[Controlli Automatici] Margine di stabilità sul diagramma di Bode
Salve amici, sto cercando di risolvere esercizi in cui bisogna calcolare analiticamente il margine di fase e ampiezza ma non ci riesco. Non so proprio da dove incominciare. Ho studiato l'argomento e in teoria ho capito cosa rappresentano queste due grandezze rispetto al diagramma di Bode, però analiticamente non so come si calcolano. Mi dareste una mano a capire perfavore.?
Per esempio ho trovato questo esercizio già svolto e se fosse possibile lo vorrei fare insieme a voi: ho la seguente f.d.t.
\( G(s)=1/(1+s)^3 \)
ho calcolato il diagramma di bode e fin qui ci sono.
In attesa di una vostra risposta vi ringrazio anticipatamente.
Per esempio ho trovato questo esercizio già svolto e se fosse possibile lo vorrei fare insieme a voi: ho la seguente f.d.t.
\( G(s)=1/(1+s)^3 \)
ho calcolato il diagramma di bode e fin qui ci sono.
In attesa di una vostra risposta vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
No tranquillo non mi offendo...purtroppo sono consapevole delle mie lacune. Però a lezionemi hanno fatto vedere che si applica la proprietà(non ricordo come si chiama) e si fa la fase del numeratore meno la fase del denominatore per questo ho fatto così. tu invece hai fatto la razionalizzazione ...bho
e quindi il margine di fase è
\( \varphi m=180°-|\varphi c|=25.31° \)
e quindi il margine di fase è
\( \varphi m=180°-|\varphi c|=25.31° \)
$m_phi=180°-154.6°=25.4°$
Quella proprietà è corretta ed infatti io ti ho detto che avevi fatto bene, ti sei perso quando alla fine hai calcolato le arcotangenti; praticamente, la relazione a cui sei giunto $-arctan(0.135)-arctan(0.54/(-0.82))$ era corretta, ma hai commesso un errore di segno sulla seconda arcotangente
.
Comunque non per forza devi farlo così, alla fine si tratta di calcolare l'argomento di un numero complesso
Quella proprietà è corretta ed infatti io ti ho detto che avevi fatto bene, ti sei perso quando alla fine hai calcolato le arcotangenti; praticamente, la relazione a cui sei giunto $-arctan(0.135)-arctan(0.54/(-0.82))$ era corretta, ma hai commesso un errore di segno sulla seconda arcotangente
. Comunque non per forza devi farlo così, alla fine si tratta di calcolare l'argomento di un numero complesso
Il mio errore è stato dipeso dal segno, quindi la formula generale \( \arctan (b/a) \) , b ed a vanno presi senza considerare i segni è corretto?
Tu avevi $-arctan(0.135)-arctan(0.54/(-0.82))$; il secondo addendo lo puoi scrivere ( per la simmetria della funzione ):
$-arctan(0.54/(-0.82))=arctan((-0.54)/(-0.82)) = -pi+arctan(0.54/0.82)$
Avendo ricordato che se $z=a+jb$ è il numero complesso, allora $arg(z)=-pi+arctan(b/a)$ quando $b<0$ e $a<0$
$-arctan(0.54/(-0.82))=arctan((-0.54)/(-0.82)) = -pi+arctan(0.54/0.82)$
Avendo ricordato che se $z=a+jb$ è il numero complesso, allora $arg(z)=-pi+arctan(b/a)$ quando $b<0$ e $a<0$
ok grazie per la spiegazione...passo a calcolarmi il margine di ampiezza 
credimi mi sono fuso .... e da stamattina le 8 che sto studiando e ora non ce la faccio più nemmeno a fare 2+2
mi sa che lo finisco domani questo nuovo calcolo. Grazie per la mano che mi hai dato. Ci sentiamo domani tanto già so che ti contatto purtroppo per me e anche per te . Buona serata e grazie
mi sa che lo finisco domani questo nuovo calcolo. Grazie per la mano che mi hai dato. Ci sentiamo domani tanto già so che ti contatto purtroppo per me e anche per te . Buona serata e grazie
no ti giuro mi vedo di fare un'altra cosa ma l'esercizio ora non lo finisco....mi ha fatto impazzire
Ciao D4lF4zZI0 senti vorrei chiederti un piacere. Mi faresti vedere tutti i passaggi per il calcolo del guadagno? Il 17 ho l'esame è urgente e siccome non sono ancora capace di fare questa tipologia di esercizi vorrei chiederti questo piacere. se mi metto io passo un'altra serata solo a calcolarmi questa cosa. Grazie
Per prima cosa occorre calcolare la pulsazione alla quale la fase della fdt vale $-pi$.
