Esercizio Propagazione dell'incertezza
Mi aiutate per favore a svolgere questo esercizio
Non chiedo la soluzione del problema ma solo essere seguito nel ragionamento .
Grazie ..
QUESITO 4. Un circuito è formato da una barretta cilindrica di piombo collegata in serie ad un
resistore R, come nella figura sottostante. La barretta ha resistività pari a 0.22 ± 0.01 mm2
/ m.,
lunghezza pari a 40 ± 5 cm e raggio pari a 3 mm ± 10%. La resistenza R è stimata essere pari a 8 m
± 5 %. Alimentando il circuito con una tensione di 0.2 ± 0.01 mV, determinare la corrente che
attraversa il circuito e stimarne l’incertezza con con metodo probabilistico.
Svolgimento :
Prima di tutto devo calcolare la stima del misurando utlizzando la formula inversa della legge di ohm I = E/R.
La resistenza della barretta si puo' calcolare in questo modo:
Resistenza della barretta :
$ R = ( l * rho ) / (Pi * r^2) $
La resistenza Totale sara' uguale a
Rtot = Rbarretta + R
La stima del misurando sara' uguale a :
$ I = E/[( l * rho ) / (Pi * r^2) + R ] = (E*Pi*r^2)/(l*rho +(Pi*r^2) ]= [0.2v *3.14*(3mm)^2]/(40cm*(0.22Ohm mm^2/m)+ 3.14]= $
A questo punto mi chiedo se sto' procedendo bene perche' il calcolo e' un po' difficile .
Non chiedo la soluzione del problema ma solo essere seguito nel ragionamento .
Grazie ..
QUESITO 4. Un circuito è formato da una barretta cilindrica di piombo collegata in serie ad un
resistore R, come nella figura sottostante. La barretta ha resistività pari a 0.22 ± 0.01 mm2
/ m.,
lunghezza pari a 40 ± 5 cm e raggio pari a 3 mm ± 10%. La resistenza R è stimata essere pari a 8 m
± 5 %. Alimentando il circuito con una tensione di 0.2 ± 0.01 mV, determinare la corrente che
attraversa il circuito e stimarne l’incertezza con con metodo probabilistico.
Svolgimento :
Prima di tutto devo calcolare la stima del misurando utlizzando la formula inversa della legge di ohm I = E/R.
La resistenza della barretta si puo' calcolare in questo modo:
Resistenza della barretta :
$ R = ( l * rho ) / (Pi * r^2) $
La resistenza Totale sara' uguale a
Rtot = Rbarretta + R
La stima del misurando sara' uguale a :
$ I = E/[( l * rho ) / (Pi * r^2) + R ] = (E*Pi*r^2)/(l*rho +(Pi*r^2) ]= [0.2v *3.14*(3mm)^2]/(40cm*(0.22Ohm mm^2/m)+ 3.14]= $
A questo punto mi chiedo se sto' procedendo bene perche' il calcolo e' un po' difficile .
Risposte
Negli ultimi due passaggi: che fine ha fatto "R" ? E nell'ultimo: dov'è "r" a denominatore ?
Grazie per aver risposto e mi sono accorto di aver lasciato per strada R e r .
Vorrei proseguire per gradi nel calcolo pero' c'e' ancora qualche nodo da sciogliere .
$ I = E/[( l * rho ) / (Pi * r^2) + R ] = (E*Pi*r^2)/(l*rho + R*(Pi*r^2) ]= [0.2v *3.14*(3mm)^2]/(40cm*(0.22Ohm mm^2/m)+ *8MOhm*(3mm)^2 * 3.14]= $
Il calcolo da fare e' il seguente pero' quanto viene ? Dovrebbe risultare in Ampere
$ {(0.2 v * 3.14 * 3 mm^2) / ( 40cm *(0.22Ohm*mm^2) + (3.14*3mm^2)}}= $
Il numeratore mi viene :
$ [ (0.2 v * 3.14)* 3 * (mm)^2 ] = 0.01884 Vcm^2 $
Il denominatore non mi viene o meglio non lo so' calcolare.
