Esercizio simpatico sulle antenne
Esercizio simpatico sulle antenne
Calcolo la lunghezza d'onda come
$lambda=(3*10^8)/(10^9)=0.3m$
ora però l'antenna dovrebbe essere un caso particolare a $lambda/2$
però valutando il seguente rapporto...$(L/lambda)=0.0004$
Dove sbaglio?
Mi sapete consigliare un metodo valito per tutti i casi delle antenne per vedere se risulta essere a lambda mezzi o ecc ecc ecc?
GRAZIE CIAO
Calcolo la lunghezza d'onda come
$lambda=(3*10^8)/(10^9)=0.3m$
ora però l'antenna dovrebbe essere un caso particolare a $lambda/2$
però valutando il seguente rapporto...$(L/lambda)=0.0004$
Dove sbaglio?
Mi sapete consigliare un metodo valito per tutti i casi delle antenne per vedere se risulta essere a lambda mezzi o ecc ecc ecc?
GRAZIE CIAO
Risposte
in questo caso hai un'antenna corta: $L
Si giusto, e che ho fatto confusione sulla seconda parte del problema...comunque ho risolto la prima parte del problema. E vorrei sapere se ciò che ho scritto è corretto, se i versori li ho presi bene e se il vettore di Poynting è corretto e si trova con il mio risultato.
Calcoliamo la lunghezza d'onda $lambda$ come il rapporto tra la velocità di fase $u_p$ e la frequenza $f$. Poiché siamo nel vuoto $u_p=c=3*10^8m/s$ (ossia la velocità della luce):
$lambda=(u_p/f)=(c/f)=(3*10^8(m/s))/((1*10^9(1/s)))=0.3m$
Il risultato può essere considerato corretto dall'analisi dimensionale effettuata.
Il campo elettrico a grande distanza si calcola come:
$vec(E)=j*((Z_0*I_0)/(2*lambda*r))*(e^(-jkr))*h(theta,phi)*hat(u_(theta))$ (campo lontano)
dove $Z_0=377 Omega$ e rappresenta l'impedenza caratteristica del materiale dielettrico nel vuoto, $I_0$ è la corrente, $lambda$ la lunghezza d'onda precedentemente calcolata, $r$ la distanza tra l'antenna trasmittente $T_x$ e l'antenna ricevente $R_x$, $K=(2*pi)/lambda$ e in questo caso rappresenta il numero d'onda (è strettamente legato a $lambda$), $h(theta,phi)$ rappresenta l'antezza efficace.
Per ricavare $E$ è necessario determinare sia $h(theta,phi)$ che $I_0$.
Per calcolare l'altezza efficace valutiamo il seguente rapporto
$(l/lambda)=((0.012m)/(0.3m))=0.04$ (è un rapporto ovviamente adimensionale)
Essendo $(l/lambda) < < 1$ è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta:
$h(theta,phi)=(l/2)*sin(theta_t)*hat(u_(theta))=(0.0012/2)*sin 45°*hat(u_(theta))=(4.24*10^-3hat(u_(theta)))m$
Risultato potenzialmente corretto da un punto di vista adimensionale.
Per determinare la corrente $I_0$ ci serviamo del circuito equivalente all'antenna trasmittente $T_x$
(simile a quello postato (a livello grafico) quì https://www.matematicamente.it/f/posting ... 939ec9daaf)
la corrente $I_0=(V_g)/(Z_g+Z_A)$
inoltre $Z_A=R_A+jX_L$ ma $jX_L$ tende a $0$ perché rapprensenta la sola energia immagazzinata dalla antenna per cui può essere trascurata. Ed $R_A=R_(loss)+R_(Irr)$
(corretto questo commento su $jX_L$?)
Poiché c'è adattamento la tensione che cade sulla antenna (supposta senza perdite) è pari a metà di quella del generatore ($R_g$ è pari a $R_A$). Possiamo ora calcolare $I_0$, $E$, $H$ e $S$
CORRENTE
$I_0=V_g/(2*R_A)=V_g/(2*((pi/6)*Z_0*(l/lambda)^2))=9.5 A$
CAMPO ELETTRICO
$vec(E)=j*((Z_0*I_0)/(2*lambda*r))*(e^(-jkr))*h(theta,phi)*hat(u_(theta))=(-0.0113-j0.0065)hat(u_theta)(V/m)$
CAMPO MAGNETICO
$vec(H)=-(1/Z_0)*vec(H)*hat(u_theta)*hat(u_r)=-(E/Z_0)*hat(u_(phi))=(-2.99*10^-5-j*1.72*10^-5) (A/m)$
VETTORE DI POYNTING
$vec(S)=(1/(2*Z_0))*(|E|^2)=2.25*10^-7 hat(u_r) (W/m^2)$
Tutti questi risultati sono potenzialmente corretti dalle analisi dimensionali effettuate.
