Esercizio controllore con reazione dell'uscita
Si consideri il sistema con funzione di trasferimento $F(s)=100frac{s+1}{(s+10)(s+5)}$ si determini un controllore tale da assicurare:
a) astatismo rispetto a disturbi agenti sull'uscita.
b)sistema di tipo 1 con \(\displaystyle e_1<=0.1 \).
c)margine di fase maggiore di \(\displaystyle 40^° \).
Provo a risolvere il punto a:
La condizione di astatismo per essere soddisfatta deve verificare che la funzione di trasferimento abbia almeno un polo nell'origine, ora mi sorge un dubbio, presi ad esempio due polinomi caratteristici del tipo $s^2$ e $s(s+1)$ è indifferente quello da scegliere cioè mi garantiscono tutti e due lo stesso risultato e quindi astatismo?
Ho provato comunque a procedere scegliendo il polinomio \(\displaystyle s(s+1)=s^2+s \), mi scrivo la realizzazione in forma canonica minima ed avrò che: $(s+10)(s+5)=s^2+15s+50 $ allora $A=((0,1),(-50,-15))$, $B=((0),(1))$, $C=(100,100)$ e $D=0$,
ora ci calcoliamo $A+BK=((0,1),(k_1-50,k_2-15))$ ci calcoliamo il polinomio caratteristico $s^2+s(15-k_2)-k_1+50$, e poniamo le condizioni $15-k_2=1$ e $-k_1+50 = 0$ risulterà quindi $k_1=50$ e $k_2=14$, sempre se è giusto il procedimento...
a) astatismo rispetto a disturbi agenti sull'uscita.
b)sistema di tipo 1 con \(\displaystyle e_1<=0.1 \).
c)margine di fase maggiore di \(\displaystyle 40^° \).
Provo a risolvere il punto a:
La condizione di astatismo per essere soddisfatta deve verificare che la funzione di trasferimento abbia almeno un polo nell'origine, ora mi sorge un dubbio, presi ad esempio due polinomi caratteristici del tipo $s^2$ e $s(s+1)$ è indifferente quello da scegliere cioè mi garantiscono tutti e due lo stesso risultato e quindi astatismo?
Ho provato comunque a procedere scegliendo il polinomio \(\displaystyle s(s+1)=s^2+s \), mi scrivo la realizzazione in forma canonica minima ed avrò che: $(s+10)(s+5)=s^2+15s+50 $ allora $A=((0,1),(-50,-15))$, $B=((0),(1))$, $C=(100,100)$ e $D=0$,
ora ci calcoliamo $A+BK=((0,1),(k_1-50,k_2-15))$ ci calcoliamo il polinomio caratteristico $s^2+s(15-k_2)-k_1+50$, e poniamo le condizioni $15-k_2=1$ e $-k_1+50 = 0$ risulterà quindi $k_1=50$ e $k_2=14$, sempre se è giusto il procedimento...
Risposte
Scusami prima di procedere con l'altro punto, volevo chiedere, ma se cancellassi il polo a parte reale positiva il sistema non avrebbe piú un polo rilevante per l'instabilitá, non andrei a modificare il sistema in questo caso? E per quanto riguarda gli zeri?
Te l'ho detto perchè mi hai posto la questione: è una tecnica che si adotta ( quando si può fare ) di giocare con il controllore in modo che la fdt ad anello chiuso non presenti più poli a parte reale positiva. In ogni caso non è questo il caso: tu hai sia zeri che poli a parte reale negativa 
Provo a risolvere il terzo punto:
$phi_m=180-|phi_c|$ allora $phi=-140^°$ prendiamo $C(s)=frac{1+sz}{1+sp}$ e $F(s)=frac{100(s+1)}{(s+10)(s+3)} $ allora
avremo $C(s)P(s)=frac{100(1+sz)(s+1)}{(1+sp)(s+10)(s+5)}$ calcoliamo la fase di tale funzione ed avremo :
$ C(jw)P(s)=frac{100(1+jwz)(s+1)}{(1+jwp)(jw+10)(jw+5)} $ quindi $angleG(jw)=arcatan(100)+arctan(wz)+arctan(w)-arctan(wp)-arctan(frac{w}{10})-arctan(frac{w}{5})=-140°$, visto che come dicevi tu non mi viene data alcuna restrizione riguardo $w$ scegliamo ad esempio $w=1$, possiamo fare lo stesso con p, scelto ad esempio $p=0$ moltiplichiamo tutto per la funzione tangente ed avremo $wz+w-wp-frac{w}{10}-frac{w}{5}=5$, sostituisco i valori scelti precedentemente ed avrò che $z+1-frac{1}{10}-frac{1}{5}$ allora $z=frac{43}{10}$, possiamo quindi scegliere $C(s)=frac{1}{(1+frac{43}{10}s)$, questo è quello su cui ho ragionato, ora non so quanto sia giusto...
