[Elettrotecnica] Come trovare equazione differenziale transitorio secondo ordine
Buongiorno.
Ho difficoltà a ricavare le equazioni differenziali dei transitori del secondo ordine.
Volevo chiedere se c'è un procedimento generale da seguire o qualche accorgimento per evitare di finire in vicoli ciechi.
Ad esempio:
Nel caso in esame ho le tre equazioni : $ { ( i_{L1}= i_{R_1} + i_{L2} ),( E_1 - V_{L1}- V_{R1}=0 ),( V_{R1}=V_{L2}+V_{R2} ):} $
A cui si aggiungono le relazioni $ i_L = 1/Lint_(-oo)^(t ) V(\tau) d\tau $ e
$ i_C = C \cdot \frac{dV_C}{dt} $.
Ho provato a sostituire in vari modi e alla fine dopo vari tentativi mi esce. Il problema è che ogni volta che ne approccio una faccio prima 2-3 tentativi (scegliendo evidentemente strade sbagliate) e ogni volta perdo moltissimo tempo.
Mi chiedo quindi se ci sia qualche suggerimento o linea generale da seguire per trovare rapidamente il differenziale nell'incognita richiesta.
Grazie!
Ho difficoltà a ricavare le equazioni differenziali dei transitori del secondo ordine.
Volevo chiedere se c'è un procedimento generale da seguire o qualche accorgimento per evitare di finire in vicoli ciechi.
Ad esempio:
Nel caso in esame ho le tre equazioni : $ { ( i_{L1}= i_{R_1} + i_{L2} ),( E_1 - V_{L1}- V_{R1}=0 ),( V_{R1}=V_{L2}+V_{R2} ):} $
A cui si aggiungono le relazioni $ i_L = 1/Lint_(-oo)^(t ) V(\tau) d\tau $ e
$ i_C = C \cdot \frac{dV_C}{dt} $.
Ho provato a sostituire in vari modi e alla fine dopo vari tentativi mi esce. Il problema è che ogni volta che ne approccio una faccio prima 2-3 tentativi (scegliendo evidentemente strade sbagliate) e ogni volta perdo moltissimo tempo.
Mi chiedo quindi se ci sia qualche suggerimento o linea generale da seguire per trovare rapidamente il differenziale nell'incognita richiesta.
Grazie!
Risposte
Io ti consiglio di risolvere passando per la rappresentazione matriciale del sistema, andando a ricavarti le quattro matrici A,B,C,D, a mio parere è il metodo più semplice e rapido; per ricavare il sistema di equazioni differenziali del primo ordine andrei poi ad usare il metodo del "circuito resistivo associato", lo conosci?
Puoi anche usare il metodo che hai postato, ovvero via Kirchhoff e equazioni costitutive dei bipoli dinamici, ma è normalmente più difficile intuire la sequenza più rapida delle sostituzioni.
BTW Occhio a quell'integrale che hai scritto per la iL.
Puoi anche usare il metodo che hai postato, ovvero via Kirchhoff e equazioni costitutive dei bipoli dinamici, ma è normalmente più difficile intuire la sequenza più rapida delle sostituzioni.
BTW Occhio a quell'integrale che hai scritto per la iL.
Certo lo correggo 
Per quanto riguarda le quattro matrici ... Come si procede esattamente il quel caso? Ha un nome il metodo? Grazie!
Per quanto riguarda le quattro matrici ... Come si procede esattamente il quel caso? Ha un nome il metodo? Grazie!
Io lo chiamo metodo sistemistico, ma penso nessun altro lo chiami in questo modo. 
Per ricavare le matrici, nel tuo caso particolare, si parte dalla scrittura delle tensioni ai morsetti dei due induttori in funzione delle due correnti negli stessi, correnti che rappresentano le variabili di stato del sistema.
Vuoi provare a farlo?
BTW1 Come conviene scrive quella relazione integrale se per t=0 apriamo l'interruttore?
BTW2 Ti avevo anche fatto una domanda.
Per ricavare le matrici, nel tuo caso particolare, si parte dalla scrittura delle tensioni ai morsetti dei due induttori in funzione delle due correnti negli stessi, correnti che rappresentano le variabili di stato del sistema.
Vuoi provare a farlo?
BTW1 Come conviene scrive quella relazione integrale se per t=0 apriamo l'interruttore?
BTW2 Ti avevo anche fatto una domanda.
