Esercizio Propagazione dell'incertezza

[ErnesFrghsieeee]

Mi aiutate per favore a svolgere questo esercizio

Non chiedo la soluzione del problema ma solo essere seguito nel ragionamento .
Grazie ..

QUESITO 4. Un circuito è formato da una barretta cilindrica di piombo collegata in serie ad un
resistore R, come nella figura sottostante. La barretta ha resistività pari a 0.22 ± 0.01
mm2
/ m.,
lunghezza pari a 40 ± 5 cm e raggio pari a 3 mm ± 10%. La resistenza R è stimata essere pari a 8 m

± 5 %. Alimentando il circuito con una tensione di 0.2 ± 0.01 mV, determinare la corrente che
attraversa il circuito e stimarne l’incertezza con con metodo probabilistico.



Svolgimento :
Prima di tutto devo calcolare la stima del misurando utlizzando la formula inversa della legge di ohm I = E/R.

La resistenza della barretta si puo' calcolare in questo modo:
Resistenza della barretta :
$ R = ( l * rho ) / (Pi * r^2) $

La resistenza Totale sara' uguale a

Rtot = Rbarretta + R

La stima del misurando sara' uguale a :

$ I = E/[( l * rho ) / (Pi * r^2) + R ] = (E*Pi*r^2)/(l*rho +(Pi*r^2) ]= [0.2v *3.14*(3mm)^2]/(40cm*(0.22Ohm mm^2/m)+ 3.14]= $

A questo punto mi chiedo se sto' procedendo bene perche' il calcolo e' un po' difficile .

[RenzoDF]

Per la prima non vedo correzioni, per l'ultima avevi scritto $0.4 \ \text{m}\Omega$, ora sostituito dai punti di domanda.

[ErnesFrghsieeee]

$ mu (E)= (delta E)/sqrt(3)=(0.01 /sqrt (3 ))= ~= 0.00577 mV $

$ mu (r)= (delta r)/sqrt(3)= ( 3 *10 )/100 ~= 0.1732 mm $

$ mu (l)= (delta l)/sqrt(3)= 5/sqrt(3) ~= 2.9 cm $

$ mu (rho )= (delta rho )/sqrt(3)~= 0.01/sqrt(3) = 0.23 Omega (mm^2)/(m) $

$ mu (R )= (delta R)/sqrt(3)= ((8*5)/100 )/sqrt(3) =
0.23 m Omega $

[ErnesFrghsieeee]

Messaggio per RenzoDF ...

Sig.r Renzo abbia ancora un po' di pazienza e pieta' .
Sono quasi arrivato alla conclusione e volevo un parere su come ho impostato le incertezze prima di fare i calcoli .
Mi dovrebbe dire se se sono impostate bene ...Grazie

Procedo con il metodo Probabilistico.

Prima incertezza :

$ mu (Rb)= sqrt(((partialRb)/(partial r))^2*mu ^2(r)+((partialRb)/(partial sigma ))^2*mu ^2(sigma )+((partialRb)/(partial L))^2*mu ^2(L)= ... $

Seconda incertezza :

$ mu (Rt ot)= mu (Rb)+ (deltaR)/sqrt(3) = $

Terza incertezza :

$ mu (E/(Rt_Ot))= (delta E)/sqrt3/mu (Rt_ot) = $

[RenzoDF]

Per le incertezze devi seguire sempre la stessa regola ovvero, l'incertezza di una somma o di un rapporto non è rispettivamente uguale alla somma e al rapporto delle incertezze tipo.

BTW Qui siamo tutti "tu", non c'è nessun " Lei"!

[ErnesFrghsieeee]

RenzoDf dovrebbe essere cosi' .

Pero' prima di fare le derivate dovrei essere sicuro di aver impostato bene le seguenti incertezze .
Sono d'accordo con te quando dici di non confondere le incertezze tipo con le altre .

Cosa ne pensi ?? Secondo te posso procedere con le derivate parziali ?


$ mu (Rb)= sqrt(((partialRb)/(partial r))^2*mu ^2(r)+((partialRb)/(partial sigma ))^2*mu ^2(sigma )+((partialR)/(partial L))^2*mu ^2(L)= ... $


$ mu (Rt_Ot)= sqrt(((partialRb)/(partial r))^2*mu ^2(r)+((partialRb)/(partial sigma ))^2*mu ^2(sigma )+((partialRb)/(partial L))^2*mu ^2(L) ) + sqrt(((partial R )/(partial R ))^2*mu^2(R)) = $

$ mu (E/(Rt_ot) )= sqrt(((partial E)/(partialE))^2*mu^2(E))/ (sqrt(((partialRb)/(partial r))^2*mu ^2(r)+((partialRb)/(partial sigma ))^2*mu ^2(sigma )+((partialRb)/(partial L))^2*mu ^2(L) ) + sqrt(((partial R )/(partial R ))^2*mu^2(R)) ) $

[RenzoDF]

Premesso che non comprendo la necessità di una relazione simbolica totale, che va solo a confonderti le idee, ripeto quanto detto in precedenza.

[ErnesFrghsieeee]

Non ho capito fino in fondo come procedere pero' intanto ho risolto le derivate parziali della Rb .
In seguito capirò .... per questioni di tempo i calcoli li eseguo prossimamente.