Calcoliamo la lunghezza d'onda $lambda$ come il rapporto tra la velocità di fase $u_p$ e la frequenza $f$. Poiché siamo nel vuoto $u_p=c=3*10^8m/s$ (ossia la velocità della luce):
$lambda=(u_p/f)=(c/f)=(3*10^8(m/s))/((1*10^9(1/s)))=0.3m$
Il risultato può essere considerato corretto dall'analisi dimensionale effettuata.
Il campo elettrico a grande distanza si calcola come:
$vec(E)=j*((Z_0*I_0)/(2*lambda*r))*(e^(-jkr))*h(theta,phi)*hat(u_(theta))$ (campo lontano)
dove $Z_0=377 Omega$ e rappresenta l'impedenza caratteristica del materiale dielettrico nel vuoto, $I_0$ è la corrente, $lambda$ la lunghezza d'onda precedentemente calcolata, $r$ la distanza tra l'antenna trasmittente $T_x$ e l'antenna ricevente $R_x$, $K=(2*pi)/lambda$ e in questo caso rappresenta il numero d'onda (è strettamente legato a $lambda$), $h(theta,phi)$ rappresenta l'antezza efficace.
Per ricavare $E$ è necessario determinare sia $h(theta,phi)$ che $I_0$.
Per calcolare l'altezza efficace valutiamo il seguente rapporto
$(l/lambda)=((0.012m)/(0.3m))=0.04$ (è un rapporto ovviamente adimensionale)
Essendo $(l/lambda) < < 1$ è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta:
$h(theta,phi)=(l/2)*sin(theta_t)*hat(u_(theta))=(0.0012/2)*sin 45°*hat(u_(theta))=(4.24*10^-3hat(u_(theta)))m$
Risultato potenzialmente corretto da un punto di vista adimensionale.
Per determinare la corrente $I_0$ ci serviamo del circuito equivalente all'antenna trasmittente $T_x$
(simile a quello postato (a livello grafico) quì https://www.matematicamente.it/f/posting ... 939ec9daaf)
la corrente $I_0=(V_g)/(Z_g+Z_A)$
inoltre $Z_A=R_A+jX_L$ ma $jX_L$ tende a $0$ perché rapprensenta la sola energia immagazzinata dalla antenna per cui può essere trascurata. Ed $R_A=R_(loss)+R_(Irr)$
(corretto questo commento su $jX_L$?)
Poiché c'è adattamento la tensione che cade sulla antenna (supposta senza perdite) è pari a metà di quella del generatore ($R_g$ è pari a $R_A$). Possiamo ora calcolare $I_0$, $E$, $H$ e $S$
CORRENTE
$I_0=V_g/(2*R_A)=V_g/(2*((pi/6)*Z_0*(l/lambda)^2))=9.5 A$
CAMPO ELETTRICO
$vec(E)=j*((Z_0*I_0)/(2*lambda*r))*(e^(-jkr))*h(theta,phi)*hat(u_(theta))=(-0.0113-j0.0065)hat(u_theta)(V/m)$
CAMPO MAGNETICO
$vec(H)=-(1/Z_0)*vec(H)*hat(u_theta)*hat(u_r)=-(E/Z_0)*hat(u_(phi))=(-2.99*10^-5-j*1.72*10^-5) (A/m)$
VETTORE DI POYNTING
$vec(S)=(1/(2*Z_0))*(|E|^2)=2.25*10^-7 hat(u_r) (W/m^2)$
Tutti questi risultati sono potenzialmente corretti dalle analisi dimensionali effettuate.
va bene, correggi solo questa svista:
"Ahi":
CAMPO MAGNETICO
$vec(H)=-(1/Z_0)*vec(H)*hat(u_theta)*hat(u_r)$
Si giusto. Quello è un prodotto vettoriale e non scalare. Quindi è $vec(H)=-(1/Z_0)*vec(H)*hat(u_theta)xhat(u_r)$
Ho continuato il problema...
