Antenne. Esercizio perfetto?
Ciao a tutti e grazie anticipatamente.
Calcoliamo la lunghezza d'onda $lambda$ come il rapporto tra la velocità di fase $u_p$ e la frequenza $f$. Poiché ci troviamo nel vuoto $(u_p)=c=(3*10^8)m/s$ (ossia la velocità della luce):
$lambda=((u_p)/f)=(c/f)=((3*10^8)m/s)/((800*10^6)(1/s))=0.375m$
dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Il campo elettrico $E$ si calcola come:
$vec(E)=j*(eta*(I_0)/(2*lambda*r))*(e^(-jkr))*h(theta,phi)*hat(u_(theta))$
$eta=377 Omega$ e rappresenta l'impedenza caratteristica del materiale dielettrico nel vuoto. $k=(2*pi)/lambda$ e in questo caso rappresenta il numero d'onda. $I_0$ è la correnta e $h(theta,phi)$ l'altezza efficace.
Valutiamo il seguente rapporto
$(l_1)/lambda=(0.021m)/(0.375m)=0.056$ (rapporto adimensionale)
essendo $(l_1/lambda) < < 1 $ è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta.
Quindi l'altezza efficace si può calcolare come segue:
$h(theta)=(l_1)*sin(theta)*hat(u_(theta))=((0.021m)/2)*sin(75°)*hat(u_(theta))=0.010*hat(u_(theta))m
anche in questo caso dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Mi fermo un attimo quì perché mi sono venuti dei dubbi, forse stupidi, però non si sai mai.
Allora $vec E$ ha direzione $hat(u_theta)$?
O $hat(u_theta)$ è solo la direzione di $h(theta,phi)$
O è di entrambi?
Ma se così fosse quando vado a calcolare il campo elettrico dovrei avere
$vec(E)=j*(eta*(I_0)/(2*lambda*r))*(e^(-jkr))*h(theta,phi)*hat(u_(theta))*hat(u_(theta))$
dove $hat(u_(theta))*hat(u_(theta))*cos 0°=1$?
Calcoliamo la lunghezza d'onda $lambda$ come il rapporto tra la velocità di fase $u_p$ e la frequenza $f$. Poiché ci troviamo nel vuoto $(u_p)=c=(3*10^8)m/s$ (ossia la velocità della luce):
$lambda=((u_p)/f)=(c/f)=((3*10^8)m/s)/((800*10^6)(1/s))=0.375m$
dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Il campo elettrico $E$ si calcola come:
$vec(E)=j*(eta*(I_0)/(2*lambda*r))*(e^(-jkr))*h(theta,phi)*hat(u_(theta))$
$eta=377 Omega$ e rappresenta l'impedenza caratteristica del materiale dielettrico nel vuoto. $k=(2*pi)/lambda$ e in questo caso rappresenta il numero d'onda. $I_0$ è la correnta e $h(theta,phi)$ l'altezza efficace.
Valutiamo il seguente rapporto
$(l_1)/lambda=(0.021m)/(0.375m)=0.056$ (rapporto adimensionale)
essendo $(l_1/lambda) < < 1 $ è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta.
Quindi l'altezza efficace si può calcolare come segue:
$h(theta)=(l_1)*sin(theta)*hat(u_(theta))=((0.021m)/2)*sin(75°)*hat(u_(theta))=0.010*hat(u_(theta))m
anche in questo caso dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Mi fermo un attimo quì perché mi sono venuti dei dubbi, forse stupidi, però non si sai mai.
Allora $vec E$ ha direzione $hat(u_theta)$?
O $hat(u_theta)$ è solo la direzione di $h(theta,phi)$
O è di entrambi?
Ma se così fosse quando vado a calcolare il campo elettrico dovrei avere
$vec(E)=j*(eta*(I_0)/(2*lambda*r))*(e^(-jkr))*h(theta,phi)*hat(u_(theta))*hat(u_(theta))$
dove $hat(u_(theta))*hat(u_(theta))*cos 0°=1$?