Si perdonami per la domanda, ad ogni modo non lo conosco, ma per i transitori di primo grado mi viene abbastanza semplice trovare il differenziale associato
Mi piacerebbe provare a impostarlo col metodo "sistemistico" ... Anche se proprio non saprei partire... le tensioni ai morsetti sono le derivate delle rispettive correnti giusto? Non trovo in giro nessun esempio ..
per il BTW1 direi $ i_L = 1/Lint_(0)^(t ) V(\tau) d\tau $ ?
Mi piacerebbe provare a impostarlo col metodo "sistemistico" ... Anche se proprio non saprei partire... le tensioni ai morsetti sono le derivate delle rispettive correnti giusto? Non trovo in giro nessun esempio ..
per il BTW1 direi $ i_L = 1/Lint_(0)^(t ) V(\tau) d\tau $ ?
"lRninG":
Si perdonami per la domanda, ad ogni modo non lo conosco, ...
Consiste semplicemente nel sostituire gli induttori con dei GIC forzanti la corrente iL e i condensatori con dei GIT forzanti la tensione vC; dopo di che si risolve con un qualunque metodo al fine di ottenere le iC nei condensatori e le vL sugli induttori (per esempio via sovrapposizione degli effetti).
"lRninG":
...per il BTW1 direi $ i_L = 1/Lint_(0)^(t ) V(\tau) d\tau $ ?
Manca qualcosa, non credi?
Be facilissimo per il primo ordine allora... Grazie!
Per il secondo hai da suggerire dove posso trovare un esempio applicato del metodo cosiddetto sistemistico?
Per l'integrale..... sarebbe i \( i(0)_L = ... \)
Per il secondo hai da suggerire dove posso trovare un esempio applicato del metodo cosiddetto sistemistico?
Per l'integrale..... sarebbe i \( i(0)_L = ... \)
E' più semplice di quello che pensi, basta ridisegnare la rete
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
EV 26 25 34 33 0
MC 44 34 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 74 34 1 0 ey_libraries.pasres0
LI 30 25 30 33 0
EV 54 25 62 33 0
LI 58 25 58 33 0
EV 13 33 21 41 0
LI 17 34 17 46 0
LI 17 34 17 29 0
LI 17 29 26 29 0
LI 34 29 54 29 0
LI 62 29 74 29 0
LI 17 46 74 46 0
LI 74 46 74 44 0
LI 44 44 44 46 0
MC 56 23 0 0 074
MC 29 23 0 0 074
TY 13 28 4 3 0 0 0 * +
TY 5 35 4 3 0 0 0 * E1
TY 29 16 4 3 0 0 0 * i1
TY 55 16 4 3 0 0 0 * i2
TY 47 38 4 3 0 0 0 * R1
TY 77 38 4 3 0 0 0 * R2
TY 24 32 4 3 0 0 0 * +
TY 52 33 4 3 0 0 0 * +
TY 28 34 4 3 0 0 0 * v1
TY 56 35 4 3 0 0 0 * v2[/fcd]
e andare a scrivere v1 e v2 in funzione di i1 e i2 (ho sottinteso il pedice L).
Avremo quindi
$v_1=E_1-R_1(i_1-i_2)$
$v_2=R_1(i_1-i_2)-R_2i_2$
e di conseguenza, scrivendo le tensioni via equazione costitutiva dell'induttore, la matrice A (che sostanzialmente ci è sufficiente [nota]In quanto andremo a scrivere la soluzione come somma di un termine transitorio e di un termine permanente.[/nota]), sarà
$A=( ( -R_1/L_1 , R_1/L_1 ),( R_1/L_2 , -(R_1+R_2)/L_2 ) ) $
e a questo punto ti chiedo: sapresti determinare gli autovalori della matrice A?
Per l'integrale
$i_L(t)=i_L(0)+1/Lint_(0)^(t ) v_L(\tau) \ \text{d}\tau $
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
EV 26 25 34 33 0
MC 44 34 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 74 34 1 0 ey_libraries.pasres0
LI 30 25 30 33 0
EV 54 25 62 33 0
LI 58 25 58 33 0
EV 13 33 21 41 0
LI 17 34 17 46 0
LI 17 34 17 29 0
LI 17 29 26 29 0
LI 34 29 54 29 0
LI 62 29 74 29 0
LI 17 46 74 46 0
LI 74 46 74 44 0
LI 44 44 44 46 0
MC 56 23 0 0 074
MC 29 23 0 0 074
TY 13 28 4 3 0 0 0 * +
TY 5 35 4 3 0 0 0 * E1
TY 29 16 4 3 0 0 0 * i1
TY 55 16 4 3 0 0 0 * i2
TY 47 38 4 3 0 0 0 * R1
TY 77 38 4 3 0 0 0 * R2
TY 24 32 4 3 0 0 0 * +
TY 52 33 4 3 0 0 0 * +
TY 28 34 4 3 0 0 0 * v1
TY 56 35 4 3 0 0 0 * v2[/fcd]
e andare a scrivere v1 e v2 in funzione di i1 e i2 (ho sottinteso il pedice L).
