[Controlli Automatici] Margine di stabilità sul diagramma di Bode
Salve amici, sto cercando di risolvere esercizi in cui bisogna calcolare analiticamente il margine di fase e ampiezza ma non ci riesco. Non so proprio da dove incominciare. Ho studiato l'argomento e in teoria ho capito cosa rappresentano queste due grandezze rispetto al diagramma di Bode, però analiticamente non so come si calcolano. Mi dareste una mano a capire perfavore.?
Per esempio ho trovato questo esercizio già svolto e se fosse possibile lo vorrei fare insieme a voi: ho la seguente f.d.t.
\( G(s)=1/(1+s)^3 \)
ho calcolato il diagramma di bode e fin qui ci sono.
In attesa di una vostra risposta vi ringrazio anticipatamente.
Per esempio ho trovato questo esercizio già svolto e se fosse possibile lo vorrei fare insieme a voi: ho la seguente f.d.t.
\( G(s)=1/(1+s)^3 \)
ho calcolato il diagramma di bode e fin qui ci sono.
In attesa di una vostra risposta vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Se hai studiato la teoria, com'è definito il margine di fase?
Si prende la pulsazione in corrispondenza della quale il diagramma dei moduli attraversa la fase a 0db, poi si va sul diagramma della fase e in corrispondenza di quella pulsazione si va a vedere la distanza che c'e fino ad arrivare a -180°
Si prende la pulsazione in corrispondenza della quale il diagramma dei moduli attraversa la fase a 0db
Ehhh? Forse volevi dire la pulsazione in corrispondenza della quale il diagramma del modulo passa per $0 db$
Allora, i diagrammi di Bode della tua fdt sono i seguenti
Quanto vale quella quella pulsazione ( che prende il nome di pulsazione di attraversamento o pulsazione di taglio )?
Ehhh? Forse volevi dire la pulsazione in corrispondenza della quale il diagramma del modulo passa per $0 db$
Allora, i diagrammi di Bode della tua fdt sono i seguenti
Quanto vale quella quella pulsazione ( che prende il nome di pulsazione di attraversamento o pulsazione di taglio )?
Si scusami volevo dire "il diagramma dei moduli" 
La pulsazione di taglio dovrebbe essere 1rad/sec giusto?
La pulsazione di taglio dovrebbe essere 1rad/sec giusto?
No sbagliato: per $omega=1(rad)/s$ il diagramma dei moduli vale circa $-10 dB$.
Ma scusa, se osservi il diagramma di Bode del modulo, noti subito che il modulo della fdt va a zero quando $ omegararr 0 $.
Ora, osservando il diagramma delle fasi, quando $ omegararr 0 $ la fase tende a $0°$; conseguentemente, il margine di fase vale $180°$.
A te determinare il margine di guadagno
Ma scusa, se osservi il diagramma di Bode del modulo, noti subito che il modulo della fdt va a zero quando $ omegararr 0 $.
Ora, osservando il diagramma delle fasi, quando $ omegararr 0 $ la fase tende a $0°$; conseguentemente, il margine di fase vale $180°$.
A te determinare il margine di guadagno
Sono stato da un prof a farmi spiegare come bisogna procedere nello svolgimento di esercizi di questo genere, ed ho capito che la mia difficoltà sono i numeri complessi...
Ora cerco di rimediare a questa lacuna e appena sono pronto ti ricontatto e ti faccio vedere che saprò risolvere il problema , almeno spero
Ora cerco di rimediare a questa lacuna e appena sono pronto ti ricontatto e ti faccio vedere che saprò risolvere il problema , almeno spero
Allora D4lF4zZI0 , mi inizio a calcolare il margine di fase, quindi mi trovo graficamente la pulsazione critica wc cioè quella in corrispondenza dell'intersezione a 0 db sul diagramma dei moduli. Analiticamente dovrò avere modulo unitario (perché non cambia) e la fase deve trovarsi al di sopra di 180°
Quindi sostituisco s con jw e analiticamente devo risolvere questa equazione per trovare wc:
\( 1/|1 + jw|)^3 = 1 \)
razionalizzo...
\( 1 = |1 - jw|^3 \)
mi calcolo il modulo del membro a destra e ottengo la pulsazione critica wc = 0
A questo punto mi calcolo la fase di G(jwc) e trovo fase critica pari a 0 pertanto il margine di fase è 180° ed è molto stabile .
