Dimostrazione sui razionali
allora
$a^3+2b^3+4c^3=8abc$
per $a,b,c$ razionali dimostrare che l'unica soluzione è
$a=b=c=0$
$a^3+2b^3+4c^3=8abc$
per $a,b,c$ razionali dimostrare che l'unica soluzione è
$a=b=c=0$
Risposte
quella segue dalla disequazione INIZIALE dove tt i coefficenti sono 1
poi si giunge a quella schifezza con i $2^3$
poi si giunge a quella schifezza con i $2^3$
scrivo il mio tentativo, forse sbagliato o confuso
${[a^3=2abc],[2b^3=2abc],[4c^3=4abc]:}$ ; ${[a(a^2-2bc)=0],[2b(b^2-ac)=0],[4c(c^2-ab)=0]:}$
abbiamo $a=0, b=0, c=0$ oppoure
${[a=+-sqrt(2bc)],[b=+-sqrt(ac)],[c=+-sqrt(ab)]:}$
che hanno come soluzione solo numeri irrazionali
nell'ultimo caso ad esempio $c$ sarebbe razionale se $ab$ fosse quadrato, quindi se $a=b$; da questo consegue facendo i calcoli che $a=b=c=0$
${[a^3=2abc],[2b^3=2abc],[4c^3=4abc]:}$ ; ${[a(a^2-2bc)=0],[2b(b^2-ac)=0],[4c(c^2-ab)=0]:}$
abbiamo $a=0, b=0, c=0$ oppoure
${[a=+-sqrt(2bc)],[b=+-sqrt(ac)],[c=+-sqrt(ab)]:}$
che hanno come soluzione solo numeri irrazionali
nell'ultimo caso ad esempio $c$ sarebbe razionale se $ab$ fosse quadrato, quindi se $a=b$; da questo consegue facendo i calcoli che $a=b=c=0$
se fai tutte le permutazioni degli RHS nel sistema è ottieni sempre la stesa pappa, allora è fatta.
bravo bella dimostrazione
bravo bella dimostrazione
"fedeb":
se fai tutte le permutazioni degli RHS nel sistema è ottieni sempre la stesa pappa, allora è fatta.
bravo bella dimostrazione
grazie
Non mi convince.
Seguendo questo procedimento, dovremmo risolvere infiniti sistemi. Ad esempio
${[a^3=abc],[2b^3=3abc],[4c^3=4abc]:}$
${[a^3=3/4abc],[2b^3=1/4abc],[4c^3=7abc]:}$
Ma non è tanto questo il punto, dato che dici
e questo non è corretto: $ab$ può essere quadrato anche se $a!=b$ prendi
$a=2$; $b=18$ oppure, senza interi
$a=3/4$ ; $b=3/16$
Ciao.
Seguendo questo procedimento, dovremmo risolvere infiniti sistemi. Ad esempio
${[a^3=abc],[2b^3=3abc],[4c^3=4abc]:}$
${[a^3=3/4abc],[2b^3=1/4abc],[4c^3=7abc]:}$
Ma non è tanto questo il punto, dato che dici
nell'ultimo caso ad esempio $c$ sarebbe razionale se $ab$ fosse quadrato, quindi se $a=b$
e questo non è corretto: $ab$ può essere quadrato anche se $a!=b$ prendi
$a=2$; $b=18$ oppure, senza interi
$a=3/4$ ; $b=3/16$
Ciao.
ebbene si.... però li per li quella dim. mi ha convinto... 
bella la dimostrazione degli infiniti sistemi
vebbe mi dispiace simo
bella la dimostrazione degli infiniti sistemi
vebbe mi dispiace simo
"fu^2":
a meno che $p-q=n^2$ le soluzioni sono tutte irrazionali.
