziano ovviamente per l'idea TomSawyer e gli utenti che hanno partecipato alla vecchia maratona!
Salve e buon problema a tutti!
andrew.cgs
Anche se non sapevo risolverne uno (
) mi ero molto appassionato alla maratona di problemi che TomSawyer aveva iniziato molto tempo fa, ormai abbandonata e scivolata in pagine vecchie. Che ne dite di riprenderla in questa discussione?Se l'idea vi va, qualcuno posti un problema in questa discussione. Le regole sono le stesse: chi risolve per primo il problema "in concorso" ha diritto a postare un altro problema a propria scelta, oppure può incaricare un altro utente di postare al proprio posto. Chi vuole cominciare?
P.S.: si ringraziano ovviamente per l'idea TomSawyer e gli utenti che hanno partecipato alla vecchia maratona!
Salve e buon problema a tutti!
andrew.cgs
Risposte
"Albe":
Dire qual è il maggiore tra $2001!$ e $1001^2001$. La soluzione di questo è carinissima. A voi
Sia $A={1,2,...,2001}$ l'insieme contenente i primi 2001 numeri naturali, allora $(2001!)=(GM(A))^2001$ e $1001^2001=(AM(A))^2001$, dove con $GM(A)$ si è indicata la media geometrica degli elementi di $A$, e con $AM(A)$ si è indicata la media aritmetica degli elementi di $A$.
Dato che
$GM(A)
$(GM(A))^2001<(AM(A))^2001$ cioé
$2001!<1001^2001$.
Prossimo quesito:
http://www.matematicamente.it/forum/1-xyn-lt1-x-e-yn-vt28297.html
Dalla disuguaglianza $(1+x)^n <= e^{nx}$ valida per $x>=0$ e $n>0$ segue $(1-xy)^n <= e^{-nxy}$.
Poi usando la disuguaglianza $x^n <= 1+n(x-1)$ valida per $x>0$ e $n<1$ abbiamo $e^{-nxy} = (e^{-ny})^x <= 1+x(e^{-ny}-1) = 1-x+xe^{-ny}$.
Poichè nel nostro caso $x<=1$ otteniamo $(1-xy)^n <= 1-x+e^{-ny}$.
Lascio a voi il prossimo quesito, poi se mi viene in mente qualcosa di interessante la propongo.
Poi usando la disuguaglianza $x^n <= 1+n(x-1)$ valida per $x>0$ e $n<1$ abbiamo $e^{-nxy} = (e^{-ny})^x <= 1+x(e^{-ny}-1) = 1-x+xe^{-ny}$.
Poichè nel nostro caso $x<=1$ otteniamo $(1-xy)^n <= 1-x+e^{-ny}$.
Lascio a voi il prossimo quesito, poi se mi viene in mente qualcosa di interessante la propongo.
Allora se non vi dispiace ne propongo un altro:
Per $p_1,p_2,...,p_m >=0$ e $q_1,q_2,...,q_m>=0$ mostrare che
$(sum_(i=1)^m p_i)/(sum_(i=1)^m q_i)>= min_i p_i/q_i$
Per $p_1,p_2,...,p_m >=0$ e $q_1,q_2,...,q_m>=0$ mostrare che
$(sum_(i=1)^m p_i)/(sum_(i=1)^m q_i)>= min_i p_i/q_i$
W.l.o.g. si può assumere che $0<=p_1<=p_2<=ldots<=p_m$ e $0<=q_m<=q_(m-1)<=ldots<=q_1$. Da ciò discende che $min_(1<=i<=m){(p_i)/(q_i)}=(p_1)/(q_1)$.
$(sum_(i=1)^m p_i)/(sum_(i=1)^m q_i)=(m cdot "AM"_p)/(m cdot "AM"_q)>=(min_(1<=i<=m){p_i})/("AM"_q)>=(min_(1<=i<=m){p_i})/(max_(1<=i<=m){q_i})=(p_1)/(q_1)$.
$(sum_(i=1)^m p_i)/(sum_(i=1)^m q_i)=(m cdot "AM"_p)/(m cdot "AM"_q)>=(min_(1<=i<=m){p_i})/("AM"_q)>=(min_(1<=i<=m){p_i})/(max_(1<=i<=m){q_i})=(p_1)/(q_1)$.
