Vettore nullo
$k$ vettori, $v_1, v_2, \ldots, v_k$, sono lineramente dipendenti se e solo se $\sum_{i=1}^{k}a_i v_i = O$ è soddisfatta per coefficienti $a_i$ non tutti nulli, dove $O$ è il vettore nullo.
Se io ora considero il caso con $k=1$, ottengo che un vettore è linearmente dipendente se $a_1 v_1 = O$ per $a_1 \ne 0$, e questo è soddisfatto se $v_1$ è il vettore nullo.
Ora, mi domando io, è giusto dire che il vettore nullo è linearmente dipendente? Se sì, quale significato geometrico ha?
Grazie
Se io ora considero il caso con $k=1$, ottengo che un vettore è linearmente dipendente se $a_1 v_1 = O$ per $a_1 \ne 0$, e questo è soddisfatto se $v_1$ è il vettore nullo.
Ora, mi domando io, è giusto dire che il vettore nullo è linearmente dipendente? Se sì, quale significato geometrico ha?
Grazie
Risposte
Penso che del vettore nullo non si possa dir niente. E' un pò come 1, che non è primo pur essendo divisibile solo per 1 e per se stesso.
Anche se la definizione di numero primo, per quanto ne so io, consiste nell'essere divisibile soltanto per due interi distinti... e dunque $1$ non vi entrerebbe, ma non andiamo OT...
Una piccola correzione: se la sommatoria la fai partire da $0$ ottieni $a_0v_0+a_1v_1=bar 0$, quindi o metti $k=0$ o fai partire $i$ da $1$.
Scusa l'OT, ma Wikipedia dà tutte e due le definizioni (la mia e la tua) e poi dà dei motivi per cui 1 non è primo... In effetti considerando la tua non ci sarebbero equivoci.
Scusa l'OT, ma Wikipedia dà tutte e due le definizioni (la mia e la tua) e poi dà dei motivi per cui 1 non è primo... In effetti considerando la tua non ci sarebbero equivoci.
Per quanto riguarda la sommatoria è un errore di battitura, edito subito.
"Tipper":
$k$ vettori, $v_1, v_2, \ldots, v_k$, sono lineramente dipendenti se e solo se $\sum_{i=1}^{k}a_i v_i = O$ è soddisfatta per coefficienti $a_i$ non tutti nulli, dove $O$ è il vettore nullo.
Se io ora considero il caso con $k=1$, ottengo che un vettore è linearmente dipendente se $a_1 v_1 = O$ per $a_1 \ne 0$, e questo è soddisfatto se $v_1$ è il vettore nullo.
Ora, mi domando io, è giusto dire che il vettore nullo è linearmente dipendente? Se sì, quale significato geometrico ha?
Grazie
Dunque se S è un insieme di vettori e O vettore nullo appartiene a S allora l'insieme si dice dipendente.
Tuttavia per convenzione si fissa l'insieme vuoto come quello a cui appartiene solo il vettore nullo. Tale
insieme si dice indipendente.
Queste definizioni le ho prese dal libro Calcolo v2 di Apostol.
Per finire il significato geometrico lo puoi avere solo pensando al vettore di dimensioni tutte nulle.
Il mio prof. utilizza l'esempio dell'elettroencefalogramma piatto che sta a simboleggiare la staticità
d'azione che esercita il vettore nullo e chiamato anche elemento ZERO dello spazio lineare.
Per questo motivo ad esempio in R3 si parla di sottospazi per rette e piani passanti per l'origine.
Spero di essere stato esauriente
"brssfn76":
Tuttavia per convenzione si fissa l'insieme vuoto come quello a cui appartiene solo il vettore nullo.
Sinceramente questo non lo sapevo; non voglio mettere in dubbio in alcun modo questa affermazione, se sta scritta in un libro, l'autore ne sa sicuramente più di me, però è un po' controintuitiva, cioè, io penso all'insieme vuoto come all'insieme che non contiene nessun elemento, e che quindi ha cardinalità zero, mentre invece l'insieme che contiene il vettore nullo ha cardinalità uno.