è questo "a meno che" che non mi convince
"fu^2":
ora basta far notare che la differenza tra due cubi non può dare un cubo(forse quadrato?)
mi sembra una cosa abbastanza difficile da dimostrare
"fedeb":
e invece credo che le disuguaglianze aiutano molto
$CM>=GM$ ovvero media cubica > media geometrica
quindi $a^3+b^3+c^3>=3abc$ che ripettinata diventa
$((2a)^3+(2b)^3+(2c)^3)/3>=8abc$
osservanola bene si nota che il LHS è il cubo di CM in funzione di 2a,2b,2c che è maggiore del cubo della media geometrica, che è per l'appunto $8abc$. l'uguaglianza si ha sse $a=b=c$ per a,b,c.
allora...
stai dicendo che $((2a)^3+(2b)^3+(2c)^3)/3$ è il cubo di $(a^3+b^3+c^3)/3$???
Le altre dimostrazioni non mi convincono...
Io non l'ho risolto però son convinto che sia necessario ricorrere solo alla tdn...
Nel senso ragionare sui primi, sui resti, sui razionali, sugli interi e ste robe qui...
angus tutto bene????????????
quello è il cubo della MEDIA CUBICA nella quale vi compare una radice terza
che sarà ovviamente maggiore del cubo della MEDIA GEOMETRICA
quello è il cubo della MEDIA CUBICA nella quale vi compare una radice terza
che sarà ovviamente maggiore del cubo della MEDIA GEOMETRICA
mah non voglio insistere ma non è che sono convinto...
Aloora la media cubica è
$(a^3+b^3+c^3)/3$
giusto?
e dove ci vedi una radice terza???
Aloora la media cubica è
$(a^3+b^3+c^3)/3$
giusto?
e dove ci vedi una radice terza???
no infatti quella non è la media cubica di a,b,c. la media cubica è quella che hai scritto te sotto il segno di radice terza.
quindi la media elevata alla terza (quello che ho fatto io) è esattamente cio che hai scritto te. quindi il cubo della CM è maggiore del cubo della GM, da cui tutto il resto
quindi la media elevata alla terza (quello che ho fatto io) è esattamente cio che hai scritto te. quindi il cubo della CM è maggiore del cubo della GM, da cui tutto il resto
"Steven":
Non mi convince.
Seguendo questo procedimento, dovremmo risolvere infiniti sistemi. Ad esempio
${[a^3=abc],[2b^3=3abc],[4c^3=4abc]:}$
${[a^3=3/4abc],[2b^3=1/4abc],[4c^3=7abc]:}$
non capisco perché bisogna risolvere infiniti sistemi equivalenti, conducono sempre a 8abc al secondo membro (tant'è che facendo qualche verifica con altri sistemi si arriva allo stesso risultato)
"Steven":
Ma non è tanto questo il punto, dato che dici
nell'ultimo caso ad esempio $c$ sarebbe razionale se $ab$ fosse quadrato, quindi se $a=b$
e questo non è corretto: $ab$ può essere quadrato anche se $a!=b$ prendi
$a=2$; $b=18$ oppure, senza interi
$a=3/4$ ; $b=3/16$
Ciao.
hai ragione steven comunque anche se $a$ potrebbe essere diverso da $b$, io risolvo così
${[a=+-sqrt(2bc)],[b=+-sqrt(ac)],[c=+-sqrt(ab)]:}$ ; ${[a^2=2bc],[a=(b^2)/c],[a=(c^2)/b]:}$ ; ${[a^2=2bc],[b^3=c^3],[a=(c^2)/b]:}$ ; ${[c^2=2c^2],[b=c],[a=c]:}$ ; ${[c=0],[b=c],[a=c]:}$
se ci sono errori vi prego di farmi capire
@simo
questa ultima parte fila tranquillamente.
il problema evidenziato da steven sta nel fatto che ognuno di quei sistemi che tu usi POTREBBE dare valori di a,b,c diversi da zero.Devi dimostrare che questo non accadra mai, ma dovresti verificare che effettivamente tutti i sistemi (nei quali le equazioni sommate membro a membro danno l'equazione originaria) abbiano come unica soluzione a=b=c=0, e per fare questo non basta mostrarlo su un solo sistema, ma devi farlo su tutti i possibili!!!
spero sia tutto charo
questa ultima parte fila tranquillamente.
