Dimostrazione sui razionali
allora
$a^3+2b^3+4c^3=8abc$
per $a,b,c$ razionali dimostrare che l'unica soluzione è
$a=b=c=0$
$a^3+2b^3+4c^3=8abc$
per $a,b,c$ razionali dimostrare che l'unica soluzione è
$a=b=c=0$
Risposte
i test sns si distinguono sempre ehhhhhhh???
secondo me devi sfruttare le disuguaglianze tra le medie, pero c'ho provato senza dimostrare nulla (i calcoli sono troppo lunghi)... dovresti riuscire a dimostrare cosi che LHS>RHS per ogni a,b,c diversi da zero.
se hai qualche altro problemino sul genere ti pregherei di postarlo oppure di inviarmelo via mp.
grazie
secondo me devi sfruttare le disuguaglianze tra le medie, pero c'ho provato senza dimostrare nulla (i calcoli sono troppo lunghi)... dovresti riuscire a dimostrare cosi che LHS>RHS per ogni a,b,c diversi da zero.
se hai qualche altro problemino sul genere ti pregherei di postarlo oppure di inviarmelo via mp.
grazie
mi diapiace ma con le medie non si và da nessuna parte...
è proprio la strada sbagliata...
LHS>RHS???
che vuoi dire?
è proprio la strada sbagliata...
LHS>RHS???
che vuoi dire?
nessuno?! 
(L/R)HS = (Left/Right) Hand Side.
LHS è la parte a sinistra dell'uguale.RHS dovresti intuirlo... 
riguardo al problema, quale strada da seguire suggerisci??
riguardo al problema, quale strada da seguire suggerisci??
"fedeb":
i test sns si distinguono sempre ehhhhhhh???
secondo me devi sfruttare le disuguaglianze tra le medie, pero c'ho provato senza dimostrare nulla (i calcoli sono troppo lunghi)... dovresti riuscire a dimostrare cosi che LHS>RHS per ogni a,b,c diversi da zero.
se hai qualche altro problemino sul genere ti pregherei di postarlo oppure di inviarmelo via mp.
grazie
se $a=b=c=1=>RHS>LHS$
quindi la disuguaglianza che vuoi provare è falsa in generale...
io ho provato per poco tempo.. magari riproverò, a provare a scomporre la parte a sinistra, senza ottenere neulla di utile però...
una strada potrebbe essere questa
già che siam quasi in tema....
la somma di 2 cubi si scompone facilmente, ma la somma di tre cubi si può scomporre?
una strada potrebbe essere questa
già che siam quasi in tema....
la somma di 2 cubi si scompone facilmente, ma la somma di tre cubi si può scomporre?
fu^2, con la disuguaglianza che mi hai contestato cercavo semplicemente di chiarificare il mio intento nella dimostrazione:
non pretendevo che fosse vera . ma angus89 , tu l'hai risolto??
non pretendevo che fosse vera . ma angus89 , tu l'hai risolto??
allora...
Ho detto che con le formule sulle medie non si arriva da nessuna parte per un semplice motivo...
Tutte quelle disuguaglianze valgono per i numeri reali...e anche per i razionali(logico)
Ma se crediamo di poter dimostrare una cosa simile con le disuguaglianze tentiamo l'impossibile...
Faccio notare che tra i numeri reali esistono infinite soluzioni...
E' tra i razionali che ne esiste solo una...
Quindi bisogna cambiare approccio...
Magari per qualcuno utilizzare AM-GM potrebbe esser utile, diciamo che restringe un pò il campo, ma fino ad un certo punto...
Ho detto che con le formule sulle medie non si arriva da nessuna parte per un semplice motivo...
Tutte quelle disuguaglianze valgono per i numeri reali...e anche per i razionali(logico)
Ma se crediamo di poter dimostrare una cosa simile con le disuguaglianze tentiamo l'impossibile...
Faccio notare che tra i numeri reali esistono infinite soluzioni...
E' tra i razionali che ne esiste solo una...
Quindi bisogna cambiare approccio...
Magari per qualcuno utilizzare AM-GM potrebbe esser utile, diciamo che restringe un pò il campo, ma fino ad un certo punto...
bhe se funziona per i reali allora funziona anche per i razionali 
cio non toglie che io non sappia risolverlo...
cio non toglie che io non sappia risolverlo...
"fedeb":
bhe se funziona per i reali allora funziona anche per i razionali
cio non toglie che io non sappia risolverlo...
allora...inanzitutto non ho mai detto che tu non sai risolverlo...
Ho semplicemente detto che è impossibile risolverlo con le solite formule sulle medie perchè queste valgono per i numeri reali...
