[Elettrotecnica] Circuito dinamico e calcolo della corrente sull'induttore in evoluzione libera
Buongiorno a tutti, ho trovato questo tipo di esercizio e vorrei capire come affrontarlo:
Essendo in evoluzione libera, non ho forzamento, posso comunque applicare la sovrapposizione e ricavare il polinomio caratteristico? Perche quando vado a studiare la matrice per ottenere effettivamente il polinomio caratteristico, in quel caso i forzamenti non vengono presi in considerazione. Essendo richiesta la soluzione solo per t>0 la soluzione particolare non dovrebbe essere necessaria, ma ho le condizioni iniziali per il problema di Cauchy.
Lascio dati e info:
"Evoluzione libera per t>0. Per $t_0=0.3s$ l'interruttore si chiude. Calcolare la corrente sull'induttore per t>0.
$R1=0.4 \Omega, R2=0.3 \Omega, L=0.1H, C=47 mF, v_C (0^+)=0 V, i_L(0^+)=0.4 A$."
Ogni consiglio sulla risoluzione è ben accetto, grazie
Essendo in evoluzione libera, non ho forzamento, posso comunque applicare la sovrapposizione e ricavare il polinomio caratteristico? Perche quando vado a studiare la matrice per ottenere effettivamente il polinomio caratteristico, in quel caso i forzamenti non vengono presi in considerazione. Essendo richiesta la soluzione solo per t>0 la soluzione particolare non dovrebbe essere necessaria, ma ho le condizioni iniziali per il problema di Cauchy.
Lascio dati e info:
"Evoluzione libera per t>0. Per $t_0=0.3s$ l'interruttore si chiude. Calcolare la corrente sull'induttore per t>0.
$R1=0.4 \Omega, R2=0.3 \Omega, L=0.1H, C=47 mF, v_C (0^+)=0 V, i_L(0^+)=0.4 A$."
Ogni consiglio sulla risoluzione è ben accetto, grazie
Risposte
E' un semplice circuito di scarica RLC. Puoi studiarlo in vari modi.
Ad esempio trovati i poli del sistema puoi scrivere la generica risposta funzione di due costanti arbitrarie che puoi determinare con le condizioni iniziali di $v_C$ e $i_L$.
Poi a t=t0 calcoli i valori attuali $v_C$ e $i_L$ e quindi ripeti lo stesso procedimento di cui sopra.
Ad esempio trovati i poli del sistema puoi scrivere la generica risposta funzione di due costanti arbitrarie che puoi determinare con le condizioni iniziali di $v_C$ e $i_L$.
Poi a t=t0 calcoli i valori attuali $v_C$ e $i_L$ e quindi ripeti lo stesso procedimento di cui sopra.
"ingres":
...
Grazie per la risposta... volendo "riciclare" una metodologia a me nota, posso utilizzare la sovrapposizione degli effetti, studiare $det(\lambda I-A)$, calcolare $\lambda_1$ e $\lambda_2$ per poi risolvere il problema di Cauchy? Tra l'altro l'analisi con $t=t_0$ non saprei come affrontarla dato che non mi è mai capitato prima un vincolo del genere
La soluzione sarà in generale del tipo
$v_C(t) = k_1*e^(lambda_1 t) + k_2*e^(lambda_2 t)$
che puoi particolarizzare con seni e coseni nel caso sotto-smorzato. $k_1$ e $k_2$ li ricavi imponendo le condizioni iniziali su $v_c(0)$ e su $i_L(0)$ (basta che applichi la LKT per ricavare $i_L$ funzione di $v_C$).
Questa soluzione è valida fino a t0. Arrivati a t0 calcoli quanto valgono $v_c(t0)$ e $i_L(t0)$, ricalcoli il nuovo polinomio caratteristico (la resistenza del circuito cambia da R1 a R1 parallelo R2), scrivendo
$v'_C(t) = k'_1*e^(lambda'_1 t) + k'_2*e^(lambda'_2 t)$
dove come prima $k'_1$ e $k'_2$ li ricavi imponendo che a t=t0 $v'_c(t0)=v_c(t0)$, $i'_L(t0)=i_L(t0)$
$v_C(t) = k_1*e^(lambda_1 t) + k_2*e^(lambda_2 t)$
che puoi particolarizzare con seni e coseni nel caso sotto-smorzato. $k_1$ e $k_2$ li ricavi imponendo le condizioni iniziali su $v_c(0)$ e su $i_L(0)$ (basta che applichi la LKT per ricavare $i_L$ funzione di $v_C$).
