[Elettrotecnica] Esercizio in transitorio

[paolotesla91]

Salve a tutti. Avrei dei problemi conil seguente esercizio:


[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
LI 40 30 70 30 0
LI 70 30 80 20 0
LI 80 20 80 40 0
LI 80 40 90 20 0
LI 90 20 95 40 0
LI 95 40 100 20 0
LI 100 20 105 30 0
LI 105 30 125 30 0
LI 125 30 125 50 0
LI 125 50 115 55 0
LI 115 55 135 60 0
LI 135 60 115 65 0
LI 115 65 135 70 0
LI 135 70 120 75 0
LI 120 75 120 100 0
LI 120 100 120 115 0
LI 125 30 150 30 0
LI 150 30 150 20 0
LI 150 20 150 40 0
LI 160 20 160 40 0
LI 160 30 175 30 0
LI 175 30 175 50 0
CV 0 175 50 160 60 190 65 160 70 190 75 170 90 170 90 0
LI 165 90 165 115 0
LI 165 115 40 115 0
EV 40 70 35 70 0
EV 30 70 50 50 0
TY 40 60 5 5 0 0 0 * -
TY 40 55 5 5 0 0 0 * +
LI 40 30 40 50 0
LI 40 115 40 70 0[/fcd]


$e(t)=\{(E_0 , t<0),(0 , t>0):}$
$L=2\muH$
$C=1\muF$
$E_0=-1 V$
$R=2 \Omega$

Determinare la corrente nell'induttore $i_L(t)$ per $t>0$.

[paolotesla91]

Allora io ho svolto in questo modo:

Per $t<0$ è stazionario: allora $i_c=i_l=0$ e $v_c=Ri_e$, $i_e=E_0/(2R) => v_c=E_0/2$

Dunque le condizioni iniziali sono:

$\{(i_l(0^-)=i_l(0^+)=0),(E_0=R_(eq)i+v_c => v_c=E_0):}$

Per $t>0$ devo considerare il transitorio: faccio il circuito resistivo associato,applico la sovrapposzione degli effetti, combino le equazoni di stato del condensatore e dell'induttore per ottenere l'equazione di stato del circuito in funzione della corrente $i_l(t)$. Fin qui tutto bene. Mi viene un eq. differenziale del primo ordine omogenea, dunqeu la soluzione sarà $i_(L0)=Ke^(-R_(eq)/Lt)$ Il mio problema sta nel determinare la soluzione particolare. So che la soluz particolare è la soluzione che si avrebbe quando il circuito è a regime, cioè quando il transitorio si è estinto. Quindi dovrebbe essere la corrente dell'induttore calcolata quando il circuito è in evoluzione libera per $t->infty$. Il mio dubbio è: se considero il circuito in evoluzione libera, allora devo considerare i bipoli dinamici come se fossero forzati da un generatore stazionario oppure no? Se cosi non fosse allora devo rifarmi le leggi di kirchoff al circuito per $t->infty$ ed impostare una nuova equazione di stato in funzione di $v_c$ risolverla e poi calcolarmi la corrente dalla formula del condensatore sapendo poi che $i_c=i_l$ ????

Grazie in anticipo.

[D4lF4zZI0]

C'è qualcosa che non va: è un circuito dinamico del secondo ordine, quindi deve venire fuori una equazione differenziale del secondo ordine e non del primo.
PS: la $ v_c(0)=E_0/2 $ ?

[paolotesla91]

ciao DALFAZZIO!! sinceramente ho molti dubbi a riguardo. Tu come lo risolveresti?

PS. scusa ho sbagliato non è $v_c=E_0/2$.

[paolotesla91]

Allora mi correggo: per t<0 come dicevo è stazionario. quindi ho che $i_L=i_C=0$ mentre $v_C=v_2=R_2i$.
Faccio il partitore di tensione ed ho $v_2=E_0(R_2/(R_2+R_1))=E_0/2$ perchè $(R_2=R_1=R)$.
Allora le condizioni iniziali diventano:

$\{(i_L=0),(v_C=E_0/2):}$

Fin qui ci troviamo?