Quindi:
$ phi_(W(jomega_pi))=phi_10-phi_(10+jomega_pi)-phi_(1-omega_pi^2+j0.4omega_pi)=
0-arctan(omega_pi/10)-arctan((0.4omega_pi)/(1-omega_pi^2))=-pi $
ottenendo:
$ omega_pi/10+(0.4omega_pi)/(1-omega_pi^2)=0rArr omega_pi^3-5omega_pi=0 rArr omega_pi(omega_pi^2-5)=0rArr { ( omega_pi=0 (rad)/s ),( omega_pi=2.24 (rad)/s ):} $
avendo escluso la soluzione negativa.
PS: ancora una volta dobbiamo scartare la soluzione $omega_pi=0 (rad)/s$ ( perchè? ).
Applicando la definizione di margine di guadagno, si ha:
$ m_(g)=1/(|W(jomega_pi)|)=1/((10)/( |10+jomega_pi||1-omega_pi^2+j0.4omega_pi|))=(|10+jomega_pi||1-omega_pi^2+j0.4omega_pi|)/10=(sqrt(100+5)sqrt(16+0.803))/10~=4.20~=12.5 dB $
Quindi:
$ phi_(W(jomega_pi))=phi_10-phi_(10+jomega_pi)-phi_(1-omega_pi^2+j0.4omega_pi)=
0-arctan(omega_pi/10)-arctan((0.4omega_pi)/(1-omega_pi^2))=-pi $
ottenendo:
$ omega_pi/10+(0.4omega_pi)/(1-omega_pi^2)=0rArr omega_pi^3-5omega_pi=0 rArr omega_pi(omega_pi^2-5)=0rArr { ( omega_pi=0 (rad)/s ),( omega_pi=2.24 (rad)/s ):} $
avendo escluso la soluzione negativa.
PS: ancora una volta dobbiamo scartare la soluzione $omega_pi=0 (rad)/s$ ( perchè? ).
Applicando la definizione di margine di guadagno, si ha:
$ m_(g)=1/(|W(jomega_pi)|)=1/((10)/( |10+jomega_pi||1-omega_pi^2+j0.4omega_pi|))=(|10+jomega_pi||1-omega_pi^2+j0.4omega_pi|)/10=(sqrt(100+5)sqrt(16+0.803))/10~=4.20~=12.5 dB $
grazie mille, davvero.
la soluzione 0 rad/sec bisogna scartarla perché è quella soluzione che mi annulla la f.d.t.?
la soluzione 0 rad/sec bisogna scartarla perché è quella soluzione che mi annulla la f.d.t.?
No, il motivo è tutt'altro.
Se noti bene, ad un certo punto si è arrivati all'equazione $ omega_pi/10+(0.4omega_pi)/(1-omega_pi^2)=0 $; tale equazione può essere letta anche nel seguente modo " per quale valore di $omega_pi$ la fase della fdt è nulla? "
Solo un numero reale ha fase nulla ed infatti $W(j0)=1$, ma noi non stavamo cercando la pulsazione per la quale la fase è nulla bensì la pulsazione per la quale la fase vale $-pi$.
Resta anche un altro punto in sospeso: abbiamo dovuto trascurare anche la pulsazione di taglio $omega_tau=0(rad)/s$ quando abbiamo calcolato il margine di fase; riflettici su e prova a rispondere
PS: ho corretto una cosa $W(j0)=1$ ( avevo scritto $10$ invece )
Se noti bene, ad un certo punto si è arrivati all'equazione $ omega_pi/10+(0.4omega_pi)/(1-omega_pi^2)=0 $; tale equazione può essere letta anche nel seguente modo " per quale valore di $omega_pi$ la fase della fdt è nulla? "
Solo un numero reale ha fase nulla ed infatti $W(j0)=1$, ma noi non stavamo cercando la pulsazione per la quale la fase è nulla bensì la pulsazione per la quale la fase vale $-pi$.
