[Meccanica delle macchine] Ruote dentate
Salve a tutti.
Mi sto cimentando nella risoluzione di un problema di meccanica che vuole essere un esempio di campo vettoriale irrotazionale.
Ho due ruote dentate inscritte l'una nell'altra con una terza ruota libera di ruotare tra le due.
Poste $ v_1,v_2 $ le velocità delle due ruote, quali sono le formule che mi danno la velocità del centro $ v_c $ e la velocità tangenziale della terza ruota $ v_s $ ?
Se la terza ruota è molto piccola rispetto ai raggi delle altre due si può utilizzare un'approssimazione lineare, per cui ho supposto
$ v_c=1/2(v_1+v_2) $ $" "$ $ v_s=1/2(v_1-v_2) $
Questo perché la velocità tangenziale del "nastro" è il doppio della velocità del centro, sommandosi la rotazione e la traslazione, mentre se il secondo nastro è libero di muoversi nel verso opposto il disco rimane fermo , $ v_c=0, v_s=v_1=v_2$. Invece se $ v_1=v_2 $ allora $ v_c=v_1=v_2 $ e $ v_s=0 $.
Ora, affinché la ruota sia ferma e quindi il campo irrotazionale, la ruota deve seguire il moto delle altre due senza ruotare rispetto al nostro sistema di riferimento, mentre ruota rispetto al suo centro con la stessa velocità angolare del centro ma in verso opposto; in formule
$ omega_s=v_s/r_s=v_c/r_c=omega_c $
Se $ r $ è il raggio della ruota 1, mentre se $ r_s $ è il raggio della ruota 3, allora $ r_c=r+r_s" , " r_2=r+2r_s $ , e dunque
$ v_s/r_s=v_c/(r+r_s) $
da cui svolgento i conti si arriva a $ v_1r=v_2(r+2r_s) $ ovvero $ v_1r_1=v_2r_2 $ . Ma allora
$ { ( v_1=alpha/r_1 ),( v_2=alpha/r_2 ):} rArr v(r)=alpha/r $
dove $ alpha $ è una costante.
In effetti supponendo che $ r=sqrt(x^2+y^2) $ , il campo vettoriale che soddisfa questo requisito è
$ vec(v) =alpha (y/r^2,-x/r^2) $ $" "$ $ grad xx vec(v)=0 $
Fin qui il tutto sembra quadrare. Il problema nasce quando le 2 ruote hanno la stessa velocità $ v_1=v_2=v $ , per cui
$ v_c=v $ ma $ v_s=0 $ come nel caso lineare, mentre mi aspetterei una rotazione opposta a quella delle due ruote in quanto hanno velocità angolari diverse $ omega _1>=omega _c>=omega _2 $.
Quando invece le due ruote hanno velocità angolari uguali , $ omega _1=omega _2=omega$, $ v_1
Questo mi fa sospettare che, o la mia interpretazione non è corretta, o le formule usate all'inizio per $ v_c $ e $v_s$ mal si adattano per descrivere questa configurazione di moto circolare.
Grazie
Mi sto cimentando nella risoluzione di un problema di meccanica che vuole essere un esempio di campo vettoriale irrotazionale.
Ho due ruote dentate inscritte l'una nell'altra con una terza ruota libera di ruotare tra le due.
Poste $ v_1,v_2 $ le velocità delle due ruote, quali sono le formule che mi danno la velocità del centro $ v_c $ e la velocità tangenziale della terza ruota $ v_s $ ?
Se la terza ruota è molto piccola rispetto ai raggi delle altre due si può utilizzare un'approssimazione lineare, per cui ho supposto
$ v_c=1/2(v_1+v_2) $ $" "$ $ v_s=1/2(v_1-v_2) $
Questo perché la velocità tangenziale del "nastro" è il doppio della velocità del centro, sommandosi la rotazione e la traslazione, mentre se il secondo nastro è libero di muoversi nel verso opposto il disco rimane fermo , $ v_c=0, v_s=v_1=v_2$. Invece se $ v_1=v_2 $ allora $ v_c=v_1=v_2 $ e $ v_s=0 $.
