[Meccanica delle macchine] Ruote dentate
Salve a tutti.
Mi sto cimentando nella risoluzione di un problema di meccanica che vuole essere un esempio di campo vettoriale irrotazionale.
Ho due ruote dentate inscritte l'una nell'altra con una terza ruota libera di ruotare tra le due.
Poste $ v_1,v_2 $ le velocità delle due ruote, quali sono le formule che mi danno la velocità del centro $ v_c $ e la velocità tangenziale della terza ruota $ v_s $ ?
Se la terza ruota è molto piccola rispetto ai raggi delle altre due si può utilizzare un'approssimazione lineare, per cui ho supposto
$ v_c=1/2(v_1+v_2) $ $" "$ $ v_s=1/2(v_1-v_2) $
Questo perché la velocità tangenziale del "nastro" è il doppio della velocità del centro, sommandosi la rotazione e la traslazione, mentre se il secondo nastro è libero di muoversi nel verso opposto il disco rimane fermo , $ v_c=0, v_s=v_1=v_2$. Invece se $ v_1=v_2 $ allora $ v_c=v_1=v_2 $ e $ v_s=0 $.
Ora, affinché la ruota sia ferma e quindi il campo irrotazionale, la ruota deve seguire il moto delle altre due senza ruotare rispetto al nostro sistema di riferimento, mentre ruota rispetto al suo centro con la stessa velocità angolare del centro ma in verso opposto; in formule
$ omega_s=v_s/r_s=v_c/r_c=omega_c $
Se $ r $ è il raggio della ruota 1, mentre se $ r_s $ è il raggio della ruota 3, allora $ r_c=r+r_s" , " r_2=r+2r_s $ , e dunque
$ v_s/r_s=v_c/(r+r_s) $
da cui svolgento i conti si arriva a $ v_1r=v_2(r+2r_s) $ ovvero $ v_1r_1=v_2r_2 $ . Ma allora
$ { ( v_1=alpha/r_1 ),( v_2=alpha/r_2 ):} rArr v(r)=alpha/r $
dove $ alpha $ è una costante.
In effetti supponendo che $ r=sqrt(x^2+y^2) $ , il campo vettoriale che soddisfa questo requisito è
$ vec(v) =alpha (y/r^2,-x/r^2) $ $" "$ $ grad xx vec(v)=0 $
Fin qui il tutto sembra quadrare. Il problema nasce quando le 2 ruote hanno la stessa velocità $ v_1=v_2=v $ , per cui
$ v_c=v $ ma $ v_s=0 $ come nel caso lineare, mentre mi aspetterei una rotazione opposta a quella delle due ruote in quanto hanno velocità angolari diverse $ omega _1>=omega _c>=omega _2 $.
Quando invece le due ruote hanno velocità angolari uguali , $ omega _1=omega _2=omega$, $ v_1
Questo mi fa sospettare che, o la mia interpretazione non è corretta, o le formule usate all'inizio per $ v_c $ e $v_s$ mal si adattano per descrivere questa configurazione di moto circolare.
Grazie
Mi sto cimentando nella risoluzione di un problema di meccanica che vuole essere un esempio di campo vettoriale irrotazionale.
Ho due ruote dentate inscritte l'una nell'altra con una terza ruota libera di ruotare tra le due.
Poste $ v_1,v_2 $ le velocità delle due ruote, quali sono le formule che mi danno la velocità del centro $ v_c $ e la velocità tangenziale della terza ruota $ v_s $ ?
Se la terza ruota è molto piccola rispetto ai raggi delle altre due si può utilizzare un'approssimazione lineare, per cui ho supposto
$ v_c=1/2(v_1+v_2) $ $" "$ $ v_s=1/2(v_1-v_2) $
Questo perché la velocità tangenziale del "nastro" è il doppio della velocità del centro, sommandosi la rotazione e la traslazione, mentre se il secondo nastro è libero di muoversi nel verso opposto il disco rimane fermo , $ v_c=0, v_s=v_1=v_2$. Invece se $ v_1=v_2 $ allora $ v_c=v_1=v_2 $ e $ v_s=0 $.
Ora, affinché la ruota sia ferma e quindi il campo irrotazionale, la ruota deve seguire il moto delle altre due senza ruotare rispetto al nostro sistema di riferimento, mentre ruota rispetto al suo centro con la stessa velocità angolare del centro ma in verso opposto; in formule
$ omega_s=v_s/r_s=v_c/r_c=omega_c $
Se $ r $ è il raggio della ruota 1, mentre se $ r_s $ è il raggio della ruota 3, allora $ r_c=r+r_s" , " r_2=r+2r_s $ , e dunque
$ v_s/r_s=v_c/(r+r_s) $
da cui svolgento i conti si arriva a $ v_1r=v_2(r+2r_s) $ ovvero $ v_1r_1=v_2r_2 $ . Ma allora
$ { ( v_1=alpha/r_1 ),( v_2=alpha/r_2 ):} rArr v(r)=alpha/r $
dove $ alpha $ è una costante.