$phi_m=180-|phi_c|$ allora $phi=-140^°$ prendiamo $C(s)=frac{1+sz}{1+sp}$ e $F(s)=frac{100(s+1)}{(s+10)(s+3)} $ allora
avremo $C(s)P(s)=frac{100(1+sz)(s+1)}{(1+sp)(s+10)(s+5)}$ calcoliamo la fase di tale funzione ed avremo :
$ C(jw)P(s)=frac{100(1+jwz)(s+1)}{(1+jwp)(jw+10)(jw+5)} $ quindi $angleG(jw)=arcatan(100)+arctan(wz)+arctan(w)-arctan(wp)-arctan(frac{w}{10})-arctan(frac{w}{5})=-140°$, visto che come dicevi tu non mi viene data alcuna restrizione riguardo $w$ scegliamo ad esempio $w=1$, possiamo fare lo stesso con p, scelto ad esempio $p=0$ moltiplichiamo tutto per la funzione tangente ed avremo $wz+w-wp-frac{w}{10}-frac{w}{5}=5$, sostituisco i valori scelti precedentemente ed avrò che $z+1-frac{1}{10}-frac{1}{5}$ allora $z=frac{43}{10}$, possiamo quindi scegliere $C(s)=frac{1}{(1+frac{43}{10}s)$, questo è quello su cui ho ragionato, ora non so quanto sia giusto...
Ci sono un pò di errori; vediamo assieme come farlo.
Allora siamo arrivati al punto in cui la parte a regime del controllore deve essere $k_c/s$ con la condizione $k_c>=5$. Poniamo ( per ora ) $k_c=10$ e studiamo la fdt ad anello aperto che otteniamo $F(s)=C_r(s)P(s)=10/s (100(s+1))/((s+10)(s+5))$.
I diagrammi di Bode della $F(s)$ sono quelli riportati in figura:
Proprio perchè non abbiamo vincoli sulla $omega$ possiamo scegliere una $omega$ di taglio qualsiasi ( che inevitabilmente dipenderà dal guadagno statico e, quindi, da $k_c$ ) che però ci garantisca un $k_c>=5$.
Dunque, scegliendo, ad esempio, $omega=30 (rad)/s$, corrisponderà una fase di $-154°$ quindi, in realtà, sarà sufficiente porre uno zero nella fdt del controllore tale che in corrispondeza di $omega=30 (rad)/s$ la fase assuma il valore $-140°$. Questo si fa in modo immediato; infatti lo zero dovrà essere posto in:
$ z=1/(omega_t)tan((154°-140°)pi/180)=1/30tan(14pi/180)~= 0.0084 $
Inoltre, per fare in modo che a $omega=30 (rad)/s$ il diagramma dei moduli passi per lo zero, occorre traslare il diagramma dei moduli di $-0.36 dB~=0.96$; quindi alla fine $k_c=10*0.96=9.6>5$.
Dunque, alla fine, la fdt del controllore sarà $C(s)=9.6/s (1+0.0084s)$
Verificando i diagrammi di Bode della $F(s)=9.6/s (1+0.0084s) (100(s+1))/((s+10)(s+5))$
direi che abbiamo soddisfatto anche l'ultima specifica.
PS: se non ti va di tracciare i diagrammi di Bode, puoi tranquillamente andare per via analitica; scegli la tua pulsazione desiderata e in corrispondenza di questa calcoli modulo e fase della $F(s)$ e progetti allo stesso modo la parte in dinamica del controllore
Allora siamo arrivati al punto in cui la parte a regime del controllore deve essere $k_c/s$ con la condizione $k_c>=5$. Poniamo ( per ora ) $k_c=10$ e studiamo la fdt ad anello aperto che otteniamo $F(s)=C_r(s)P(s)=10/s (100(s+1))/((s+10)(s+5))$.