Ora, affinché la ruota sia ferma e quindi il campo irrotazionale, la ruota deve seguire il moto delle altre due senza ruotare rispetto al nostro sistema di riferimento, mentre ruota rispetto al suo centro con la stessa velocità angolare del centro ma in verso opposto; in formule
$ omega_s=v_s/r_s=v_c/r_c=omega_c $
Se $ r $ è il raggio della ruota 1, mentre se $ r_s $ è il raggio della ruota 3, allora $ r_c=r+r_s" , " r_2=r+2r_s $ , e dunque
$ v_s/r_s=v_c/(r+r_s) $
da cui svolgento i conti si arriva a $ v_1r=v_2(r+2r_s) $ ovvero $ v_1r_1=v_2r_2 $ . Ma allora
$ { ( v_1=alpha/r_1 ),( v_2=alpha/r_2 ):} rArr v(r)=alpha/r $
dove $ alpha $ è una costante.
In effetti supponendo che $ r=sqrt(x^2+y^2) $ , il campo vettoriale che soddisfa questo requisito è
$ vec(v) =alpha (y/r^2,-x/r^2) $ $" "$ $ grad xx vec(v)=0 $
Fin qui il tutto sembra quadrare. Il problema nasce quando le 2 ruote hanno la stessa velocità $ v_1=v_2=v $ , per cui
$ v_c=v $ ma $ v_s=0 $ come nel caso lineare, mentre mi aspetterei una rotazione opposta a quella delle due ruote in quanto hanno velocità angolari diverse $ omega _1>=omega _c>=omega _2 $.
Quando invece le due ruote hanno velocità angolari uguali , $ omega _1=omega _2=omega$, $ v_1
Questo mi fa sospettare che, o la mia interpretazione non è corretta, o le formule usate all'inizio per $ v_c $ e $v_s$ mal si adattano per descrivere questa configurazione di moto circolare.
Grazie
Risposte
E' tutto sbagliato (per quel poco che si capisce). Pare tu non abbia idea di come funzionino le ruote dentate né tantomeno conosca la cinematica dei corpi rigidi
"Vulplasir":
E' tutto sbagliato (per quel poco che si capisce). Pare tu non abbia idea di come funzionino le ruote dentate né tantomeno conosca la cinematica dei corpi rigidi
Illuminami, ti prego.
Per te che te ne intendi non sarà difficile esprimere correttamente le velocità tangenziale e del centro del "ruotino" compreso tra le due ruote inscritte in funzione della velocità di queste ultime, che è ciò che mi piacerebbe sapere.
$ v_c=f(v_1,v_2) $$" "$ $v_s=g(v_1,v_2) $
Se l'esposizione non è chiara c'è anche un disegno.
Nel punto di contatto tra le ruote la velocità deve essere la stessa, si tratta di un concetto base di cinematica, quei cerchi sono le polari del moto della ruote (o circonferenze primitive), rotolano senza strisciare tra loro, quindi nei punti di contatto devono avere velocità relativa nulla.
Se è nota la velocità v1 e la velocità v2, è immediatamente nota anche la velocità vc del centro del "ruotino" (o satellite...per dirla meglio), il procedimento grafico o analitico per ricavarsi vc dovresti almeno saperlo...
Se è nota la velocità v1 e la velocità v2, è immediatamente nota anche la velocità vc del centro del "ruotino" (o satellite...per dirla meglio), il procedimento grafico o analitico per ricavarsi vc dovresti almeno saperlo...
"Vulplasir":
Nel punto di contatto tra le ruote la velocità deve essere la stessa, si tratta di un concetto base di cinematica, quei cerchi sono le polari del moto della ruote (o circonferenze primitive), rotolano senza strisciare tra loro, quindi nei punti di contatto devono avere velocità relativa nulla.
Se è nota la velocità v1 e la velocità v2, è immediatamente nota anche la velocità vc del centro del "ruotino" (o satellite...per dirla meglio), il procedimento grafico o analitico per ricavarsi vc dovresti almeno saperlo...
