Dimostrazione sui razionali

angus89
allora

$a^3+2b^3+4c^3=8abc$
per $a,b,c$ razionali dimostrare che l'unica soluzione è
$a=b=c=0$

Risposte
Steven11
Il problema si risolve usando la discesa infinita, dopo aver espresso $a,b,c$ come numeri razionali e aver fatto semplici considerazioni sulla parità.
Ho trovato la risoluzione su un sito.
Muovetevi usando queste informazioni, se non riuscite metterò il link della dimostrazione tra un paio di giorni.

Ciao.

fedeb2
certo che con la discesa infinta era proprio semplice, senza complicarsi la vita con le medie... vabbe

angus89
"fedeb":
certo che con la discesa infinta era proprio semplice, senza complicarsi la vita con le medie... vabbe

Io non ci sarei mai arrivato ad esempio...
E poi non è poi così intuitiva come cosa...
Comunque se vi interessa posto io la soluzione(presa sempre da quel sito)

elios2
Sì dai, postala, che mi ha incuriosito da matti..!

angus89
non mi và di scriverla tutta

soluzione

TruthSeeker
Proporrò qui una mia dimostrazione alternativa della proposizione del problema nella speranza di verificarne la validità e di fornire una strategia risolutiva diversa da quelle già analizzate.

$a^3+2b^3+4c^3=8abc\quad(a,b,c\inQ)\quad[1]$

$(\frac{m}{n})^3+2(\frac{p}{q})^3+4(\frac{r}{s})^3=8\frac{m}{n}\frac{p}{q}\frac{r}{s}\quad(m,n,p,q,r,s\inZ\wedgen,q,s\ne0)$
$\frac{m^3}{n^3}+2\frac{p^3}{q^3}+4\frac{r^3}{s^3}=8\frac{mpr}{nqs}$
$(mqs)^3+2(nps)^3+4(nqr)^3=8(mqs)(nps)(nqr)$

$A^3+2B^3+4C^3=8ABC\quad(A=mqs\wedgeB=nps\wedgeC=nqr)\quad[2]$

Si distinguono due casi:

Caso 1: Gli interi $A$, $B$, $C$ sono non tutti nulli

Caso 2: Gli interi $A$, $B$, $C$ sono tutti nulli

Complessivamente, risulta pertanto che l'uguaglianza $[1]$ è soddisfatta soltanto dalla terna $(0,0,0)$ di razionali.

_fabricius_1
Ad una prima occhiata mi sembra corretta (anche se un po' criptica).

Erasmus_First
"_fabricius_":
Ad una prima occhiata mi sembra corretta (anche se un po' criptica).
"Criptica" ?
"Criptico" significa "ben nascosto" e quindi (di conseguenza) anche "misterioso, oscuro".
––>criptico, (Corriere della sera)
––>criptico, (Treccani)
––>"criptico", dizionario italiano, (Ricerca con Google)
Dal verbo greco (greco antico) κρύπτειν (kryptein) = "celare, nascondere")
––> Trova κρύπτω (scrvendo "krypto" nell'apposito campo)
_______


Erasmus_First
"angus89":
$a^3+2b^3+4c^3=8abc$
per $a,b,c$ razionali dimostrare che l'unica soluzione è
$a=b=c=0$
Discuto a modo mio il quiz.
Cambio simboli, mettendo le usuali ultime lettere dell'alfebeto a rappresentare le incognite.

a) Se esiste una terna ordinata [x, y, z] di razionali diversa [0, 0, 0] che verifica l'uguaglianza.
$x^3 + 2y^3 + 4z^3 = 8xyz$ (*)
allora esistono anche tre interi $n_x$, $n_y$ e $n_z$ che verificano l'uguaglianza
$n_x^3 + 2n_y^3 + 4n_z^3 = 8n_xn_yn_z$. (°)
E' facile dimostrarlo! Basta portare a denominatore comunee – diciamolo $d$ – i tre razionali x, y e z e quindi moltiplicare entrambi i membri dell'uguaglianza (*) per il cubo del denominatore comune d. I detti tre interi $n_x$, $n_y$ e $n_z$ sono i numeratori delle frazioni x, y, e z ridotte a denominatore comune d.
Ovviamente, se c'è una soluzione [$n_x$, $n_y$, $n_z$] diversa da [0, 0, 0], (diciamola [a, b, c]) , di soluzioni ce n'è una infinità, dato che infiniti sono i modi di portare i razionali x, y, z a denominatore comune. Precisamente:
Se l'uguaglianza (°) è verificata dalla terna di interi [a, b, c] , allora è verificata da ogni terna k[a, b, c] con k intero arbitrario.
Cerchiamo dunque se può esistere una terna di interi diversa da [0, 0, 0] che verifica l'uguaglianza (*) dove ora si richiede che x, y e z siano interi .

b) L'intero x deve essere pari perché anche il membro sinistro di (*) deve essere pari come il destro.
Posto allora x = 2u, dalla (*) si ha anche:
$8xyz -x^3 - 4z^2 = 2y^3$ $<=>$ $16uyz - 8u^3 - 4z^2 = 2y^3$ $<=>$ $4uyz - 2u^3 -z^3 = 1/2y^3$ (**)
Se y non è pari l'ultima uguaglianza è senz'altro impossibile.
Posto allora y = 2v (e x = 2u, con u e v interi), dalla (**) si ha anche:
$8uvz - 2u^3 -4v^3 = z^3$ $<=>$ $4uvz - u^3 -2v^3 = 1/2z^3$(***)
Se z non è pari l'ultima uguaglianza è pure impossibile .
In conclusione gli interi x, y e z devono essere tutti e tre pari.
Tornando alla (*) e mettendo 2u al posto di x, 2v al posto di y e 2w al posto di z, (con u, v e w interi) si trova:
$x^3 + 2y^3 + 4z^3 = 8xyz$ $<=>$ $8u^3 + 16v^3 + 32w^3 = 64uvw$ $<=>$ $u^3 + 2v^3 + 4w^3 = 8uvw$ (****)
L'ultima uguaglianza è formalmente ancora la (*), ossia:
Se la terna degli interi [x, y, z] verifica l'ugaglianza (*), allora x, y e z devono essere tutti e tre pari e la terna delle loro metà deve verificare ancora la stessa uguaglianza.

c) L'ultima affermazione porta di colpo ad affermare che allora deve essere [x, y, z] = [0, 0, 0] perché, potendosi ripetere la divisione per 2 un numero arbitrario di volte senza modificare la forma dell'uguaglianza da verificare, solo 0 è un numero pari divisibile per 2 un numero arbitrario di volte (viceversa deve esistere un numero di volte che conduce ad un quoziente dispari, cioè non ulteriormente divisibile per 2).
–––––––––
La mia trattazione non è certo stringata.
E' volutamente dettagliata perché penso che ci siano lettori che altrimenti non riescono a seguire i ragionamenti insiti nella trattazione stessa.
_______


_fabricius_1
So cosa significa criptico, grazie tante.

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