$ 400 mm ×0.22 mm^2Ω + 8 MΩ ×3.14×3 mm^2 $
Altra difficoltà sta nel ricavare le derivate parziali di quattro variabili , E , r^2 , l , e "Ro" .
Comunque e' un problema d'affrontare in seguito .
Vorrei proseguire per gradi nel calcolo pero' c'e' ancora qualche nodo da sciogliere .
$ I = E/[( l * rho ) / (Pi * r^2) + R ] = (E*Pi*r^2)/(l*rho + R*(Pi*r^2) ]= [0.2v *3.14*(3mm)^2]/(40cm*(0.22Ohm mm^2/m)+ *8MOhm*(3mm)^2 * 3.14]= $
Il calcolo da fare e' il seguente pero' quanto viene ? Dovrebbe risultare in Ampere
$ {(0.2 v * 3.14 * 3 mm^2) / ( 40cm *(0.22Ohm*mm^2) + (3.14*3mm^2)}}= $
Il numeratore mi viene :
$ [ (0.2 v * 3.14)* 3 * (mm)^2 ] = 0.01884 Vcm^2 $
Il denominatore non mi viene o meglio non lo so' calcolare.
$ 400 mm ×0.22 mm^2Ω + 8 MΩ ×3.14×3 mm^2 $
Altra difficoltà sta nel ricavare le derivate parziali di quattro variabili , E , r^2 , l , e "Ro" .
Comunque e' un problema d'affrontare in seguito .
Mi sembra che continui a mancare R. Ti do inoltre un consiglio: per evitare errori mantieni le lunghezze solo in m e in mm
Si e' vero , mi dimentico sempre qualcosa .
Ho corretto ed espresso tutto in mm .
Resta sempre pero' il problema del calcolo del denominatore .
$ I = E/[( l * rho ) / (Pi * r^2) + R ] = (E*Pi*r^2)/(l*rho + R*(Pi*r^2) ]= [0.2v *3.14*(3mm)^2]/(40cm*(0.22Ohm mm^2/m)+ *8MOhm*(3mm)^2 * 3.14]= $
$ {(0.2 v * 3.14 * 3 mm^2) / ( 8 Mohm * 40cm *(0.22Ohm*mm^2) + (3.14*3mm^2)}}= $
Il numeratore mi viene :
$ [ (0.2 v * 3.14)* 3 * (mm)^2 ] = 0.01884 Vcm^2 $
Come si calcola questo denominatore ?
$ 400 mm ×0.22 mm^2Ω + 8 MΩ ×3.14×3 mm^2 $
Ho corretto ed espresso tutto in mm .
Resta sempre pero' il problema del calcolo del denominatore .
$ I = E/[( l * rho ) / (Pi * r^2) + R ] = (E*Pi*r^2)/(l*rho + R*(Pi*r^2) ]= [0.2v *3.14*(3mm)^2]/(40cm*(0.22Ohm mm^2/m)+ *8MOhm*(3mm)^2 * 3.14]= $
$ {(0.2 v * 3.14 * 3 mm^2) / ( 8 Mohm * 40cm *(0.22Ohm*mm^2) + (3.14*3mm^2)}}= $
Il numeratore mi viene :
$ [ (0.2 v * 3.14)* 3 * (mm)^2 ] = 0.01884 Vcm^2 $
Come si calcola questo denominatore ?
