Esercizio controllore con reazione dell'uscita
Si consideri il sistema con funzione di trasferimento $F(s)=100frac{s+1}{(s+10)(s+5)}$ si determini un controllore tale da assicurare:
a) astatismo rispetto a disturbi agenti sull'uscita.
b)sistema di tipo 1 con \(\displaystyle e_1<=0.1 \).
c)margine di fase maggiore di \(\displaystyle 40^° \).
Provo a risolvere il punto a:
La condizione di astatismo per essere soddisfatta deve verificare che la funzione di trasferimento abbia almeno un polo nell'origine, ora mi sorge un dubbio, presi ad esempio due polinomi caratteristici del tipo $s^2$ e $s(s+1)$ è indifferente quello da scegliere cioè mi garantiscono tutti e due lo stesso risultato e quindi astatismo?
Ho provato comunque a procedere scegliendo il polinomio \(\displaystyle s(s+1)=s^2+s \), mi scrivo la realizzazione in forma canonica minima ed avrò che: $(s+10)(s+5)=s^2+15s+50 $ allora $A=((0,1),(-50,-15))$, $B=((0),(1))$, $C=(100,100)$ e $D=0$,
ora ci calcoliamo $A+BK=((0,1),(k_1-50,k_2-15))$ ci calcoliamo il polinomio caratteristico $s^2+s(15-k_2)-k_1+50$, e poniamo le condizioni $15-k_2=1$ e $-k_1+50 = 0$ risulterà quindi $k_1=50$ e $k_2=14$, sempre se è giusto il procedimento...
a) astatismo rispetto a disturbi agenti sull'uscita.
b)sistema di tipo 1 con \(\displaystyle e_1<=0.1 \).
c)margine di fase maggiore di \(\displaystyle 40^° \).
Provo a risolvere il punto a:
La condizione di astatismo per essere soddisfatta deve verificare che la funzione di trasferimento abbia almeno un polo nell'origine, ora mi sorge un dubbio, presi ad esempio due polinomi caratteristici del tipo $s^2$ e $s(s+1)$ è indifferente quello da scegliere cioè mi garantiscono tutti e due lo stesso risultato e quindi astatismo?
Ho provato comunque a procedere scegliendo il polinomio \(\displaystyle s(s+1)=s^2+s \), mi scrivo la realizzazione in forma canonica minima ed avrò che: $(s+10)(s+5)=s^2+15s+50 $ allora $A=((0,1),(-50,-15))$, $B=((0),(1))$, $C=(100,100)$ e $D=0$,
ora ci calcoliamo $A+BK=((0,1),(k_1-50,k_2-15))$ ci calcoliamo il polinomio caratteristico $s^2+s(15-k_2)-k_1+50$, e poniamo le condizioni $15-k_2=1$ e $-k_1+50 = 0$ risulterà quindi $k_1=50$ e $k_2=14$, sempre se è giusto il procedimento...
Risposte
"claudio_p88":
si determini un controllore tale da assicurare:
a) astatismo rispetto a disturbi agenti sull'uscita.
quale tipo di disturbo agisce sull'uscita?
"claudio_p88":
La condizione di astatismo per essere soddisfatta deve verificare che la funzione di trasferimento abbia almeno un polo nell'origine, ora mi sorge un dubbio, presi ad esempio due polinomi caratteristici del tipo $s^2$ e $s(s+1)$ è indifferente quello da scegliere cioè mi garantiscono tutti e due lo stesso risultato e quindi astatismo?
In effetti i due polinomi, ai fini dell'astatismo, sono equivalenti, ma poichè il secondo punto del problema ti chiede di ottenere un sistema di tipo 1, allora direi che la scelta è una sola
, ti pare?
Guarda, non ci sono, il testo dell'esercizio é quello che ho riportato, non saprei mi viene chiesto cosí... E poi che s' intende per sistemi di tipo 1? La teoria su cui ho studiato non faceva questo tipo di classificazione, saresti cosí gentile da spiegarmelo?
Guarda ho trovato sul web, quindi dovrebbe essere giusta la soluzione che ho proposto?
Il tipo di un sistema rappresenta il numero di poli nell'origine che presenta la fdt ad anello aperto.
Quindi quando chiede un sistema di tipo 1 vuol dire che la fdt $F(s)=C(s)P(s)H(s)$ ha un solo polo nell'origine
Quindi quando chiede un sistema di tipo 1 vuol dire che la fdt $F(s)=C(s)P(s)H(s)$ ha un solo polo nell'origine
Esattamente quello che ho letto sul web quindi la soluzione al punto a dovrebbe essere corretta?