I diagrammi di Bode della $F(s)$ sono quelli riportati in figura:
Proprio perchè non abbiamo vincoli sulla $omega$ possiamo scegliere una $omega$ di taglio qualsiasi ( che inevitabilmente dipenderà dal guadagno statico e, quindi, da $k_c$ ) che però ci garantisca un $k_c>=5$.
Dunque, scegliendo, ad esempio, $omega=30 (rad)/s$, corrisponderà una fase di $-154°$ quindi, in realtà, sarà sufficiente porre uno zero nella fdt del controllore tale che in corrispondeza di $omega=30 (rad)/s$ la fase assuma il valore $-140°$. Questo si fa in modo immediato; infatti lo zero dovrà essere posto in:
$ z=1/(omega_t)tan((154°-140°)pi/180)=1/30tan(14pi/180)~= 0.0084 $
Inoltre, per fare in modo che a $omega=30 (rad)/s$ il diagramma dei moduli passi per lo zero, occorre traslare il diagramma dei moduli di $-0.36 dB~=0.96$; quindi alla fine $k_c=10*0.96=9.6>5$.
Dunque, alla fine, la fdt del controllore sarà $C(s)=9.6/s (1+0.0084s)$
Verificando i diagrammi di Bode della $F(s)=9.6/s (1+0.0084s) (100(s+1))/((s+10)(s+5))$
direi che abbiamo soddisfatto anche l'ultima specifica.
PS: se non ti va di tracciare i diagrammi di Bode, puoi tranquillamente andare per via analitica; scegli la tua pulsazione desiderata e in corrispondenza di questa calcoli modulo e fase della $F(s)$ e progetti allo stesso modo la parte in dinamica del controllore
Ok grazie, non ci sarei mai arrivato... come hai ragionato per calcolarti
"D4lF4zZI0":? E non ho capito come hai traslato il modulo, a me viene $ frac { 100k sqrt {1+w^2}}{w sqrt {10^2+w^2} sqrt {5 ^2+w^2}}$ per $ w=30 rad/s $ é $frac {100×10×sqrt{901}}{30×sqrt {1000}×sqrt {925} }=1.04$ e non capisco da dove ti esce 0,96?
CQuesto si fa in modo immediato; infatti lo zero dovrà essere posto in:
$ z=1/(omega_t)tan((154°-140°)pi/180)=1/30tan(14pi/180)~= 0.0084 $
Per quanto riguarda lo zero ( ma il discorso si ripete uguale se avessimo dovuto mettere un polo ): noi sappiamo che la $F(s)$ in corrispondenza della pulsazione scelta $omega_tau=30 (rad)/s$ presenta una fase di $-154°$ e vogliamo tirare su questa fase fino a $-140°$ aggiungendo alla fdt uno zero. Poichè la fase di un prodotto è la somma delle fasi, allora si ha:
$ phi_((1+jomega_tauz)F(jomega_tau))=-140°rArr arctan(omega_tauz)+phi_(F(jomega_tau))=-140° rArr
arctan(omega_tauz)-154°=-140° rArr z=1/omega_tau tan((154-140)pi/180) $
Per quanto riguarda la traslazione del diagramma dei moduli, invece, occorre traslarlo di $-0.36 dB$ che corrisponde al numero naturale $10^(-0.36/20)~=0.96$ per far si che a $omega_tau=30 (rad)/s$ passi per lo zero ( in $dB$ ).
Poichè il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli, allora è sufficiente moltiplicare $0.96$ per $F(s)$ quindi, in pratica, moltiplichiamo $0.96*k_c$
$ phi_((1+jomega_tauz)F(jomega_tau))=-140°rArr arctan(omega_tauz)+phi_(F(jomega_tau))=-140° rArr
arctan(omega_tauz)-154°=-140° rArr z=1/omega_tau tan((154-140)pi/180) $
Per quanto riguarda la traslazione del diagramma dei moduli, invece, occorre traslarlo di $-0.36 dB$ che corrisponde al numero naturale $10^(-0.36/20)~=0.96$ per far si che a $omega_tau=30 (rad)/s$ passi per lo zero ( in $dB$ ).
Poichè il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli, allora è sufficiente moltiplicare $0.96$ per $F(s)$ quindi, in pratica, moltiplichiamo $0.96*k_c$
Grazie.
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