Avremo quindi
$v_1=E_1-R_1(i_1-i_2)$
$v_2=R_1(i_1-i_2)-R_2i_2$
e di conseguenza, scrivendo le tensioni via equazione costitutiva dell'induttore, la matrice A (che sostanzialmente ci è sufficiente [nota]In quanto andremo a scrivere la soluzione come somma di un termine transitorio e di un termine permanente.[/nota]), sarà
$A=( ( -R_1/L_1 , R_1/L_1 ),( R_1/L_2 , -(R_1+R_2)/L_2 ) ) $
e a questo punto ti chiedo: sapresti determinare gli autovalori della matrice A?
Per l'integrale
$i_L(t)=i_L(0)+1/Lint_(0)^(t ) v_L(\tau) \ \text{d}\tau $
Intanto grazie.
Queste le posso ricavare semplicemente con Kirchoff? E in generale (con qualunque transitorio del secondo ordine con L e C) devo sempre ricavare la tensione sulle induttanze o sui condensatori?
Qui non capisco come hai ricavato i valori della matrice....
Certo : \( \lambda_1 = -381,96 \) e \( \lambda_2 = -2618,03 \)
Certo hai ragione... Grazie di tutto!
"RenzoDF":
e andare a scrivere v1 e v2 in funzione di i1 e i2 (ho sottinteso il pedice L).
$ v_1=E_1-R_1(i_1-i_2) $
$ v_2=R_1(i_1-i_2)-R_2i_2 $
Queste le posso ricavare semplicemente con Kirchoff? E in generale (con qualunque transitorio del secondo ordine con L e C) devo sempre ricavare la tensione sulle induttanze o sui condensatori?
"RenzoDF":
e di conseguenza, scrivendo le tensioni via equazione costitutiva dell'induttore, la matrice A (che sostanzialmente ci è sufficiente [nota]In quanto andremo a scrivere la soluzione come somma di un termine transitorio e di un termine permanente.[/nota]), sarà
$ A=( ( -R_1/L_1 , R_1/L_1 ),( R_1/L_2 , -(R_1+R_2)/L_1 ) ) $
Qui non capisco come hai ricavato i valori della matrice....
"RenzoDF":
e a questo punto ti chiedo: sapresti determinare gli autovalori della matrice A?
Certo : \( \lambda_1 = -381,96 \) e \( \lambda_2 = -2618,03 \)
"RenzoDF":
Per l'integrale
$ i_L(t)=i_L(0)+1/Lint_(0)^(t ) v_L(\tau) \ \text{d}\tau $
Certo hai ragione... Grazie di tutto!
Ricavi le tensioni sugli induttori e le correnti nei condensatori, sostanzialmente vai a scrivere un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle variabili di stato, ovvero nelle iL e nelle vC.
Gli elementi della matrice li ricavi (in questo caso particolare) dai coefficienti delle correnti, una volta sviluppate le equazioni via equazione costitutiva e raccoglimenti, chiaramante lasciando a primo membro la sola derivata prima della corrente.
Gli autovalori, scrivili in forma simbolica, che così puoi controllarli dimensionalmente.
Quei due autovalori non sono altro che le radici dell’equazione caratteristica. ... che avresti ottenuto dall’equaz. diff. del secondo ordine, in i1 o i2.
Gli elementi della matrice li ricavi (in questo caso particolare) dai coefficienti delle correnti, una volta sviluppate le equazioni via equazione costitutiva e raccoglimenti, chiaramante lasciando a primo membro la sola derivata prima della corrente.
Gli autovalori, scrivili in forma simbolica, che così puoi controllarli dimensionalmente.
Quei due autovalori non sono altro che le radici dell’equazione caratteristica.
... che avresti ottenuto dall’equaz. diff. del secondo ordine, in i1 o i2.