$ 400 mm ×0.22 mm^2Ω + 8 MΩ ×3.14×3 mm^2 $
Supponendo sia R=8 mohm (e non 8 Mohm):
0,4 m*0,22 ohm mm^2/m = 0,088 ohm mm^2
0,008 mohm * 3^2 mm^2 * pi = 0,226 ohm mm^2
Attenzione al calcolo del numeratore: (3mm)^2 non è 3 mm^2
0,4 m*0,22 ohm mm^2/m = 0,088 ohm mm^2
0,008 mohm * 3^2 mm^2 * pi = 0,226 ohm mm^2
Attenzione al calcolo del numeratore: (3mm)^2 non è 3 mm^2
Ok provo a fare i calcoli :
( Si e' vero .... $ (3mm)^2 = 9mm^2 = 0.09cm^2 $ )
Il numeratore dovrebbe essere :
$ 0.2v * 3.14*(3mm)^2 = 5.652 * 10^(-6) .. = 0.05652Vcm^2 $
il Denominatore :
$ 8mOhm * 0.22 Ohm mm^2/m * 3.14 * 400 mm = 2.211 * 10^(-16) kg^2m^7 / S^6 * A^6 ??? = $
A questo punto mi perdo ...Dovrei divide il numeratore per denominatore .
Dovrebbe uscir fuori un valore in milliamper pero' la vedo dura...
( Si e' vero .... $ (3mm)^2 = 9mm^2 = 0.09cm^2 $ )
Il numeratore dovrebbe essere :
$ 0.2v * 3.14*(3mm)^2 = 5.652 * 10^(-6) .. = 0.05652Vcm^2 $
il Denominatore :
$ 8mOhm * 0.22 Ohm mm^2/m * 3.14 * 400 mm = 2.211 * 10^(-16) kg^2m^7 / S^6 * A^6 ??? = $
A questo punto mi perdo ...Dovrei divide il numeratore per denominatore .
Dovrebbe uscir fuori un valore in milliamper pero' la vedo dura...
Guarda che il denominatore è la somma dei contributi indicati, non un loro prodotto.
Il risultato è in A. Al numeratore infatti trovi: V*mm^2, al denominatore Ohm*mm^2
Il risultato è in A. Al numeratore infatti trovi: V*mm^2, al denominatore Ohm*mm^2
Forse ci sono :
( ma che fatica !!
)
$ [ 0.2v *3.14 *(3mm)^2 ] / [ (400 mm * 0.22Ohm (mm^2)) + 8*m*Ohm*3.14*(3mm)^2]= 0.02499 A/(m) = 2.499*10^(-4) A/(cm) $
Sinouns cosa ne pensi ??
Secondo te posso continuare con il calcolo dell'incertezza con il metodo probabilistico ??
Sicuramente incontrerò difficoltà con le derivate parziali ...
Una domanda : Ma come faccio a coinvolgere l'amperometro nei calcoli ? Sicuramente l'amperometro non sta' li a caso , avra' una resistenza interna e una sua incertezza ..!!! cosa ne pensi ?
( ma che fatica !!
)$ [ 0.2v *3.14 *(3mm)^2 ] / [ (400 mm * 0.22Ohm (mm^2)) + 8*m*Ohm*3.14*(3mm)^2]= 0.02499 A/(m) = 2.499*10^(-4) A/(cm) $
Sinouns cosa ne pensi ??
Secondo te posso continuare con il calcolo dell'incertezza con il metodo probabilistico ??
Sicuramente incontrerò difficoltà con le derivate parziali ...
Una domanda : Ma come faccio a coinvolgere l'amperometro nei calcoli ? Sicuramente l'amperometro non sta' li a caso , avra' una resistenza interna e una sua incertezza ..!!! cosa ne pensi ?
Vedo di nuovo grandezze non omogenee e un risultato, che non mi torna, in [A/m]. Io ti suggerirei di costruire un modello elettrotecnico più semplice: prova a calcolarti semplicemente la resistenza in ohm della barretta; somma questa alla resistenza R e dividi E per la serie di queste due resistenze (trascurando l'amperometro, se non diversamente specificato). Il problema delle incertezze è ancora troppo lontano...
Non capisco .
E' quello che ho esattamente fatto . Tutto documentato nella seconda terza pagina .
