[Controlli Automatici] Margine di stabilità sul diagramma di Bode
Salve amici, sto cercando di risolvere esercizi in cui bisogna calcolare analiticamente il margine di fase e ampiezza ma non ci riesco. Non so proprio da dove incominciare. Ho studiato l'argomento e in teoria ho capito cosa rappresentano queste due grandezze rispetto al diagramma di Bode, però analiticamente non so come si calcolano. Mi dareste una mano a capire perfavore.?
Per esempio ho trovato questo esercizio già svolto e se fosse possibile lo vorrei fare insieme a voi: ho la seguente f.d.t.
\( G(s)=1/(1+s)^3 \)
ho calcolato il diagramma di bode e fin qui ci sono.
In attesa di una vostra risposta vi ringrazio anticipatamente.
Per esempio ho trovato questo esercizio già svolto e se fosse possibile lo vorrei fare insieme a voi: ho la seguente f.d.t.
\( G(s)=1/(1+s)^3 \)
ho calcolato il diagramma di bode e fin qui ci sono.
In attesa di una vostra risposta vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Hai commesso ( almeno ) un errore: hai dimenticato un quadrato sotto radice per $omega$
si ora che me l'hai fatto notare ho capito dove
ho corretto e mi esce una cosa del genere \( 2.16w^4 + 2w^3 + 217w^2 + 200w = 0 \)
è possibile?
è possibile?
No, vedi che quando ho visto la foto, ho detto che c'era ( almeno ) un errore.
Dai è semplice è solo matematica ricontrolla i passaggi.
PS: l'equazione a cui devi giungere è: $ omega^6+98.16omega^4-183omega^2=0 $
Dai è semplice è solo matematica ricontrolla i passaggi.
PS: l'equazione a cui devi giungere è: $ omega^6+98.16omega^4-183omega^2=0 $
siccome l'ho fatto un casino di volte e non mi trovo con il tuo risultato ho dei dubbi.Ora faccio tutti i passaggi
abbiamo detto che al denominatore ho:
\( (jwc+10)(1+(jwc)^2+0,4wc) \)
a questo punto \( (jwc)^2 \) è uguale a \( wc^2 \) giusto?
quindi il denominatore che ottengo è:
\( (10+jwc)(1+wc^2+0,4jwc) \)
ora devo fare il coniugato del denominatore e se non erro il coniugato di un numero equivale a modificare solo il segno della parte immaginaria, quindi dico che il coniugato del mio denominatore è il seguente:
\( (10-jwc)(1+wc^2-0,4jwc) \)
ora moltiplico ambo i mebri per il coniugato ed ottengo:
\( 10=(10-jwc)(1+wc^2-0,4jwc) \)
a questo punto faccio il modulo del membro a destra per eliminare i termini con la j
quindi applico la seguente formula \( \sqrt{a^2+b^2} \)
ottenendo quindi
\( 10=\sqrt{10^2+wc^2}\sqrt{(1+wc)^2+(0,4wc)^2} \)
secondo me l'errore sta qui vero?
abbiamo detto che al denominatore ho:
\( (jwc+10)(1+(jwc)^2+0,4wc) \)
a questo punto \( (jwc)^2 \) è uguale a \( wc^2 \) giusto?
quindi il denominatore che ottengo è:
\( (10+jwc)(1+wc^2+0,4jwc) \)
ora devo fare il coniugato del denominatore e se non erro il coniugato di un numero equivale a modificare solo il segno della parte immaginaria, quindi dico che il coniugato del mio denominatore è il seguente:
\( (10-jwc)(1+wc^2-0,4jwc) \)
ora moltiplico ambo i mebri per il coniugato ed ottengo:
\( 10=(10-jwc)(1+wc^2-0,4jwc) \)
a questo punto faccio il modulo del membro a destra per eliminare i termini con la j
quindi applico la seguente formula \( \sqrt{a^2+b^2} \)
ottenendo quindi
\( 10=\sqrt{10^2+wc^2}\sqrt{(1+wc)^2+(0,4wc)^2} \)
secondo me l'errore sta qui vero?
Quanto fa $j^2$? Questo è il tuo errore 
-1 però io siccome lo moltiplico per una quantità al quadrato l'ho messo positivo. quindi è qui che sbaglio?
ho corretto questo errore e ora mi trovo con la tua equazione finalmente 
grazie.
ora mi devo trovare le radici e continuo l'esercizio....finalmente
grazie.
ora mi devo trovare le radici e continuo l'esercizio....finalmente
Facciamolo assieme:
$ |W(jomega_(tau))|=1 rArr 10/(|jomega_(tau)+10||(jomega_(tau))^2+j0.4omega_(tau)+1|)=1rArr
10/(|jomega_(tau)+10||-omega_tau^2+j0.4omega_(tau)+1|) =1$
Sviluppando quei moduli al denominatore vien fuori:
$ 10/( sqrt(100+omega_tau^2)sqrt((1-omega_tau^2)^2+0.16omega_tau^2))=1rArr
10=sqrt(100+omega_tau^2)sqrt((1-omega_tau^2)^2+0.16omega_tau^2) $
invece tu ti trovi $(1+omega_tau^2)^2$ sotto la seconda radice perchè sbagli il quadrato.