La mia domanda è: cosa/chi giustifica il fatto che tu abbia introdotto anche un polo in $s=-1$ ?
se inserissi solo il polo s= 0, la soluzione sarebbe la stessa? avrei gli stessi \(\displaystyle k_1,k_2 \) giusto?
ho ritenuto giusto inserire il polo -1 in quanto credevo che il sistema essendo di ordine due dovesse avere un polinomio caratteristico dello stesso grado del sistema, in quanto presentava un termine \(\displaystyle s^2 \), è possibile risolvere anche solo prendendo in esame il polinomio formato dal solo termine s?
ho ritenuto giusto inserire il polo -1 in quanto credevo che il sistema essendo di ordine due dovesse avere un polinomio caratteristico dello stesso grado del sistema, in quanto presentava un termine \(\displaystyle s^2 \), è possibile risolvere anche solo prendendo in esame il polinomio formato dal solo termine s?
Non avresti gli stessi $k_1$ e $k_2$.
Come giustamente hai detto prima, affinchè il sistema sia astatico, la fdt ad anello aperto deve contenere almeno un polo nell'origine. Solo questo sai e solo su questo devi basare il progetto del controllore.
Se mi posso permettere un consiglio, non ti conviene seguire la strada che stai percorrendo in quanto ti complicheresti solo la vita; questo esercizio si risolve in modo quasi immediato mediante la sintesi diretta
Come giustamente hai detto prima, affinchè il sistema sia astatico, la fdt ad anello aperto deve contenere almeno un polo nell'origine. Solo questo sai e solo su questo devi basare il progetto del controllore.
Se mi posso permettere un consiglio, non ti conviene seguire la strada che stai percorrendo in quanto ti complicheresti solo la vita; questo esercizio si risolve in modo quasi immediato mediante la sintesi diretta
Sì, hai ragione ho impostato male l'esercizio. Come detto abbiamo $ F(s)=100frac{s+1}{(s+10)(s+5)} $
sappiamo che $W(s)=frac{C(s)F(s)}{1+C(s)F(s)}$ dove $W(s)=frac{1}{s}$ allora $C(s)=frac{W(S)}{F(s)(1-W(s))}$ risolvendo i calcoli dovrebbe venire $C(S)=frac{(s+10)(s+5)}{100(s^2-1)}$ che dovrebbe essere il controllore cercato.
Quello che non mi è tanto chiaro è:
quando posso applicare la sintesi diretta?
dovrebbe essere il grado del denominatore -il grado del numeratore della nostra F(s) <= 2, e questo è il caso...Quali sono gli altri vincoli?
sappiamo che $W(s)=frac{C(s)F(s)}{1+C(s)F(s)}$ dove $W(s)=frac{1}{s}$ allora $C(s)=frac{W(S)}{F(s)(1-W(s))}$ risolvendo i calcoli dovrebbe venire $C(S)=frac{(s+10)(s+5)}{100(s^2-1)}$ che dovrebbe essere il controllore cercato.
Quello che non mi è tanto chiaro è:
quando posso applicare la sintesi diretta?
dovrebbe essere il grado del denominatore -il grado del numeratore della nostra F(s) <= 2, e questo è il caso...Quali sono gli altri vincoli?
Infatti non ha molto senso quello che hai fatto.
L'esercizio ti assegna $3$ specifiche per il dimensionamento del controllore ed io direi di partire proprio da queste specifiche:
1) la prima specifica è quella di rendere il sistema astatico rispetto a un disturbo ( di che tipo
) che agisce direttamente sull'uscita. Se supponiamo, per semplicità, ( visto che non abbiamo altri dati ) che il disturbo sia un gradino unitario ( ovvero un disturbo costante nel tempo ), allora, come hai detto tu ( ma lo potresti dimostrare in pochi passaggi ) che la fdt ad anello aperto deve avere almeno un polo nell'origine. Visto che il processo non ha questo polo, necessariamente lo deve avere il controllore, quindi possiamo dire che la parte a regime del controllore sarà del tipo $C_r(s)=K_c/s$.
e la prima specifica è assicurata
2) la seconda specifica chiede di ottenere un errore sul riferimento $e(oo)<=0.1$. A questo punto sai come andare avanti per imporre tale condizione ( l'hai fatto praticamente in tutti gli esercizi ).