Anche a me ha fatto pensare molto......tuttavia pensa l'insieme vuoto è quello
con unico elemento vettore nullo verrebbe da pensare che la dimensione sia 1....
invete NO!!!! la dimensione dello spazio è fissata a 0 contravvenendo a quanto
si definisce al riguardo della dimensione dello spazio equivalente agli elementi della base!!
non è molto logico ma è cosi(anche qui definizione presa dal testo)
con unico elemento vettore nullo verrebbe da pensare che la dimensione sia 1....
invete NO!!!! la dimensione dello spazio è fissata a 0 contravvenendo a quanto
si definisce al riguardo della dimensione dello spazio equivalente agli elementi della base!!
non è molto logico ma è cosi(anche qui definizione presa dal testo)
Ma che la dimensione dello spazio fosse zero io lo associavo al fatto che la base dello spazio nullo fosse l'insieme vuoto, non l'insieme contenente il vettore nullo... come infatti mi è stato confermato non molto tempo fa...
A questo punto non vorrei che la traduzione italiana del libro abbia qualche errore.
Ti scrivo pari pari la def di base del libro:
Se uno spazio lineare ha una base di n elementi, l'intero n si dice dimensione di V. Si scrive
n = dim V. SE V=(0), SI CONVIENE CHE V ABBIA DIMENSIONE ZERO.
E' vero che le dimensioni del vettore nullo sono tutte nulle quindi 0, tuttavia pensare
che l'insieme vuoto abbia un elemento cioè il vettore nullo e si dica dimensione 0......
Vedo se riesco a trovare la versione in inglese per fare un raffronto con quella in
italiano.
Ti scrivo pari pari la def di base del libro:
Se uno spazio lineare ha una base di n elementi, l'intero n si dice dimensione di V. Si scrive
n = dim V. SE V=(0), SI CONVIENE CHE V ABBIA DIMENSIONE ZERO.
E' vero che le dimensioni del vettore nullo sono tutte nulle quindi 0, tuttavia pensare
che l'insieme vuoto abbia un elemento cioè il vettore nullo e si dica dimensione 0......
Vedo se riesco a trovare la versione in inglese per fare un raffronto con quella in
italiano.
"brssfn76":
SE V=(0), SI CONVIENE CHE V ABBIA DIMENSIONE ZERO.
Se ho ben capito la notazione del libro con V non indichi la base, ma lo spazio vettoriale nullo, e in quest'ottica tutto mi tornerebbe.
Sul libro usa le parentesi graffe dovrebbe indicare gli elementi di V......
Una cosa è se indica gli elementi di V, un'altra se indica gli elementi di una base.
Ma.......credo che nella definizione si riferisca agli elementi della base.
Quando prende il caso dello spazio V avente solo l'elemento nullo
credo che sia da intendersi come dici tu cioe che avendo elementi scalari
tutti nulli la dimensione sia 0.
Buona notte
Quando prende il caso dello spazio V avente solo l'elemento nullo
credo che sia da intendersi come dici tu cioe che avendo elementi scalari
tutti nulli la dimensione sia 0.
Buona notte
"Tipper":
[quote="brssfn76"]Tuttavia per convenzione si fissa l'insieme vuoto come quello a cui appartiene solo il vettore nullo.
Sinceramente questo non lo sapevo; non voglio mettere in dubbio in alcun modo questa affermazione, se sta scritta in un libro, l'autore ne sa sicuramente più di me, però è un po' controintuitiva, cioè, io penso all'insieme vuoto come all'insieme che non contiene nessun elemento, e che quindi ha cardinalità zero, mentre invece l'insieme che contiene il vettore nullo ha cardinalità uno.[/quote]
l'insieme vuoto è sempre quello e non contiene elementi
nessuno usa al mondo una convenzione diversa
quanto alla domanda iniziale di Tipper, data la def di lin. ind., se A = {0}, i vettori di A non sono lin. ind.
nulla di strano, matematicamente
la stranezza che coglie Tipper è a mio parere di tipo linguistico-cognitivo (in particolare, l'uso del plurale). Svanirebbe (forse, chissà) usando un'altra terminologia (anch'essa in uso negli spazi vettoriali): se cioè si dicesse che A è una "parte libera"
Secondo il mio [ultramodestissimo] parere la 'discussione' è sconfinata su temi di assoluta futilità e inconsistenza [tipo 'insieme nullo'... 