In effetti supponendo che $ r=sqrt(x^2+y^2) $ , il campo vettoriale che soddisfa questo requisito è
$ vec(v) =alpha (y/r^2,-x/r^2) $ $" "$ $ grad xx vec(v)=0 $
Fin qui il tutto sembra quadrare. Il problema nasce quando le 2 ruote hanno la stessa velocità $ v_1=v_2=v $ , per cui
$ v_c=v $ ma $ v_s=0 $ come nel caso lineare, mentre mi aspetterei una rotazione opposta a quella delle due ruote in quanto hanno velocità angolari diverse $ omega _1>=omega _c>=omega _2 $.
Quando invece le due ruote hanno velocità angolari uguali , $ omega _1=omega _2=omega$, $ v_1
Questo mi fa sospettare che, o la mia interpretazione non è corretta, o le formule usate all'inizio per $ v_c $ e $v_s$ mal si adattano per descrivere questa configurazione di moto circolare.
Grazie
Risposte
Quale microcircolazione? quale macrocircolazione? Che vuol dire?
La microcircolazione è simulata dal satellite, la macrocircolazione dalle primitive. Forse non ti è chiaro che sto usando la meccanica per spiegare dei concetti astratti di matematica e fisica.
Quale campo? Il campo di velocità di cosa? del satellite?
Delle primitive
Cos' è "il punto di applicazione della sferetta", come si applica una sfera in un punto?
Sul serio? Metti il suo centro in un punto.
Inoltre, che senso ha una "sfera" di raggio <<1? Che differenza ha con un semplice "punto"?
quello che ha un $dr$ nel calcolo differenziale
Imposta da te senza nessun motivo, infatti dalla mia risposta non c'è niente che indichi che $omega_s=-omega_p$. $omega_s$ e $omega_p$ non puoi darle a priori perché sono conseguenze delle velocità angolari delle due ruote esterne e dei loro raggi.
Perchè no?? Ti ho appena dimostrato che è sufficiente che la velocità delle primitive decresca con l'inverso dei loro raggi per ottenere $omega_s=-omega_p$ .
La condizione di non rotazione del satellite, ossia $omega_s=0$ dipende SOLAMENTE dalle velocitàv_1 e v_3, (omega_s è quella che io ho chiamato omega_2) se v_1 e v_3 sono uguali in direzione e verso, il satellite non ruota, altrimenti ruota (per rotazione del satellite si intende la sua rotazione propria, la traslazione del suo centro dovuta al portasatellite NON implica rotazione del satellite, implica solo "traslazione circolare")
Su questo sono d'accordo, ma io parlavo di sferetta ferma immersa in un flusso, qui le ruote dentate non possono fare più nulla.
In pratica è tutto sbagliato e inconsistente. L'unica cosa giusta e "consistente" è la risposta che ti ho dato io, tutto il resto sono parole in libertà.
Prima di giudicare magari cerca di capire
I concetti astratti di matematica e fisica li so anch'io (e meglio...), solo che io al contrario di te conosco anche quelli "concreti", che mi permettono di dire quando una cosa è del tutto errata o meno...
"Vulplasir":
I concetti astratti di matematica e fisica li so anch'io (e meglio...), solo che io al contrario di te conosco anche quelli "concreti", che mi permettono di dire quando una cosa è del tutto errata o meno...
l'importante è essere convinti!
@TheScientist: La Matematica non si fa solo a chiacchiere, ma soprattutto con le formule (dato che in esse i matematici sono abituati a condensare significati difficilmente esprimibili a parole).
Dunque, quando un matematico ti chiede cortesemente di esibire il campo vettoriale del quale parli, tu dovresti scrivere una formula che fornisce il dominio del campo ed il suo valore in ogni punto del dominio.
Tutto il resto, come già detto, sono analogie o parole in libertà... Ed in nessun caso portano da qualche parte, men che meno ad instaurare un discorso serio.
[xdom="gugo82"]Quindi è giunta l'ora di chiudere.[/xdom]
Dunque, quando un matematico ti chiede cortesemente di esibire il campo vettoriale del quale parli, tu dovresti scrivere una formula che fornisce il dominio del campo ed il suo valore in ogni punto del dominio.
Tutto il resto, come già detto, sono analogie o parole in libertà... Ed in nessun caso portano da qualche parte, men che meno ad instaurare un discorso serio.
[xdom="gugo82"]Quindi è giunta l'ora di chiudere.[/xdom]
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