Prima di tutto mi sono ricavato la resistenza
$ Rb = (l*rho )/ (Pi *r^2) $
Poi a Rb gli ho sommato la resistenza R .
Ho diviso E per la somma di Rb e R .
Forse non ci stiamo capendo oppure non siamo in Sintonia .
A questo punto invece di scrivermi come fare potresti cortesemente scrivermi come lo hai risolto tu ?
Scusa l'esplicita richiesta pero' non se ne esce .
E' quello che ho esattamente fatto . Tutto documentato nella seconda terza pagina .
Prima di tutto mi sono ricavato la resistenza
$ Rb = (l*rho )/ (Pi *r^2) $
Poi a Rb gli ho sommato la resistenza R .
Ho diviso E per la somma di Rb e R .
Forse non ci stiamo capendo oppure non siamo in Sintonia .
A questo punto invece di scrivermi come fare potresti cortesemente scrivermi come lo hai risolto tu ?
Scusa l'esplicita richiesta pero' non se ne esce .
Fa' il calcolo numerico di Rb, e prima di procedere oltre nei tuoi studi verificalo qui:
http://www.bbaba.altervista.org/tools/ohm.php
http://www.bbaba.altervista.org/tools/ohm.php
Grazie per il suggerimento del sito .
Comunque il calcolo rimane difficile lo stesso .
Proseguo comunque con il passo successivo e cioe' la stima del'incertezza con il metodo probabilistico .
$ mu (E)= (delta E)/sqrt(3)=0.12mV $
$ mu (r)= (delta r)/sqrt(3)= 0.17 mm $
$ mu (l)= (delta l)/sqrt(3)= 2.9cm $
$ mu (rho )= (delta rho )/sqrt(3)= 0.005773..Omega mm^2/m $
$ mu (R )= (delta R)/sqrt(3)= 2.89 m Omega $
Pertanto :
$ mu (I)=sqrt(((varphi I)/(varphiE))^2*mu ^2(E)+ ((varphi I)/(varphir))^2*mu ^2(r)+((varphi I)/(varphil))^2*mu ^2(l)+((varphi I)/(varphirho ))^2*mu ^2(rho )+((varphi I)/(varphiR))^2*mu ^2(R) $ =
In questa formula non ho incluso l'amperometro.
A questo punto dovrei fare tutte queste derivate parziali ...
possibile che quest'esercizio sia cosi' difficile ?
Comunque il calcolo rimane difficile lo stesso .
Proseguo comunque con il passo successivo e cioe' la stima del'incertezza con il metodo probabilistico .
$ mu (E)= (delta E)/sqrt(3)=0.12mV $
$ mu (r)= (delta r)/sqrt(3)= 0.17 mm $
$ mu (l)= (delta l)/sqrt(3)= 2.9cm $
$ mu (rho )= (delta rho )/sqrt(3)= 0.005773..Omega mm^2/m $
$ mu (R )= (delta R)/sqrt(3)= 2.89 m Omega $
Pertanto :
$ mu (I)=sqrt(((varphi I)/(varphiE))^2*mu ^2(E)+ ((varphi I)/(varphir))^2*mu ^2(r)+((varphi I)/(varphil))^2*mu ^2(l)+((varphi I)/(varphirho ))^2*mu ^2(rho )+((varphi I)/(varphiR))^2*mu ^2(R) $ =
In questa formula non ho incluso l'amperometro.
A questo punto dovrei fare tutte queste derivate parziali ...
possibile che quest'esercizio sia cosi' difficile ?
Puoi sempre andare a suddividere la complessita del problema andando prima a determinare l'incertezza di R, poi quella della resistenza totale Rt, ed infine quella del rapporto fra E e Rt.
Ovviamente, visto il testo, l'amperometro è da intendersi ideale.
Ovviamente, visto il testo, l'amperometro è da intendersi ideale.
Ero sicuro che c'era' una via di uscita .
Non mi ricordo il significato di Amperometro ideale ? vuol dire che c'e' pero' non e' incluso nel calcolo ?