No non lo so… non essendo un ingegnere meccanico sono a digiuno dell’argomento, altrimenti non avrei scritto questo post. Fermo restando che credo nella correttezza delle due formule di cui sopra per quanto riguarda una ruota libera di muoversi ma compresa tra due nastri paralleli in moto relativo, la configurazione circolare è sicuramente più problematica perché posso intuire che la velocità angolare possa essere pertinente.
Visto che sei stato così cortese da rispondere ed hai accennato a dei metodi grafici e analitici avresti voglia di darmi due dritte o di dirmi perlomeno dove trovare del materiale scaricabile per risolvere questa configurazione? Determinare $v_s$ e $v_c$ , oltre a servirmi per la “simulazione” , ha destato in me una certa curiosità.
Mi devi chiarire bene la situazione perché non si capisce bene.
In pratica hai una ruota dentata esterna 1, una ruota dentata interna 2, e un "ruotino" 3.
Cosa è noto di questo sistema? Cos'è Vc, cos'è Vs? Cosa vuoi trovare?
In pratica hai una ruota dentata esterna 1, una ruota dentata interna 2, e un "ruotino" 3.
Cosa è noto di questo sistema? Cos'è Vc, cos'è Vs? Cosa vuoi trovare?
"Vulplasir":
Mi devi chiarire bene la situazione perché non si capisce bene.
In pratica hai una ruota dentata esterna 1, una ruota dentata interna 2, e un "ruotino" 3.
Cosa è noto di questo sistema? Cos'è Vc, cos'è Vs? Cosa vuoi trovare?
Si… ho due ruote inscritte ed il ruotino di raggio r_s è libero di muoversi tra le due, non è fissato.
La prima ha raggio $r_1=r$ e velocità $v_1$.
La seconda più esterna ha raggio $r_2=r+2r_s$ e velocità $v_2$.
$v_1$ e $v_2$ sono note, nonché i vari raggi delle ruote.
Ora, le ruote 1 e 2 ruotano rispetto al centro O con velocità tangenziale $v_1$ e $v_2$ rispettivamente, inducendo nel satellite una rototraslazione.
Il problema è quindi conoscere
- $v_s$ , la velocità tangenziale del satellite, ovvero la velocità con cui ruota rispetto ad un sistema di riferimento fissato nel suo centro (oppure in alternativa solidale al raggio vettore); in soldoni con quale velocità ruota su se stesso : $v_s=w_sr_s$
- la velocità tangenziale con cui si muove il centro del satellite, il quale descrive una circonferenza di raggio $r_c$ , per cui $v_c=w_cr_c=w_c(r+r_s)$
Ok, penso di aver capito, pare che tu non sappia nulla delle ruote dentate e sui rotismi, quindi cerco di spiegare per bene.
Inanzitutto quello che stai descrivendo è un rotismo epicicloidale, come si vede in questa immagine
https://www.google.com/search?q=rotismo ... xx4Sypc39M:
Come si vede, il satellite è calettato su un asse detto portatreno o portasatellite.
Chiamo $omega_1$ la velocità angolare della ruota 1 nell'immagine, $omega_2$ la velocità angolare del satellite, $omega_3$ la velocità angolare della ruota 3 e $omega_p$ la velocità angolare del portatreno.
SE conosciamo le velocitò angolari $omega_1$ e $omega_3$ della ruota interna e quella esterna, si possono trave le velocitò angolari del satellit e del portasatellite.
Infatti se conosciamo $omega_1$ allora conosciamo la velocità periferica sulla ruota 1, ossia $v_1=omega_1r_1$, e quindi anche $v_3=omega_3r_3$
Una volta note queste velocità, si può trovare la velocitò angolare del satellite. Infatti, come detto prima, quei cerchi disegnati sono le circonferenze primitive delle ruote dentate, che rotolano senza strisciare tra loro, questo significa che nei punti di contatto tra loro, hanno la stessa velocità. Quindi del satellite sappiamo che nei punti di contatto con la ruota 1 e la ruota 3 ha velocità $v_1$ e $v_3$.
per trovare la velocità angolare basta usare la relazione dei moti rigidi:
$v_3-v_1=omega_2*2r_2$
Da cui $omega_2=(v_3-v_1)/(2r_2)$
La velocità del centro della ruota 2, detta $v_c$ quindi è data da $v_c=v_1+omega_2 r_2$
Il metodo grafico di cui ti parlavo è questo:
Noti v1 e v3, colleghi le loro teste e le loro code da due rette, l'intersezione di queste rette è il centro di istantanea rotazione del satellite, con un po' di geometria ti ricavi quelle distanze.