Corretto fin qui??
Quindi sostituisco s con jw e analiticamente devo risolvere questa equazione per trovare wc:
\( 1/|1 + jw|)^3 = 1 \)
razionalizzo...
\( 1 = |1 - jw|^3 \)
mi calcolo il modulo del membro a destra e ottengo la pulsazione critica wc = 0
A questo punto mi calcolo la fase di G(jwc) e trovo fase critica pari a 0 pertanto il margine di fase è 180° ed è molto stabile .
Corretto fin qui??
Corretto 
Grande finalmente ho capito come procedere...
Una domanda: ma se il margine d'ampiezza risulta essere infinito, cosa significa in termini di stabilità? che è sempre as. stabile??
la difficoltà che sto incontrando adesso riguarda i numeri complessi la razionalizzazione ste cose qua.....
Per esempio adesso sto facendo un'altro esercizio in cui calcolo margine di fase e ampiezza, mi sto calcolando il margine di fase della seguente f.d.t.
\( L(s)= 10/(s + 10)(s^2 + 0.4s +1) \)
quindi imposto la seguente equazione:
\( 10/(jwc + 10)(wc^2 + 0.4jwc +1) = 1 \)
a questo punto devo razionalizzare e quindi moltiplicare ambo i membri per il coniugato del denominatore.
Nel mio caso il coniugato del denominatore è \( (jwc - 10)(wc^2 - 0.4jwc -1) \) ??
Una domanda: ma se il margine d'ampiezza risulta essere infinito, cosa significa in termini di stabilità? che è sempre as. stabile??
la difficoltà che sto incontrando adesso riguarda i numeri complessi la razionalizzazione ste cose qua.....
Per esempio adesso sto facendo un'altro esercizio in cui calcolo margine di fase e ampiezza, mi sto calcolando il margine di fase della seguente f.d.t.
\( L(s)= 10/(s + 10)(s^2 + 0.4s +1) \)
quindi imposto la seguente equazione:
\( 10/(jwc + 10)(wc^2 + 0.4jwc +1) = 1 \)
a questo punto devo razionalizzare e quindi moltiplicare ambo i membri per il coniugato del denominatore.
Nel mio caso il coniugato del denominatore è \( (jwc - 10)(wc^2 - 0.4jwc -1) \) ??
Rispondo alla prima domanda: i margini di stabilità vanno sempre considerati assieme; quindi anche se hai il margine di ampiezza infinito, dipende dal margine di fase.
Per quanto riguarda la seconda domanda: studia bene i numeri complessi
Per quanto riguarda la seconda domanda: studia bene i numeri complessi
No dai D4lF4zZI0 ti prego aiutami
Nell'altro esercizio l'ho saputa fare la razionalizzazione perché era più semplice il denominatore qui invece ho il prodotto e non so come trattarlo, ho provato a vedere in internet ma non ho trovato nulla di simile. non voglio che me lo faccia tu però vorrei un aiuto per capire il denominatore come trattarlo
Nell'altro esercizio l'ho saputa fare la razionalizzazione perché era più semplice il denominatore qui invece ho il prodotto e non so come trattarlo, ho provato a vedere in internet ma non ho trovato nulla di simile. non voglio che me lo faccia tu però vorrei un aiuto per capire il denominatore come trattarlo
quell' wc^2 che sta al denominatore fa parte del numero reale?
Vabbè va, il complesso coniugato di un prodotto di due o più numeri complessi è il prodotto dei complessi coniugati
ahahahhahah quindi ?:D
quindi stando alle tue parole al denominatore otterrei:
\( jwc^3 + 10.4wc^2 + 5jwc +10 \)
corretto?
\( jwc^3 + 10.4wc^2 + 5jwc +10 \)
corretto?
Ah guarda non l'ho fatto ancora, continua e poi vediamo se ci troviamo con i margini di stabilità
quello è il bello che non so andare avanti 
Sforzati, sono solo numeri complessi e devi saperli usare. Fai uno sforzo
L'ho provato a fare, ti mando una foto con i calcoli che dici va bene fino a qui?
non capisco perche si vede tagliato uff i...se mi dai una mail te lo mando la
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