"RenzoDF":
Ricavi le tensioni sugli induttori e le correnti nei condensatori, sostanzialmente vai a scrivere un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle variabili di stato, ovvero nelle iL e nelle vC.
Gli elementi della matrice li ricavi (in questo caso particolare) dai coefficienti delle correnti, una volta sviluppate le equazioni via equazione costitutiva e raccoglimenti, chiaramante lasciando a primo membro la sola derivata prima della corrente.
Gli autovalori, scrivili in forma simbolica, che così puoi controllarli dimensionalmente.
Quei autovalori non sono altro che le radici dell’equazione caratteristica.
Wow!!! E' velocissimo!!!
Vediamo se riesco a ritrovare la matrice... Parto da Kirchoff :
\( \begin{cases} V_{L1} = E_1-V_{R1} \\ V_{L2} = V_{R1} -V_{R2}\\ i _{L1} = i_{R1} + i_{L2} \end{cases} \)
Da cui ..
\( \begin{cases} L_1\cdot \frac{di_{L1}}{dt}= E_1-R_1\cdot (i_{L1} - i_{L2}) \\ L_2\cdot \frac{di_{L2}}{dt} = R_1\cdot (i_{L1}-i_{L2}) -R2\cdot i_{L2}\\ i _{R1} = i_{L1} - i_{L2} \end{cases} \)
Ora cerco i coefficienti delle correnti isolando i le derivate prime della corrente...
A me risulta diversamente il termine \( -\frac{R1+R_2}{L_1} \) della tua matrice, che a me viene \( -\frac{R1+R_2}{L_2} \).
Il metodo è fantastico ora provo ad utilizzarlo per qualche altro transitorio. Grazie ancora!!!!!
Ho provato con due condensatori...
Dove C = 10 mF e R = 1.
Dopo aver impostato il sistema:
\( \begin{cases} v_{C1} = V_{R1} \\ i_{C1} = i_{R1}+i_{C2} \\ V_{C1} = V_{R2}+V_{C2} \end{cases} \)
Cerco di ricavare le correnti sui condensatori a questo punto:
\( \begin{cases} i_{C1} = \frac{V_{C1}}{R_1}+i_{C2} \\ i_{C2} = \frac{V_{C1}-V_{C2}}{R_2} \end{cases} \)
Da cui : \( \begin{cases} \frac{dV_{C2}}{dt} =\frac{V_{C1}-V_{C2}}{R_2\cdot C} \\ \frac{dV_{C1}}{dt} = V_{C1} \cdot (\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2})\cdot \frac{1}{C}- \frac{V_{C2}}{R_2\cdot C} \end{cases} \)
e allora la matrice... \( A =\begin{pmatrix} \frac{1}{R_2\cdot C} & -\frac{1}{R_2\cdot C} \\ (\frac{1}{R_1C}+ \frac{1}{R_2C}) & -\frac{1}{R_2\cdot C} \end{pmatrix} \)
che purtroppo risulta errato.. Sicuramente sbaglio da qualche parte.. Puoi darmi un aiuto? Grazie ancora, gentilissimo!
Dove C = 10 mF e R = 1.
Dopo aver impostato il sistema:
\( \begin{cases} v_{C1} = V_{R1} \\ i_{C1} = i_{R1}+i_{C2} \\ V_{C1} = V_{R2}+V_{C2} \end{cases} \)
Cerco di ricavare le correnti sui condensatori a questo punto:
\( \begin{cases} i_{C1} = \frac{V_{C1}}{R_1}+i_{C2} \\ i_{C2} = \frac{V_{C1}-V_{C2}}{R_2} \end{cases} \)
Da cui : \( \begin{cases} \frac{dV_{C2}}{dt} =\frac{V_{C1}-V_{C2}}{R_2\cdot C} \\ \frac{dV_{C1}}{dt} = V_{C1} \cdot (\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2})\cdot \frac{1}{C}- \frac{V_{C2}}{R_2\cdot C} \end{cases} \)
e allora la matrice... \( A =\begin{pmatrix} \frac{1}{R_2\cdot C} & -\frac{1}{R_2\cdot C} \\ (\frac{1}{R_1C}+ \frac{1}{R_2C}) & -\frac{1}{R_2\cdot C} \end{pmatrix} \)
che purtroppo risulta errato.. Sicuramente sbaglio da qualche parte.. Puoi darmi un aiuto? Grazie ancora, gentilissimo!