La velocità angolare del portatreno è quindi: $omega_p=v_c/(r_1+r_2)$
Inanzitutto quello che stai descrivendo è un rotismo epicicloidale, come si vede in questa immagine
https://www.google.com/search?q=rotismo ... xx4Sypc39M:
Come si vede, il satellite è calettato su un asse detto portatreno o portasatellite.
Chiamo $omega_1$ la velocità angolare della ruota 1 nell'immagine, $omega_2$ la velocità angolare del satellite, $omega_3$ la velocità angolare della ruota 3 e $omega_p$ la velocità angolare del portatreno.
SE conosciamo le velocitò angolari $omega_1$ e $omega_3$ della ruota interna e quella esterna, si possono trave le velocitò angolari del satellit e del portasatellite.
Infatti se conosciamo $omega_1$ allora conosciamo la velocità periferica sulla ruota 1, ossia $v_1=omega_1r_1$, e quindi anche $v_3=omega_3r_3$
Una volta note queste velocità, si può trovare la velocitò angolare del satellite. Infatti, come detto prima, quei cerchi disegnati sono le circonferenze primitive delle ruote dentate, che rotolano senza strisciare tra loro, questo significa che nei punti di contatto tra loro, hanno la stessa velocità. Quindi del satellite sappiamo che nei punti di contatto con la ruota 1 e la ruota 3 ha velocità $v_1$ e $v_3$.
per trovare la velocità angolare basta usare la relazione dei moti rigidi:
$v_3-v_1=omega_2*2r_2$
Da cui $omega_2=(v_3-v_1)/(2r_2)$
La velocità del centro della ruota 2, detta $v_c$ quindi è data da $v_c=v_1+omega_2 r_2$
Il metodo grafico di cui ti parlavo è questo:
Noti v1 e v3, colleghi le loro teste e le loro code da due rette, l'intersezione di queste rette è il centro di istantanea rotazione del satellite, con un po' di geometria ti ricavi quelle distanze.
La velocità angolare del portatreno è quindi: $omega_p=v_c/(r_1+r_2)$
Grazie mille per la trattazione e per la terminologia tecnica... ma hai solo confermato quello che già avevo dedotto partendo da concetti base di cinematica: le formule infatti sono le stesse, scritte con con pedici diversi. 
Confermo quindi che si può simulare un campo irrotazionale quando $ omega_p=-omega_s $ , da cui il campo di velocità che decresce con l’inverso del raggio, per cui la microcircolazione ha verso opposto alla macrocircolazione e la stessa velocità angolare, per cui si elidono.
La situazione è più problematica se l’ipotetica sferetta test è fissa in un punto ed immersa nel flusso rappresentato dalle linee di campo. Non mi è venuto in mente niente di meglio di una media integrale su tutti i contributi dati dalla proiezione del vettore tangente alle linee di flusso sul vettore tangente alla sferetta. Risultato: la media non è nulla; lo è solo nel limite in cui il raggio della sferetta è molto minore delle dimensioni del flusso rotante nel quale è immersa. E’ interessante notare che anche $omega_s=0$ in questo caso e siccome $omega_s$ è correlata al rotore di $v$, si deduce che anche quest’ultimo è nullo. Ma d’altronde il rotore è una circuitazione infinitesima…
Confermo quindi che si può simulare un campo irrotazionale quando $ omega_p=-omega_s $ , da cui il campo di velocità che decresce con l’inverso del raggio, per cui la microcircolazione ha verso opposto alla macrocircolazione e la stessa velocità angolare, per cui si elidono.