Pertanto l'esercizio ha un sacco di soluzioni reali, ma di razionali ammette solo a=b=c=0
vediamo cosa ne viene fuori...
avanti provate a risolverlo
poniamo $a,b,c!=0$
$a^3+b^3+c^3=8abc=>a^3=8abc-b^3-c^3=>a^2=8bc-(b^3+c^3)/a
quindi $a,b,c\inQQ=>b^3+c^3\inQQ,8bc\inQQ$
poniamo $8bc=p$,$(b^3+c^3)/a=q$
quindi abbiamo che $a^2=p-q=>a=sqrt(p-q)$
a meno che $p-q=n^2$ le soluzioni sono tutte irrazionali.
ora basta far notare che la differenza tra due cubi non può dare un cubo.
su questo devo pensarci un attimo
$a^3+b^3+c^3=8abc=>a^3=8abc-b^3-c^3=>a^2=8bc-(b^3+c^3)/a
quindi $a,b,c\inQQ=>b^3+c^3\inQQ,8bc\inQQ$
poniamo $8bc=p$,$(b^3+c^3)/a=q$
quindi abbiamo che $a^2=p-q=>a=sqrt(p-q)$
a meno che $p-q=n^2$ le soluzioni sono tutte irrazionali.
ora basta far notare che la differenza tra due cubi non può dare un cubo.
su questo devo pensarci un attimo
Non dovresti far notare che la differenza fra due cubi non può dare un quadrato?
@fu^2
non so se stai ragionando da un'altra angolazione, ma quello su cui stai ragionando non è lo stesso problema postato da angus89. mancano i coefficenti di $b^2$ e $c^2$.
non so se stai ragionando da un'altra angolazione, ma quello su cui stai ragionando non è lo stesso problema postato da angus89. mancano i coefficenti di $b^2$ e $c^2$.
Dopo quello che sto per dire potrete anche proporre la mia cancellazione dal forum...ma non è sbagliato trovare $a$ in funzione di se stesso?
@wizard
se puo aiutare a sgamare una contraddizione oppure una qualche (dis)uguaglianza che dimostri la tesi, io non ci vedo niente di male... perlomeno non credo che questo modo di ragionare sia nè concettualmente errato nè controproducente (tranne casi ovvi come le equazioni )
se puo aiutare a sgamare una contraddizione oppure una qualche (dis)uguaglianza che dimostri la tesi, io non ci vedo niente di male... perlomeno non credo che questo modo di ragionare sia nè concettualmente errato nè controproducente (tranne casi ovvi come le equazioni
)
"fedeb":
@fu^2
non so se stai ragionando da un'altra angolazione, ma quello su cui stai ragionando non è lo stesso problema postato da angus89. mancano i coefficenti di $b^2$ e $c^2$.
mi son dimenticato di scrivere i coefficienti, comunque aggiungili e torna tutto giusto
comunque stavo pensando che anche facendo i passaggi che ho fatto non cambia la situzione, non facilita la strada...
uff..
e invece credo che le disuguaglianze aiutano molto
$CM>=GM$ ovvero media cubica > media geometrica
quindi $a^3+b^3+c^3>=3abc$ che ripettinata diventa
$((2a)^3+(2b)^3+(2c)^3)/3>=8abc$
osservanola bene si nota che il LHS è il cubo di CM in funzione di 2a,2b,2c che è maggiore del cubo della media geometrica, che è per l'appunto $8abc$. l'uguaglianza si ha sse $a=b=c$ per a,b,c.
vorrei far notare che ho dimostrato il tutto SENZA i coefficienti di b e c.
pertanto se il LHS aumenta, la disuguaglianza è a maggior ragione verificata.
$CM>=GM$ ovvero media cubica > media geometrica
quindi $a^3+b^3+c^3>=3abc$ che ripettinata diventa
$((2a)^3+(2b)^3+(2c)^3)/3>=8abc$
osservanola bene si nota che il LHS è il cubo di CM in funzione di 2a,2b,2c che è maggiore del cubo della media geometrica, che è per l'appunto $8abc$. l'uguaglianza si ha sse $a=b=c$ per a,b,c.
vorrei far notare che ho dimostrato il tutto SENZA i coefficienti di b e c.
pertanto se il LHS aumenta, la disuguaglianza è a maggior ragione verificata.
"fedeb":
@wizard
se puo aiutare a sgamare una contraddizione oppure una qualche (dis)uguaglianza che dimostri la tesi, io non ci vedo niente di male... perlomeno non credo che questo modo di ragionare sia nè concettualmente errato nè controproducente (tranne casi ovvi come le equazioni
OK.
"fedeb":
e invece credo che le disuguaglianze aiutano molto
$CM>=GM$ ovvero media cubica > media geometrica
quindi $a^3+b^3+c^3>=3abc$ che ripettinata diventa
$((2a)^3+(2b)^3+(2c)^3)/3>=8abc$
osservanola bene si nota che il LHS è il cubo di CM in funzione di 2a,2b,2c che è maggiore del cubo della media geometrica, che è per l'appunto $8abc$. l'uguaglianza si ha sse $a=b=c$ per a,b,c.
vorrei far notare che ho dimostrato il tutto SENZA i coefficienti di b e c.
pertanto se il LHS aumenta, la disuguaglianza è a maggior ragione verificata.
scusa una cosa, sarà la stanchezza, ma..
te puoi maggiorare in questo modo:
$((2a)^3+(2b)^3+(2c)^3)>=((2a)^3+(2b)^3+(2c)^3)/3>=8abc$
però i coefficienti di a,b,c nella LHS son molto diversi da quelli proposti nella disequazione iniziale...
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