Questa soluzione è valida fino a t0. Arrivati a t0 calcoli quanto valgono $v_c(t0)$ e $i_L(t0)$, ricalcoli il nuovo polinomio caratteristico (la resistenza del circuito cambia da R1 a R1 parallelo R2), scrivendo
$v'_C(t) = k'_1*e^(lambda'_1 t) + k'_2*e^(lambda'_2 t)$
dove come prima $k'_1$ e $k'_2$ li ricavi imponendo che a t=t0 $v'_c(t0)=v_c(t0)$, $i'_L(t0)=i_L(t0)$
Nel pomeriggio provo a risolvere e posto la soluzione così se ho ben capito il metodo ho recuperato un'altra tipologia di esercizio.
Per ora ti ringrazio
Per ora ti ringrazio
Ecco la prima parte della mia soluzione, datemi un check che proseguo con $t_0 = 0.3s$
Il termine noto dell'equaz. caratt. è 212.8 non 218.8. 
BTW Come ti dicevo in precedenza, per determinare i due autovalori avrei semplicemente risolto la seguente
$sC+1/(sL)+1/R_1=0$
ricavabile direttamente dalla rete.
BTW Come ti dicevo in precedenza, per determinare i due autovalori avrei semplicemente risolto la seguente
$sC+1/(sL)+1/R_1=0$
ricavabile direttamente dalla rete.
"RenzoD":
BTW Come ti dicevo in precedenza, per determinare i due autovalori avrei semplicemente...
Lo so hai ragione ma come ti dicevo vorrei cercare di adattare il metodo che conosco a quanti piu esercizi possibili visto che mi è piu familiare... dovesse andar male (spero per me di no) mi dai qualche input su questo metodo che mi sembra molto più rapido.
Di seguito la parte due dell'esercizio, quella per $t_0=0,3s$. Ogni dritta sulla risoluzione è ben accetta visto che è il primo che faccio di questo tipo.
Per la seconda parte, ovvero per t>t0, i valori iniziali per iL e vC sono cambiati, non sono più quelli usati per il precedente periodo. Li devi andare a ricalcolare dalla $i_L(t)$ e dalla $v_C(t)$, per $t=t_0$.
questo era uno dei dubbi che avevo... come li ottengo quei valori? Io ho pensato che le C.I. fossero le stesse dato che sono per $0^+$
"RenzoD":
Per la seconda parte, ovvero per t>t0, i valori iniziali per iL e vC sono cambiati, non sono più quelli usati per il precedente periodo. Li devi andare a ricalcolare dalla $i_L(t)$ e dalla $v_C(t)$, per $t=t_0$.
Mi potresti far un esempio?
Come detto i nuovi valori iniziali li ottieni dalle due "vecchie" funzioni $i_L(t)$ e $v_C(t)$ precedentemente ottenute dalla soluzione per $0nuovi modi esponenziali, una volta determinati i nuovi autovalori (diciamo $a_i$), per $t>t_0$, andrai a scriverli come
$k_ie^(a_i(t-t_0)$
con i nuovi valori iniziali ottenibili da:
$i_L(t_0)$ e $v_C(t_0)$
NB RenzoD=RenzoDF
$k_ie^(a_i(t-t_0)$
con i nuovi valori iniziali ottenibili da:
$i_L(t_0)$ e $v_C(t_0)$
NB RenzoD=RenzoDF
"RenzoDF":
NB RenzoD=RenzoDF
Devo dire che qualche sospetto mi era venuto
"RenzoDF":
... con i nuovi valori iniziali ottenibili da:
$i_L(t_0)$ e $v_C(t_0)$
Vediamo se ho capito perchè la cosa non mi è molto chiara... io ho:
${ ( i_C=\frac{-V_C}{R_1}-i_L ),( V_L=V_C+0):}$
da qui:
${ (i_L= -i_C -\frac{V_C}{R_1} ),( V_C=V_L):}$
fin qui è giusto come ragionamento?
