Transitori (Elettrotecnica)
Salve. Vorrei avere un chiarimento riguardo lo svolgimento dei transitori. Nel momento in cui ricavo l'equazione differenziale...per ottenere l'integrale particolare devo basarmi solo sui valori che i generatori (a seconda dei casi) assumono per t>0? Ad esempio, in un esercizio ho che per t<0 , e(t)=E ... mentre per t>0, e(t)=-E. In tal caso nell'equazione completa (in cui compare e(t)) devo distinguere i due casi (e quindi sostituire prima E e poi -E)?....o devo considerare solo il caso per t>0???
Risposte
Non si capisce bene il tuo problema...Ma la trasformata di Laplace l'hai fatta?
Ammesso che tu sia obbligato a lavorare nel dominio del tempo (e quindi impossibilitato ad usare Laplace), il valore iniziale dell'integrale particolare va calcolato per $t=0^-$.
No...non penso sia necessaria. Cmq mi spiego meglio. 
Si tratta di un circuito in corrente continua, nel quale per t<0 la tensione ai capi del generatore di tensione vale E, mentre per t>0 vale -E. Ora, dopo aver ricavato l'equazione differenziale per ottenere l'andamento della corrente, e dopo aver ricavato l'integrale generale, nell'equazione completa trovo che il termine noto è e(t)/2. Vorrei sapere se...nel ricavare l'integrale particolare, devo distinguere i due casi (t<0 e t>0) o devo considereare solo il caso per t>0 (ottenendo quindi come termine noto solo -E/2). Ovviamente E è un valore assegnato dal problema. Spero di essere stato più chiaro. 
Si tratta di un circuito in corrente continua, nel quale per t<0 la tensione ai capi del generatore di tensione vale E, mentre per t>0 vale -E. Ora, dopo aver ricavato l'equazione differenziale per ottenere l'andamento della corrente, e dopo aver ricavato l'integrale generale, nell'equazione completa trovo che il termine noto è e(t)/2. Vorrei sapere se...nel ricavare l'integrale particolare, devo distinguere i due casi (t<0 e t>0) o devo considereare solo il caso per t>0 (ottenendo quindi come termine noto solo -E/2). Ovviamente E è un valore assegnato dal problema. Spero di essere stato più chiaro.
Devi usare il valore $E$ per trovare le condizioni iniziali, $-E$ per l'andamento della corrente a t>0.
Ah...ok. Quindi devo considerare solo il valore per t>o Posso farti un'altra domanda? Sto facendo degli esercizi....e ogni tanto mi vengono dei dubbi. Nell'eser 2 di questo compito ...LINK OSCURATO... viene detto che il resistore non dà alcun contributo alla dinamica del circuito....ma perchè? Non riesco a capire 
Grazie 1000 per la disponibilità!
[mod="LucaB"]
Ho oscurato il link su esplicita richiesta di Giuseppe9
[/mod]
Posso farti un'altra domanda? Sto facendo degli esercizi....e ogni tanto mi vengono dei dubbi. Nell'eser 2 di questo compito ...LINK OSCURATO... viene detto che il resistore non dà alcun contributo alla dinamica del circuito....ma perchè? Non riesco a capire Grazie 1000 per la disponibilità![mod="LucaB"]
Ho oscurato il link su esplicita richiesta di Giuseppe9
[/mod]
Prego.
Se non sei interessato alla potenza dissipata nel circuito, quel resistore è un elemento inerte e quindi trascurabile (e la stessa cosa avviene per i resistori posti in parallelo ad un generatore di tensione). Infatti il bipolo formato dalla coppia sorgente+resistenza è equivalente ad un bipolo formato dalla sola sorgente. Puoi verificarlo con Thevenin/Norton.
Se non sei interessato alla potenza dissipata nel circuito, quel resistore è un elemento inerte e quindi trascurabile (e la stessa cosa avviene per i resistori posti in parallelo ad un generatore di tensione). Infatti il bipolo formato dalla coppia sorgente+resistenza è equivalente ad un bipolo formato dalla sola sorgente. Puoi verificarlo con Thevenin/Norton.
ah...ho capito....grazie mille! Quindi volendo posso proprio eliminare il resistore dal circuito (per t>0)?
Quindi volendo posso proprio eliminare il resistore dal circuito (per t>0)?
Per quel che richiede la consegna, sì!