"lRninG":
...A me risulta diversamente il termine \( -\frac{R1+R_2}{L_1} \) della tua matrice, che a me viene \( -\frac{R1+R_2}{L_2} \).
Certo, chiaramente tutta la seconda riga viene divisa per L2, ... , ora correggo.
Per il circuito con i condensatori controlla la seconda equazione.
BTW Ti consiglio comunque di sostituire con GIC e GIT rispettivamente gli induttori e i condensatori, vedrai che velocizzi ancora di più la scrittura del sistema, specie se usi sovrapposizione, Millman, Thevenin e Norton.
BTW2. Ti vonsiglio poi di indicare SEMPRE, TUTTE le convenzioni assunte per correnti e tensioni nello schema, in questo modo sarà più difficile sbagliare i segni.
BTW Ti consiglio comunque di sostituire con GIC e GIT rispettivamente gli induttori e i condensatori, vedrai che velocizzi ancora di più la scrittura del sistema, specie se usi sovrapposizione, Millman, Thevenin e Norton.
BTW2. Ti vonsiglio poi di indicare SEMPRE, TUTTE le convenzioni assunte per correnti e tensioni nello schema, in questo modo sarà più difficile sbagliare i segni.
Grazie per i suggerimenti sicuramente ne farò tesoro. Per quanto riguarda l'errore basta forse correggere da qui?
\( \begin{cases} v_{C1} =- V_{R1} \\ i_{C1} = i_{R1}+i_{C2} \\ -V_{C1} = V_{R2}+V_{C2} \end{cases} \)
\( \begin{cases} v_{C1} =- V_{R1} \\ i_{C1} = i_{R1}+i_{C2} \\ -V_{C1} = V_{R2}+V_{C2} \end{cases} \)
Avevo detto la seconda, non la prima e la terza. 
Vedi cosa succede a non indicare le convenzioni
Vedi cosa succede a non indicare le convenzioni
Ok penso di aver capito... (le ho segnate tutte ) \( -i_{C1} = i_{R1}+i_{C2} \) ..
E un ultima domanda volevo porti prima di riprovare a fare l'esercizio.. Se ho un transitorio con una induttanza e un condensatore, come mi devo comportare? Per le induttanze mi ricavo le tensioni, per i condensatori le correnti, se le ho entrambe cosa ricavo?
Grazie infinite!
) \( -i_{C1} = i_{R1}+i_{C2} \) ..E un ultima domanda volevo porti prima di riprovare a fare l'esercizio.. Se ho un transitorio con una induttanza e un condensatore, come mi devo comportare? Per le induttanze mi ricavo le tensioni, per i condensatori le correnti, se le ho entrambe cosa ricavo?
Grazie infinite!
Per le induttanze le tensioni, per i condensatori le correnti, sia le prime che le seconde in funzione delle iL e delle vC, poi procedi nello stesso modo: matrice A e autovalori.
E non dimenticarti delle soluzioni a regime.
E non dimenticarti delle soluzioni a regime.
Perfetto proverò stasera. Quindi la matrice sarà formata dai coefficienti delle iL nella prima colonna e da quelli delle vC nella seconda (o viceversa). Questo metodo mi salva l' esame!
P.s Le soluzioni a regime le devo sommare dopo aver trovato gli autovalori e dopo aver scritto l'equazione per la corrente o tensione giusto?
P.s Le soluzioni a regime le devo sommare dopo aver trovato gli autovalori e dopo aver scritto l'equazione per la corrente o tensione giusto?
Giusto, le aggiungi alla soluzione transitoria, combinazione lineare degli esponenziali $k_1 e^{\lambda_1 t}+k_2 e^{\lambda_2 t}$.
Prova a determinare le soluzioni a regime per le due reti postate.
Prova a determinare le soluzioni a regime per le due reti postate.
Certo intendevo quella, grazie. Dovrei pagarti come ripetizione privata. Nel primo circuito direi che per \( t\rightarrow \infty \) ho : \( i_{L1} = \frac{E}{1/R1+1/R2} \) dato che R3 non ha percorso di chiusura. Nel secondo circuito direi che senza generatore, le correnti e i potenziali andranno a 0. Corretto
Grazie di tutto! Dopo cena provo il metodo sul transitorio con i due condensatori e su quello con un condensatore e un induttore.
Grazie di tutto! Dopo cena provo il metodo sul transitorio con i due condensatori e su quello con un condensatore e un induttore.
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