[D4lF4zZI0]

Si fino a qui mi trovo. Per pignoleria è meglio scrivere:
$ { ( i_l(0^-)=0 ),( v_c(0^-)=E_0/2 ):} $

Ora devi risolvere il circuito per $ t>0 $ e poichè $ e(t>0)=0 $ il circuito si semplifica notevolmente...

[paolotesla91]

ok si volendo fare i pignoli si dovrebbe scrivere come dici. Si sono d'accordo, ma come si semplifica? E' questo che non ho capito. Al posto del condens e dell'induttore devo sostituire circuito aperto e cortocircuito? oppure devo considerarli sempre come bipoli dinamici?

[D4lF4zZI0]

Eh no...solo a regime sono equivalenti ad un cto cto e ad un circuito aperto; in transitorio valgono le relazioni costitutive che sono relazioni dinamiche

[paolotesla91]

Per capirci, devo considerarlo così???



[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
LI 20 25 20 90 0
LI 20 25 40 25 0
LI 40 25 45 15 0
LI 45 15 50 35 0
LI 50 35 55 15 0
LI 55 15 60 35 0
LI 60 35 65 25 0
LI 65 25 90 25 0
LI 90 25 90 45 0
LI 90 45 80 50 0
LI 80 50 95 55 0
LI 95 55 80 60 0
LI 80 60 95 65 0
LI 95 65 85 70 0
LI 85 70 85 90 0
LI 90 25 115 25 0
LI 115 25 115 15 0
LI 115 15 115 35 0
LI 125 15 125 35 0
LI 125 35 125 25 0
LI 125 25 145 25 0
LI 145 25 145 50 0
CV 0 145 50 130 55 155 60 130 65 155 70 140 80 0
LI 140 80 140 90 0
LI 140 90 20 90 0[/fcd]

[paolotesla91]

Ah ok ok. Quindi devo ricavarmi l'equazione di stato del circuito trami LKT-LKC e le equazioni di stato dei bipoli giusto?

[D4lF4zZI0]

Esatto. Si vede subito che le due $ R $ sono in parallelo e dunque ne puoi mettere una sola di valore $ R/2 $ ottenendo un banalissimo circuito $ R-L-C $ serie

[paolotesla91]

Esattamente. Mi ricavo l'eq. di stato del circuito. Mi viene del secondo ordine come doveva essere:

$(d^2v_C)/(dt^2)+R_(eq)/L (dv_C)/(dt)+1/(R_(eq)C) v_C=0$

[D4lF4zZI0]

Ehm hai sbagliato qualcosa nn è questa l'equazione che vien fuori, ma questa:
$ (d^2 v_c)/(d t^2)+R_(eq)/L (dv_c)/dt+1/(LC)v_c=0 $

Ricontrolla i passaggi

[paolotesla91]

ops scusa si hai ragione XD. Ora la risolvo

[D4lF4zZI0]

Prima di risolverla...trova le condizioni iniziali

[paolotesla91]

O.o?? Non credo di aver capito bene. In che senso devo trovare le condizioni iniziali?? le abbiamo trovate prima no? sono quelle per $t<0$.

[D4lF4zZI0]

L'equazione differenziale è nella variabile $ v_c $ ; dunque, poichè è una equazione differenziale del secondo ordine, devi trovare:
$ { ( v_c(0^-) ),( (dv_c(0^-))/(dt) ):} $

ti trovi?
Ora $ v_c(0^-) $ la conosci, ti manca la seconda. Ragiona un pochettino e vedi che hai tutto per ricavartela

[paolotesla91]

ahhh sisi ho capito. Intendi dire questo:

$(dv_C)/dt|_(t=0)=(i_c(0))/C=(i_L(0))/C=0$

Giusto?

[D4lF4zZI0]

Perfetto. Ora hai tutto per risolvere l'equazione differenziale

[paolotesla91]

ok io l'ho risolta ed ho che $Delta<0$ dunque la soluzione è del tipo:

$v_(C0)(t)=e^(-\sigma t)[Acos(\omega_d t)+Bsin(\omega_d t)]$

Dove: $\sigma=0,5*10^6$ e $\omega_d=6,6*10^5$

[D4lF4zZI0]

Si