Grazie 1000...sei stato preziosissimo! Un'ultima cosa....giusto per levarmi un altro atroce dubbio! Nell'eser 2 di questo compito ...LINK OSCURATO... non riesco proprio a capire come si trova l'equazione differenzile riportata nella soluzione! Ho provato ad applicare le LKT e la LKC...ma niente! Ti sarei veramente grato se mi riuscissi ad aiutare...
Un'ultima cosa....giusto per levarmi un altro atroce dubbio! Nell'eser 2 di questo compito ...LINK OSCURATO... non riesco proprio a capire come si trova l'equazione differenzile riportata nella soluzione! Ho provato ad applicare le LKT e la LKC...ma niente! Ti sarei veramente grato se mi riuscissi ad aiutare...
Qui secondo me la cosa più facile sarebbe riscrivere le impedenze e la sorgente usando la trasformata di Laplace e poi fare un partitore di corrente. E' permesso dalla consegna?
P.S. Cambia il titolo dell'altro topic (che so, metteci un 2 alla fine) o non si capisce niente!
P.S. Cambia il titolo dell'altro topic (che so, metteci un 2 alla fine) o non si capisce niente!
Ok...l'ho cambiato....scusami ma non mi ero reso conto di avere messo due topic uguali. Cmq no Il prof non ha mai risolto gli eser con la trasformata di Laplace...per giungere all'equazione differenziale ci fa sempre procedere con le LKT, le LKC e in casi estremi con le regole del partitore. In alternativa come si potrebbe procedere? Non riesco a capire a che corrisponde il termine dJ/dt che compare alla fine!
Il prof non ha mai risolto gli eser con la trasformata di Laplace...per giungere all'equazione differenziale ci fa sempre procedere con le LKT, le LKC e in casi estremi con le regole del partitore. In alternativa come si potrebbe procedere? Non riesco a capire a che corrisponde il termine dJ/dt che compare alla fine!
Si tratta di uguagliare la caduta di tensione nei 2 rami. E':
$Ri_L(t)+L(di_L(t))/dt=Ri_C(t)+v_C(t)$
Dato che $J=i_L(t)+i_C(t)$ (1) è
$2Ri_L(t)+L(di_L(t))/dt=RJ+v_C(t)$
Derivando rispetto al tempo e ricordando la relazione differenziale tra corrente e tensione del condensatore si ha
$2R(di_L(t))/dt+L(d^2i_L(t))/dt^2=R(dJ)/dt+Ci_C(t)$
Riapplicando la (1) e dividendo per $LC$ si ha l'espressione finale
$(d^2i_L(t))/dt^2+2R/L(di_L(t))/dt+(i_L(t))/(LC)=R/L(dJ)/dt+J/(LC)$
Per il resto tutto chiaro? Ad esempio, ti torna $i_(Lp)(t)=J$?
$Ri_L(t)+L(di_L(t))/dt=Ri_C(t)+v_C(t)$
Dato che $J=i_L(t)+i_C(t)$ (1) è
$2Ri_L(t)+L(di_L(t))/dt=RJ+v_C(t)$
Derivando rispetto al tempo e ricordando la relazione differenziale tra corrente e tensione del condensatore si ha
$2R(di_L(t))/dt+L(d^2i_L(t))/dt^2=R(dJ)/dt+Ci_C(t)$
Riapplicando la (1) e dividendo per $LC$ si ha l'espressione finale
$(d^2i_L(t))/dt^2+2R/L(di_L(t))/dt+(i_L(t))/(LC)=R/L(dJ)/dt+J/(LC)$
Per il resto tutto chiaro? Ad esempio, ti torna $i_(Lp)(t)=J$?
Ah...ok...mi trovo! Grazie 1000! Il problema è che per ricavare l'eq differenziale il prof non ci ha mai detto che potevamo derivare per dt...ma solitamente ci fa sostituire i valori delle tensioni e delle correnti di ogni bipolo (ad es ic=C dVc/dt, oppure vl=L dil/dt) scusa se te le scrivo così...ma ci metto un po' a scriverle con la sezione matematica. Cmq penso di aver capito perchè i_(Lp)(t)=J....ma a questo punto ti chiedo la conferma! 
Per ricavare l'integrale particolare guardo il termine noto e trovo che è uguale a J/LC (perchè dJ/dt=0...giusto?)...quindi considero il termine noto come un polinomio (At^2+Bt+C)...e alla fine, dopo aver svolto le derivate, ricavo che A=0, B=0 e C=10=J...quindi ip=10. Ho fatto bene??? 