Risposte
Consideriamo ora il circuito equivalente per l'antenna trasmittente $T_x$
La corrente $I_0=V_g/(Z_g+Z_A)$
e $Z_A=R_A+jX_A$ dove $R_A=R_(rad)+R_(loss)$
Il termine $jX_A$ può non essere preso in considerazione in quanto rappresenta solo l'energia immagazzinata dall'antenna ($R_A=Z_A$). Quindi poiché c'è adattamento la tensione che cade sull'antenna (supposta senza perdite) è pari a metà di quella del generatore ($R_g$ è pari $R_A$). Possiamo ora calcolare corrente, campo elettrico, campo magnetico e vettore di Poynting:
$vec(E)=j*(eta*(I_0)/(2*lambda*r))*(e^(-jkr))*h(theta,phi)*hat(u_(theta))=(0.0070-j0.0041)hat(u_(theta)) (V/m)$
$vec(H)=-(1/eta)*vec(E_(theta))*hat(u_(theta))xhat(u_(r))=-(1/eta)*vec(E_(theta))*hat(u_(phi))=(-1.87*10^-5+j*1.1*10^-5)*hat(u_(phi)) (A/m)$
$vec(S)=hat(u_(r))(1/2)*|E_(theta)|^2=8.73*10^-8*hat(u_(theta))(W/m^2)$
Tutti questi risultati sono potenzialmente corretti dalle analisi dimensionali effettuate.
Ciò che ho scritto è corretto o potrei evitare? O ancora come lo dovrei modificare/migliorare?
Se non ho sbagliato il primo punto...i versori li ho presi correttamente??
Ovviamente E,S,H sono dei vettori quindi il versore che indica una direzione me li devo portare fino alla fine giusto?
La corrente $I_0=V_g/(Z_g+Z_A)$
e $Z_A=R_A+jX_A$ dove $R_A=R_(rad)+R_(loss)$
Il termine $jX_A$ può non essere preso in considerazione in quanto rappresenta solo l'energia immagazzinata dall'antenna ($R_A=Z_A$). Quindi poiché c'è adattamento la tensione che cade sull'antenna (supposta senza perdite) è pari a metà di quella del generatore ($R_g$ è pari $R_A$). Possiamo ora calcolare corrente, campo elettrico, campo magnetico e vettore di Poynting:
$vec(E)=j*(eta*(I_0)/(2*lambda*r))*(e^(-jkr))*h(theta,phi)*hat(u_(theta))=(0.0070-j0.0041)hat(u_(theta)) (V/m)$
$vec(H)=-(1/eta)*vec(E_(theta))*hat(u_(theta))xhat(u_(r))=-(1/eta)*vec(E_(theta))*hat(u_(phi))=(-1.87*10^-5+j*1.1*10^-5)*hat(u_(phi)) (A/m)$
$vec(S)=hat(u_(r))(1/2)*|E_(theta)|^2=8.73*10^-8*hat(u_(theta))(W/m^2)$
Tutti questi risultati sono potenzialmente corretti dalle analisi dimensionali effettuate.
Ciò che ho scritto è corretto o potrei evitare? O ancora come lo dovrei modificare/migliorare?
Se non ho sbagliato il primo punto...i versori li ho presi correttamente??
Ovviamente E,S,H sono dei vettori quindi il versore che indica una direzione me li devo portare fino alla fine giusto?
Il circuito equivalente per l'antenna ricevente $R_x$ è il seguente:
Valutiamo il seguente rapporto
$l_2/lambda=(0.016m)/(0.375m)=0.043$ (è un rapporto adimensionale)
essendo $(l_2/lambda) < < 1 $ è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta.
Dunque l'altezza efficace per l'antenna ricevente sarà
$h(theta')=(l_2)*sin(theta')*hat(-u_(theta'))=((0.016m)/2)*sin(120°)*hat(-u_(theta'))=*hat(-u_(theta'))m=-0.007u_(theta') m$
ancora una volta il risultao può essere considerato corretto sempre per l'analisi dimensionale effettuata.
La tensione a vuoto si calcolerà come:
$V_0=vec(E_(inc))*vec(h(theta',phi))=(-4.9*10^-5+j*2.8*10^-5)V$
La potenza consegnata al carico poiché adattato è:
$P_T=(1/8)*(|V_0|^2)/(R_A')=1.11*10^-9 W$
Fin quì è tutto corretto?
Inoltre potevo trovare la Potenza consegnata al carico usando la formula di Friis e la direttività?
Valutiamo il seguente rapporto
$l_2/lambda=(0.016m)/(0.375m)=0.043$ (è un rapporto adimensionale)
essendo $(l_2/lambda) < < 1 $ è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta.
Dunque l'altezza efficace per l'antenna ricevente sarà
$h(theta')=(l_2)*sin(theta')*hat(-u_(theta'))=((0.016m)/2)*sin(120°)*hat(-u_(theta'))=*hat(-u_(theta'))m=-0.007u_(theta') m$
ancora una volta il risultao può essere considerato corretto sempre per l'analisi dimensionale effettuata.