Misurando :
$ Rb = (rho *L)/ (Pi *r^2) = 3.11 mOhm $

$ (partial Rb)/(partial r)= ((-2rho L)/ (Pi r^3)) = $

$ (partial Rb)/(partial rho )= ((L)/ (Pi r^2)) = $

$ (partial Rb)/(partial L )= ((rho )/ (Pi r^2)) = $

[RenzoDF]

"polid":Non ho capito fino in fondo come procedere ...

Sto solo facendoti notare che nel tuo post [48] stai ancora commettendo gli stessi errori, ovvero sommando e rapportando le incertezze tipo.

[ErnesFrghsieeee]

Questo e' il calcolo che ha fatto per ricavarmi l'incertezza per quanto riguarda la resistenza Rb.
Credo di non aver commesso lo stesso errore come in precedenza .
L'incertezza della Rb a me risulta 0.3307 .

RenzoDf cosa ne pensi ?


$ mu (Rb)= sqrt(((-2*rho*L )/(Pi *r^2))^2*mu (0.17)^2+(L/(Pi *r^2))^2*mu (0.23)^2+ (rho /(Pi *r^2))^2*mu (2.9)^2 = $

$ = sqrt (((0.22*40)/(3.14*9))^2*(0.1732)^2 + ((40)/(3.14*9))^2*(0.23)^2+((0.22)/(3.14*9))^2*(2.9)^2= $

$ = sqrt((0.011635 + 0.1059818+0.0005096))~= 0.1181266 $

[ErnesFrghsieeee]

Renzo ..

Potrebbe essere giusto scrivere ?? :

$ mu (Rt_ot)= mu (Rb)+ mu (R) -> $

$ --> mu (R)=(8*5)/(100)+8 = 8.4 $

Pertanto :

$ mu (Rt_ot)= 0.1181266 + 8.4 ~= 8.518 $

[RenzoDF]

No, devi sempre usare la relazione fondamentale.

[ErnesFrghsieeee]

Non ci arrivo .
Sono quasi alla fine dello svolgimento di questo esercizio pero' non arrivo a capire l'ultimo passaggio .

Provo a ragionare in questo modo:
Utilizzando sempre la relazione fondamentale , dovrebbe risultare :

$ mu (Rt_Ot)= sqrt(((partialRb)/(partial r))^2*mu ^2(r)+((partialRb)/(partial sigma ))^2*mu ^2(sigma )+((partialRb)/(partial L))^2*mu ^2(L) ) + sqrt(((partial R )/(partial R ))^2*mu^2(R)) = $


$ mu (Rt_Ot)= 01181266 + sqrt(((partial R )/(partial R ))^2*mu^2(R)) = $


Pero' essendo R una costante come faccio a derivare ? : risulterebbe zero .

$ sqrt(((partial R )/(partial R ))^2*mu^2(R)) = $

[ErnesFrghsieeee]

FORSE HO CAPITO ......

ESSENDO :

$ Rt_ot =( L*rho ) / (pi*r^2)+ R $

Allora :

$ R = Rt_ot -( L*rho ) / (pi*r^2) $

Adesso devo derivare ......

[RenzoDF]

No, la resistenza totale è una somma fra due resistenze con incertezza tipo nota ... e quindi ... usando la solita radice quadrata della somma dei prodotti derivata incertezza al quadrato, avrai che ... le derivate saranno unitarie e non dovrai altro che sommare le incertezze tipo al quadrato, non credi?

[ErnesFrghsieeee]

Cosi' ???

$ mu (Rt_ot)= mu (0.1181266)^2+mu (R)^2 = 0.01396+0.0529 =0.06687 $

[RenzoDF]

"polid":Cosi' ???

Valori numerici a parte (che non ho tempo di controllare), direi

$ mu (R_{t})= \sqrt{mu (R_a)^2+mu (R)^2}$

[ErnesFrghsieeee]

Grazie Renzo .

Mi dispiace chiederti ancora l'ultima cosa ..e volendo arrivare proprio alla conclusione ? e' giusto scrivere che l'incertezza di
$ I= $ e' a :

$ mu ( E/(Rt))= sqrt ((mu (E)^2))/(sqrt(mu (Rb_a)^2+mu (R)^2 $

calcolo a parte ..

[RenzoDF]

No,anche in quel caso, determinata l'incertezza tipo della resistenza totale, dovrai usare la relazione fondamentale (radice derivate ecc.) per il rapporto.

[ErnesFrghsieeee]

Che fatica arrivare al traguardo

So gia' che questa formula non e' corretta pero' di piu' non ci arrivo .
Renzo ho seguito le tue indicazioni e utilizzato la relazione fondamentale pero' non credo proprio di aver impostato bene la formula .
Mi servirebbe ancora un po' del tuo aiuto .

$ mu( E/(Rt))= sqrt ((partial(E)/partial)^2*mu(E)^2)/(sqrt( ((partial Rb) /(partial))^2 *mu(Rb)^2+ ((partial R )/ partial )^2*mu(R)^2 $

[RenzoDF]

Visto che qui abbiamo un rapporto, diciamo r=a/b, per l'incertezza tipo di r dovrai:

i) determinare la derivata del rapporto rispetto ad a e quella rispetto a b,

ii) moltiplicarle per le rispettive incertezze

iii) sommarle dopo averle elevate al quadrato

iiii) determinare la radice quadrata.

Usando le incertezze relative si farebbe prima, ma visto che finora abbiamo usato quelle normali andiamo avanti con queste.