Dato fondamentale del problema che non ho ancora scritto è che l'antenna ricevente è un caso particolare a $lambda/2$ per cui $D_M=1.65$ e $$
$h(theta,phi)=(2*cos((pi/2)*cos(theta)))/(K*sintheta)$
Considero il circuito equivalente all'antenna in ricezione $R_x$
(simile a quello postato (a livello grafico) quì https://www.matematicamente.it/f/posting ... 939ec9daaf)
l'angolo $theta_R=75°+15°$
Essendo l'antenna un caso particolare a $lambda/2$, come si evince dalla traccia, l'altezza efficace sarà data dalla seguente relazione
$h(theta,phi)=(2*cos((pi/2)*cos(theta)))/(K*sintheta)=(-0.096hat(u_(theta_R)))m$
anche in questo caso il risultato è potenzialmente corretto dall'analisi dimensionale che è stata effettuata.
quel segno meno dipende dal fatto che il versore $hat(u_(theta_R)$ è orientato in modo opposto a $hat(u_(theta_T)$, corretto questo commento o lo devo modificare?
Ora possiamo calcolare la tensione a vuoto
$V_0=-vec(E_in)*vec(h)=(-1.1*10^-3)-(j6.24*10^-4) V$
Da un punto di vista dimensionale il risultato è potenzialmente corretto. La potenza consegnata al carico in condizioni di adattamento sarà:
$P_R=(1/(8*R_(ir)))*(|V_0|^2)=2.6*10^-9 W$
Risultato potenzialemente corretto da un punto di vista dimensionale.
Allo stesso risultato si poteva giungere utilizzando la formula di Friis.
$P_R=P_T*D(theta_R)*D(theta_T)*((lambda/(4*pi*r))^2)*chi_Z*chi_P$
dove $D(theta_R)=1.65$
$D(theta_T)=(3/2)*sin 45°=0.75$
$chi_Z=1$ poiché il carico è adattato
$chi_P=1$ $<=>$ $vec(E) || vec(h)$
$P_T$ rappresenta la potenza trasmessa dall'antenna $T_x$ e poiché il carico è adattato vale:
$P_T= (1/2)*(V_g/2)^2*(1/R_A)=7.13 W$
se vado a sostituire nella formula di Friis ottengo $P_R=1.26*10^-9W$
il che va contro a quello che ho ricavato prima. Dove sbaglio? GRAZIE
Ho continuato il problema...
Dato fondamentale del problema che non ho ancora scritto è che l'antenna ricevente è un caso particolare a $lambda/2$ per cui $D_M=1.65$ e $$
$h(theta,phi)=(2*cos((pi/2)*cos(theta)))/(K*sintheta)$
Considero il circuito equivalente all'antenna in ricezione $R_x$
(simile a quello postato (a livello grafico) quì https://www.matematicamente.it/f/posting ... 939ec9daaf)
l'angolo $theta_R=75°+15°$
Essendo l'antenna un caso particolare a $lambda/2$, come si evince dalla traccia, l'altezza efficace sarà data dalla seguente relazione
$h(theta,phi)=(2*cos((pi/2)*cos(theta)))/(K*sintheta)=(-0.096hat(u_(theta_R)))m$
anche in questo caso il risultato è potenzialmente corretto dall'analisi dimensionale che è stata effettuata.
quel segno meno dipende dal fatto che il versore $hat(u_(theta_R)$ è orientato in modo opposto a $hat(u_(theta_T)$, corretto questo commento o lo devo modificare?
Ora possiamo calcolare la tensione a vuoto
$V_0=-vec(E_in)*vec(h)=(-1.1*10^-3)-(j6.24*10^-4) V$
Da un punto di vista dimensionale il risultato è potenzialmente corretto. La potenza consegnata al carico in condizioni di adattamento sarà:
$P_R=(1/(8*R_(ir)))*(|V_0|^2)=2.6*10^-9 W$
Risultato potenzialemente corretto da un punto di vista dimensionale.
Allo stesso risultato si poteva giungere utilizzando la formula di Friis.
$P_R=P_T*D(theta_R)*D(theta_T)*((lambda/(4*pi*r))^2)*chi_Z*chi_P$
dove $D(theta_R)=1.65$
$D(theta_T)=(3/2)*sin 45°=0.75$
$chi_Z=1$ poiché il carico è adattato
$chi_P=1$ $<=>$ $vec(E) || vec(h)$
$P_T$ rappresenta la potenza trasmessa dall'antenna $T_x$ e poiché il carico è adattato vale:
$P_T= (1/2)*(V_g/2)^2*(1/R_A)=7.13 W$
se vado a sostituire nella formula di Friis ottengo $P_R=1.26*10^-9W$
il che va contro a quello che ho ricavato prima. Dove sbaglio? GRAZIE
Caro Ahi 
L'errore lo hai commesso quando hai calcolato la $P_t$ e hai considerato $R_A=0.6313$ ossia il doppio di quanto è in realtà $R_A=0.3157$
Dunque da quì rifacendo i calcoli otterrai $P_T=14.25$
e la $P_R=2.57*10^-9$
ossia il risultato sarà identico a quello calcolato in precedenza senza adoperare Friis. Devi fare più attenzione!!!