il problema evidenziato da steven sta nel fatto che ognuno di quei sistemi che tu usi POTREBBE dare valori di a,b,c diversi da zero.Devi dimostrare che questo non accadra mai, ma dovresti verificare che effettivamente tutti i sistemi (nei quali le equazioni sommate membro a membro danno l'equazione originaria) abbiano come unica soluzione a=b=c=0, e per fare questo non basta mostrarlo su un solo sistema, ma devi farlo su tutti i possibili!!!
spero sia tutto charo
"fedeb":
@simo
questa ultima parte fila tranquillamente.
il problema evidenziato da steven sta nel fatto che ognuno di quei sistemi che tu usi POTREBBE dare valori di a,b,c diversi da zero.Devi dimostrare che questo non accadra mai, ma dovresti verificare che effettivamente tutti i sistemi (nei quali le equazioni sommate membro a membro danno l'equazione originaria) abbiano come unica soluzione a=b=c=0, e per fare questo non basta mostrarlo su un solo sistema, ma devi farlo su tutti i possibili!!!
spero sia tutto charo
ti ringrazio fedeb sei stato molto chiaro e disponibile
forse mettendo delle variabili al posto dei coefficienti di abc al secondo membro, che sommate diano 8, si potrebbe dimostrare per ogni valore...ci proverò
guarda c'è sempre il problema del ''un sistema alla volta'', per come la vedo io non mi sembra fattibile (posso benissimo sbagliarmi, vorrei sottolineare). comunque dicevano 'tentar non nuoce', buon lavoro e buone vacanze!!!!!
"fedeb":
no infatti quella non è la media cubica di a,b,c.
capisco...mi è sfuggita la radice terza...ora che ho capito quello che vuoi dire non ho capito se hai risolto o no il problema...
Torniamo a quello che hai scritto
"fedeb":
e invece credo che le disuguaglianze aiutano molto
$CM>=GM$ ovvero media cubica > media geometrica
quindi $a^3+b^3+c^3>=3abc$ che ripettinata diventa
$((2a)^3+(2b)^3+(2c)^3)/3>=8abc$
osservanola bene si nota che il LHS è il cubo di CM in funzione di 2a,2b,2c che è maggiore del cubo della media geometrica, che è per l'appunto $8abc$. l'uguaglianza si ha se $a=b=c$ per a,b,c.
vorrei far notare che ho dimostrato il tutto SENZA i coefficienti di b e c.
pertanto se il LHS aumenta, la disuguaglianza è a maggior ragione verificata.
come giustifichi l'affermazione che ho evidenziato?
Allora...io ho fatto una dimostrazione sui numeri interi...
Inanzitutto...altre ogni dubbio basta applicare AM-GM per notare che $abc>=0$
Detto questo
riscrivo il problema supponendo a,b,c numeri interi
$a^3+2b^3+4c^3=8abc$
notiamo subito che $8abc$ è un numero pari
pertanto ci sono due casi
- $a^3,2b^3,4c^3$ sono tutti pari
-ci sono due numeri dispari e un numero pari
Tutto ciò in modo da ottenere un numero pari
Iniziamo supponendo che $a,b,c!=0$
pertanto iniziamo da caso
- $a^3,2b^3,4c^3$ sono tutti pari
allora poniamo
$a^3=2k$
$2b^3=2h$
$4c^3=2s$
a questo punto riscriviamo l'ugualianza sostituendo con le nuove variabili
$2k+2h+2s=8(2h*2k*2s)^(1/3)$
$k+h+s=8(h*k*s)^(1/3)$
ma k,h,s sono dispari, e la somma di tre numeri dispari non può essere un numero pari
pertanto l'ultima equazione non ammette soluzioni intere
passiamo al secondo caso
-ci sono due numeri dispari e un numero pari
Quali sono i due numeri dispari?
$a^3$ potrebbe esser dispari
ma $2b?3$ e $4c^3$ sono pari per natura, pertanto non è possibile che si verifichi questo secondo caso
Benissimo, ora sappiamo l'equazione non ammette soluzioni intere...