Se continui a fare i calcoli, arrivi all'equazione che ti ho scritto nel precedente post ovvero:
$ omega_tau^6+98.16omega_tau^4-183omega_tau^2=0 $
Tale equazione, come ti è noto, ammette $6$ soluzioni ( ovviamente non tutte reali ), ma noi siamo interessati solo a quelle reali e per giunta non negative.
Dunque, si ha:
$ omega_tau^2(omega_tau^4+98.16omega_tau^2-183)=0rArr { ( omega_tau^2=0 rArr omega_tau=0 (rad)/s ),( omega_tau^4+98.16omega_tau^2-183=0 ):} $.
La seconda equazione è una biquadrica che si risolve facilmente ponendo $x=omega_tau^2$; quindi abbiamo:
$ x^2+98.16x-183=0rArr { ( x_1~=1.83 ),( x_2~=-99.98 ):} rArr omega_tau~=1.353 (rad)/s $
Dunque, le soluzioni reali e non negative sono:
$ { ( omega_tau=0 (rad)/s ),(omega_tau=1.353 (rad)/s ):} $
Ora prova tu a capire perchè la pulsazione di taglio è $omega_tau=1.353 (rad)/s$ e non può essere $omega_tau=0 (rad)/s$
$ |W(jomega_(tau))|=1 rArr 10/(|jomega_(tau)+10||(jomega_(tau))^2+j0.4omega_(tau)+1|)=1rArr
10/(|jomega_(tau)+10||-omega_tau^2+j0.4omega_(tau)+1|) =1$
Sviluppando quei moduli al denominatore vien fuori:
$ 10/( sqrt(100+omega_tau^2)sqrt((1-omega_tau^2)^2+0.16omega_tau^2))=1rArr
10=sqrt(100+omega_tau^2)sqrt((1-omega_tau^2)^2+0.16omega_tau^2) $
invece tu ti trovi $(1+omega_tau^2)^2$ sotto la seconda radice perchè sbagli il quadrato.
Se continui a fare i calcoli, arrivi all'equazione che ti ho scritto nel precedente post ovvero:
$ omega_tau^6+98.16omega_tau^4-183omega_tau^2=0 $
Tale equazione, come ti è noto, ammette $6$ soluzioni ( ovviamente non tutte reali ), ma noi siamo interessati solo a quelle reali e per giunta non negative.
Dunque, si ha:
$ omega_tau^2(omega_tau^4+98.16omega_tau^2-183)=0rArr { ( omega_tau^2=0 rArr omega_tau=0 (rad)/s ),( omega_tau^4+98.16omega_tau^2-183=0 ):} $.
La seconda equazione è una biquadrica che si risolve facilmente ponendo $x=omega_tau^2$; quindi abbiamo:
$ x^2+98.16x-183=0rArr { ( x_1~=1.83 ),( x_2~=-99.98 ):} rArr omega_tau~=1.353 (rad)/s $
Dunque, le soluzioni reali e non negative sono:
$ { ( omega_tau=0 (rad)/s ),(omega_tau=1.353 (rad)/s ):} $
Ora prova tu a capire perchè la pulsazione di taglio è $omega_tau=1.353 (rad)/s$ e non può essere $omega_tau=0 (rad)/s$
il motivo penso sia questo:
prima cosa siccome noi dobbiamo fare la radice del risultato, un numero negativo non possiamo utilizzarlo altrimenti ottengo di nuovo un numero immaginario.
Forse il vero motivo è questo: siccome il margine di fase si va a vedere quando sull'asse dei moduli c'e l'attraversamento a 0db, attraversamento che avviene alla pulsazione critica wc, questa per il diagramma polare equivale ad una curva che parte da destra e interseca una sola volta la circonferenza di raggio unitario, e la deve intersecare al di sotto dell'ascissa e quindi il margine di fase sarà uguale a : \( \varphi =180°-|\varphi c| \)
la fase critica deve essere presa positiva altrimenti se la prendo negativa avrò \( 180°-(-\varphi c) \) ed otterrò un valore maggiore di 180° e questo non è buono in termini di margine di fase in quanto io non ho proprio più il margine di fase
é questa la risposta?
prima cosa siccome noi dobbiamo fare la radice del risultato, un numero negativo non possiamo utilizzarlo altrimenti ottengo di nuovo un numero immaginario.