A parte gli scherzi....ho un problema ben più grave...
L'errore lo hai commesso quando hai calcolato la $P_t$ e hai considerato $R_A=0.6313$ ossia il doppio di quanto è in realtà $R_A=0.3157$
Dunque da quì rifacendo i calcoli otterrai $P_T=14.25$
e la $P_R=2.57*10^-9$
ossia il risultato sarà identico a quello calcolato in precedenza senza adoperare Friis. Devi fare più attenzione!!!
A parte gli scherzi....ho un problema ben più grave...
Complimenti per lo sdoppio della personalità, non avrei saputo correggerti in modo migliore
qual è il problema ben più grave?
qual è il problema ben più grave?
Ho sempre calcolato i massimi e minimi dell'antenna così
Il campo elettrico dell'antenna trasmittente si annulla per $theta=0$ e per $theta=pi$, inoltre è massimo per $theta=(pi/2)$. Siccome l'antenna è omnidirezionale su tutto l'azimuth $0 <= phi < 2*pi$
in realtà non è così che devo fare!!! O meglio si ma non ho capito perché...
il professore fa così:
l'altezza efficace se la riscrive come $0.006*sin(theta_s-(pi/6))$
quindi $|h|$ è proporzionale a $|sin(theta_s-(pi/6))|$
dove $theta_t=theta_s-(pi/6)$
è massimo per $theta_s-(pi/6)= (pi/2)+n*pi$
e minimo per $theta_s-(pi/6)=n*pi$
dove $theta_s=theta+30°$
perché si riscrive l'angolo in quel modo? Non poteva usare direttamente $theta_T$?
Inoltre mi dice che devo spiegarlo sia da un punto di vista fisico che matematico, che devo fare!!! Che considerazioni dovrei fare?
Il campo elettrico dell'antenna trasmittente si annulla per $theta=0$ e per $theta=pi$, inoltre è massimo per $theta=(pi/2)$. Siccome l'antenna è omnidirezionale su tutto l'azimuth $0 <= phi < 2*pi$
in realtà non è così che devo fare!!! O meglio si ma non ho capito perché...
il professore fa così:
l'altezza efficace se la riscrive come $0.006*sin(theta_s-(pi/6))$
quindi $|h|$ è proporzionale a $|sin(theta_s-(pi/6))|$
dove $theta_t=theta_s-(pi/6)$
è massimo per $theta_s-(pi/6)= (pi/2)+n*pi$
e minimo per $theta_s-(pi/6)=n*pi$
dove $theta_s=theta+30°$
perché si riscrive l'angolo in quel modo? Non poteva usare direttamente $theta_T$?
Inoltre mi dice che devo spiegarlo sia da un punto di vista fisico che matematico, che devo fare!!! Che considerazioni dovrei fare?
Si riconduce al sistema di riferimento sferico assoluto, non quello dell'antenna tx.
Dal punto di vista matematico devi trovare gli zeri della funzione $h(theta,phi)$; dal punto di vista fisico è immediato concludere che in direzione assiale dell'antenna non si ha radiazione, perchè la componente del vettore di radiazione è nulla lungo quella direzione.
Dal punto di vista matematico devi trovare gli zeri della funzione $h(theta,phi)$; dal punto di vista fisico è immediato concludere che in direzione assiale dell'antenna non si ha radiazione, perchè la componente del vettore di radiazione è nulla lungo quella direzione.
Ma è complicatissimo...e lunghissimo, non credo di saperlo fare.
Comunque procediamo per gradi.
1) a livello matematico...
per trovare gli zeri di questa funzione devo porre
$h(theta,phi)=0$ $=>$ $sin(theta_s-(pi/6))=0$
giusto?
Comunque procediamo per gradi.
1) a livello matematico...
per trovare gli zeri di questa funzione devo porre
$h(theta,phi)=0$ $=>$ $sin(theta_s-(pi/6))=0$
giusto?
giusto
Dunque se ho capito bene è per sistema di riferimento sferico assoluto che vado a prendere che quell'angolo $theta$ si riscrive come $(theta_s)-(pi/6)$
Corretto?
Corretto?
sì
Però non capisco una cosa, come faccio a vedere gli zeri? O dove è massimi e minima la funzione, comunque alla fine $theta_s$ è un angolo noto no?
no, $theta_s$ è la generica coordinata che indica la coelevazione nel sistema di riferimento assoluto
Mi sono andato a rivedere un po' di matematica... 