La tensione a vuoto si calcolerà come:
$V_0=vec(E_(inc))*vec(h(theta',phi))=(-4.9*10^-5+j*2.8*10^-5)V$
La potenza consegnata al carico poiché adattato è:
$P_T=(1/8)*(|V_0|^2)/(R_A')=1.11*10^-9 W$
Fin quì è tutto corretto?
Inoltre potevo trovare la Potenza consegnata al carico usando la formula di Friis e la direttività?
"Ahi":
Allora $vec E$ ha direzione $hat(u_theta)$?
O $hat(u_theta)$ è solo la direzione di $h(theta,phi)$
O è di entrambi?
Ma se così fosse quando vado a calcolare il campo elettrico dovrei avere
$vec(E)=j*(eta*(I_0)/(2*lambda*r))*(e^(-jkr))*h(theta,phi)*hat(u_(theta))*hat(u_(theta))$
dove $hat(u_(theta))*hat(u_(theta))*cos 0°=1$?
Nell'espressione di $vecE$ sarebbe meglio considerare $|h(theta)|$, quindi non dovresti avere problemi con il versore. Dunque $vecE$ è diretto come $hatu_(theta)$
"Ahi":
Ciò che ho scritto è corretto o potrei evitare? O ancora come lo dovrei modificare/migliorare?
sì è corretto, anche se non ho controllato i conti. Per velocizzare potresti trovare subito la direzione di $vecH$ considerando la regola della mano destra e il fatto che queste sono onde approssimativamente TEM.
Ovviamente E,S,H sono dei vettori quindi il versore che indica una direzione me li devo portare fino alla fine giusto?
sì
"Ahi":
Fin quì è tutto corretto?
Inoltre potevo trovare la Potenza consegnata al carico usando la formula di Friis e la direttività?
Formalmente è corretto, non ho controllato i conti. Alternativamente potevi utilizzare Friis, certo.
Grazie.
Però nel calcolo della tensione incidente avrei una cosa del genere (mi riferisco ai versori):
$V_0=vec(E_(inc))*vec(h(theta',phi))=(0.0070-j0.0041)*hat(u_theta)*(-0.007hat(u_theta'))=(-4.9*10^-5+j*2.8*10^-5)V$
Essendo una tensione non avremo più un versore che indica la direzione ma solo $(-4.9*10^-5+j*2.8*10^-5)V$
giusto?
Però per poter calcolare la potenza consegnata al carico con Friis, dovrei calcolare il disadattamento in polarizzazione e il disadattamento in impedenza, che però risulteranno essere pari a uno se il campo elettrico è parallelo all'altezza efficace e se il carico è adattato.
Però nel calcolo della tensione incidente avrei una cosa del genere (mi riferisco ai versori):
$V_0=vec(E_(inc))*vec(h(theta',phi))=(0.0070-j0.0041)*hat(u_theta)*(-0.007hat(u_theta'))=(-4.9*10^-5+j*2.8*10^-5)V$
Essendo una tensione non avremo più un versore che indica la direzione ma solo $(-4.9*10^-5+j*2.8*10^-5)V$
giusto?
Però per poter calcolare la potenza consegnata al carico con Friis, dovrei calcolare il disadattamento in polarizzazione e il disadattamento in impedenza, che però risulteranno essere pari a uno se il campo elettrico è parallelo all'altezza efficace e se il carico è adattato.
giusto per la prima domanda; per la seconda: infatti con Friis devi considerare le funzioni di direttività delle antenne tx e rx (per la polarizzazione), e poi devi considerare le condizioni di adattamento del carico del ricevitore.
La formula di Friis dice:
$(P_R)=(P_T)*(D_T)*(D_R)*(lambda/(4*pi*r))*(chi_P)*(chi_Z)$
Essendo l'antenna un caso particolare (approssimazione di antenna corta)
La direttività per entrambe le antenne è:
$(D(theta))_T=(3/2)*(sin(theta))^2$
$(D_R(theta'))_R=(3/2)*(sin(theta'))^2$
La P_T è la potenza trasmessa dall'antenna trasmittente e dunque vale $P_T=(1/2)*V*I$
I negato
Ora però il carico è adattato quindi $chi_Z=1$ ma $chi_P=1$ solo se il carico è poralizzato....come devo fare?