Giusto un'ultima conferma...non mi è molto chiaro in che modo è stata ricavata la seconda condizione iniziale! Perchè considera le caratteristiche del circuito per t>0? (dovendosi trattare di condiz iniziali....non si dovrebbe basare su t<0??) E perchè a tutti i parametri non è riportato lo 0+???
Grazie 1000! Il problema è che per ricavare l'eq differenziale il prof non ci ha mai detto che potevamo derivare per dt...ma solitamente ci fa sostituire i valori delle tensioni e delle correnti di ogni bipolo (ad es ic=C dVc/dt, oppure vl=L dil/dt) scusa se te le scrivo così...ma ci metto un po' a scriverle con la sezione matematica. Cmq penso di aver capito perchè i_(Lp)(t)=J....ma a questo punto ti chiedo la conferma! Per ricavare l'integrale particolare guardo il termine noto e trovo che è uguale a J/LC (perchè dJ/dt=0...giusto?)...quindi considero il termine noto come un polinomio (At^2+Bt+C)...e alla fine, dopo aver svolto le derivate, ricavo che A=0, B=0 e C=10=J...quindi ip=10. Ho fatto bene??? Giusto un'ultima conferma...non mi è molto chiaro in che modo è stata ricavata la seconda condizione iniziale! Perchè considera le caratteristiche del circuito per t>0? (dovendosi trattare di condiz iniziali....non si dovrebbe basare su t<0??) E perchè a tutti i parametri non è riportato lo 0+???
Sì, va bene, anche se in realtà, essendo il circuito alimentato solo in continua, per trovare la particolare, cioè il regime, puoi sostituire al condensatore un circuito aperto e all'induttore un cortocircuito, che è più semplice.
La condizione iniziale è sulla derivata di $i_L(t)$, ti interessa la variazione iniziale della corrente quindi va fatta a $0^+$, mentre il valore di partenza va fatto per $0^-$.
Quanto all'ultima domanda, $v_C(0)=0$ e $i_L(0)=J$ perchè sono continue in $t=0$, nonostante l'interruttore.
La condizione iniziale è sulla derivata di $i_L(t)$, ti interessa la variazione iniziale della corrente quindi va fatta a $0^+$, mentre il valore di partenza va fatto per $0^-$.
Quanto all'ultima domanda, $v_C(0)=0$ e $i_L(0)=J$ perchè sono continue in $t=0$, nonostante l'interruttore.
Ma per trovare l'integrale particolare non si opera per t>0? (io sapevo che si può sostituire al condensatore un circuito aperto e all'induttore un corto circuito solo per t<0!) E poi...un'ultima conferma come faccio a stabilire che vc(0) e il(0) sono continue in t=0??? Per le condizioni iniziali? (il(0)=J e vc(0)=0)
come faccio a stabilire che vc(0) e il(0) sono continue in t=0??? Per le condizioni iniziali? (il(0)=J e vc(0)=0)
Non c'entra il segno di $t$, tu sei abituato a fare quella sostituzione per $t<0$ perchè spesso negli esercizi si apre/chiude un interruttore in un circuito già a regime.
Quanto ai valori di prima, puoi verificarli sostituendo $t=0$ nell'espressione finale di $i_L(t)$ per $t$ positivo e riflettendo sul comportamento nel tempo del condensatore.
Quanto ai valori di prima, puoi verificarli sostituendo $t=0$ nell'espressione finale di $i_L(t)$ per $t$ positivo e riflettendo sul comportamento nel tempo del condensatore.
Ah...è vero....scusami mi ero dimenticato che c'era l'interruttore! 
Cmq ti chiedo l'ultima cosa, poi non ti scoccio più! Mi puoi dire precisamente quand'è che una rete è a regime? Ad esempio...nell'eser 2 di questo compito ...LINK OSCURATO... per t<0 il sistema è a regime o meno? E perchè? Vorrei capire bene questo concetto...
Cmq ti chiedo l'ultima cosa, poi non ti scoccio più! Mi puoi dire precisamente quand'è che una rete è a regime? Ad esempio...nell'eser 2 di questo compito ...LINK OSCURATO... per t<0 il sistema è a regime o meno? E perchè? Vorrei capire bene questo concetto...
Se diciamo che la sorgente viene attivata ad un tempo $t_A<<0$, a partire da questo istante si svolgerà un transitorio, che come sai ha una componente esponenziale decrescente, quindi si andrà asintoticamente al valore di regime, "raggiunto a tempo infinito" (nella pratica dopo pochi multipli della costante di tempo). A $t=0^-$ puoi dire che si sarà instaurato il regime della prima configurazione, a $t=+infty$ quello della seconda.