La situazione è più problematica se l’ipotetica sferetta test è fissa in un punto ed immersa nel flusso rappresentato dalle linee di campo. Non mi è venuto in mente niente di meglio di una media integrale su tutti i contributi dati dalla proiezione del vettore tangente alle linee di flusso sul vettore tangente alla sferetta. Risultato: la media non è nulla; lo è solo nel limite in cui il raggio della sferetta è molto minore delle dimensioni del flusso rotante nel quale è immersa. E’ interessante notare che anche $omega_s=0$ in questo caso e siccome $omega_s$ è correlata al rotore di $v$, si deduce che anche quest’ultimo è nullo. Ma d’altronde il rotore è una circuitazione infinitesima…
Ma che stai dicendo
"Vulplasir":
Ma che stai dicendo
questo
"Vulplasir":
$ v_3-v_1=omega_2*2r_2 $
$omega_2=(v_3-v_1)/(2r_2)$
$v_c=v_1+omega_2 r_2$
$omega_p=v_c/(r_1+r_2)$
vale a dire
$v_3-v_1=omega_2*2r_2=2v_2 rArr v_2=(v_3-v_1)/2$
$v_c=v_1+omega_2 r_2=v_1+(v_3-v_1)/(2r_2)r_2 rArr v_c=(v_1+v_3)/2$
Rileggi il primo post... io $v_2$ l ho chiamata $v_s$ e $v_3$ invece $v_2$
Questo mi è chiaro, è la roba dopo che non ha senso, ma che sono questi flussi e rotori sulla sferetta, quale sferetta
Nel nostro caso è il satellite, mentre le linee di campo sono le primitive.
Un'interpretazione intuitiva del rotore è questa: se inserisco una sferetta immaginaria tra le linee di flusso (o linee di campo o linee di forza), per esempio di un liquido, se questa non ruota allora si ha che il rotore è nullo. Ad esempio il profilo di un fluido reale in un tubo o in un canale è rotazionale: grazie alla differenza di modulo tra i vettori paralleli, se immergo una turbina, questa ruoterà . Al contrario un campo come quello visto finora, oppure un campo centrale come quello generato da una massa o da una carica elettrica non generano rotazione e sono quindi irrotazionali.
In questo caso ho usato le ruote dentate per simulare un campo "che ruota" (che è possibile scrivere come $ vec(v) =vec(omega) xx vec(r) $ ) ma che non è rotazionale.
Un'interpretazione intuitiva del rotore è questa: se inserisco una sferetta immaginaria tra le linee di flusso (o linee di campo o linee di forza), per esempio di un liquido, se questa non ruota allora si ha che il rotore è nullo. Ad esempio il profilo di un fluido reale in un tubo o in un canale è rotazionale: grazie alla differenza di modulo tra i vettori paralleli, se immergo una turbina, questa ruoterà . Al contrario un campo come quello visto finora, oppure un campo centrale come quello generato da una massa o da una carica elettrica non generano rotazione e sono quindi irrotazionali.
In questo caso ho usato le ruote dentate per simulare un campo "che ruota" (che è possibile scrivere come $ vec(v) =vec(omega) xx vec(r) $ ) ma che non è rotazionale.
@TheScientist: L'analogia è uno strumento potente, ma va usato con cura, altrimenti fa prendere fischi per fiaschi.
"gugo82":
@TheScientist: L'analogia è uno strumento potente, ma va usato con cura, altrimenti fa prendere fischi per fiaschi.
Sono d'accordo, ma alcuni risultati che ho ottenuto sembrano consistenti.
[hide="."]Si, consistenti...consistenti in un mucchio di cavolate.[/hide]
[xdom="gugo82"]Basta.
Se non ti va di rispondere, non farlo.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Basta.
Se non ti va di rispondere, non farlo.[/xdom]
"TheScientist":
[quote="gugo82"]@TheScientist: L'analogia è uno strumento potente, ma va usato con cura, altrimenti fa prendere fischi per fiaschi.
Sono d'accordo, ma alcuni risultati che ho ottenuto sembrano consistenti.[/quote]
Consistenti con cosa?