Comunque orea penso di avere capito come si fa e te lo scrivo direttamente senza ulteriori passaggi.
1) a livello matematico...
per trovare gli zeri di questa funzione devo porre
$h(theta,phi)=0$ $=>$ $sin(theta_s-(pi/6))=0$
l'angolo lo riscrivo così semplicemente perché sto considerando un sistema di riferimento sferico assoluto.
Per vedere dove si annulla $sin(theta_s-(pi/6))=0$ devo andare a vedere dove si annulla la funzione $sin(theta)=0$ e questa si annulla per $0+n*pi$
dunque ora eguaglio $theta=0+n*pi$ $=>$ $theta_s-(pi/6)=n*pi$ $=>$ $theta_s=n*pi+(pi/6)$
corretto?
Comunque orea penso di avere capito come si fa e te lo scrivo direttamente senza ulteriori passaggi.
1) a livello matematico...
per trovare gli zeri di questa funzione devo porre
$h(theta,phi)=0$ $=>$ $sin(theta_s-(pi/6))=0$
l'angolo lo riscrivo così semplicemente perché sto considerando un sistema di riferimento sferico assoluto.
Per vedere dove si annulla $sin(theta_s-(pi/6))=0$ devo andare a vedere dove si annulla la funzione $sin(theta)=0$ e questa si annulla per $0+n*pi$
dunque ora eguaglio $theta=0+n*pi$ $=>$ $theta_s-(pi/6)=n*pi$ $=>$ $theta_s=n*pi+(pi/6)$
corretto?
corretto
Per i massimi e i minimi devo fare la stessa cosa...
e quindi viene che la funzione $sin(theta)$ è massima per $(pi/2)+2*n*pi$ e minima $(-pi/2)+2*n*pi$
dunque $theta=(pi/2)+(pi/6)+2*n*pi=(2/3)*pi+2*n*pi$ (sono i massimi)
mente $theta=(-pi/2)+(pi/6)+2*n*pi=-(2/3)*pi+2*pi$
Dovrei aver fatto bene????
E questo è a livello matematico. Ma a livello fisico che calcoli devo fare? Nulla?
e quindi viene che la funzione $sin(theta)$ è massima per $(pi/2)+2*n*pi$ e minima $(-pi/2)+2*n*pi$
dunque $theta=(pi/2)+(pi/6)+2*n*pi=(2/3)*pi+2*n*pi$ (sono i massimi)
mente $theta=(-pi/2)+(pi/6)+2*n*pi=-(2/3)*pi+2*pi$
Dovrei aver fatto bene????
E questo è a livello matematico. Ma a livello fisico che calcoli devo fare? Nulla?
no, devi cercare i massimi di $|h(theta,phi)|$, quindi in questo caso i massimi cadono in $theta=pi/2+npi$
Correggendo
Per i massimi e i minimi devo fare la stessa cosa...
e quindi viene che la funzione $sin(theta)$ ha dei massimi per $(pi/2)+n*pi$ e minimi $(-pi/2)+2*n*pi$
dunque $theta=(pi/2)+(pi/6)+2*n*pi=(2/3)*pi+n*pi$ (sono i massimi)
mentre $theta=(-pi/2)+(pi/6)+2*n*pi=-(2/3)*pi+n*pi$
E questo è a livello matematico. Non devo mettere altre spiegazioni credo, basta così?
Ma a livello fisico che calcoli devo fare? Nulla?
Per i massimi e i minimi devo fare la stessa cosa...
e quindi viene che la funzione $sin(theta)$ ha dei massimi per $(pi/2)+n*pi$ e minimi $(-pi/2)+2*n*pi$
dunque $theta=(pi/2)+(pi/6)+2*n*pi=(2/3)*pi+n*pi$ (sono i massimi)
mentre $theta=(-pi/2)+(pi/6)+2*n*pi=-(2/3)*pi+n*pi$
E questo è a livello matematico. Non devo mettere altre spiegazioni credo, basta così?
Ma a livello fisico che calcoli devo fare? Nulla?
"Ahi":
Correggendo
Per i massimi e i minimi devo fare la stessa cosa...
e quindi viene che la funzione $sin(theta)$ ha dei massimi per $(pi/2)+n*pi$ e minimi $(-pi/2)+2*n*pi$
no, $|h(theta,phi)|=|sintheta|$, che ha massimi in $theta=pi/2+npi$ e minimi in $theta=npi$. Poi in realtà $theta in [0,pi]$, quindi...
Per dare un'interpretazione fisica basta dare una spiegazione descrittiva in questo caso
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