In particolare in quell'esercizio c'è di interessante il fatto che dopo la chiusura il condensatore resta carico e quindi "un circuito aperto", mentre la corrente nell'induttore è opposta rispetto a prima dell'interruzione e quindi anche qui si ha un transitorio.
Se hai dubbi scrivi pure senza problemi, se proprio non ho tempo non ti rispondo subito
ma magari lo fa qualcun altro.
In particolare in quell'esercizio c'è di interessante il fatto che dopo la chiusura il condensatore resta carico e quindi "un circuito aperto", mentre la corrente nell'induttore è opposta rispetto a prima dell'interruzione e quindi anche qui si ha un transitorio.
Se hai dubbi scrivi pure senza problemi, se proprio non ho tempo non ti rispondo subito
ma magari lo fa qualcun altro.
Quindi, se ho capito bene, per t<0 il sistema non è a regime....ma tende a diventarlo da 0 in poi....giusto? Non ho capito però il fatto del condensatore...come faccio a capire che dopo la chiusura dell'interruttore resta carico? Cioè....se ho capito bene dopo la chiusura dell'interruttore il circuito è in regime stazionario...e posso sostituire il condensatore con un circuito aperto (anche l'induttore con un corto circuito?)...ma concretamente come faccio a rendermi conto se il sistema è a regime o meno? Per molti altri esercizi il sistema era a regime per t<0...e onestamente non riesco a capire la differenza (a meno che non sia esplicitato nel testo dell'esercizio)! Ti prego...illuminami!
Non ho capito però il fatto del condensatore...come faccio a capire che dopo la chiusura dell'interruttore resta carico? Cioè....se ho capito bene dopo la chiusura dell'interruttore il circuito è in regime stazionario...e posso sostituire il condensatore con un circuito aperto (anche l'induttore con un corto circuito?)...ma concretamente come faccio a rendermi conto se il sistema è a regime o meno? Per molti altri esercizi il sistema era a regime per t<0...e onestamente non riesco a capire la differenza (a meno che non sia esplicitato nel testo dell'esercizio)! Ti prego...illuminami!
Non vorrei averti creato più confusione che altro. Cercherò di essere più chiaro.
Tu sei abituato (giustamente) al discorso del regime per $t<0$ perchè si pone l'attivazione della sorgente a $t=-infty$. Matematicamente parlando il regime è un valore limite raggiunto dopo un intervallo di tempo infinito. E' però ragionevole, per le ragioni numeriche che ti ho spiegato, considerare il circuito a regime per ogni $t<0$. La cosa viene raramente esplicitata nel testo e a meno che non ti sia dato un preciso intervallo numerico tra 2 commutazioni circuitali si considera sempre il circuito a regime prima che scatti l'interruttore.
A questo punto bisogna valutare come la commutazione cambia le correnti e le tensioni nel circuito. Nel caso specifico, qui il condensatore verrebbe attraversato da una corrente concorde alla precedente, quindi, essendoci già caricato, la sua condizione di equivalenza ad un circuito aperto permane e non devi considerare $C$ nell'analisi del nuovo transitorio. L'induttore invece viene attraversato da una corrente inversa rispetto a prima, dunque verrà prima scaricato e poi ricaricato e non puoi sostituirci un cortocircuito se non per individuare il nuovo regime che si instaurerà a $t=+infty$.
Va meglio ora?
Tu sei abituato (giustamente) al discorso del regime per $t<0$ perchè si pone l'attivazione della sorgente a $t=-infty$. Matematicamente parlando il regime è un valore limite raggiunto dopo un intervallo di tempo infinito. E' però ragionevole, per le ragioni numeriche che ti ho spiegato, considerare il circuito a regime per ogni $t<0$. La cosa viene raramente esplicitata nel testo e a meno che non ti sia dato un preciso intervallo numerico tra 2 commutazioni circuitali si considera sempre il circuito a regime prima che scatti l'interruttore.
A questo punto bisogna valutare come la commutazione cambia le correnti e le tensioni nel circuito. Nel caso specifico, qui il condensatore verrebbe attraversato da una corrente concorde alla precedente, quindi, essendoci già caricato, la sua condizione di equivalenza ad un circuito aperto permane e non devi considerare $C$ nell'analisi del nuovo transitorio. L'induttore invece viene attraversato da una corrente inversa rispetto a prima, dunque verrà prima scaricato e poi ricaricato e non puoi sostituirci un cortocircuito se non per individuare il nuovo regime che si instaurerà a $t=+infty$.
Va meglio ora?
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