] per il solo fatto che si è partiti da una definizione non corretta...
La definzione 'corretta' a mio [ultramodestissimo] parere è quella di insieme di vettori linearmente indipendenti e fà così...
Dati $k$ vettori $v_1,v_2,...,v_k$ essi si decono linearmente indipendenti se e solo se la relazione...
$a_1*v_1+a_2*v_2+...+a_k*v_k=o$ (1)
... ove $o$ è il vettore nullo [ossia le cui componenti scalari sono tutte $=0$...] e $a$ sono quantità scalari, è verificata unicamente se...
$a_1=a_2=...=a_k=0$ (2)
Va da sè che in base alla definzione ora data nel caso $k=1$ qualunque vettore $v$ diverso dal vettore nullo è linearmente indipendente... come è giusto che sia...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
] per il solo fatto che si è partiti da una definizione non corretta... La definzione 'corretta' a mio [ultramodestissimo] parere è quella di insieme di vettori linearmente indipendenti e fà così...
Dati $k$ vettori $v_1,v_2,...,v_k$ essi si decono linearmente indipendenti se e solo se la relazione...
$a_1*v_1+a_2*v_2+...+a_k*v_k=o$ (1)
... ove $o$ è il vettore nullo [ossia le cui componenti scalari sono tutte $=0$...] e $a$ sono quantità scalari, è verificata unicamente se...
$a_1=a_2=...=a_k=0$ (2)
Va da sè che in base alla definzione ora data nel caso $k=1$ qualunque vettore $v$ diverso dal vettore nullo è linearmente indipendente... come è giusto che sia...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"Tipper":
$k$ vettori, $v_1, v_2, \ldots, v_k$, sono lineramente dipendenti se e solo se $\sum_{i=1}^{k}a_i v_i = O$ è soddisfatta per coefficienti $a_i$ non tutti nulli, dove $O$ è il vettore nullo.
E che c'è di sbagliato in questa definizione?
"lupo grigio":
Va da sè che in base alla definzione ora data nel caso $k=1$ qualunque vettore $v$ diverso dal vettore nullo è linearmente indipendente... come è giusto che sia...
Infatti, io chiedevo solo se ha senso dire che il vettore nullo è linearmente dipendente e, in tal caso, quale sia il significato geometrico, qualora ve ne fosse uno; ad esempio due vettori sono linearmente dipendenti se giacciono sulla stessa retta, tre se giacciono sullo stesso piano... ma per uno solo (il vettore nullo) si può dire qualcosa a riguardo? Cioè, voglio dire, il significato è solo matematico-teorico o c'è sotto anche qualcosa di geometrico?
Non è che la definizione che hai dato sia 'sbagliata' [ognuno è libero di definire quello che più gli piace nel modo che più gli piace e nessuna definizione in sè è 'giusta' o 'sbagliata'...]. Il fatto è che la tua definizione è quella di vettori linearmente dipendenti mentre quello che è veramente importante [anzi essenziale... 
] è la definizione di vettori linearmente indipendenti... tutto qui...
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
] è la definizione di vettori linearmente indipendenti... tutto qui... cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ho usato la definizione di vettori linearmente dipendenti solo per domandare se il vettore nullo, presoda solo, era linearmente dipendente, dato che ne soddisfaceva la definizione, tutto qui 
Attenzione Tipper ad una cosa: il concetto di 'vettore' è una entità alquanto 'varia' e non sempre si presta ad una intepretazione 'geometrica' [pensa solo agli spazi vettoriali di dimensione infinita... ]
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
]cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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