A te il prossimo
Siano $a,b,c$ le radici di $x^3-10x+11$. Calcolare $"arctg "a + "arctg "b+ "arctg " c$.
No brute force.
No brute force.
Siano $\alpha =\arctg(a)$, $\beta = \arctg(b)$, $\gamma = \arctg(c)$ ed $m = \alpha + \beta + \gamma$. Dalle formule di addizione della tangente: $\tan(m) = \frac{(a+b+c)-abc}{1-(ab+bc+ca)}$ - son solo quattro conti. Quindi $\tan(m) = \frac{0+11}{1+10} = 1$ - per via delle formule di Viete. Allora $m = \arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Bene Gabriel. Ora pare che tocchi a te. 
D'accordo. Per ogni $n \in NN = \{1, 2, \ldots\}$, siano $\sigma(n) = \sum_{d | n} d$ la somma dei divisori (interi) positivi di $n$ e $\phi(n)$ il numero degli interi positivi $\le n$ e coprimi con $n$. Determinare ogni coppia $(n,p) \in NN \times NN$ per cui $p$ è primo e $|\sigma(\phi(p^n)) - \phi(\sigma(p^n)) | = p^n$.
"Gabriel":
D'accordo. Per ogni $n \in NN = \{1, 2, \ldots\}$, siano $\sigma(n) = \sum_{d | n} d$ la somma dei divisori (interi) positivi di $n$ e $\phi(n)$ il numero degli interi positivi $\le n$ e coprimi con $n$. Determinare ogni coppia $(n,p) \in NN \times NN$ per cui $p$ è primo e $|\sigma(\phi(p^n)) - \phi(\sigma(p^n)) | = p^n$.
Molto probabilmente Gabriel è il nostro amato [mod="Fioravante Patrone"]CANCELLATO[/mod], per cui il problema sopra quotato è completamente suo.
In questo [mod="Fioravante Patrone"]CANCELLATO[/mod] giusto una mezz'oretta fa ho postato una soluzione al problema (non la quoto qui perchè dovrei cambiare tutti i simboli tex in dollari).
Qualcuno comunque conferma la correttezza della soluzione?
Ps. E' un parere soggettivo, ma la difficoltà del problema è un po' sproporzionata rispetto ai precedenti.
[mod="Fioravante Patrone"]A che pro resuscitare questo coso dopo due anni, per giunta per fare delle illazioni irrilevanti su chi sia o chi fosse l'utente Gabriel?
E per rinviare a un altro forum? Solo per fare pubblicità? Ho eliminato i link inappropriati.[/mod]
Pubblicità? O.o
Ho messo il link solo perchè a cambiare tutti quei simboli ci avrei messo un'eternità. Che poi quando è stato chiuso l'oliforum ho messo anche il link a questa sezione di matematicamente. Comunque va bene, eviterò di postare su questo forum d'ora in poi, non sei il primo moderatore che mi tratta cosi qui.
A presto
Paolo L.
Ho messo il link solo perchè a cambiare tutti quei simboli ci avrei messo un'eternità. Che poi quando è stato chiuso l'oliforum ho messo anche il link a questa sezione di matematicamente. Comunque va bene, eviterò di postare su questo forum d'ora in poi, non sei il primo moderatore che mi tratta cosi qui.
A presto
Paolo L.
"bboypa":che sia il destino cinico e baro?
non sei il primo moderatore che mi tratta cosi qui.
"Fioravante Patrone":che sia il destino cinico e baro?[/quote]
[quote="bboypa"]non sei il primo moderatore che mi tratta cosi qui.
Che sia questo forum e' di livello così basso .. ?
"bboypa":
...
Comunque va bene, eviterò di postare su questo forum d'ora in poi
...
"bboypa":
Che sia questo forum e' di livello così basso .. ?
@Paolo: ma ci sono voluti più di 2 ANNI per partorire questa risposta?
Mi permetto di correggere l'italiano:
Che sia il livello infimo di questo forum...?
"gio73":
@Paolo: ma ci sono voluti più di 2 ANNI per partorire questa risposta?
Veramente 2 minuti erano piu' che sufficienti, magari anche con un italiano migliore del mio
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