Maratona problemi teoria dei gruppi

[alvinlee881]

Se $G$ è un gruppo finito, dimostrare che esiste un intero positivo $n$ tale che $a^n=e$ per ogni $a inG$.
Questo è un esercizio proposto da Herstein subito dopo il primo paragrafo sui gruppi.
Ora, col teorema di Lagrange a disposizione, basta prendere $n=o(G)$. Ma come si può dimostrare sapendo, dei gruppi, solo la definizione, i lemmi sull'unicità del neutro e dell'inverso, le leggi di cancellazione, il fatto che $(a^-1)^-1=a$ e che $(ab)^-1=b^-1a^-1$?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"vict85":[quote="Martino"]Oppure si potrebbe cercare, dato $n$, il piu' piccolo $m$ tale che $D_{2n} le S_m$.
Abbiamo visto che se $n=2^t$ allora $m=2^t$.

Come ho detto pochi minuti fa probabilmente non era difficile... e in effetti non lo era.

Un gruppo ciclico è isomorfo al prodotto diretto dei suoi $p$-Sylow.

Quindi:

Se $n = \prod_(i=0)^1 p_i^(a_i)$ il minimo m è uguale a: $m = \sum_(i=0)^1 p_i^(a_i)$[/quote]

Quello che hai trovato e' il minimo $m$ per cui esistono in $S_m$ elementi di ordine $n$. Ma secondo te questo basta per dire che $D_{2n} le S_m$ ?

[vict85]

"Martino":[quote="vict85"][quote="Martino"]Oppure si potrebbe cercare, dato $n$, il piu' piccolo $m$ tale che $D_{2n} le S_m$.
Abbiamo visto che se $n=2^t$ allora $m=2^t$.

Come ho detto pochi minuti fa probabilmente non era difficile... e in effetti non lo era.

Un gruppo ciclico è isomorfo al prodotto diretto dei suoi $p$-Sylow.

Quindi:

Se $n = \prod_(i=0)^1 p_i^(a_i)$ il minimo m è uguale a: $m = \sum_(i=0)^1 p_i^(a_i)$[/quote]

Quello che hai trovato e' il minimo $m$ per cui esistono in $S_m$ elementi di ordine $n$. Ma secondo te questo basta per dire che $D_{2n} le S_m$ ?[/quote]

Credo che dato il gruppo ciclico si possa trovare la rotazione...

[alvinlee881]

"vict85":

Se $n = \prod_(i=0)^1 p_i^(a_i)$ il minimo m è uguale a: $m = \sum_(i=0)^1 p_i^(a_i)$

scusate ho un piccolo problema di notazione: cos'è $p_0$? Inoltre, se la produttoria è di 2 soli elementi (e perchè questo?), perchè non scriverla estesa?