Resta anche un altro punto in sospeso: abbiamo dovuto trascurare anche la pulsazione di taglio $omega_tau=0(rad)/s$ quando abbiamo calcolato il margine di fase; riflettici su e prova a rispondere
PS: ho corretto una cosa $W(j0)=1$ ( avevo scritto $10$ invece )
Perché siccome la condizione per il calcolo del margine di fase è che
\( |L(jwc)| = 1 \)
quando arriviamo all'equazione:
\( wc^2(wc^4+98.16wc^2-183)=0 \)
che significa trovare la pulsazione per il quale il modulo è nullo, scartiamo il valore di
\( wc= 0 rad/sec \)
perché sta a significare che in quel pnto il modulo è nullo ma a noi interessa prendere il valore per il quale il modulo è unitario e pertanto prendiamo l'altro valore.
è corretto?
\( |L(jwc)| = 1 \)
quando arriviamo all'equazione:
\( wc^2(wc^4+98.16wc^2-183)=0 \)
che significa trovare la pulsazione per il quale il modulo è nullo, scartiamo il valore di
\( wc= 0 rad/sec \)
perché sta a significare che in quel pnto il modulo è nullo ma a noi interessa prendere il valore per il quale il modulo è unitario e pertanto prendiamo l'altro valore.
è corretto?
No, l'hai appena visto: $W(j0)=1$ e sembrerebbe quindi soluzione del problema.
Calcoliamo, giusto, per curiosità, la pulsazione di taglio utilizzando i logaritmi ( cosa che andrebbe fatta sempre ); allora si ha:
$ 20log_10(10)-20log_(10)sqrt(100+omega_tau^2)-20log_(10)sqrt((1-omega_tau^2)^2+0.16omega_tau^2)=0 $
da cui si ottiene:
$ log_10sqrt(100+omega_tau^2)+log_10sqrt((1-omega_tau^2)^2+0.16omega_tau^2)=1 rArr$
$ rArr log_10 sqrt((100+omega_tau^2)[(1-omega_tau^2)^2+0.16omega_tau^2])=1 $
Dall'analisi, si ha che affinchè questa equazione ha senso deve accadere che l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di $0$; in formule:
$ (100+omega_tau^2)[(1-omega_tau^2)^2+0.16omega_tau^2]>0 hArr omega_tau^6+98.16omega_tau^4-183omega_tau^2>0 $
Le cui soluzioni sono:
$ omega_tau^6+98.16omega_tau^4-183omega_tau^2>0 rArr { ( omega_tau>0 ),( omega_tau^4+98.16omega_tau^2-183>0 ):} $
che esclude automaticamente la soluzione $omega_tau= 0 (rad)/s$
Calcoliamo, giusto, per curiosità, la pulsazione di taglio utilizzando i logaritmi ( cosa che andrebbe fatta sempre ); allora si ha:
$ 20log_10(10)-20log_(10)sqrt(100+omega_tau^2)-20log_(10)sqrt((1-omega_tau^2)^2+0.16omega_tau^2)=0 $
da cui si ottiene:
$ log_10sqrt(100+omega_tau^2)+log_10sqrt((1-omega_tau^2)^2+0.16omega_tau^2)=1 rArr$
$ rArr log_10 sqrt((100+omega_tau^2)[(1-omega_tau^2)^2+0.16omega_tau^2])=1 $
Dall'analisi, si ha che affinchè questa equazione ha senso deve accadere che l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di $0$; in formule:
$ (100+omega_tau^2)[(1-omega_tau^2)^2+0.16omega_tau^2]>0 hArr omega_tau^6+98.16omega_tau^4-183omega_tau^2>0 $
Le cui soluzioni sono:
$ omega_tau^6+98.16omega_tau^4-183omega_tau^2>0 rArr { ( omega_tau>0 ),( omega_tau^4+98.16omega_tau^2-183>0 ):} $
che esclude automaticamente la soluzione $omega_tau= 0 (rad)/s$
Capito....grazie per l'aiuto che mi stai dando, sei davvero gentile. grazie
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