Mi raccomando qui: non ci sono dubbi su che tipo di riferimento puoi considerare
e anche la seconda specifica è assicurata
3) la fdt ad anello aperto deve avere margine di fase $m_f=40°$ ( il che vuol dire che la fdt deve avere fase $-140°$ in corrispondenza della pulsazione di attraversamento ( che non è assegnata quindi siamo svincolati ). Per soddisfare questa specifica dobbiamo giocare sulla parte in dinamica del controllore che, in generale, possiamo supporre che si presenti nella forma $C_d(s)=(1+sz)/(1+sp)$ ( ovviamente può anche contenere solo lo zero o solo il polo )
e anche la terza specifica è assicurata
Ora provaci e se hai bisogno ti aiuto
L'esercizio ti assegna $3$ specifiche per il dimensionamento del controllore ed io direi di partire proprio da queste specifiche:
1) la prima specifica è quella di rendere il sistema astatico rispetto a un disturbo ( di che tipo
) che agisce direttamente sull'uscita. Se supponiamo, per semplicità, ( visto che non abbiamo altri dati ) che il disturbo sia un gradino unitario ( ovvero un disturbo costante nel tempo ), allora, come hai detto tu ( ma lo potresti dimostrare in pochi passaggi ) che la fdt ad anello aperto deve avere almeno un polo nell'origine. Visto che il processo non ha questo polo, necessariamente lo deve avere il controllore, quindi possiamo dire che la parte a regime del controllore sarà del tipo $C_r(s)=K_c/s$.e la prima specifica è assicurata
2) la seconda specifica chiede di ottenere un errore sul riferimento $e(oo)<=0.1$. A questo punto sai come andare avanti per imporre tale condizione ( l'hai fatto praticamente in tutti gli esercizi ).
Mi raccomando qui: non ci sono dubbi su che tipo di riferimento puoi considerare
e anche la seconda specifica è assicurata
3) la fdt ad anello aperto deve avere margine di fase $m_f=40°$ ( il che vuol dire che la fdt deve avere fase $-140°$ in corrispondenza della pulsazione di attraversamento ( che non è assegnata quindi siamo svincolati ). Per soddisfare questa specifica dobbiamo giocare sulla parte in dinamica del controllore che, in generale, possiamo supporre che si presenti nella forma $C_d(s)=(1+sz)/(1+sp)$ ( ovviamente può anche contenere solo lo zero o solo il polo
)e anche la terza specifica è assicurata
Ora provaci e se hai bisogno ti aiuto
il mio $E(s)$, a quanto è uguale? Dovrebbe essere $frac{F(s)*C(s)}{1+F(s)C(s)}$, non riesco a capire bene a quanto è uguale l'errore per poi applicare il teorema del valore finale per calcolarmi i parametri k per cui vale la condizione...
L'errore vale $ E(s)=(R(s))/(1+C(s)P(s)) $ dove $R(s)$ è il riferimento
Ma per riferimento si intende la condizione che mi viene data \(\displaystyle \frac{1}{s} \)?
Scusa, ma a te non viene data alcuna condizione. Dalla prima specifica risulta semplicemente che la catena ad anello aperto deve avere un polo nell'origine e l'hai soddisfatta realizzando una parte del controllore del tipo $k_c/s$.
Il tuo riferimento, sebbene non sia specificato in modo esplicito, è indicato nella seconda specifica: infatti, ti si chiede un errore finito per un sistema di tipo 1; quindi il tuo riferimento deve necessariamente essere un... ?
Il tuo riferimento, sebbene non sia specificato in modo esplicito, è indicato nella seconda specifica: infatti, ti si chiede un errore finito per un sistema di tipo 1; quindi il tuo riferimento deve necessariamente essere un... ?
$ R (s)=frac {1}{s^2}$?
Perfetto
Ora hai tutto per calcolarti l'errore $E(s)$ e imporre che a regime sia $e(oo)<=0.1$
Ora hai tutto per calcolarti l'errore $E(s)$ e imporre che a regime sia $e(oo)<=0.1$
Quindi imponiamo $R(s)=frac{1}{s^2}$ poichè $lim_{t to infty}e(t)=lim_{s to 0}sE(s)$ deve essere una quantità finita
ora abbiamo che $ lim_{s to 0}sE(s) =frac{1}{2k} leq0,1$ quindi $k geq 5$?
ora abbiamo che $ lim_{s to 0}sE(s) =frac{1}{2k} leq0,1$ quindi $k geq 5$?
$ 1/(2k_c)<=0.1rArr k_c>=5 $ ti trovi?
inoltre posso applicare la sintesi diretta se e solo se non vi sono poli o zeri a parte reale positiva e il sistema è strettamente proprio? sì, avevo già modificato la risposta mentre scrivevi. Grazie mille, senza il tuo aiuto avrei avuto molte più difficoltà nel capire questo esercizio.
Non direi, la si può applicare anche nel caso di poli a parte reale positiva mediante una tecnica di cancellazione del polo
Ora non ti resta che soddisfare l'ultima specifica che ti viene richiesta
Ora non ti resta che soddisfare l'ultima specifica che ti viene richiesta
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