P.s.
"RenzoDF":
NB RenzoD=RenzoDF
Non avevo dubbi
"Bianchetto05":
... fin qui è giusto come ragionamento?...
Certo che sì; ma, errore di trascrizione a parte (218.8), nella tua soluzione per t>0 era tutto giusto.
Corretto quello, e determinate le funzioni iL(t) e vC(t), avevi la possibilità di calcolare le nuove condizioni iniziali per la seconda parte del problema, ovvero
$ i_L(t_0)$ e $v_C(t_0)$
che, essendo le variabili di stato, non possono presentare discontinuità in t=t0;
$ i_L(t_0^+)= i_L(t_0^-)\quad \quad ,$ $\quad \quad v_C(t_0^+)=v_C(t_0^-)$
Scusa Renzo poi ti lascio proseguire
@Bianchetto05: non capisco cosa ci trovi di complicato. Prendendo la tua soluzione per t<0.3 s avremo ad es.
$i_L(0.3) =0.44 e^(-4.49*0.3) -0.04*e^(-48.7*0.3) = 0.114 A$
Questo è il nuovo valore iniziale di $i_L$ per t=t0.
@Bianchetto05: non capisco cosa ci trovi di complicato. Prendendo la tua soluzione per t<0.3 s avremo ad es.
$i_L(0.3) =0.44 e^(-4.49*0.3) -0.04*e^(-48.7*0.3) = 0.114 A$
Questo è il nuovo valore iniziale di $i_L$ per t=t0.
"ingres":
... $i_L(0.3) =0.44 e^(-4.49*0.3) -0.04*e^(-48.7*0.3) = 0.114 A$
Questo è il nuovo valore iniziale di $i_L$ per t=t0.
Era proprio questo il punto dove non riuscivo ad arrivare... Non capivo se era qui o altrove che dovevo sostituire $t_0=0.3s$
"RenzoD":[/quote]
[quote="Bianchetto05"]... avevi la possibilità di calcolare le nuove condizioni iniziali per la seconda parte del problema, ovvero $ i_L(t_0)$ e $v_C(t_0)$ ...
adesso è tutto un po più chiaro... ma quindi, per calcolare $V_C(t_0)$ come C.I. devo calcolare anche $V_C(t)$ nella prima parte dell'esercizio andando ad applicare Cauchy? Cioè la mia prima parte è incompleta o sbaglio?
"Bianchetto05":
... ma quindi, per calcolare $V_C(t_0)$ come C.I. devo calcolare anche $V_C(t)$ ...
Certo, ma visto che vC=vL, fai presto a determinarla, non credi?
quello si, però come hai ben capito, cerco di mettermi sempre nella situazione peggiore 
perciò chiedevo dell'applicare due volte Cauchy che da come ho capito, la risposta sarebbe si.
Diciamo che la prima parte di questo esercizio serve per le C.I. della seconda parte e da li calcoli quanto richiesto, giusto?
P.S.
$V_C(t_0)=0$ no?
perciò chiedevo dell'applicare due volte Cauchy che da come ho capito, la risposta sarebbe si.Diciamo che la prima parte di questo esercizio serve per le C.I. della seconda parte e da li calcoli quanto richiesto, giusto?
P.S.
$V_C(t_0)=0$ no?
"Bianchetto05":
... perciò chiedevo dell'applicare due volte Cauchy che da come ho capito, la risposta sarebbe si. ...
Io invece ti dicevo no.
Intendevo suggerirti che, visto che hai la $i_L(t)$ e che sai che
$v_C(t)=v_L(t)=L\frac{\text{d}i_L(t)}{\text{d}t}$
...
"Bianchetto05":
...Diciamo che la prima parte di questo esercizio serve per le C.I. della seconda parte e da li calcoli quanto richiesto, giusto?...
No; la prima parte serve per la iL(t) per 0
"Bianchetto05":
...
$V_C(t_0)=0$ no?
Perché?
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