Spiega.
Qual è il campo che consideri?
Perché è rotazionale/irrotazionale?
Se non chiarisci, stai solo scrivendo parole in libertà.
L'ho spiegato nel primo post del thread.
Io a priori non considero nessun campo irrotazionale. Impongo una condizione ad un sistema di ruote dentate in cui il satellite gioca la parte della sferetta test, mentre le primitive simulano le linee di flusso che trascinano la sferetta e la fanno ruotare. La condizione è che la velocità angolare della sferetta sia uguale in modulo ma opposta in verso a quella del suo centro, per simulare il fatto che la microcircolazione e la macrocircolazione si elidono.
Svolgendo i conti e passando al continuo ottengo un campo di velocità che decresce con l'inverso del raggio e che è quindi irrotazionale (vedi primo post). Sono riuscito a dimostrare, con un po' di calcolo differenziale, che per un campo vettoriale rotante, $vec(v)=vec(omega)xx vec(r)$ , in cui immergo una sferetta di raggio $ r_s"<"<"1 $ libera di ruotare seguendo il flusso, il rotore è proprio la somma vettoriale della velocità angolare della sferetta e del campo vettoriale nel punto di applicazione della sferetta, i.e.
$ rotvec(v)= vec(omega_s) + vec(omega(r)) $
Per cui
$ rotvecv=0 hArr vecomega_s=-vecomega(r) $
condizione imposta a priori nelle ruote dentate.
L'uguaglianza funziona nelle varie casistiche, quando ad esempio tutte le ruote dentate si muovono con la stessa velocità angolare : $ rotvec(v)= 2vec(omega_s) =2vec(omega(r)) $ , oppure quando tutte le ruote si muovono con la stessa velocità tangenziale $ rotvec(v)=vecomega(r)$ essendo $vecomega_s=vec0$ . Nel caso in cui il campo non sia rotante ho la semplice uguaglianza $ rotvec(v)= vec(omega_s)$, essendo $vec(omega(r))=vec0 $ , non potendo scriverlo come $vec(v)=vec(omega)xx vec(r)$.
Direi quindi che il sistema di ruote dentate epicicloidali è "isomorfo" ad un campo vettoriale rotante $vec(v)=vec(omega)xx vec(r)$.
Tuttavia se la misurazione è a punto fisso le ruote dentate non vanno più bene per descrivere la situazione . In questo caso per i campi vettoriali più semplici è facile mostrare che
$vecomega_s=2rotvecv$
Essendo $ r_s"<"<"1 $ potrei ipotizzare che questa regola valga sempre, in modo tale che la velocità angolare della sferetta fissata in un punto sia nulla quando il rotore è nullo, che è quello che sembra ci si debba aspettare.
Quello che mi sconcerta è che sommando tutti i contributi dei vettori tangenti alle linee di flusso proiettati sui versori tangenti alla circonferenza della sferetta :
ottengo che questa ha velocità angolare nulla quando il campo di velocità scala come r al quadrato, mentre se il campo di velocità scala con r ed è quindi irrotazionale la sferetta ha velocità angolare nulla solo nel caso in cui sia sufficientemente piccola rispetto alle dimensioni del flusso.
Io a priori non considero nessun campo irrotazionale. Impongo una condizione ad un sistema di ruote dentate in cui il satellite gioca la parte della sferetta test, mentre le primitive simulano le linee di flusso che trascinano la sferetta e la fanno ruotare. La condizione è che la velocità angolare della sferetta sia uguale in modulo ma opposta in verso a quella del suo centro, per simulare il fatto che la microcircolazione e la macrocircolazione si elidono.
Svolgendo i conti e passando al continuo ottengo un campo di velocità che decresce con l'inverso del raggio e che è quindi irrotazionale (vedi primo post). Sono riuscito a dimostrare, con un po' di calcolo differenziale, che per un campo vettoriale rotante, $vec(v)=vec(omega)xx vec(r)$ , in cui immergo una sferetta di raggio $ r_s"<"<"1 $ libera di ruotare seguendo il flusso, il rotore è proprio la somma vettoriale della velocità angolare della sferetta e del campo vettoriale nel punto di applicazione della sferetta, i.e.