$(P_R)=(P_T)*(D_T)*(D_R)*(lambda/(4*pi*r))*(chi_P)*(chi_Z)$
Essendo l'antenna un caso particolare (approssimazione di antenna corta)
La direttività per entrambe le antenne è:
$(D(theta))_T=(3/2)*(sin(theta))^2$
$(D_R(theta'))_R=(3/2)*(sin(theta'))^2$
La P_T è la potenza trasmessa dall'antenna trasmittente e dunque vale $P_T=(1/2)*V*I$
I negato
Ora però il carico è adattato quindi $chi_Z=1$ ma $chi_P=1$ solo se il carico è poralizzato....come devo fare?
in questo caso non hai perdite di polarizzazione perchè l'antenna rx è equiorientata con il campo elettrico; quindi in questo problema hai perdite dovute al non perfetto puntamento delle antenne e alla distanza tra le antenne
E in pratica che dovrei fare?
Nulla perché non diventa complicato?
Nulla perché non diventa complicato?
in pratica è giusto quello che hai fatto, tenendo presente che $chi_P=1$
Solo che mi trovo il doppio di quanto esce senza utilizzare Friis.
La P_T è la potenza trasmessa dall'antenna trasmittente e dunque vale
$P_T=(1/2)*V*I=(1/2)*10*8.08=40.4$
Essendo l'antenna un caso particolare (approssimazione di antenna corta)
La direttività per entrambe le antenne è:
$(D(theta))_T=(3/2)*(sin(theta))^2=(3/2)*(sin(75°))^2=1.40$
$(D_R(theta'))_R=(3/2)*(sin(theta'))^2=(3/2*(sin(120°))^2)=1.13$
La formula di Friis dice:
$(P_R)=(P_T)*(D_T)*(D_R)*(lambda/(4*pi*r))*(chi_P)*(chi_Z)=1.40*1.13*40.4*(0.375/(4*3.14*5000))^2=2.28*10^-9$
mi trovo esattamente il doppio, dove sbaglio?
La P_T è la potenza trasmessa dall'antenna trasmittente e dunque vale
$P_T=(1/2)*V*I=(1/2)*10*8.08=40.4$
Essendo l'antenna un caso particolare (approssimazione di antenna corta)
La direttività per entrambe le antenne è:
$(D(theta))_T=(3/2)*(sin(theta))^2=(3/2)*(sin(75°))^2=1.40$
$(D_R(theta'))_R=(3/2)*(sin(theta'))^2=(3/2*(sin(120°))^2)=1.13$
La formula di Friis dice:
$(P_R)=(P_T)*(D_T)*(D_R)*(lambda/(4*pi*r))*(chi_P)*(chi_Z)=1.40*1.13*40.4*(0.375/(4*3.14*5000))^2=2.28*10^-9$
mi trovo esattamente il doppio, dove sbaglio?
La potenza trasmessa:
$P_T=1/2(V_0/2)^2*1/R_A~=20.2 [W]$
$P_T=1/2(V_0/2)^2*1/R_A~=20.2 [W]$
Questa formula non l'ho mai vista...ma vale, deduco, solo per il caso particolare di antenna corta, giusto?
E per quelle a $lambda/2$ o $lambda/4$
E per quelle a $lambda/2$ o $lambda/4$
no, vale sempre nel caso di antenna adattata all'impedenza del generatore, ho semplicemente calcolato la potenza sull'antenna
Mentre per un carico non adattato utilizzo $P_T=(1/2)*V*I$ con I negato o altre a secondo dei casi. Giusto?
giusto
Ma $P_T$ è la potenza trasmessa dall'antenna trasmittente se non sbaglio...
sì
La direttività è adimensionale, ne sono sicuro, peerò vorrei una conferma.
In questo esercizio l'antenna è adattata in polarizzazione.
Ora per risolvere l'ultimo punto scrivo così, (della prima parte dell'esercizio):
In campo elettrico dell'antenna trasmittente si annulla per $theta=0$ e per $theta=pi$, inoltre è massimo pper $theta=(pi/2)$. Siccome l'antenna è omnidirezionale su tutto l'azimuth $0 <= phi < 2*pi$
è abbastanza completo la prima parte dell'esercizio? O devo aggiungere, migliorare qualcosa?
In questo esercizio l'antenna è adattata in polarizzazione.
Ora per risolvere l'ultimo punto scrivo così, (della prima parte dell'esercizio):
In campo elettrico dell'antenna trasmittente si annulla per $theta=0$ e per $theta=pi$, inoltre è massimo pper $theta=(pi/2)$. Siccome l'antenna è omnidirezionale su tutto l'azimuth $0 <= phi < 2*pi$
è abbastanza completo la prima parte dell'esercizio? O devo aggiungere, migliorare qualcosa?
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