Un'altra cosa che volevo chiederti RenzoDF se hai un po' di tempo :
Cosa ne pensi del calcolo fatto per la stima del misurando . Potrebbe essere 0.02499 A/m ??
Sinuons non e' d'accordo e mi ha mandato anche un link di un sito dove spiega bene come fare il calcolo .
Il risultato pero' a me viene sempre 0.02499 A/m .
Ti dispiace aiutarmi a capire dove sbaglio ?
Grazie e buona giornata..
Non mi ricordo il significato di Amperometro ideale ? vuol dire che c'e' pero' non e' incluso nel calcolo ?
Un'altra cosa che volevo chiederti RenzoDF se hai un po' di tempo :
Cosa ne pensi del calcolo fatto per la stima del misurando . Potrebbe essere 0.02499 A/m ??
Sinuons non e' d'accordo e mi ha mandato anche un link di un sito dove spiega bene come fare il calcolo .
Il risultato pero' a me viene sempre 0.02499 A/m .
Ti dispiace aiutarmi a capire dove sbaglio ?
Grazie e buona giornata..
"polid":
... Non mi ricordo il significato di Amperometro ideale ? vuol dire che c'e' pero' non e' incluso nel calcolo ?
Ideale significa, fra le altre cose, con resistenza (o meglio impedenza) interna nulla.
"polid":
... Cosa ne pensi del calcolo fatto per la stima del misurando . Potrebbe essere 0.02499 A/m ??
Penso che se per "misurando" intendi la corrente misurata dall'amperometro, non capisco come possa avere quell'unità di misura e non concordo nemmeno sul valore numerico in quanto la resistenza della barra $R_b=\rhol/S\approx 3.11 \ \text{m}\Omega$ e di conseguenza, sommando gli otto milliohm del resistore R, $R_t\approx 11.11 \ \text{m}\Omega$ e quindi $I=E/R_t\approx 18.0 \ \text{mA}$, o meglio $I=-18.0 \ \text{mA}$, vista l'inserzione dell'amperometro.
Ok Cosi' va bene .
Io ho eseguito un calcolo unico e probabilmente mi sono confuso .
$ I = E / (rho * l/(Pi r^2)) $
C'e' ancora qualche piccola cosa poco chiara come per esempio l'unita' di misura .
Questo e' il calcolo che faccio io .
$ Rb = (0.22 Ohm (mm^2/m) *0.40 m)/(3.14*9 mm)= 3.114 Omega mm^2/m $
Devo capire come arrivare a $ 3.114 mOmega $ ... forse semplificando m con m viene comunque m^2
Comunque :
RenzoDF e Sinuons il vostro prezioso aiuto credo possa bastare ... Grazie
Io ho eseguito un calcolo unico e probabilmente mi sono confuso .
$ I = E / (rho * l/(Pi r^2)) $
C'e' ancora qualche piccola cosa poco chiara come per esempio l'unita' di misura .
Questo e' il calcolo che faccio io .
$ Rb = (0.22 Ohm (mm^2/m) *0.40 m)/(3.14*9 mm)= 3.114 Omega mm^2/m $
Devo capire come arrivare a $ 3.114 mOmega $ ... forse semplificando m con m
viene comunque m^2Comunque :
RenzoDF e Sinuons il vostro prezioso aiuto credo possa bastare ... Grazie
Se non impari a scrivere per bene le formule, fai solo confusione a portarti dietro anche le unità di misura; per farla breve ti faccio semplicemente osservare che, se per l'unità di misura della resistività $\rho$ abbiamo
$[\rho]=\Omega\frac{\text{mm}^2}{\text{m}}$
allora è evidente che ti converrà esprimere la lunghezza del resistore in metri e l'area della sua sezione in millimetri quadrati, al fine di ottenere la resistenza in ohm.
NB Chiaramente occhio a non confondere la m di metri, con la m di milli.