$ rotvec(v)= vec(omega_s) + vec(omega(r)) $
Per cui
$ rotvecv=0 hArr vecomega_s=-vecomega(r) $
condizione imposta a priori nelle ruote dentate.
L'uguaglianza funziona nelle varie casistiche, quando ad esempio tutte le ruote dentate si muovono con la stessa velocità angolare : $ rotvec(v)= 2vec(omega_s) =2vec(omega(r)) $ , oppure quando tutte le ruote si muovono con la stessa velocità tangenziale $ rotvec(v)=vecomega(r)$ essendo $vecomega_s=vec0$ . Nel caso in cui il campo non sia rotante ho la semplice uguaglianza $ rotvec(v)= vec(omega_s)$, essendo $vec(omega(r))=vec0 $ , non potendo scriverlo come $vec(v)=vec(omega)xx vec(r)$.
Direi quindi che il sistema di ruote dentate epicicloidali è "isomorfo" ad un campo vettoriale rotante $vec(v)=vec(omega)xx vec(r)$.
Tuttavia se la misurazione è a punto fisso le ruote dentate non vanno più bene per descrivere la situazione . In questo caso per i campi vettoriali più semplici è facile mostrare che
$vecomega_s=2rotvecv$
Essendo $ r_s"<"<"1 $ potrei ipotizzare che questa regola valga sempre, in modo tale che la velocità angolare della sferetta fissata in un punto sia nulla quando il rotore è nullo, che è quello che sembra ci si debba aspettare.
Quello che mi sconcerta è che sommando tutti i contributi dei vettori tangenti alle linee di flusso proiettati sui versori tangenti alla circonferenza della sferetta :
ottengo che questa ha velocità angolare nulla quando il campo di velocità scala come r al quadrato, mentre se il campo di velocità scala con r ed è quindi irrotazionale la sferetta ha velocità angolare nulla solo nel caso in cui sia sufficientemente piccola rispetto alle dimensioni del flusso.
Mi fa male la testa a leggere certe cose senza senso
[hide="."]E poi Gugo non mi crede quando dico che chi studia matematica di meccanica c'acchiappa poco, sempre a mettere rotori e isomorfismi dove non se ne sente il bisogno.[/hide]
La condizione è che la velocità angolare della sferetta sia uguale in modulo ma opposta in verso a quella del suo centro, per simulare il fatto che la microcircolazione e la macrocircolazione si elidono
Quale microcircolazione? quale macrocircolazione? Che vuol dire?
Svolgendo i conti e passando al continuo ottengo un campo di velocità che decresce con l'inverso del raggio e che è quindi irrotazionale (vedi primo post)
Quale campo? Il campo di velocità di cosa? del satellite?
il rotore è proprio la somma vettoriale della velocità angolare della sferetta e del campo vettoriale nel punto di applicazione della sferetta
Cos' è "il punto di applicazione della sferetta", come si applica una sfera in un punto?
Inoltre, che senso ha una "sfera" di raggio <<1? Che differenza ha con un semplice "punto"?
condizione imposta a priori nelle ruote dentate
Imposta da te senza nessun motivo, infatti dalla mia risposta non c'è niente che indichi che $omega_s=-omega_p$.
$omega_s$ e $omega_p$ non puoi darle a priori perché sono conseguenze delle velocità angolari delle due ruote esterne e dei loro raggi. La condizione di non rotazione del satellite, ossia $omega_s=0$ dipende SOLAMENTE dalle velocitàv_1 e v_3, (omega_s è quella che io ho chiamato omega_2) se v_1 e v_3 sono uguali in direzione e verso, il satellite non ruota, altrimenti ruota (per rotazione del satellite si intende la sua rotazione propria, la traslazione del suo centro dovuta al portasatellite NON implica rotazione del satellite, implica solo "traslazione circolare")
In pratica è tutto sbagliato e inconsistente. L'unica cosa giusta e "consistente" è la risposta che ti ho dato io, tutto il resto sono parole in libertà.
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