Sappiamo che il prodotto $abc>=0$
Bisogna solo generalizzare per i numeri razionali
Inanzitutto...altre ogni dubbio basta applicare AM-GM per notare che $abc>=0$
Detto questo
riscrivo il problema supponendo a,b,c numeri interi
$a^3+2b^3+4c^3=8abc$
notiamo subito che $8abc$ è un numero pari
pertanto ci sono due casi
- $a^3,2b^3,4c^3$ sono tutti pari
-ci sono due numeri dispari e un numero pari
Tutto ciò in modo da ottenere un numero pari
Iniziamo supponendo che $a,b,c!=0$
pertanto iniziamo da caso
- $a^3,2b^3,4c^3$ sono tutti pari
allora poniamo
$a^3=2k$
$2b^3=2h$
$4c^3=2s$
a questo punto riscriviamo l'ugualianza sostituendo con le nuove variabili
$2k+2h+2s=8(2h*2k*2s)^(1/3)$
$k+h+s=8(h*k*s)^(1/3)$
ma k,h,s sono dispari, e la somma di tre numeri dispari non può essere un numero pari
pertanto l'ultima equazione non ammette soluzioni intere
passiamo al secondo caso
-ci sono due numeri dispari e un numero pari
Quali sono i due numeri dispari?
$a^3$ potrebbe esser dispari
ma $2b?3$ e $4c^3$ sono pari per natura, pertanto non è possibile che si verifichi questo secondo caso
Benissimo, ora sappiamo l'equazione non ammette soluzioni intere...
Sappiamo che il prodotto $abc>=0$
Bisogna solo generalizzare per i numeri razionali
Perdonate la mia ignoranza, ma le medie non valgono solo in $RR_0^+$? Se così è non state trascurando ventuali soluzioni in $QQ^-$
Inanzitutto...altre ogni dubbio basta applicare AM-GM per notare che $abc>=0$
Mi sfugge come AM-GM possa far pervenire a un risultato simile.
Come la mettiamo con $a=-1$ e $b=c>0$ ?
pertanto ci sono due casi
- $a^3,2b^3,4c^3$ sono tutti pari
....
passiamo al secondo caso
-ci sono due numeri dispari e un numero pari
Mmmm no, non va.
$2b^3$ e $4c^3$ sono sempre pari, pertanto non ha senso "supporli" pari.
Inoltre è impossibile avere il caso "due dispari, un pari" dato che al massimo possiamo avere un dispari, $a^3$
ma k,h,s sono dispari, e la somma di tre numeri dispari non può essere un numero pari
Non possiamo dire se quei numeri sono dispari.
Quando diciamo che un pari è nella forma $2k$, diciamo che $k$ è un qualunque intero, assolutamente non per forza dispari.
Tra l'altro, $s$ risulterebbe pari perchè si ha
$4c^3=2s \implies s=2c^3$
@angus
le disuguaglianze fra le medie valgono come uguaglianze sse a=b=c.
è un esercizio carino dimostrare cio tramite induzione (tra l'altro è quasi un fatto ''assiomatico'',dato per scontato)
@wizard
infatti la dimostrazione non è completa (hai ragione tu). credo sia semplice tuttavia trovare una strada nella stesa direzione anche per i razionali negativi... anche se adesso non mi viene in mente (chissà com'è )
le disuguaglianze fra le medie valgono come uguaglianze sse a=b=c.
è un esercizio carino dimostrare cio tramite induzione
(tra l'altro è quasi un fatto ''assiomatico'',dato per scontato)@wizard
infatti la dimostrazione non è completa (hai ragione tu). credo sia semplice tuttavia trovare una strada nella stesa direzione anche per i razionali negativi... anche se adesso non mi viene in mente (chissà com'è
)
ccomunque si...mi sono accorto che la dimostrazione è sbagliata... 
Va bè comunque io continuo a ragionarci...
se avete le vostre soluzione mettetele
Va bè comunque io continuo a ragionarci...
se avete le vostre soluzione mettetele
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