BTW Occhio alle incertezze tipo da te calcolate nel tuo messaggio [41], se non erro, ce ne sono alcune errate.
$[\rho]=\Omega\frac{\text{mm}^2}{\text{m}}$
allora è evidente che ti converrà esprimere la lunghezza del resistore in metri e l'area della sua sezione in millimetri quadrati, al fine di ottenere la resistenza in ohm.
NB Chiaramente occhio a non confondere la m di metri, con la m di milli.
BTW Occhio alle incertezze tipo da te calcolate nel tuo messaggio [41], se non erro, ce ne sono alcune errate.
D'accordo per la prima che ho corretto . pero' per l'ultima credo di aver fatto giusto .
Ho fatto il seguente calcolo :
$ [8 mOmega + - 5% = (8*5)/40*100]/sqrt(3) = 0.23 $
****************************************************************
$ mu (E)= (delta E)/sqrt(3)=(0.2 /sqrt (3 ))= ~= 0.12 mV $
$ mu (r)= (delta r)/sqrt(3)= ( 3 *10 )/100 ~= 0.1732 mm $
$ mu (l)= (delta l)/sqrt(3)= 5/sqrt(3) ~= 2.9 cm $
$ mu (rho )= (delta rho )/sqrt(3)~= 0.01/sqrt(3) = 0.00577 Omega (mm^2)/(m) $
$ mu (R )= (delta R)/sqrt(3)= ((8*5)/100 ) =
??? m Omega $
Ho fatto il seguente calcolo :
$ [8 mOmega + - 5% = (8*5)/40*100]/sqrt(3) = 0.23 $
****************************************************************
$ mu (E)= (delta E)/sqrt(3)=(0.2 /sqrt (3 ))= ~= 0.12 mV $
$ mu (r)= (delta r)/sqrt(3)= ( 3 *10 )/100 ~= 0.1732 mm $
$ mu (l)= (delta l)/sqrt(3)= 5/sqrt(3) ~= 2.9 cm $
$ mu (rho )= (delta rho )/sqrt(3)~= 0.01/sqrt(3) = 0.00577 Omega (mm^2)/(m) $
$ mu (R )= (delta R)/sqrt(3)= ((8*5)/100 ) =
??? m Omega $
La prima e l'ultima.
D'accordo per la prima che ho corretto . pero' per l'ultima credo di aver fatto giusto .
Ho fatto il seguente calcolo :
$ (8 mOmega + - 5% )= ((8*5)/100)/(sqrt(3)) ~= 0.23 mOhm $
****************************************************************
$ mu (E)= (delta E)/sqrt(3)=(0.2 /sqrt (3 ))= ~= 0.12 mV $
$ mu (r)= (delta r)/sqrt(3)= ( 3 *10 )/100 ~= 0.1732 mm $
$ mu (l)= (delta l)/sqrt(3)= 5/sqrt(3) ~= 2.9 cm $
$ mu (rho )= (delta rho )/sqrt(3)~= 0.01/sqrt(3) = 0.00577 Omega (mm^2)/(m) $
$ mu (R )= (delta R)/sqrt(3)= ((8*5)/100 ) =
??? m Omega $
Ho fatto il seguente calcolo :
$ (8 mOmega + - 5% )= ((8*5)/100)/(sqrt(3)) ~= 0.23 mOhm $
****************************************************************
$ mu (E)= (delta E)/sqrt(3)=(0.2 /sqrt (3 ))= ~= 0.12 mV $
$ mu (r)= (delta r)/sqrt(3)= ( 3 *10 )/100 ~= 0.1732 mm $
$ mu (l)= (delta l)/sqrt(3)= 5/sqrt(3) ~= 2.9 cm $
$ mu (rho )= (delta rho )/sqrt(3)~= 0.01/sqrt(3) = 0.00577 Omega (mm^2)/(m) $
$ mu (R )= (delta R)/sqrt(3)= ((8*5)/100 ) =
??? m Omega $
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