Forse il vero motivo è questo: siccome il margine di fase si va a vedere quando sull'asse dei moduli c'e l'attraversamento a 0db, attraversamento che avviene alla pulsazione critica wc, questa per il diagramma polare equivale ad una curva che parte da destra e interseca una sola volta la circonferenza di raggio unitario, e la deve intersecare al di sotto dell'ascissa e quindi il margine di fase sarà uguale a : \( \varphi =180°-|\varphi c| \)
la fase critica deve essere presa positiva altrimenti se la prendo negativa avrò \( 180°-(-\varphi c) \) ed otterrò un valore maggiore di 180° e questo non è buono in termini di margine di fase in quanto io non ho proprio più il margine di fase
é questa la risposta?
Le soluzioni idonee sono $omega_tau=0 (rad)/s$ e $omega_tau=1.353 (rad)/s$; ora ti chiedo, perchè non possiamo considerare la prima come soluzione, mentre la seconda è sicuramente la pulsazione di taglio?
sinceramente non lo so...
Vabbè continua l'esercizio che ci sono ancora un bel pò di calcoli da fare e poi magari ci si ritorna su.
La pulsazione di taglio vale $1.353 (rad)/s$; calcola il margine di fase e poi devi calcolare anche quello di guadagno.
Buon lavoro
La pulsazione di taglio vale $1.353 (rad)/s$; calcola il margine di fase e poi devi calcolare anche quello di guadagno.
Buon lavoro
ok grazie...però dopo me lo devi dire
Maledetta matematica 
....
allora per calcolarmi il margine di fase, sostituisco nella L(jwc) il valore trovato cioè wc = 1.35rad/sec
Ottengo questa cosa:
\( \angle 10 - \angle (10+i1.35) - \angle (-0.82+i0.54) \)
quindi ottengo:
\( 0 - \arctan (0.135) - \arctan (0.658) + \pi = 205° \)
Ho sparato una c****** ?
....allora per calcolarmi il margine di fase, sostituisco nella L(jwc) il valore trovato cioè wc = 1.35rad/sec
Ottengo questa cosa:
\( \angle 10 - \angle (10+i1.35) - \angle (-0.82+i0.54) \)
quindi ottengo:
\( 0 - \arctan (0.135) - \arctan (0.658) + \pi = 205° \)
Ho sparato una c****** ?
Fammi capire come hai calcolato questa fase, mi sembra ci sia qualcosa che non va
Vado a valutare la risposta in frequenza della mia f.d.t sostituendo la pulsazione trovata wc = 1.35 rad/sec
Pertanto ottengo :
\( L(j1.35)=10/(10+j1.35)(j(1.35)^2+0.4*(j1.35)+1) \)
forse ho capito dove è l'errore. Nei calcoli precedenti non ho fatto il prodotto al denominatore .... quindi ora correggo.
Ho un dubbio però: al denominatore ho
\( s^2 \) lo vado a sostituire con \( j1.35 \) ma il quadrato va fatto solo al valore numerico oppure anche alla j?
Pertanto ottengo :
\( L(j1.35)=10/(10+j1.35)(j(1.35)^2+0.4*(j1.35)+1) \)
forse ho capito dove è l'errore. Nei calcoli precedenti non ho fatto il prodotto al denominatore .... quindi ora correggo.
Ho un dubbio però: al denominatore ho
\( s^2 \) lo vado a sostituire con \( j1.35 \) ma il quadrato va fatto solo al valore numerico oppure anche alla j?
$s=jomega$ quindi anche $j$ va elevata al quadrato. Ma guarda che i passaggi erano fatti bene è solo che non mi trovo col risultato della fase ( il problema sta nella seconda arcotangente )
ho rifatto i calcoli e mi trovo la seguente L(j1.35)
\( =10/(-8.954+j429) \)
quindi faccio la fase di 10 che è 0 meno la fase del denominatore e mi trovo con questo risultato
\( 25.64 \)
però siccome a<0 e b>=0 devo sommargli \( \pi \) ???
\( =10/(-8.954+j429) \)
quindi faccio la fase di 10 che è 0 meno la fase del denominatore e mi trovo con questo risultato
\( 25.64 \)
però siccome a<0 e b>=0 devo sommargli \( \pi \) ???
Non offenderti, ma come li fai sti calcoli?!?!
Allora:
$ W(jomega_tau)=W(j1.353)=10/((10+j1.353)(-1.353^2+j0.541+1))=
10/((10+j1.353)(-0.831+j0.541))=10/(-9.04+j4.29) $
Razionalizzandolo viene:
$ W(j1.353)=10/(-9.04+j4.29)=-0.903-j0.428rArr phi_(W(j1.353))=-pi+arctan(0.428/0.903)~=-154.6° $
Allora:
$ W(jomega_tau)=W(j1.353)=10/((10+j1.353)(-1.353^2+j0.541+1))=
10/((10+j1.353)(-0.831+j0.541))=10/(-9.04+j4.29) $
Razionalizzandolo viene:
$ W(j1.353)=10/(-9.04+j4.29)=-0.903-j0.428rArr phi_(W(j1.353))=-pi+arctan(0.428/0.903)~=-154.6° $
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