[Elettrotecnica] Circuito dinamico e calcolo della corrente sull'induttore in evoluzione libera

[Bianchetto05]

Buongiorno a tutti, ho trovato questo tipo di esercizio e vorrei capire come affrontarlo:



Essendo in evoluzione libera, non ho forzamento, posso comunque applicare la sovrapposizione e ricavare il polinomio caratteristico? Perche quando vado a studiare la matrice per ottenere effettivamente il polinomio caratteristico, in quel caso i forzamenti non vengono presi in considerazione. Essendo richiesta la soluzione solo per t>0 la soluzione particolare non dovrebbe essere necessaria, ma ho le condizioni iniziali per il problema di Cauchy.

Lascio dati e info:
"Evoluzione libera per t>0. Per $t_0=0.3s$ l'interruttore si chiude. Calcolare la corrente sull'induttore per t>0.
$R1=0.4 \Omega, R2=0.3 \Omega, L=0.1H, C=47 mF, v_C (0^+)=0 V, i_L(0^+)=0.4 A$."

Ogni consiglio sulla risoluzione è ben accetto, grazie

[Bianchetto05]

"RenzoD":
No; la prima parte serve per la iL(t) per 0

L'esercizio chiede $i_L$ per $t>0$ come risultato finale

"RenzoD":Perché?

Perchè dovrebbe essere conseguenza della risposta data da te sopra: $v_C(t)=v_L(t)=L\frac{\text{d}i_L(t)}{\text{d}t}$ quindi la derivata di una costante ($0.119A$) è $0$ quindi $V_C(t_0)=0$

[RenzoD]

"Bianchetto05":... L'esercizio chiede $i_L$ per $t>0$ come risultato finale ...

E quindi devi determinarla per entambi gli intervalli.

"Bianchetto05":... Perchè dovrebbe essere conseguenza della risposta data da te sopra: $v_C(t)=v_L(t)=L\frac{\text{d}i_L(t)}{\text{d}t}$ quindi la derivata di una costante ($0.119A$) è $0$ quindi $V_C(t_0)=0$

Devi derivare la funzione del tempo, non un suo particolare valore .

[Bianchetto05]

"RenzoD":
Devi derivare la funzione del tempo, non un suo particolare valore .

Quindi va derivata questa e moltiplicata per $L$?

$i_L(t) =0.44 e^(-4.36*t) -0.04*e^(-48.83*t)$

Ciò che ne deriva lo si studia per $t_0=0.3s$ che sarà la mia $V_C(t_0)$

[RenzoD]

[Bianchetto05]

sto diventando "bravo" comunque grazie mille per l'aiuto

A breve la soluzione

[Bianchetto05]

Ecco la soluzione:

Pag 1:




Pag 2:




Ma la soluzione particolare ($t-> \infty)$ bisogna aggiungerla alla soluzione finale?

[RenzoD]

Certo, sarebbe da aggiungerla ... ma

[RenzoD]

Scusa ma non ci siamo ancora.

Cosa hai scritto nelle ultime due righe

Una volta determinati i nuovi coefficienti ki, devi scrivere la funzione del tempo $i_L(t)$

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Controllando poi i due autovalori trovo

[RenzoD]

Sto solo facendoti notare che, a parte il fatto che non vedo scritta la soluzione per la iL(t), dovrebbe averti stupito che la $i_L(t_0)$ risulti diversa da quella precedentemente calcolata.

[Bianchetto05]

"RenzoD":...Controllando poi i due autovalori trovo...

come fai per ottenere quei valori? Ho rifatto i calcoli e non mi vengono come i tuoi...


Quindi la soluzione finale dovrebbe essere: $i_L(t)=0,132 e^(-1,72t)-0,013e^(-123,44t)+i_{Lp}$ giusto? (al di la delle discordanze dei parametri K e lambda)

[RenzoD]

No, visto che non tornano i conti.

E quella iLp quanto vale?

[RenzoD]

Alcuni post fa dicevo che

... i nuovi modi esponenziali, una volta determinati i nuovi autovalori (diciamo $a_i$), per $t>t_0$, andrai a scriverli come

$k_ie^(a_i(t-t_0)$ ...

[Bianchetto05]

"RenzoD":E quella iLp quanto vale?

Non avendo forzamento, per $t-> \infty$ la soluzione particolare è zero?

[Bianchetto05]

"RenzoD":Alcuni post fa dicevo che

... i nuovi modi esponenziali, una volta determinati i nuovi autovalori (diciamo $a_i$), per $t>t_0$, andrai a scriverli come

$k_ie^(a_i(t-t_0)$ ...

chiarissimo, però da come ho capito, tra me e te sono proprio le $\lambda$ a differire e non capisco il motivo

[RenzoD]

"Bianchetto05": Non avendo forzamento, per $t-> \infty$ la soluzione particolare è zero?

[RenzoD]

"Bianchetto05":... però da come ho capito, tra me e te sono proprio le $\lambda$ a differire e non capisco il motivo

Beh, io per esempio ho usato 12/70 per la resistenza equivalente e non 0.17 ... poi forse hai arrotondato ancora qualche calcolo; cerca di usare sempre almeno tre cifre significative nei calcoli, ma non esagerare con il loro numero.

Nel 125.16 ne hai usate 5, direi tante, e in quel 0.17 solo due, direi poche.

[Bianchetto05]

"RenzoD":... Nel 125.16 ne hai usate 5, direi tante, e in quel 0.17 solo due, direi poche.

Ok chiaro, l'importante è che è un problema di arrotondamento e non di metodo perchè il problema sarebbe stato molto piu grave


In definitva la soluzione allora sarà: $i_L(t)=0,132e^(-1,72(t-0,3))-0,013e^(-123,44(t-0,3))$ ? o manca altro?

(al di la di arrotondamenti vari)

[RenzoD]

Usando 0.17

[RenzoD]

"Bianchetto05":... In definitva la soluzione allora sarà: $i_L(t)=0,132e^(-1,72(t-0,3))-0,013e^(-123,44(t-0,3))$ ? o manca altro? ...

Manca la $i_L(t)$ valida per $0due diverse funzioni del tempo.

BTW Hai controllato se ora, con quella modifica, le due $i_L(t_0)$ forniscono gli stessi valori?

[Bianchetto05]

"RenzoD": ... Manca la $i_L(t)$ valida per $0due diverse funzioni del tempo.

Abbiamo:
$i_L(0
$i_L(t)=0,132e^(-1,72(t-0,3))-0,013e^(-123,44(t-0,3))$ per $t>0.3s$ (o $t>=0.3s$?? oppure solo $t=0,3s$??)

"RenzoD":BTW Hai controllato se ora, con quella modifica, le due $i_L(t_0)$ forniscono gli stessi valori?

Imponendo in questa $i_L(t)=0,132e^(-1,72(t-0,3))-0,013e^(-123,44(t-0,3))$, un valore $t=0.3$ il risultato è lo stesso che avevo prima durante il calcolo delle C.I.